Chapitre III : nombres en écriture fractionnaire

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1 Chpitre III : nombres en écriture frctionnire I - Églité de quotients A - Simplifiction de quotient ex 1 Si on multiplie ou si on divise le numérteur et le dénominteur d'un quotient pr un même nombre non nul lors on obtient un quotient égl. Pour tous nombres, b et k où b et k sont non nuls : k b k = b et k b k = b. Exemple 1 : Simplifie le quotient 140 = = On détermine le signe du quotient. On cherche les fcteurs communs à et = 10 On simplifie le quotient. Exemple 2 : Détermine le nombre mnqunt dns l'églité 1, ,2 donc 1,2 18 =, 18 Pour psser de à 18, on multiplie pr. Ainsi, pour trouver le nombre mnqunt, on multiplie 1,2 pr, ce qui donne,. B - Réduction de quotients u même dénominteur Exemple 1 : Réduis les quotients 2 9 et 5 u même dénominteur. 12 ex 2 Multiple de 9 : 9, 18, 27,, 45, 54,... Multiple de 12 : 12, 24,, 48, 0,... Un multiple commun de 9 et 12 est. C'est ussi le plus petit. 2 9 = = 8 et 5 12 = 5 12 = 15 On cherche un multiple commun non nul ux dénominteurs (le plus petit possible). On détermine les écritures frctionnires ynt pour dénominteur. Exemple 2 : Compre les quotients 2 7 et 8. Les dénominteurs 7 et 8 n'ont ucun diviseur commun utre que 1. Le plus petit multiple commun est 7 8 = 5, donc = 1 5 et = 21 5.

2 Or donc C - Produit en croix ex Propriétés Si deux nombres en écriture frctionnire sont égux lors leurs produits en croix sont égux. Réciproquement, si les produits en croix de deux nombres en écriture frctionnire sont égux lors ces deux nombres sont égux. Pour tous nombres, b, c et d où b et d sont non nuls : b = c équivut à d = b c. d Remrque : En prticulier, pour démontrer que deux nombres en écriture frctionnire ne sont ps égux, il suffit de démontrer que leurs produits en croix ne sont ps égux. Exemple 1 : Les nombres 2,1 4,1 et sont-ils égux? Justifie.,5,9 2,1,9 = 14,49 et,5 4,1 = 14,5 On clcule les produits en croix. 14,49 14,5 On les compre. donc 2,1,5 4,1,9 Les produits en croix ne sont ps égux donc les nombres ne sont ps égux. Exemple 2 : Détermine le nombre mnqunt dns l'églité 1,2 7. 1,2 7 =? donc 8,4 =? On écrit l'églité des produits en croix.? = 8,4 = 1,4 On trouve le nombre mnqunt. II - Addition ou soustrction ex 4 Pour dditionner (ou soustrire) des nombres en écriture frctionnire ynt le même dénominteur, on dditionne (ou on soustrit) les numérteurs et on grde le dénominteur commun. Pour tous nombres, b et c où b est non nul : b c b = c b. Remrque : Si les nombres en écriture frctionnire n'ont ps le même dénominteur, il fut les réduire u même dénominteur. Exemple : Clcule l'expression A = Multiples de 0 : 0 ; 0 ; 90 ; Multiples de 12 : 12 ; 24 ; ; 48 ; 0... A = A = = 0 0 On cherche le plus petit multiple commun non nul à 0 et 12. On détermine le signe de chque quotient et on réduit les quotients u même dénominteur 0. On dditionne les numérteurs et on grde le dénominteur.

3 Multiples de 0 : 0 ; 0 ; 90 ; Multiples de 12 : 12 ; 24 ; ; 48 ; 0... A = 21 0 = 7 20 = 7 20 On cherche le plus petit multiple commun non nul à 0 et 12. On simplifie si possible. III - Multipliction ex 5 Pour multiplier des nombres en écriture frctionnire, on multiplie les numérteurs entre eux et les dénominteurs entre eux. Pour tous nombres, b, c et d où b et d sont non nuls : b c d = c b d. Remrque : Si b = 1, l formule devient c d = c d. Exemple : Clcule l'expression B = Donne le résultt sous forme simplifiée. B = B = On détermine le signe du résultt. On cherche des fcteurs communs. B = B = On simplifie. On clcule. IV - Division de deux quotients A - Inverse d'un nombre non nul ex Définition Deux nombres sont inverses l'un de l'utre si leur produit est égl à 1. Propriétés Tout nombre x non nul dmet un inverse (noté x 1 ) qui est le nombre 1 x. Tout nombre en écriture frctionnire b ( 0 et b b 0) dmet un inverse qui est le nombre. Remrques : Un nombre et son inverse ont toujours le même signe. En effet, leur produit 1 est positif et seul le produit de deux nombres de même signe est positif. Zéro est le seul nombre qui n'dmet ps d'inverse. En effet, tout nombre multiplié pr 0 donne 0 et ne donner jmis 1. Exemple : Quels sont les inverses des nombres et 7?

4 L'inverse de est 1 = 1. L'inverse de 7 est 7 1 = 1 7 = 7 = 7. B - Diviser des quotients ex 7 Diviser pr un nombre non nul revient à multiplier pr l'inverse de ce nombre. Pour tous nombres, b, c et d où b, c et d sont non nuls : b c d = b d c ou b = c b d c. d Exemple 1 : Clcule C = C = On détermine le signe du résultt. C = On multiplie pr l'inverse du deuxième quotient. C = On multiplie les frctions. C = 24 5 On clcule. Exemple 2 : Clcule D = et donne le résultt en le simplifint le plus possible. D = On détermine le signe du résultt. D = On multiplie pr l'inverse du deuxième quotient. D = On cherche des fcteurs communs. D = 10 9 On clcule sns oublier de simplifier vnt! 1 2 Exemple : Quelle est l nture du nombre E défini pr E = 1 2? E = 2 2 = 5 1 E peut s'écrire ussi E = On commence donc pr clculer les prenthèses.

5 E = 5 1 On multiplie pr l'inverse du deuxième quotient. E = 5 1 On cherche des fcteurs communs. E = 5 donc E est un nombre entier.