I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique

Transcription

1 I Moyee, varace et écart-type d ue sére statstque Sére statstque dscrète : Eemple d ue sére statstque dscrète : Preos le cas d ue classe de élèves qu réalset u devor oté sur 5 La sére statstque dscrète suvate présete les otes des élèves : Note Total Nombre d élève 8 9 O peut doc vor par eemple que élèves ot obteu la ote de 4/5 La talle de cette sére est, c est-à-dre le ombre d élèves O peut égalemet calculer les fréqueces : Note Total Nombre d élève 8 9 Fréquece 8 9 D ue faço géérale, o ote : Valeur p Effectf p Fréquece f = f, effectf total, est auss appelé talle de la sére = f Total p p = Moyee : La moyee de cette sére statstque dscrète, gééralemet otée, est défe par : Page sur 6

2 = p p sot e plus codesé : p = = Remarque : p représete le ombre de valeurs dfféretes Das l eemple du, la moyee est doc : 6 moyee = = = 58 moyee = = ( ) =,5 Varace : La varace d ue sére statstque dscrète est gééralemet otée V et est défe par : O pourrat égalemet démotrer que : p V = = p = ( ) V = Das l eemple du, la varace est doc : 6 58 varace = V = = 58 V = ( 0² + ² + 8 ² + 9 ² + 4² + 5² ) V = ( ) =, Page sur 6

3 4 Ecart-type : L écart-type d ue sére statstque dscrète est gééralemet oté σ et est déf par : σ = V L écart-type est la race carrée de la varace L écart-type représete l écart moye des valeurs de la sére par rapport à sa moyee Ue sére statstque très dspersée (dot les valeurs sot très élogées de la moyee) aura u écart-type mportat A l verse, ue sére dot les valeurs sot très proches de la moyee aura u écart-type fable Das l eemple du, l écart-type est : σ,, 06 II Effet d ue trasformato affe Sot ue sére statstque (, ) avec p et de talle O ote la moyee de cette sére et d écart-type σ Cosdéros a et b, deu réels O déft la sére statstque (, ) par la trasformato affe suvate : y = a + b y avec p et de talle Cette ouvelle sére statstque a pour moyee y = a + b et pour écart-type σ y = a σ III Médae et terquartles Quartles : Cosdéros ue sére statstque, de talle, et dot les termes sot ragées das l ordre crossat ( ) Remarque : les représetet c les termes de la sére et o les valeurs Das l eemple du I o aurat doc = 0, =, =, 4 =, 5 =, = 4, = 5 Page sur 6

4 - Le premer quartle, gééralemet oté Q est la plus pette valeur de la sére pour laquelle au mos ¼ (5%) des doées sot féreures ou égale à Q - Le trosème quartle, gééralemet oté Q est la plus pette valeur de la sére pour laquelle au mos ¾ (75%) des doées sot féreures ou égale à Q O déft égalemet l tervalle terquartle : [ ; ] L écart terquartle se déft par : Q Q Q Q Médae : La médae d ue sére est la valeur séparat les termes e deu «groupes» de même effectf Autremet dt, s o ote M la médae, o peut dre que au mos ½ (50%) des doées sot féreures ou égales à M ET au mos ½ des doées sot supéreures ou égales à M Méthode de calcul de la médae : S est mpar (c est le cas le plus facle), la médae est le terme cetral : M = + S est par, la médae est la moyee des deu termes cetrau : M = + + Das l eemple du I, = est doc mpar, o a doc M = + = = Eercce d applcato : Eocé : Des bologstes capturet 0 trutes das ue rvère et les mesuret Ils obteet les chffres suvat (e cm, classés das l ordre crossat) : =, = 0, = 0, 4 =, 5 =, 6 = 4, 7 = 4, 8 = 5, 9 = 6, 0 = 6, 8 =, = 7, = 8, 4 = 9, 5 = 9, 6 =, 7 =, 8 =, 9 = 5, 6 = 0 6 Doer la moyee, la varace, l écart-type, le premer quartle, le trosème quartle, l tervalle terquartle, l écart terquartle et la médae de cette sére Page 4 sur 6

5 Résoluto de l eercce : La talle de cette sére est 0 (l y a 0 élémets das la sére) La moyee est la somme de toutes les valeurs dvsée par la talle de la sére : moyee = 6, 7 Pour calculer la varace, o repart de la formule : p = ( ) V = V = ( 8 6, 7) + ( 0 6, 7) + ( 6,7) + ( 4 6,7) + ( 5 6,7) + ( 6 6,7) + ( 7 6,7) 0 ( 7 6, 7) + ( 8 6, 7) + ( 9 6, 7) + ( 6, 7) + ( 6, 7) + ( 5 6, 7) + ( 6 6, 7) V =,7 L écart-type est la race carrée de la varace : σ = V =,7 4,77 Détermato des premer et trosème quartles : Il y a 0 élémets e tout =, doc le premer quartle Q = 5 = Le premer quartle vaut ( est doc la plus pette valeur pour laquelle au mos ¼ des doées sot féreures ou égale à ellemême) =, doc le trosème quartle Q = 5 = 9 Le premer quartle vaut 9 (9 est doc la plus pette valeur pour laquelle au mos ¾ des doées sot féreures ou égale à elle-même) L tervalle terquartle est doc [ ;9 ] L écart terquartle vaut Q Q = 9 = Calculos la médae : c, = 0 est par doc M = = = = 6 Page 5 sur 6

6 IV Dagrammes e boîte Les dagrammes e boîte, égalemet appelés boîtes à moustaches ou dagrammes de Tukey, permettet de représeter vsuellemet l esemble d ue sére statstque Méthode de costructo : Sur u ae horzotal (ou vertcal), o place les cq valeurs suvates : le mmum, le mamum, la médae, le premer quartleq et le trosème quartle Q O costrut u rectagle horzotal (ou vertcal) allat de Q à Q So grad côté est doc égal à l écart terquartle Q Q Ce rectagle est séparé par u segmet passat par la médae O ajoute esute deu segmets : l u allat de Q au mmum et l autre allat de Q au mamum mmum er quartle médae ème quartle mamum Repredre la sére statstque du III et costrure le dagramme e boîte de cette sére : Page 6 sur 6