Partie II : Télémétrie laser temps de vol

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1 Partie II : Télémétrie laser temps de vol

2 TABLE DES MATIÈRES. INTRODUCTION 3. ÉMISSION 34. Avantages des microlasers 34.. Diodes laser 34.. Microlasers 34. Dimensions du faisceau 36.3 Modélisation des microlasers Cr 4+ :Nd:YAG RÉCEPTION Fonction de transfert du er ordre Réponse impulsionnelle du er ordre et signal obtenu Fonction de transfert du ème ordre Réponse impulsionnelle du ème ordre et signal obtenu Application numérique Influence de la bande passante sur l amplitude du signal Influence de la bande passante sur la largeur du signal PRÉCISION DES MESURES Formulation classique Origine de la formulation classique Cas particulier d une impulsion gaussienne Mesure du temps de vol utilisant deux seuils de détection PORTÉE Détection directe avec une photodiode PIN Signal reçu Sources de bruit Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit Détection directe avec une photodiode à avalanche Signal reçu Sources de bruit Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit 6 6. INFLUENCE DE LA BANDE PASSANTE Portée Précision 64 3

3 7. DYNAMIQUE DU SIGNAL Méthode générale Rappels de Photométrie [FD9] [GC97] Système optique comportant une lentille Application à la télémétrie Méthode approchée Aire d intersection entre deux cercles [EEW96] Fonction fraction de flux incident sur le détecteur (cas général) Aire effective Cas d un télémètre biaxial et d une tache gaussienne sur la cible Application Numérique CONCLUSION 77 3

4 . INTRODUCTION Le télémètre temps de vol à été le premier système laser mesurant des distances supérieures à m à être mis au point après les premières démonstrations expérimentales de l effet laser au début des années 6. Les premières applications envisagées consistaient à mesurer la distance de la terre à la lune de façon précise, et dans le cadre d applications militaires, de mesurer la distance à une cible. L intérêt par rapport au radar étant la directivité du faisceau laser afin d obtenir une meilleure résolution spatiale de la mesure. Les signaux (impulsions) radars et télémétriques présentant de fortes similitudes, la théorie sur l évaluation de la précision des mesures de distance est conservée [MS8]. Dès 963, Goldstein du MIT Lincoln Laboratory publie une théorie inspirée des techniques de base des radars et inclut dans ses équations les différentes sources de bruit venant perturber la mesure et limiter les performances du télémètre [BSG63]. Ce sont ces équations quelque peu réactualisées [PB95][HNB9][MSS93] que nous utiliserons par la suite pour calculer la portée d un télémètre. Voici un bref rappel (partie I) du principe de la télémétrie temps de vol. La figure - représente schématiquement le télémètre dans son ensemble. La figure - donne l allure des signaux ainsi que le principe de la mesure du temps de vol à l aide de seuils de détection. Les blocs d émission et de réception possèdent respectivement une photodiode PIN et une photodiode à avalanche. La photodiode PIN fournit au bloc de traitement un signal START déclenchant le compteur rapide tandis que le signal STOP arrêtant le compteur est fourni par la cellule de réception. START Milieu traversé atténuation Traitement Analogique STOP EMISSION RECEPTION cible diffusante Mesure de distance z z Figure - : Schéma de principe d un télémètre temps de vol 3

5 seuil de détection du signal START Emission laser seuil de détection du signal STOP Réception t START t STOP temps de vol Figure - : Signaux et principe de la mesure de temps de vol La distance est alors donnée par : c c z= τ = ( tstop tstart ) (.) Pour la rédaction de cette partie, nous nous sommes bien évidemment inspirés des travaux réalisé par l équipe «Télémétrie» du Léti au sein de laquelle s est déroulée cette thèse. C est pourquoi les ordres de grandeur utilisés dans les applications numériques seront choisis en liaison avec les télémètres déjà développés au laboratoire. Le but de cette partie est d évaluer l influence des paramètres sur les performances des télémètres temps de vol classiques afin de proposer une configuration optimisée. Dans un premier temps nous décrirons les blocs d émission puis de réception d un télémètre à microlaser. Nous nous intéresserons à la précision des mesures de distances effectuées à l aide d un seuillage analogique sur des impulsions à profil temporel gaussien (profil approché généré par les microlasers après photodétection). Dans un deuxième temps nous détaillerons les calculs du rapport signal sur bruit et de la portée pour deux configurations : photodiode PIN et photodiode à avalanche. Nous nous intéresserons à l influence de la bande passante électronique sur la portée et la précision d un télémètre. Pour terminer, nous étudierons la dynamique du signal STOP en fonction de la distance mesurée. 33

6 . ÉMISSION Dans ce paragraphe, après avoir rapidement présenté les deux principales sources utilisées en télémétrie, nous rappellerons tout d abord l évolution des dimensions du faisceau issu d un microlaser, ces caractéristiques obtenues seront utiles dans le paragraphe sur l étude de la dynamique du signal. Nous nous intéresserons ensuite à la forme temporelle des impulsions produites par un microlaser déclenché passivement Cr 4+,Nd:YAG.. Avantages des microlasers En considérant les relations donnant, la puissance optique incidente sur le photodétecteur et la précision d une mesure de distance, pour avoir un télémètre laser temps de vol performant pour une application d imagerie 3D par exemple, il faut disposer d une source laser bien adaptée. Nous pouvons prendre en compte les critères suivants [PB99] : z La gamme de mesure est liée à la puissance de l émetteur et au respect de la sécurité oculaire. z La précision est définie comme nous l avons vu par les caractéristiques temporelles de l impulsion. z La compacité et le coût du dispositif. Ce sont pour ces raisons que deux types de laser sont principalement utilisés en télémétrie temps de vol : les lasers à semi-conducteurs (diodes lasers) et les microlasers... Diodes laser Les diodes lasers impulsionnelles les plus communément employées aujourd hui sont des doubles hétérojonctions GaAlAs qui offrent un choix de longueur d onde s échelonnant entre 78 nm et 9 nm avec des puissances crêtes allant du Watt à quelques dizaines de Watts. D autres structures à puits quantiques InGaAs permettent d obtenir des diodes lasers avec une gamme de fonctionnement en longueur d onde comprise entre 9 et 6 nm. La qualité optique du faisceau des diodes lasers présente des imperfections importantes dues à une forte divergence et à de l astigmatisme, l adaptation peut être parfois contraignante pour obtenir une qualité de faisceau satisfaisante. Un autre inconvénient est la forte valeur du courant d injection impulsionnel pour commander la diode laser nécessaire à la production des impulsions lumineuses de forte puissance avec de très courtes durées. Par exemple, pour une diode de W, il faut un courant d injection de l ordre de 4 A... Microlasers Les microlasers sont des lasers solides monolithiques et miniatures pompés par diode laser. Tout comme les diodes laser, leur processus de fabrication est collectif. Les premiers dispositifs de ce type ont été réalisés aux Etats-Unis à la fin des années 8 [JJZ89]. Au Laboratoire d Electronique, de Technologie et d Instrumentation du CEA, les microlasers sont étudiés depuis le début des années 9 [NM9]. Nous nous intéresserons essentiellement au fonctionnement des microlasers déclenchés 34

7 passivement qui produisent des impulsions optiques. Il repose sur la présence à l intérieur de la cavité d un composant optique passif : un absorbant saturable, qui va déclencher les pertes de la cavité. En effet, sa transmission change en fonction de l intensité du faisceau lumineux qui le traverse. Le développement d une impulsion laser n est possible que lorsque l absorbant est transparent, le milieu à gain peut alors se vider de l énergie emmagasinée sous forme d une impulsion géante de courte durée. L apparition de cette impulsion se répétera de nouveau à chaque fois que l énergie emmagasinée dans la cavité du microlaser sera suffisante pour faire changer d état l absorbant saturable. Un autre avantage est la très bonne qualité de faisceau obtenue, la mise en forme du faisceau est simplifiée puisque le laser fonctionne sur un unique mode transverse TEM. Pour assurer le fonctionnement du microlaser, il faut alimenter en photons le matériau à gain avec une diode laser continue de pompe (figure -). milieu à gain Nd:YAG 75 à 5 µm absorbant saturable 4+ Cr :YAG 3 à µm Faisceau de pompe continu Faisceau laser pulsé 88 nm 64 nm miroir d'entrée miroir de sortie Figure - : Microlaser Cr 4+ :Nd:YAG déclenché passivement La figure - montre un boîtier où microlaser et diode laser de pompe sont assemblés. Dans le cas des microlaser à miroirs plans, la puissance de pompe est de l ordre du Watt, cette puissance induit une augmentation de température de la diode laser. Afin de ne pas trop élever la température, un module à effet Peltier est nécessaire. Une thermistance permet alors d asservir la température souhaitée. Notons que des microlasers à cavité stable sont à l étude au Léti depuis quelques années déjà [VT96] : la puissance de pompe de ces microlasers est inférieure et il n est pas nécessaire d utiliser un module à effet Peltier pour le refroidissement. De nouveaux matériaux permettent également la fabrication de microlasers déclenchés émettant à une longueur d onde dite «à sécurité oculaire» de,55 µm [PT99]. 35

8 diode laser thermistance peltier microlaser Figure - : Microlaser et diode de pompe montés au Léti En conservant les avantages des diodes laser (fabrication collective), les microlasers offrent des caractéristiques supérieures en terme de puissance émise, largeur d impulsion et qualité de faisceau. C est pourquoi ils sont utilisés au laboratoire et seront utilisés dans le cadre de cette thèse.. Dimensions du faisceau Les microlasers que nous utilisons au laboratoire pour les télémètres possèdent un seul mode transverse. En utilisant les propriétés des faisceaux gaussiens [MY93], nous allons calculer les dimensions de la tache sur une cible à la distance z, après avoir calculé les nouvelles caractéristiques du faisceau derrière une optique d émission. waist objet lentille de focale f e waist image w w i Dw Dw i Figure -3 : Transformation d un faisceau gaussien par une lentille La distance du waist image par rapport à l optique d émission s écrit : D ω i fe D = fe Dω o + fe λ fe ω o πω (.) 36

9 La taille du waist image s écrit : ω = i ω Dω πω o f + e λ f e (.3) L évolution du rayon du faisceau en sortie d optique et en fonction de la distance est définie par : ( z Dω ) λ i ω ( z) = ω i + = ω i+ φ i z D πω i ( ( ω )) i (.4) où : λ φ i= φ émission= (.5) πω i est la demi divergence du faisceau laser à l émission. Prenons, par exemple, pour une lentille de mm de focale, un waist de 5 µm à la sortie du microlaser, le waist image sera alors de 68 µm et la demi-divergence sera de,5 mrad : la tache laser aura un diamètre de cm à m..3 Modélisation des microlasers Cr 4+ :Nd:YAG De nombreuses études sur la modélisation de microlasers ou de laser solides pompé par diodes laser sont disponibles dans la littérature [AS65] [WK96] [PT93] [XZ97]. Pour modéliser les impulsions produites par les microlasers que nous avons utilisés, nous nous sommes inspiré de ces différents travaux. Le fonctionnement des lasers est décrit en général de manière simple par le système classique des équations du bilan des transitions électroniques dans le milieu à gain. Ce système comprend deux équations différentielles non-linéaires couplées : l une relative à l évolution de l inversion de population dans le cristal amplificateur, l autre relative au nombre de photons dans la cavité. Pour modéliser le déclenchement par absorbant saturable, il est nécessaire d introduire une troisième équation relative à l inversion de population de l absorbant saturable. Le détail des calculs établissants le système d équations est disponible en Annexe. Nous avons résolu numériquement ce système de trois équations différentielles non-linéaires en choisissant les caractéristiques du microlaser que nous avons utilisé lors des expérimentations. Nous obtenons une impulsion de largeur environ égale à 4 ps. Nous avons comparé cette impulsion théorique (bleue à gauche) avec le résultat expérimental (points noirs à droite) correspondant (figure -4) : 37

10 Amplitude relative tens Amplitude relative tenns Figure -4 : Comparaison des impulsions théoriques et expérimentales Nous remarquons que l impulsion expérimentale, de largeur,5 ns, est beaucoup plus large que l impulsion théorique. Une hypothèse, concernant cette différence entre la simulation et la réalité, a été émise dans la littérature, cependant aucun autre modèle satisfaisant n a encore vu le jour [LF98]. Toutefois l allure générale de l impulsion est identique dans les deux cas : le temps de montée est plus rapide que le temps de descente. Le profil temporel obtenu expérimentalement sera approximmé (régression non-linéaire) par un gaussienne asymétrique afin de simplifier les calculs ultérieurs, le paramètre ω est différent de chaque coté du sommet de l impulsion, ω =, ns et ω =,7 ns : t τ easym () t = A exp ω pour t < τ et t τ easym () t = A exp ω pour t > τ (.6) 3. RÉCEPTION Il existe plusieurs façons de convertir un signal optique en un signal électrique en utilisant une photodiode. En effet, le comportement de la photodiode dépend de la tension de polarisation et de la valeur de la résistance de charge à ses bornes. Le mode photovoltaïque est obtenu en l absence de polarisation lorsque la résistance de charge est importante, avec ce mode de fonctionnement la tension générée est une fonction logarithmique de la puissance optique incidente. Ce mode de fonctionnement n est donc pas linéaire, il faut également noter sa faible largeur de bande. Le mode photoampérique est obtenu lorsque la photodiode n est pas polarisée et lorsque la résistance de charge est très faible. La réponse est alors linéaire mais la bande passante toujours aussi faible. En télémétrie impulsionnelle, il est souhaitable d avoir une réponse linéaire tout en ayant une bande passante importante afin de détecter des impulsions étroites, c est pourquoi le mode photoconductif est utilisé. La photodiode est polarisée en inverse, cela permet d augmenter sensiblement la bande passante tout en conservant une réponse linéaire. De plus, les signaux détectés étant généralement faibles, il est souhaitable d avoir un gain élevé tout en conservant une bande passante importante. L utilisation d un amplificateur opérationnel monté en détecteur de courant permet de résoudre ce problème, ce montage est également nommé «transimpédance» en raison de la présence d une résistance de contre-réaction. Etant données les caractéristiques de bande passante des amplificateurs opérationnels, il est évident que ce genre de circuit ne peut pas être utilisé pour des récepteurs grande vitesse, cependant, il existe dans le commerce des transimpédances intégrés à transistor bipolaire ou à JFET avec des bandes passantes 38

11 de plusieurs centaines de MHz au GHz [JG96]. Ce sont ces circuits qui sont utilisés dans les télémètres temps de vol et dans bien d autres applications encore dont nous allons étudier les caractéristiques dans ce paragraphe. +E Signal Optique R c - G + Signal Electrique amplificateur transimpédance intégré Figure 3- : Schéma de la détection et de l amplification transimpédance du signal télémétrique 3. Fonction de transfert du er ordre Le schéma équivalent d une photodiode en inverse est le suivant : I d R d C d Figure 3- : schéma équivalent d une photodiode polarisée en inverse En appelant Z d l impédance en parallèle avec le générateur de courant, nous avons : = + π j f Cd (3.) Z R Le schéma dynamique du montage peut alors être représenté par : d d Z c + - Z d I d Z d - G + amplificateur transimpédance intégré Figure 3-3 : Schéma dynamique du montage transimpédance 39

12 La fonction de transfert s écrit : T( f) = + + Zc G Zc Zd (3.) En remplaçant Z d par sa valeur et Z c par R c et en considérant que G et Rd R c nous obtenons une fonction de transfert du premier ordre d un filtre passe-bas : Rc T( f) = f + j f c (3.3) et la bande passante ou fréquence de coupure est donnée par : f c G = π R C c d (3.4) Nous remarquons que la bande passante est multipliée par le gain de l amplificateur que nous avons supposé constant jusqu ici. Une autre manière de voir les choses consiste à dire que C d a été divisée par G augmentant d autant la bande passante. 3. Réponse impulsionnelle du er ordre et signal obtenu La réponse impulsionnelle du filtre passe-bas du premier ordre est donnée par : Rc t ht () = exp α α avec α = = π f π B c (3.5) Si le signal à l entrée du filtre est de forme gaussienne : t et () = A exp ω (3.6) nous avons à la sortie du filtre le signal : st () = h( τ) et ( τ) dτ (3.7) Le calcul de cette intégrale de convolution donne finalement : ARc 4αt + ω α t + ω st ( ) = ω π exp erf 4α αω (3.8) Pour un filtre passe-bas, la bande passante est égale à la fréquence de coupure à - 3dB. 4

13 Amplitude relative B = 3 MHz B = 5 MHz t HnsL Figure 3-4 : impulsions à la sortie de l amplificateur transimpédance Les courbes ci-dessus représentent les impulsions s(t) à la sortie du circuit de réception pour une bande passante allant de 5 MHz à 3 MHz par pas de 5 MHz relativement au signal d entrée, le paramètre ω à l entrée étant égal à ns. Nous remarquons que les impulsions sont élargies et que leur amplitude diminue lorsque la bande passante est réduite. Nous utiliserons ce modèle par la suite pour l étude de l influence de la bande passante sur les performances du télémètre. 3.3 Fonction de transfert du ème ordre La résistance de contre réaction est en général une résistance importante, la capacité parasite associée n est alors plus négligeable. Reprenons le calcul en considérant Z c comme R c en parallèle avec la capacité parasite C c, soit : = + π fcc (3.9) Z R c c Par ailleurs, considérons l amplificateur comme un système du premier ordre avec une fonction de transfert de la forme : G f + j f ( ) = G f (3.) En remplaçant Z d, Z c et G( f ) par leur valeur dans l équation (3.) et en considérant que Rd R c nous obtenons une fonction de transfert du deuxième ordre d un filtre passe-bas : K T( f) = f f + jz f c f c (3.) Le gain est donné par K = - R c, la bande passante ou fréquence de coupure et le coefficient de surtension z sont respectivement donnés par : 4

14 f = G f c π Rc Cd (3.) C d z= fc Rc Cc + G (3.3) 3.4 Réponse impulsionnelle du ème ordre et signal obtenu La réponse impulsionnelle du filtre passe-bas du deuxième ordre est donnée par : t t ht () = exp exp pour z > (3.4) τ τ τ τ π fc ht () = exp zf t sin f z t z ( π c ) ( π c ) pour z < (3.5) avec : τ = π f z z c c ( ) τ = π f z z ( + ) (3.6) (3.7) Si le signal à l entrée du filtre est e(t), de forme gaussienne par exemple : t et () = A exp ω (3.8) nous avons à la sortie du filtre le signal : τ τ τ (3.9) st () = h( ) et ( ) d 3.5 Application numérique Lors de nos expérimentations, nous avons utilisé une photodiode à avalanche EG&G de type C366E et un amplificateur transimpédance intégré Analog Devices de type AD85. Les caractéristiques électriques du montage sont les suivantes : C d = pf, R c = kq, C c =, pf, f o =4 Mhz et G = 6. En utilisant les formules précédemment établies, nous obtenons la fréquence de coupure ou bande passante f c = 338 Mhz et un coefficient de surtension z =,4. Dans un premier temps, nous avons voulu comparer les signaux à la sortie de l amplificateur : 4

15 avec une gaussienne à l entrée (ω = ns et z =.4) : Amplitude relative tenns Figure 3-5 : Forme de l impulsion à la sortie de l amplificateur (impulsion symétrique) - Surtension avec une gaussienne asymétrique (forme approchée des impulsions produites par le laser) à l entrée (ω = ns pour le front montant,.5 ns pour le front descendant et z =.4) : Amplitude relative tenns Figure 3-6 : Forme de l impulsion à la sortie de l amplificateur (impulsion asymétrique) - Surtension Nous observons une oscillation à la suite de l impulsion, cependant, dans les deux cas de profil d impulsion, la forme reste approximativement gaussienne symétrique, même dans le cas où l impulsion à l entrée est asymétrique. Afin de supprimer l oscillation parasite, nous rajoutons une capacité de, pf en parallèle à R c le coefficient de surtension obtenu est maintenant supérieur à,77 ( ) : z =,7. La difficulté de cette opération est la suivante : étant donnée la faible valeur de la capacité à rajouter, une mauvaise soudure peut à elle seule provoquer des oscillations à la sortie de l amplificateur transimpédance. En pratique, cette opération est donc très délicate et il est très difficile d obtenir exactement la valeur du coefficient de surtension désirée. Observons néanmoins les effets de l augmentation du coefficient de surtension : 43

16 avec une gaussienne à l entrée (ω = ns et z =.7) : Amplitude relative tenns Figure 3-7 : Forme de l impulsion à la sortie de l amplificateur (impulsion symétrique) - Sans surtension avec une gaussienne asymétrique à l entrée (ω = ns pour le front montant,.5 ns pour le front descendant et z =.7) : Amplitude relative t HnsL Figure 3-8 : Forme de l impulsion à la sortie de l amplificateur (impulsion asymétrique) - Sans surtension L oscillation est pratiquement supprimée et la forme de l impulsion reste gaussienne. De plus le fait que l impulsion soit asymétrique contribue à la diminution de l amplitude de l oscillation. En pratique, le réglage du coefficient de surtension s effectue au laboratoire «à la main», suivant la valeur de ce dernier les impulsions ont donc des formes différentes : 44

17 .5 Amplitude relative tenns Figure 3-9 : Forme des impulsions à la sortie de l amplificateur (z variant de, à,) Le montage est définitif lorsque la forme de l impulsion n est pas trop dégradée : le coefficient de surtension est proche de,77. Le circuit électronique de mise en forme du signal a donc pour effet d atténuer la dissymétrie entre les front montant et descendant de l impulsion optique. Mis à part une légère oscillation à la fin de l impulsion celle-ci est quasiment de forme gaussienne. L impulsion laser, mesurée avec un détecteur rapide et un oscilloscope rapide, a une largeur à mi-hauteur de,5 ns. Le signal expérimental que nous avons obtenu a la sortie de l amplificateur a une largeur de,5 ns et comporte une légère oscillation. Les courbes ci-dessous, théorique à gauche et expérimentale à droite, donnent la forme de l impulsion finale utilisée lors des expérimentations : Amplitude relative Amplitude relative tenns 5 5 tenns Figure 3- : Comparaison de l impulsion théorique et expérimentale Le signal obtenu expérimentalement est proche d une impulsion gaussienne (régression non-linéaire). 3.6 Influence de la bande passante sur l amplitude du signal Nous nous intéressons maintenant à la réduction de l amplitude. En effet, comme nous le verrons ultérieurement, la réduction de la bande passante a pour effet de réduire d autant le bruit. Aussi, il sera nécessaire de trouver un compromis entre les réductions du bruit et du signal pour l optimisation du rapport signal sur bruit. Les courbes ci-dessous, donnent la variation de l amplitude de l impulsion à la sortie de l amplificateur transimpédance en fonction de la bande passante, le paramètre ω à l entrée 45

18 variant de,5 à,5 ns par pas de 5 ps. Les points sont calculés en résolvant numériquement l équation : ds() t = (3.) dt où s(t) est donné par l équation (3.8), et en réinjectant la solution dans l expression de s(t). Amplitude relative ω =,5 ns ω =,5 ns,,4,6,8 Bande passante HGHzL Figure 3- : Variation de l amplitude de l impulsion en fonction de la bande passante Les courbes noires sont tracées en utilisant un algorithme de régression non-linéaire, où B représente la bande passante ou fréquence de coupure, de type Levenberg-Marquard avec le modèle suivant : η ( B) = (3.) + + B a B b B c Les coefficients a, b et c sont calculés pour une demi largeur à e - de l impulsion donnée. Nous avons ainsi défini un coefficient d atténuation η Β du à la bande passante du circuit de réception que nous utiliserons ultérieurement. Cette évaluation de l atténuation est bien entendue approximative puisque nous n avons pas considéré ni la capacité parasite associée à la résistance de contre-réaction, ni la fonction de transfert propre de l amplificateur. Cependant, ce calcul donne une première idée des effets dynamiques du circuit électronique de réception. 3.7 Influence de la bande passante sur la largeur du signal Nous nous intéressons ici à l augmentation de la largeur de l impulsion avec la diminution de la bande passante. Comme nous avons pu le constater sur la figure 3-4, les impulsions sont déformées et une dissymétrie est introduite : le temps de montée est plus rapide que le temps de descente. Cette simulation est approchée, de plus, lors d une détection et d une mesure de temps de vol par seuillage, seul le front de montée de l impulsion est considéré : nous évaluerons la largeur de l impulsion obtenue Afin d alléger les calculs, le profil d impulsion choisi à l entrée est une fonction gaussienne, nous utilisons les résultats obtenus au premier ordre dans le même but. 46

19 en calculant numériquement la demi largeur à mi hauteur sur le front de montée et en multipliant cette valeur par deux. Le profil d impulsion alors obtenu sera considéré comme gaussien. La figure cidessous donne la variation de la largeur de l impulsion en fonction de la bande passante du circuit de détection, le paramètre ω à l entrée variant de,5 à,5 ns par pas de 5 ps : Largeur HnsL 5 5,5,5,75 Bande passante HGHzL Figure 3- : Variation de la largeur de l impulsion en fonction de la bande passante Les courbes noires sont tracées en utilisant un algorithme de régression non-linéaire de type Levenberg- Marquard, où B représente la bande passante ou fréquence de coupure, avec le modèle suivant : ωb ( B) = exp 3 a B + b B + c B+ d (3.) Les coefficients a, b, c, et d sont calculés pour une demi largeur ω à e - de l impulsion, à l entrée du circuit, donnée. Comme dans le cas de l évaluation de la variation de l amplitude, nous rappelons que ce calcul est approché. 4. PRÉCISION DES MESURES Nous allons, dans cette partie, revenir sur l évaluation de la précision d une mesure de distance en télémétrie temps de vol utilisant un seuil de détection. Nous allons montrer que l hypothèse classique pour l élaboration de la formule classique (4.) n est pas valide. Nous inclurons, par la suite, l influence de la position du seuil sur le front de montée de l impulsion détectée, sur les erreurs systématique et aléatoire telles que nous les avons définies dans la première partie. O Pour plus de clarté, nous négligerons dans cette partie les erreurs dues à la turbulence atmosphérique, la taille de la tache sur la cible, la géométrie du système, celles ci étant très inférieures aux erreurs systématiques et celles introduites par le bruit superposé au signal. 47

20 4. Formulation classique Skolnik dans «Introduction to Radar Systems» [MS8] donne l erreur moyenne (écart-type) sur une mesure de distance en télémétrie temps de vol utilisant un seuil de détection sur le front montant de l impulsion laser provenant de la cible détectée : σ t tm σ z = c avec σ t = (4.) RSB où t m est le temps de montée de l impulsion laser (temps mis pour passer de % à 9% de l amplitude de l impulsion). RSB est le rapport signal sur bruit des puissances électriques. c représente la vitesse de la lumière dans le vide. La courbe ci-dessous donne l évolution de l erreur moyenne de mesure de distance (en mm) en fonction du rapport signal sur bruit pour une impulsion ayant un temps de montée variant de t m = 5 ps à t m = 3 ns par pas de 5 ps : s z (mm) t m = 3 ns t m = 5 ps RSB Figure 4- : variation de l erreur moyenne de mesure de distance On note que plus le temps de montée de l impulsion est faible meilleure est la précision de la mesure. En général, en télémétrie laser temps de vol, la mesure de distance s effectue en mesurant le temps écoulé entre deux impulsions : la première (START) émise au niveau du télémètre, la deuxième (STOP) détectée après un aller retour télémètre cible. Il convient donc d inclure dans le calcul de σ z, même si elle reste constante, l erreur moyenne due à la première impulsion : c c σz = σt = σ t + σ START t (4.) STOP La figure ci-dessous montre que les courbes de l erreur moyenne sont translatées vers le haut, la précision est limitée par le rapport signal sur bruit ( pour l exemple sur la figure 4-) de l impulsion START : 48

21 s z (mm) t m = 3 ns t m = 5 ps RSB Figure 4- : variation de l erreur moyenne de mesure de distance avec un rapport signal sur bruit de pour l impulsion START 4. Origine de la formulation classique Bertolini [GB68] détaille le calcul pour une impulsion générale s(t) de l erreur moyenne sur la mesure du temps de vol en utilisant le «théorème de la propagation des erreurs» [KP99] lorsque l écart type du bruit σ b, considéré ici comme blanc et gaussien, est petit devant la puissance crête du signal s max : σ σ t = st () t b t= tseuil (4.3) La racine du dénominateur représente la pente de l impulsion à l instant où elle est interceptée par le seuil, et est approchée par : st () s t t max m (4.4) pour finalement donner l équation : t m σ t = avec RSB s RSB = (4.5) σ max b Remarque : L équation de Skolnik donnant σ z ne peut être appliquée si le bruit ajouté au signal de référence n est plus faible devant la puissance crête du signal. De plus, la position du seuil sur le front de montée de l impulsion n est pas précisée. L effet des variations parasites de l amplitude du signal dues par exemple, à des effets d interférences sur la cible, à la propagation atmosphérique, n est également pas pris en compte : il faudrait introduire un terme de bruit multiplicatif (additionné à l amplitude) lentement variable dans le temps par rapport à la largeur du signal (impulsion) observé. Il faut également noter que l erreur systématique, consistant à choisir comme temps de référence un point quelconque sur le front de monté de l impulsion, dépendant de l amplitude de celle-ci, n est pas prise en compte. 49

22 4.3 Cas particulier d une impulsion gaussienne Nous allons, dans ce paragraphe, en utilisant le «théorème de la propagation des erreurs» inclure les effets de la position du seuil et du bruit multiplicatif dans le cas d une impulsion détectée de forme gaussienne (figure 4-3). Nous précisons une nouvelle fois que ce théorème s applique uniquement dans le cas de «petites erreurs». Nous nous intéresserons ici uniquement à l erreur introduite en réception, l erreur introduite à l émission étant considérée comme constante. Le temps de vol mesuré est alors simplement donné par τ..5.4 AenV tens Figure 4-3 : Impulsion gaussienne d amplitude 5 mv et de demi largeur ns à e - L impulsion entachée des deux bruits peut être modélisée de la façon suivante : t τ st () = ( A+ bm() t) Exp + ba() t ω (4.6) A est l amplitude de l impulsion. τ est la position du centre de l impulsion. ω est la demi largeur à e - de l impulsion. b a est un bruit additif de moyenne et d écart-type σ a associé à l électronique de conditionnement du signal. Ici nous introduisons un bruit multiplicatif b m lentement variable par rapport à b a, de moyenne et d écart-type σ b, modélisant les variations parasites de l amplitude d une mesure à l autre. Le temps t s au seuil ϕ illustré sur la figure 4-4 s écrit : t A+ bm () t, = ω ln + τ ϕ ba () t ( b b ) s a m (4.7) 5

23 t s -t en s a Figure 4-4 : tracé de t s-τ en fonction du rapport ϕ α = A Remarque : l équation (4.8) donne par la même occasion l erreur systématique t s (,) par rapport à la position τ du sommet de l impulsion. L erreur systématique totale due aux deux impulsions peut alors s écrire : A START A STOP δτ = t (,) t (,) = ω ln ln + τ τ ϕstart ϕstop START STOP START STOP (4.8) La distance réelle est donc égale à la distance mesuré moins δ τ. Si les amplitudes des impulsions ne sont pas mesurées, il est alors impossible de corriger cette erreur systématique. Revenons au calcul de l erreur aléatoire due au bruits b a et b m. Connaissant les caractéristiques des bruits b a et b m et en supposant qu ils sont indépendants, nous allons déterminer l erreur moyenne reportée sur t s en utilisant la formule suivante [BE98], où V représente la variance et E l espérance : n f V f x x V x [ (... )] n [ ] i= x (4.9) i x = E[ x ] Dans notre cas, t s dépend des variables aléatoires b a et b m, il vient : i i t t σ = σ + σ s s t s a m ba b ba, bm= m b a, bm= (4.) avec : t s ω = ba b a, bm= A ϕ ln ϕ (4.) 5

24 ts ω = bm b a, bm= A A ln ϕ (4.) L équation (4.) peut également s écrire, dans le cas où σ m est très faible : σ t s ω = α ln α RSB où ϕ α = et A A RSB = σ a (4.3) Traçons maintenant, à titre d exemple, la variation de σ = c / σ en fonction de la hauteur du seuil pour : A = 5 mv ω = ns σ = mv a σ varie de à 5 mv par pas de mv m z t s 5 s z mm a Figure 4-5 : Variation de l écart-type sur la mesure de distance en fonction de ϕ α = A Dans le cas où σ m est nul, les deux calculs donnent quasiment le même résultat (pour un seuil placé à peu près à mi hauteur), ce qui justifie la simple utilisation de la formule de Skolnik. Par contre en introduisant un σ m non nul nous remarquons que l erreur moyenne sur la mesure de distance dépend, de façon importante, de la position du seuil. De plus en calculant numériquement le seuil optimum α opt (où l erreur est la plus faible) en fonction de σ m nous observons que celui-ci diminue lorsque σ m augmente ( figure 4-6). L écart-type minimum sur la mesure de distance en fonction de σ m est également calculé numériquement (figure 4-7). 5

25 .6 4. aopt s z en mm s m en V s m en V ϕ Figure 4-6 : Variation de α opt = en fonction de σ A m Figure 4-7 : Variation de l écart-type optimum en fonction de σ m Par contre lorsque σ m est nul la valeur du seuil optimal α opt reste constante (environ.6) quelque soit la valeur de σ a : s z en mm a Figure 4-8 : Variation de l écart-type sur la mesure de distance en fonction de α (σ a de, à mv) Afin de diminuer l écart-type, il est possible d accumuler les mesures. Si le nombre de mesures moyennées est N, alors σ z est amélioré par un facteur un sur racine de N. En utilisant un moyennage de 6 mesures, Biernat et Kompa obtiennent une précision de l ordre de 3 µm avec une diode laser à simple hétérostructure possédant une puissance crête de 8 W et une largeur d impulsion de 3 ps [AB97]. Cette technique permet aux auteurs, en balayant le faisceau laser, de réaliser des images en trois dimensions d objets peu distants du télémètre (quelques centimètres). Bien évidemment la précision obtenue (3 µm) n a de sens que si la taille de la tache laser sur la cible est du même ordre de grandeur. 4.4 Mesure du temps de vol utilisant deux seuils de détection Pikkel et al. [EVP89] proposent d augmenter la précision sur la mesure de distance en utilisant un deuxième seuil sur le front de montée de l impulsion détectée. Le fait d utiliser deux seuils permet de s affranchir des variations parasites de l amplitude du signal pour une cible fixe donnée. Ces 53

26 instabilités sont dues au bruit multiplicatif de la photodiode à avalanche [FIK93], aux inhomogénéités de l atmosphère traversée par le faisceau laser... Considérons l instabilité à l instant où l impulsion réfléchie est détectée par le seuil : () b() t ϕ = s t + (4.4) où ϕ seuil est le seuil de déclenchement de la mesure, s(t) la valeur du signal à cet instant, b(t) la valeur du bruit à cet instant. En prenant le signal s(t) comme le produit d un bruit s bruit de moyenne A et d une gaussienne (forme d impulsion «traditionnelle»), il vient : t -τ ϕ = sbruit exp - + b t ω () (4.5) En utilisant deux seuils on obtient deux temps t et t via lesquels il est possible de calculer la position du sommet de l impulsion gaussienne τ en éliminant le terme de bruit multiplicatif s bruit : τ t + t t ( ) ( ) ϕ bt = ln ( t t) ϕ b t (4.6) Le fait d utiliser le sommet de l impulsion comme temps de référence permet également de s affranchir de l erreur systématique δ τ introduite précédemment dans le cas d une détection à un seuil. Si b(t) est un bruit normal de moyenne nulle, d écart type σ b et lentement variable par rapport au signal s(t), il est alors possible de calculer la variance de τ, dans le cas où les deux seuils sont voisins, en utilisant «le théorème de la propagation des erreurs» : V [] τ ω σ b ϕ ϕ = ϕ ϕ A A 4 ln ln ϕ ϕ pour σ b << ϕ (4.7) Si l on calcule de la même façon la variance de l erreur totale, en considérant les bruits additifs et multiplicatifs appliqués au signal, pour une détection à un seul seuil [YVP87], les auteurs annoncent que la méthode de détection à deux seuils donne une variance jusqu'à cinq fois plus faible. Cette méthode reste toutefois difficile à mettre en œuvre car il faudrait adapter la hauteur des seuils en fonction de l amplitude des impulsions. De plus il est toujours nécessaire d effectuer un compromis entre la précision et la portée. O Nous avons montré dans ce paragraphe les limites théoriques en terme de précision sur la mesure de temps de vol classique. La précision dépend fortement de la position du seuil sur le front de monté de l impulsion. En général, le choix de la position du seuil est dicté par des considérations de détection : le seuil est positionné de telle façon que pour une probabilité de fausse alarme donnée, la probabilité de 54

27 détection soit optimale (partie I). L optimisation de la précision par l ajustement du seuil est alors impossible. La sensibilité de la mesure dépend donc du choix du seuil. En général, le seuil de détection est choisi en utilisant le critère de Neyman Pearson [JM9], pour un taux maximum de fausse alarme souhaité. Par exemple si l on souhaite avoir une probabilité maximale de fausse alarme de -9, le seuil sera de 6 σ a dans le cas d un bruit gaussien. Le seuil est donc positionné juste au dessus du niveau de bruit dans une zone où le temps référence déterminé par l intersection du seuil avec le signal est assujetti à une importante incertitude. En effet, prenons comme exemple une impulsion d amplitude A = 5 mv soumise à un unique bruit additif d écart type σ a = mv (RSB = 5 ou 34 db), et un seuil positionné à 6 σ a = 6 mv. Dans ce cas l écart type sur une mesure de distance est de l ordre de cm. Dans le cas d une détection par seuillage analogique il faut donc établir un compromis entre la précision souhaitée et la sensibilité. Considérons maintenant, toujours avec les mêmes signaux, l erreur systématique donnée par la formule (4.8). Si le seuil, sur l impulsion START, est positionné à 6%, de façon a réduire l écart-type (erreur aléatoire), la distance mesurée sera surestimée de cm. Finalement, la précision sur la mesure de distance est de l ordre d une dizaine de cm. Il faut toutefois noter qu une mesure de l amplitude des impulsions et la connaissance de leur largeur permettrait de corriger facilement cette erreur systématique importante, et permet d atteindre une précision de quelques cm. L utilisation de deux seuils sur le front de monté de l impulsion montre que le fait de choisir le sommet de l impulsion comme temps référence permet de s affranchir des variations parasites de l amplitude et de l erreur systématique. Cependant, la variance théorique dépend encore du choix des seuils. 5. PORTÉE La portée d un télémètre est limitée par les différentes sources de bruit provenants du circuit de détection transimpédance et de l environnement, également par la puissance de l émetteur laser ou l ouverture de l optique de réception, et bien sur par la sensibilité et le gain du photodétecteur utilisé. Malgré cela, les télémètres temps de vol restent performants dans des conditions industrielles difficiles, par exemple, Määttä et al. utilisent un télémètre à diode laser pour contrôler le profil de surfaces à haute température (4 C) [KM93]. Dans ce paragraphe, nous allons établir les équations qui permettent de calculer la portée d un télémètre utilisant une détection directe avec une photodiode PIN et une photodiode à avalanche. Remarque : Nous considérerons par la suite, en première approximation, que la totalité de la tache sur la cible est interceptée par l optique de réception du télémètre, en effet, une source optique comme celle utilisée dans le télémètres développés au Léti (microlaser déclenché), permet d obtenir via une simple optique de collimation de très faibles divergences de l ordre de, mrad. Nous verrons plus tard que cette hypothèse est remise en question dans le cas où les axes d émission et de réception ne sont pas parallèles et dans le cas de faibles distances. O 55

28 5. Détection directe avec une photodiode PIN Dans un premier temps nous écrirons les expressions des puissances du signal reçu et des différentes sources de bruit, nous en déduirons par la suite l expression du rapport signal sur bruit, le but de ce calcul étant d évaluer la portée pour une puissance laser crête donnée dans le cas d une photodiode PIN en atteignant un rapport signal sur bruit déterminé par les considérations de détection (voir Partie I). 5.. Signal reçu La puissance du signal électrique à la sortie du détecteur est donnée par : ( η ( ) ) P = B PR R (5.) s B r c R= ηe/ hυ est la réponse du détecteur, R c est la résistance de contre réaction du montage transimpédance et η Β (B) est un coefficient d atténuation dépendant de la bande passante B, il sera définit par la suite. La puissance optique du signal utile incident sur le détecteur est donnée par l équation des radars laser [AVJ9] dans le cas où la cible intercepte tout le faisceau laser : a Pr = ρ Pé T a Te Tr (5.) π z avec a l aire d ouverture de l optique et z la distance cible-télémètre. P é est la puissance optique émise par la source laser, T e et T r les transmissions des optiques en émission et réception. T a représente la transmission atmosphérique : T = + z (5.3) exp ( β β ) a m a où β m est le coefficient d extinction moléculaire et β a est le coefficient d extinction du aux aérosols présents le long du chemin optique du faisceau laser. Ces deux coefficients dépendent de la longueur d onde. Dans les cas des lasers Er:Verre et Nd:YAG (respectivement, ayant une longueur d onde de,54 µm et,6 µm) ce coefficient d extinction moléculaire est au maximum égal à, km - (pour une température de C et un taux d humidité de %), cette valeur est particulièrement faible devant le coefficient d extinction dû aux aérosols, c est pourquoi elle peut être négligée. Reste à déterminer β a. L extinction d une impulsion laser due à la diffusion et à l absorption d aérosols dépend de la concentration, de la distribution en taille et de la composition de ces aérosols. Toutefois, ces informations sont généralement indisponibles. Par contre, comme β a est proportionnel à la concentration en aérosols et varie peu avec la longueur d onde, nous pouvons le relier au coefficient d extinction dans le visible β v. En effet cette valeur est donnée par la formule empirique de Koschmieder : 3,9,55 q βa = V λ (5.4) 56

29 β a est le coefficient dit de «Mie», dans cette formule et pour les valeurs de q, V est exprimé en km et λ en µm. q est donné par : q /3 =, pour une distance de visibilité inférieure à 7 km.,58 V q =,3, pour une distance de visibilité supérieure à 7 km.. V = 5 km T a. V = km. V=5km z HkmL Figure 5- : Transmission atmosphérique en fonction de z par la formule de Koschmider La formule de Koschmieder est encore donnée dans les ouvrages de référence comme «The infrared handbook» [WLW93]. Cependant, avec le développement des algorithmes de simulation de l extinction atmosphérique, cette formulation est quelque peu dépassée. En effet, ces codes permettent de simuler numériquement la transmission atmosphérique dans diverses conditions que ne prévoit pas la formule de Koschmider : modèles urbain, rural, maritime ou encore brouillard et pluie [DLH94][JLM99]. Afin d obtenir facilement les ordres de grandeur nécessaires à la détermination de la portée, nous conserverons toutefois cette formule. La courbe ci-dessous représente la variation de la puissance optique P r reçue en fonction de la distance entre le télémètre et la cible z : Pr en µw zenm Courbe tracée avec : ρ =,3 P = kw é a = 7 mm TT =,8 e r V = km λ =,64 mm Figure 5- : Variation de la puissance optique P r reçue en fonction de la distance z 57

30 5.. Sources de bruit La puissance moyenne de bruit thermique du détecteur est donnée par : Pth = 4kTB (5.5) La puissance moyenne de bruit de l amplificateur électronique, où i est le courant de bruit donné par le constructeur de l amplificateur transimpédance, est donnée par : P = i BR (5.6) amp amp c La puissance moyenne de bruit d obscurité délivrée lorsque aucune énergie n est incidente sur le détecteur est donnée par : P = ei BR (5.7) obs obs c La puissance moyenne de bruit quantique dépendante du signal et produite lors du processus de détection est donnée par : P = epr BR (5.8) q r c La puissance moyenne de bruit parasite délivrée par le détecteur lorsque celui ci est illuminé uniquement par la lumière ambiante due à l éclairement solaire est donnée par : P = ep R BR (5.9) p ps c Comme le signal reçu, la puissance parasite P ps, due à l éclairage ambiant, en l occurrence la lumière solaire, est incidente sur le détecteur. Les données relatives à l optique de réception sont : E o E R d f q cible diffusante (albédo : r) Figure 5-3 : Données relatives à l optique de réception l aire d ouverture de l optique : a la focale de l optique : f le rayon de la surface du détecteur : R d E λ est l éclairement solaire à la longueur d onde λ (W/m².nm) λ est la bande passante du filtre optique en réception (nm) L éclairement solaire total résultant est donc : 58

31 Es = E (5.) λ λ et la luminance est donnée par : E s L = ρ (5.) π L éclairement sur l optique de réception est donné par : θ Eo = L Ω= ρ Es cos (5.) En considérant que θ = Rd / f est petit devant l unité et en utilisant le développement limité de la fonction cosinus, l équation ci-dessus peut s écrire : E Rd o = ρ Es f (5.3) La puissance parasite s écrit finalement : Rd ps = o a r = ρ a r s P ae T T a T T E f (5.4) 5..3 Rapport signal sur bruit et puissance minimale à la limite du bruit Le rapport signal sur bruit de la mesure est donné par : RSB PIN Ps = P + P + P + P + P th amp obs q p (5.5) RSB PIN ( η ( ) R) B B Pr Rc = 4kBT + ebr P R+ P R+ I + i BR ( ) c r ps obs amp c (5.6) soit : RSB PIN α Pr = β P + χ r (5.7) avec : α ( η ( B) R) B =, e B β = R et 4kT χ = + ( eiobs +R Pps ) + iamp (5.8) R c Le bruit est évidemment réduit lorsque la bande passante est réduite, cependant le rapport signal sur bruit dépend de la bande passante B avec le terme α ci-dessus : nous verrons par la suite comment choisir B afin d obtenir le meilleur rapport signal sur bruit. En résolvant l équation (5.7) pour la 59

32 puissance reçu P r on obtient la puissance optique incidente sur le photodétecteur pour obtenir un rapport signal sur bruit donné : P r,min β RSB PIN 4αχ = α + + β RSB PIN (5.9) C est cette équation qui permet de calculer la puissance minimale à la limite du bruit, l équation (5.8) permet de calculer la puissance nécessaire émise par le laser pour un rapport signal sur bruit RBS PIN, une distance de visibilité V et une distance cible télémètre z. Cette même équation, pour une puissance émise donnée, permet de calculer la distance maximale atteinte où le signal, possédant un rapport signal sur bruit RSB PIN, peut être détecté : autrement dit, nous pouvons ainsi calculer la portée d un télémètre temps de vol. 5. Détection directe avec une photodiode à avalanche Dans un premier temps nous écrirons les expressions des puissances du signal reçu et des différentes sources de bruit, nous en déduirons par la suite l expression du rapport signal sur bruit dans le cas d une photodiode à avalanche comme photodétecteur. 5.. Signal reçu La puissance du signal électrique à la sortie du détecteur est donnée par : ( η ( ) ) P = B MPR R (5.) s B r c M, le gain de la photodiode à avalanche varie avec la tension appliquée aux bornes de la structure de la photodiode à avalanche. Cette variation n est pas à priori linéaire, elle est mesuré expérimentalement par le constructeur qui inclue alors une courbe dans la fiche technique du détecteur ; quelque fois une formule empirique est donnée à titre indicatif pour des conditions particulières. La puissance optique P r du signal utile incidente sur le détecteur est donnée de la même manière que dans le calcul précédent par l équation (5.). 5.. Sources de bruit La puissance moyenne de bruit thermique du détecteur est donnée par l équation (5.5). La puissance moyenne de bruit de l amplificateur électronique est donnée par (5.6). En théorie, la puissance moyenne de bruit quantique associée à une photodiode à avalanche est proportionnelle au signal et au carré du gain M de la photodiode. En pratique, toutefois, la quantité de bruit dépend du cas où se sont les électrons ou les trous qui sont responsables du processus d amplification. Le bruit quantique est approximativement proportionnel à M n, où n est l index d excès de bruit ( n 3 ) [AY85]. Si le gain est produit soit par les trous soit par les électrons alors n =. Si les deux types de porteurs sont responsables du gain alors n = 3. Il est donc possible d exprimer le bruit supplémentaire à M par un facteur d excès de bruit F PDA qui est approximativement égal à M n-. 6