2. Statistique descriptive

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1 - -. Statstque descrptve. Statstque descrptve «Ctoyes! Cessez de crore yeu fermés les statstces! Appreez à jauger» «Les corrélatos qu vous motret que plus l y a de médecs plus o meurt jeue!». Quelques erreurs courates e statstque Des corrélatos qu s etedet comme chèvre et chou S l o écrt A = B o a ue relato foctoelle. La coassace de B déterme celle de A et récproquemet. Das la pratque la laso etre deu gradeurs est souvet mos étrote, quad B augmete A augmete égalemet mas d ue faço mos régulère et avec des eceptos. As l este ue corrélato etre la cosommato d'alcool des automoblstes et la proporto d'accdets qu ls provoquet. Das ce cas, l s agt be d ue relato de cause à effet et l o peut dscerer la cause sas héstato ; ce e sot pas les accdets qu ctet les automoblstes à bore! Mas les choses e sot pas toujours auss évdetes. Et parfos les deu gradeurs ot aucu rapport etre elles mas dépedet d'u trosème facteur. II e est souvet as des séres chroologques (l évoluto de phéomèes das le temps). L eemple de la corrélato etre l espérace de ve et la cosommato de vade est typque à cet égard. La représetato graphque de cette corrélato motre très be que l espérace de ve crot e même temps que la cosommato de calores amales. Mas l y a cepedat pas de cause à effet etre les deu phéomèes cotraremet à ce que fat crore la jutaposto de ces chffres pour la smple et boe raso que le fat de e mager que de la vade par eemple accrot pas espérace de ve mas la rédut. Das le cas préset l'espérace de ve et la cosommato de vade évoluet de par à cause d'u trosème facteur qu est le veau de développemet écoomque des dfférets pays. Ala Arautovc, Fracesco Frazos

2 - -. Statstque descrptve Des classemets d'etreprses eptes Ue etreprse achète à l'etéreur des matères premères, éerge, produts sem-fs, etc. et les trasforme e produts fs. Sot l'etreprse Stabe qu achète 30 mllos de fracs de produts à l'etéreur pour ue producto (chffre d'affares ou motat des vetes) égale à 00 mllos. Sa cotrbuto à la producto atoale ou «valeur ajoutée» est égale à = 70 mllos de fracs. Sot ue autre etreprse, appelos la Come, dot les achats s élèvet à 80 mllos pour u chffre d'affares égale à 00 mllos (cela peut arrver s elle trasforme peu les matères premères achetées). Sa valeur ajoutée est égale à 0 mllos de fracs. Chffres d'affare (e mllos de Frs.) Le classemet d après la valeur ajoutée, le seul ratoel pour apprécer l mportace écoomque des etreprses, doe les résultats suvats :. Stabe 70. Come 0 0 Stabe V.A. Valeur ajoutée Come Mas s l'o cosdère le chffre d affares o aboutt au classemet suvat :. Come 00. Stabe 00 C.I. Cosommato termédare (achats etéreurs) Coséquece avec u pr du pétrole élevé les socétés de raffage ot des chffres d'affares flatteurs. Que le pr du pétrole quadruple souda et elles s'evolerot das le classemet des etreprses sas que leur cotrbuto à l'écoome atoale augmete pour autat. Alors pourquo classe-t-o les etreprses d après leur chffre d affares et o d après leur valeur ajoutée? Tout smplemet parce que cette derère est plus dffcle à coaître. C'est pour la même raso que l'o classe les eplotatos agrcoles d'après leur surface alors qu u hectare de pacage magre est ullemet comparable à u hectare de cultures florales sous serre! Des graphques vras qu metet comme des arracheurs de dets Re de plus facle que de metr avec des chffres vras. II sufft de costrure des graphques dot l'ordoée e part pas de zéro pour accetuer ue tedace «trop légère.» As, la légère basse de la cosommato de bère par habtat e Susse etre 98 et 984 peut être terprétée de maère fort dfférete selo l'mpresso qu'o recherche. Ala Arautovc, Fracesco Frazos

3 Statstque descrptve Des tau de atalté et de mortalté qu se mordet la queue Grâce à des tau de atalté élevés das le passé la populato des Pays-Bas est relatvemet jeue, plus que celle de la Frace. Elle compte de ce fat ue assez boe proporto de femmes e âge de procréer et ue proporto relatvemet fable de persoes âgées. Il e résulte que le tau de atalté ( ) dépasse le tau de mortalté (8 ) alors que le ombre d efats par femme, de l'ordre de,5 est très fereur à celu qu serat écessare (,) pour assurer le reouvellemet de la populato das le log terme. Les Pays Bas sot doc déjà e décl démographque mas celu-c est caché par des tau de atalté et de mortalté trompeurs, même s ls sot «statstquemet vras». «Il y a tros sortes de mesoges : les mesoges smples, les mesoges affreu et les statstques!» (Bejam Dsrael ) «Je e cros au statstques que lorsque je les a mo-même falsfées.» (Wsto Churchll ) «Les statstques, c'est comme le bk. Ce qu'elles révèlet est suggestf. Ce qu'elles dssmulet est essetel.» (Aaro Leveste 3 ). Itroducto Statstques, equêtes, sodages, moyees, dces... sot dffusés à logueur de coloes das les jourau écrts et télévsés. Ces travau sot souvet, mas pas toujours, scetfquemet rgoureu. Les médas s'e fot l'écho sous des formes très dscutables : les llustratos graphques relèvet parfos de la pure fatase. L'usage de la statstque devet abusf. Le grad publc reste perplee et e coclut: "o fat dre ce que l'o veut au chffres". U peu de culture mathématque permet d'évter les pèges dûs à ue terprétato hâtve de chffres. La statstque est l'actvté qu cosste à recuellr, trater et terpréter u esemble de doées d'formatos. Le tratemet des doées cosste à produre des statstques. Parm les dfféretes braches que regroupe cette actvté, l paraît écessare d'e dstguer tros prcpales : La collecte des doées. Le tratemet des doées collectées est auss appelé la statstque descrptve. L'terprétato des doées, auss appelée l'férece statstque, s'appue sur la théore des sodages et la statstque mathématque. Cette dstcto e cosste pas à défr pluseurs domaes étaches. E effet, le tratemet et l'terprétato des doées e peuvet se fare que lorsque celles-c ot été récoltées. Récproquemet, la statstque mathématque précse les règles et les méthodes sur la collecte des doées, pour que celles-c pusset être correctemet terprétées. Statstque descrptve Le but de la statstque est d'etrare des formatos pertetes d'ue lste de ombres dffcle à terpréter par ue smple lecture. Nous allos trater le sujet de la statstque descrptve. Descrptve sgfe que l'o part de doées estates. La statstque descrptve a pour but de préseter, e u pett ombre de résultats, des doées cocerat ue populato trop ombreuse pour que la lste eplcte de ses caractérstques sot compréhesble: à quo servrat e effet ue lste alphabétque de tous les Susses avec leur âge, leur professo et leur salare? La statstque descrptve propremet dte se propose de détermer les caractérstques de ces gradeurs (âge, professo ou salare), sas passer par la lste ehaustve, e se basat sur des procédés de gééralsatos fables. Premer mstre brtaque Premer mstre brtaque Ecoomste amérca Ala Arautovc, Fracesco Frazos

4 Statstque descrptve L'utlté de ces caractérstques géérales résde d'ue part das ue mse e évdece d'ue certae réalté, et d'autre part das la détermato des doées écessares au calculs des probabltés, par eemple pour l'établssemet de prévsos, de codtos d'assuraces ou pour la mse au pot d'u système epert (crtères de décso). Descrpto trsèque d'ue dstrbuto d'observatos Sas aucu apror sur la questo que l'o se pose, quelques statstques smples permettet de la décrre: la moyee la médae ɶ le mode la varace v l'écart-type σ tervalle sem-quartle I le mamum et le mmum Les tros premers (à gauche) sot souvet ommé «crtères de posto», et les autres etret plutôt das la catégore des «crtères de dsperso.».3 Collecte de l'formato, dépoullemet de l'formato et vocabulare La collecte de l formato peut être : drecte: sodages drecte: o utlse des doées estates (blas,...) Cette collecte dot être objectve avec suffsammet de doées mas sas ecès pour rester utlsable. L esemble eamé est appelé la populato (pas écessaremet des ges). Par eemple : des persoes, des objets, des leu, des momets, L dvdu est u l élémet de la populato. O s téresse alors à so caractère qu est la proprété subjectve qu ous téresse (âge, see, ombre d efats, talle, ) O dstgue dfférets types de caractère : qualtatf (par eemple catégore professoelle, couleur d'u objet, part poltque) quattatf dscret 4 (par eemple ombre d'efats ou ote trmestrelle) quattatf cotu 5 (par eemple logueurs, vtesses des partcules d'u gaz,...) Das le cas quattatf, o parle auss de varable statstque, plutôt que de caractère. O reporte esute les caractères suvat ue partto (partage d'u esemble e sous-esembles dsjots et ehaustfs). II est be sûr absolumet dspesable que le caractère de chaque dvdu observé pusse être reporté de faço clare et uvoque das u et u seul sous-esemble de la partto. Eemples de parttos: see, âge (e aées), traches de reveu etc. La populato est doc l'esemble des dvdus sur lesquels porte ue étude. Ses dvdus sot classés selo u ou pluseurs caractères suvat des parttos qu sot des classes. Eemple : La populato est l'esemble des vélos produts par CIPEDVELO e 00. L'étude porte sur le type de vélos (VTT, vlle, course,...). Le caractère est le type de vélos et les classes sot : VTT, course, vlle,... U dvdu est u vélo. 4 varable umérque 5 l peut predre toute valeur das u certa tervalle réel. Ala Arautovc, Fracesco Frazos

5 Statstque descrptve Eemple : Lors d'ue course de vtesse les 40 partcpats ot ms les temps suvats pour effectuer le parcours Temps Cetre des classes Effectfs de chaque classe (Classes) [43-45[ 44 [45-47[ 46 3 [47-49[ 48 7 [49-5[ 50 [5-53[ 5 8 [53-55[ 54 6 [55-57[ 56 3 La populato est : les 40 partcpats U dvdu est : u coureur Le caractère quattatf cotu est : le temps (varable statstque cotue) Les classes sot : les tervalles des temps Les varables statstques cotues sot les dfférets temps prs das les dfférets tervalles. O cosdère ces varable sous la forme dscrète e preat le cetre des classes, cela ous permettra de smplfer l étude : = 44, = 46,... Et das chaque cas o a l effectf de chaque classe : =, = 3,... O passe du cas cotu à u cas dscret e utlsat les cetres des classes Le cetre de classe est égal à la moyee des etrémtés de la classe..4 Vsualsato des doées, effectfs et fréqueces Il est possble de passer drectemet à la parte calculatore, mas l est éamos apprécable de vsualser ces doées. La représetato graphque fat égalemet parte de la statstque descrptve. Les doées brutes sot préalablemet regroupées 6 et mses sous forme de tableau trées e classes ehaustves (partto), d'ampltudes à cho, dot o répertore l'effectf ou la fréquece. Les deu types de graphques les plus courats sot : 35.00% 30.00% Nors;.50% Bleus;.50% 5.00% 0.00% 5.00% Nosettes; 9% Verts; 5.00% 0.00% 5.00% 0.00% Bleus Verts Marros Nosettes Nors Dagramme à bades Marros; 3.5% Dagramme crculare 6 Le fat qu'l y a u cho mplque écessaremet ue certae subjectvté. Ala Arautovc, Fracesco Frazos

6 Statstque descrptve Défto : La fréquece (relatve) d'ue classe est défe par : f classe = Effectf _ de _ la _ classe Effectf _ total eprmée gééralemet e %. Eercce : 8 élèves ot passé u eame. Voc, e vrac, leurs résultats : Rager ces résultats das u tableau et les llustrer à l'ade d'u dagramme à bade. Actvté : ateler formatque. Remarque : Das le cas où le caractère est quattatf, o parle alors de varable statstque dscrète ou cotue, l est alors possble de caractérser l formato. L dée est de quatfer des mpressos comme grad, plus, large, trouver des ''thermomètres" umérques qu correspodet au proprétés qualtatves structurelles d'u esemble de doées statstques. O dstgue deu types prcpau : les mesures de cetrage et les mesures de dsperso.5 Mesure de tedace cetrale (crtères de posto) : moyee, médae, mode, Les graphques doet ue boe dée de la maère dot u caractère est dstrbué, mas o cherche souvet à llustrer cette dstrbuto de maère beaucoup plus succcte par quelques ombres caractérstques. Parm ceu-c les mesures de la tedace cetrale jouet u rôle essetel. La plus coue de ces mesures est la moyee. Mas o utlse d autres mesures ecore comme : la médae, le mode, Ala Arautovc, Fracesco Frazos

7 Statstque descrptve Moyee arthmétque : (évéemets solés) C'est la somme des doées dvsée par le ombre de ces doées: = = = Eercce : S les ombres suvats représetet des âges : Calculer l'âge moye de ces persoes. = as Moyee podérée : (évéemets regroupés ou podérés) S o a fos la doée, fos la doée,... avec respectvemet les fréqueces f, f,... et = k, alors la moyee est doée par : k k = = = Eemple : 5 élèves ot passé u eame et o a relevé : Note Effectf Note podérée k Fréquece f 4 % 4 8 % % % % 6 8 % Sommes : = 5 k =00 00 % = O a : k 00 = = = 4 5 = 9 35% Effectf Fréquece 30% 5% 0% 5% 0% 5% % Notes d'u eame Notes d'u eame Ala Arautovc, Fracesco Frazos

8 Statstque descrptve Remarque mportate : La moyee est la plus famlère et la plus utlsée des mesures de tedace cetrale. Elle est fluecée par toutes les valeurs de et observées et à ce ttre malheureusemet très sesble au valeurs etrêmes, au pot d e perdre parfos ue boe parte de sa représetatvté, surtout das les échatllos de pette talle. Eemple : Voc s salares mesuels : 3' '00.- 4' ' ' '500.- La moyee est : = 0'000. Frs.!!! Eemple 3 : Lors d'ue course de vtesse les 40 partcpats ot ms les temps suvats pour effectuer le parcours Temps Cetre Effectf Temps podéré Fréquece (secodes) f [43-45[ % [45-47[ ,5 % [47-49[ ,5 % [49-5[ ,5 % [5-53[ % [53-55[ % [55-57[ ,5 % O a : = Sommes : = 40 k 00 = = = 50,5 40 k =00 00 % = Effectf Fréquece 30% 5% 0% 5% 0% 5% % Temps d'ue course de vtesse Temps d'ue course de vtesse Eercce 3 : Calculez la moyee des otes de l'eercce Eercce 4 : O a classé u groupe de persoes selo la poture de leurs peds. Voc les résultats e vrac : 40, 36, 36,, 39, 39, 39, 39, 4, 4, 39, 39, 36, 36, 40, 40, 40, 3, 3, 3, 33, 37, 37, 37, 37, 37, 33, 33,, 38, 38, 38, 38, 34, 34, 34, 35, 40, 40, 40, 40, 35, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 35, 35,35, 35, 35, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 37, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 37, 37, 40, 40, 40, 40, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 38 a) Calculez la fréquece de chaque poture b) Calculez la moyee des potures c) Représetez ces résultats sur u dagramme à bades Ala Arautovc, Fracesco Frazos

9 Statstque descrptve Eercce 5 : Lors d'u festval de céma, les flms ot été classés selo leur durée. Voc les résultats obteus : Durée (m) effectf a) Quelle est la populato étudée? [60;70[ 3 b) Qu'est-ce qu'u dvdu? [70;80[ 6 c) Quel caractère étude-t-o? [80;90[ 9 d) Réalsez ue étude complète : [90;00[ 0 Fréqueces [00;0[ 7 Moyees [0:0[ Dagramme U autre ombre mportat assocés à u caractère est : Le mode Le mode est la classe ou les classes qu ot la plus grade fréquece (l effectf plus grad). C est la valeur la plus fréquete das ue sére de doées. Remarques :. Das certaes dstrbutos l y pluseurs modes (multmodales).. Le mode est sesble au valeurs etrêmes 3. Il est mos utlsé que la moyee ou la médae. Eemple : 5 élèves ot passé u eame et o a relevé : Note Effectf Fréquece f 4 % 8 % % % % 6 8 % Le mode vaut 5. La ote 5 est la plus fréquete Effectf Notes d'u eame Eemple : Lors d'ue course de vtesse les 40 partcpats ot ms les temps suvats pour effectuer le parcours Temps (secodes) Effectf Fréquece f [43-45[ 5 % [45-48[ 3 7,5 % [48-49[ 7 7,5 % [49-5[ 7,5 % [5-53[ 8 0 % [53-55[ 6 5 % [55-58[ 3 7,5 % Le mode 7 vaut [49-5[. Le temps le plus fréquet est das la classe [49-5[. Effectf Temps d'ue course de vtesse 7 O doe parfos la valeur du cetre de la classe c le mode vaudrat alors 50. Ala Arautovc, Fracesco Frazos

10 Statstque descrptve S l covéet majeur de la moyee est sa sesblté au valeurs etrêmes, l este u autre dcateur mportat, cette fos sesble au valeurs etrêmes, c'est : La médae La médae ɶ est ue valeur telle que la moté des valeurs de l échatllo lu sot féreures ou égales et l autre moté supéreures ou égales. La médae est la valeur qu sépare la populato e deu groupes égau. C'est à dre que 50% de la populato est au dessous de la médae et l'autre 50% est au dessus. Eemple : Voc s salares mesuels : 3' '00.- 4' ' ' '500.- La moyee est : = 0'000. Frs Alors que la médae est : ɶ = = 4'800 Remarque: La médae est pas affectée pas les valeurs etrêmes de la dstrbuto. Das les dstrbutos asymétrques, la médae doe ue dée plus «équlbrée» de la tedace cetrale que la moyee. a) La médae pour u échatllo dscret Das le cas d u échatllo dscret de valeurs de ragées das l ordre crossat : 3... la médae ɶ est la valeur du mleu. + + S mpar alors ɶ = + s par alors ɶ = (moyee des deu valeurs cetrales) Eemple : 5 élèves ot passé u eame et o a relevé : Note Effectf Fréquece f 4 % 8 % % % % 6 8 %,,,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6 Effectf Notes d'u eame La médae vaut 4 car c est la 3 ème ote sur les 5. ɶ = 4 Ala Arautovc, Fracesco Frazos

11 - -. Statstque descrptve Eercce 6 : Pour chaque sére c-dessous, détermer la médae. a),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,0 b),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,0,00 c),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,0,50000 d),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,000, Eercce 7 : Pour chaque sére (detque à l'eercce 6), calculer la moyee. a),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,0 b),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,0,00 c),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,0,50000 d),,,,,,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,8,00,000, Que remarque-t-o? Eercce 8 : Détermer la médae de chaque statstque. Note Effectf Effectf cumulé Note Effectf Effectf cumulé Note Effectf Effectf cumulé Eercce 9: (cas avec ue valeur etrême) L'etreprse de Gles Baytes est composée de 7 persoes. C-dessous, la paye mesuelle de chaque employé (e U) 000 U 3000 U 000 U 000 U 000 U 000 U 000 U 000 U U 000 U 3000 U 000 U 3000 U 000 U 000 U 000 U 3000 U a) classer ces résultats das l'ordre crossat b) calculer leur moyee c) calculer leur médae d) représeter ces résultats sur u dagramme à bade e) dquer la moyee et la médae Ala Arautovc, Fracesco Frazos

12 - -. Statstque descrptve Eercce 0 : (cas sas valeur etrême) L'etreprse Equty est composée de 7 persoes. C-dessous, la paye mesuelle de chaque employé (e U) 000 U 000 U 000 U 3000 U 3000 U 000 U 000 U 000 U 000 U 000 U 000 U 3000 U 000 U 3000 U 000 U 000 U 3000 U a) classer ces résultats das l'ordre crossat b) calculer leur moyee c) calculer leur médae d) représeter ces résultats sur u dagramme à bade e) dquer la moyee et la médae b) La médae pour u échatllo cotu Das le cas d u échatllo cotu pour estmer la médae l faut passer par la focto cumul (cumul des %). La médae sera alors la valeur de pour laquelle la focto vaut 50% Les fréqueces relatves sot : f = =,,..., k Fréqueces cumulées (focto cumul) : Pour coaître la proporto F( ) (dte fréquece cumulée) des dvdus qu présetet des valeurs du caractère féreur ou égale à, o addtoe toues les fréqueces f qu correspodet au tels que <. O déterme par le graphque de F( ) faclemet la médae car F( ɶ ) = 50% Eemple : Lors d'ue course de vtesse les 40 partcpats ot ms les temps suvats pour effectuer le parcours Temps (secodes) Cetre Effectf Fréquece f Fréquece cumulée f [43-45[ 44 5,0 % 5,0 % [45-47[ ,5 %,5 % [47-49[ ,5 % 30,0 % [49-5[ 50 7,5 % 57,5 % [5-53[ 5 8 0,0 % 77,5 % [53-55[ ,0 % 9,5 % [55-57[ ,5 % 00,0 % Ala Arautovc, Fracesco Frazos

13 Statstque descrptve Temps Fréqueces cumulées 43 0 % 45 5 % 47.5 % % % 53 77,5 % 55 9,5 % % La médae vaut : ɶ = 50,5 Fréqueces cumulées 00.0% 90.0% 80.0% 70.0% 60.0% 50.0% 40.0% 30.0% 0.0% 0.0% 0.0% Temps d'ue course de vtesse Eercce : L'étude de la talle des élèves d'ue classe a doé les résultats suvats : Talle (cm) Effectf [ 40 ; 50 [ Fare l'étude complète de ce caractère : [ 50 ; 60 [ 5 fréqueces, moyee, mode, hstogramme et médae [ 60 ; 70 [ 8 [ 70 ; 80 [ 6 [ 80 ; 90 [ 4 Eercce : L'étude de l'âge des habtats d'u mmeuble a doé les résultats suvats : Âge effectf Fare l'étude complète de ce caractère : [ 0 ; 8 [ 0 fréqueces, moyee, mode, hstogramme [ 8 ; 36 [ 36 et médae [ 36 ; 54 [ 0 [ 54 ; 8 [ 5 [ 8 ; 90 [ 9 Ala Arautovc, Fracesco Frazos

14 Actvté : ateler formatque (avec Ecel ou Calc) Statstque descrptve Actvté A : Cosdérer des logueurs e cm de 40 boas d u zoo. Classes Effectf [380;390[ [390;400[ [400;40[ [40;40[ [40;430[ [430;440[ [440;450[ 40 Compléter lbremet ce tableau et fare ue étude complète. Varer esute les effectfs das chaque classe et observer les chagemets. Actvté B : Sot ue sére qu doe le ombre d'efats de 0 femmes d u échatllo de la populato. Nombre d'efats = {4, 0,,,,,, 3, 3, 4,, 3, 4, 5,,, 3, 3, 4, 5} Fare ue étude complète. Actvté C : Fare ue étude complète des méages Fraças e 999 : Nombre de persoes das le méage Effectf de la populato e 999 8'089'434 8'086' '69' '058'684 5 '8'35 6 ou plus 408'959 N.B. O cosdère 6 ou plus, comme valat 6. Actvté D : Fare ue étude complète de la populato fraçase actve par âge e 999 : Age Effectf 5-4 '89' '68' '88' '865' '880' '696' '305'88 55 et + '5'4 Ala Arautovc, Fracesco Frazos

15 Statstque descrptve.6 Mesures de dsperso (crtères de dsperso) : varace, écart-type, quartle, Les mesures de tedace cetrale vues au paragraphe précédet, auss mportates qu elles soet, e sauraet doer ue dée de la maère dot les valeurs sot dstrbuées au vosage de ces valeurs cetrales. Auss est-l utle d trodure ue mesure pour redre compte de cette dsperso. Pour des questos théorques, o trodut la moyee du carré des écarts qu est : La varace statstque v ( ) = Gradeur théorque sas uté! Pour rever à l uté de l échatllo tal, o déft falemet : L écart-type : σ = v Géométrquemet o peut caractérser de maère assez géérale l écarttype comme état le rayo (autour de la moyee) de la «cloche» de la dstrbuto des résultats eglobat evro les /3 des doées. As s o utlse la moyee pour mesurer la tedace cetrale, o lu assocera tout aturellemet l écart-type pour mesurer la dsperso (par rapport à la moyee). Dstrbuto ormale : O peut motrer que lorsque la populato a ue dstrbuto ormale alors : 68,3 % des valeurs sot stuées etre σ et + σ 95,4 % des valeurs sot stuées etre σ et + σ 99,8 % des valeurs sot stuées etre 3σ et + 3σ Eemple : 5 élèves ot passé u eame et o a relevé : Note Carré de Carré de Note Effectf podérée l écart l écart ( ) podéré ( ) = σ =,5 =, 3 00 = = v = =,5 5 Ala Arautovc, Fracesco Frazos

16 Statstque descrptve Fréquece 35% 30% 5% 0% 5% 0% 5% 0% ±,3 Notes d'u eame S l o sut ue lo ormale théorquemet /3 des otes sot comprses etre,88 et 5,3. O remarquera das otre eemple qu e réalté 0 otes sur 5 sot 80 % sot stuées etre,88 et 5,3 et que 4 sur 5 sot 96 % sot stuées etre,54 et 6,46. Le plus utlsé das la pratque pour calculer la varace est le : Théorème de Kög-Huyghes : O motre faclemet que : et v = v = f Il permet de smplfer grademet les calculs. Pour s'e covacre, repreos l'eemple précédet. Eemple : 5 élèves ot passé u eame et o a relevé : Note Effectf Note podérée = = = ,5 σ =,5 =, 3 v = = = 5 Ala Arautovc, Fracesco Frazos

17 Statstque descrptve Eemple : Lors d'ue course de vtesse les 40 partcpats ot ms les temps suvats pour effectuer le parcours Temps (secodes) Cetre Effectf Temps podéré [43-45[ [45-47[ [48-49[ [49-5[ [5-53[ [53-55[ [55-57[ Sommes : = = = 50, e = =, ,5 v = = 9,35 σ = 9,35 = 3, Fréquece 30% 5% 0% 5% 0% 5% 0% Temps d'ue course de vtesse S l o sut ue lo ormale /3 des temps sot comprs etre 48,44 et 53,56 secodes. Proprétés de l'écart-type : O utlse l'écart-type que pour mesurer la dsperso autour de la moyee d'u esemble de doées. L'écart-type 'est jamas égatf. L'écart-type est sesble au valeurs aberrates. Ue seule valeur aberrate peut accroître l'écart-type et, par le fat même, déformer le portrat de la dsperso. Das le cas des doées ayat appromatvemet la même moyee, plus la dsperso est grade, plus l'écart-type est grad. L'écart-type est zéro s toutes les valeurs d'u esemble de doées sot les mêmes (parce que chaque valeur est égale à la moyee). Ala Arautovc, Fracesco Frazos

18 Statstque descrptve Remarque : Quad o groupe ue varable par tervalle de classe, o suppose que toutes les observatos à l'téreur de chaque tervalle sot égales au pot mleu de l'tervalle. As, o e tet pas compte de la dsperso des observatos à l'téreur de chaque tervalle, ce qu fat que l'écarttype est toujours féreur à la valeur réelle. O devrat doc le cosdérer comme ue appromato. Eercce 3 : Voc les résultats d' ue equête sur le pods (e kg) des bagages de 5 persoes a) Rager ces résultats das u tableau, pus calculer : la moyee et l'écart-type b) Représeter ces résultats à l'ade d'u hstogramme, sur lequel vous dquerez la moyee et l'écart -type. Eercce 4 : Voc u tableau qu résume la durée de 50 flms d'ue vdéothèque. a) Complétez le tableau suvat : Effectfs durée (m) [00;0[ [0;40[ 3 [40;60[ [60;80[ 5 [80;00[ [00;0[ 4 [0;40[ [40;60[ a) Compléter ce tableau, pus calculer : la moyee et l'écart-type b) Représeter ces résultats à l'ade d'u hstogramme, sur lequel vous dquerez la moyee et l'écart -type. Ala Arautovc, Fracesco Frazos

19 Statstque descrptve Eercce 5 : L'île ALPHA est habtée par 00 persoes, 50 hommes et 50 femmes. Tous les hommes chausset du 4 et toutes les femmes du 34. a) Calculer la poture moyee des habtats de cette île. b) Calculer l'écart type à cette moyee. L'île OMEGA est habtée par 00 persoes (auss!), 50 hommes et 50 femmes. Tous les hommes chausset du 40 et toutes les femmes du 36. c) Calculer la poture moyee des habtats de cette île. d) Calculer l'écart type à cette moyee. L'île GAMMA est habtée par 00 persoes (décdémet!), 50 hommes et 50 femmes. Tous les hommes et toutes les femmes chausset du 38 e) Calculer la poture moyee des habtats de cette île. f) Calculer l'écart type à cette moyee. g) Pour chaque île, représeter graphquemet les doées h) Eplquer, les coséqueces d'u «fort» écart type sur l'allure d'u graphque. ) Eplquer l'utlté de l'écart type Eercce 6 : Pour chaque écart-type c-dessous, retrouvez le dagramme correspodat : Écart-type de : 0 Dagramme :... Écart-type de :, Dagramme :... Écart-type de :,3 Dagramme :... Écart-type de :,83 Dagramme :... Écart-type de : 3,9 Dagramme :... Toutes ces statstques ot la même moyee (4). D D D3 D4 D5 Ala Arautovc, Fracesco Frazos

20 Statstque descrptve Eercce 7 : Retrouver, pour chaque graphque, la sére de valeurs qu lu correspod Valeurs Valeurs Valeurs 3 Moyee = 37 Moyee = 37 Moyee = 37 * * * S à la moyee o assoce l écart-type, à la médae o assocera l tervalle sem-terquartle. Il faut au préalable défr les quartles. Les quartles : Sot F la focto représetatve du polygoe des fréqueces cumulées, o appelle respectvemet er, ème et 3 ème quartles les valeurs : 3 F( Q ) = = 5% F( Q ) = = 50% F( Q 3) = = 75% O remarque que Q est re d autre que la médae ɶ déjà défe. O vot par alleurs que l tervalle [ Q; Q 3] cotet 50 % des valeurs de l échatllo (écart terquartle). L tervalle sem-terquartle (écart sem-quartle) est moté de la logueur de cet tervalle : L tervalle sem-terquartle : Q3 Q I = Cette mesure est assocée à la médae. L'écart sem-quartle 'est guère fluecé par des valeurs plus élevées; c'est doc ue boe mesure de dsperso pour les dstrbutos asymétrques. O utlse raremet des écarts sem-quartles pour des esembles de doées dot les dstrbutos sot ormales. Lorsqu'u esemble de doées comporte ue dstrbuto ormale, o a plutôt recours à l'écart-type. Ala Arautovc, Fracesco Frazos

21 - -. Statstque descrptve Eemple : (cas cotu) Vor l'éocé e page. Pour cette course de vtesse avec 40 partcpats, o avat obteu le tableau suvat : Temps (secodes) Fréqueces cumulées 43 0 % 45 5 % 47.5% % 5 57,5 % 53 77,5 % 55 9,5 % % Fréqueces cumulées 00.0% 90.0% 80.0% 70.0% 60.0% 50.0% 40.0% 30.0% 0.0% 0.0% La médae vaut : ɶ = 50,5 0.0% Q = 48,4 Q 3 = 5, ,7 48,4 Temps d'ue course de vtesse I = =,5 Cela sgfe que das u rayo moye d evro,5 secodes autour de la médae o a 50% des échatllos. L Étedue : (Fourchette ) C est la dfférece etre la valeur la plus élevée ma et la E = ma m valeur la mos élevée m d'u esemble de doées. Boîte à moustache O peut représeter u résumé e cq ombres à l'téreur d'u dagramme appelé u tracé e rectagle et moustaches. m Q ɶ Q 3 ma Cette représetato est partculèremet dquée pour ue dstrbuto asymétrque et s'l y a des observatos habtuelles (des valeurs aberrates) das l'esemble de doées. Les tracés e rectagle et moustaches sot déals pour comparer des dstrbutos, parce qu'ls fot apparaître mmédatemet le cetre, la dsperso et l'étedue globale. Eemple : (cas dscret) Gabrelle a commecé à travaller das ue boutque d'formatque l y a u a. So supervseur lu a demadé de ter u dosser du ombre d'ordateurs qu'elle a vedus chaque mos. L'esemble de doées qu sut dque le ombre d'ordateurs qu'elle a vedus mesuellemet au cours des derers mos : 34, 48,, 5, 58, 4, 0,, 9, 50, 8, 38. O cherche : a) la médae c) les quartles supéreur et féreur b) l'étedue d) l'écart terquartle et l tervalle sem-terquartle Ala Arautovc, Fracesco Frazos

22 - -. Statstque descrptve Résoluto : a) Les valeurs das l'ordre ascedat sot :,, 5, 9, 0, 4, 8, 34, 38, 48, 50, 57. Médae = (6e + 8e observatos) = (4 + 8) = 6 b) Étedue = dfférece etre la valeur la plus élevée et la valeur la plus fable = 57 = 56 c) Q = Quartle féreur = valeur du mleu de la premère moté des doées = la médae de,, 5, 9, 0, 4 = (3e + 4e observatos) = (5 + 9) = 7 Q 3 = Quartle supéreur = valeur du mleu de la secode moté des doées = la médae de 8, 34, 38, 48, 50, 57 = (3e + 4e observatos) = ( ) = 4 5 d) Écart terquartle = Q 3 Q = 4 7 = 5 et I = =,5 O peut résumer ces résultats e cq ombres :, 7, 6, 4, 57. C est-à-dre : Eercce 8 : Les températures éumérées c-dessous sot les températures quotdees mamales (e degrés Celsus) eregstrées du ju au 3 jullet : 9,3 ; 9,; 8, ; 9, ; 8,8 ;,4 ; 8,4 ; 8,0 ; 0, ; 5,0 ; 5,8 ; 4, ;,. Calculer le résumé e cq ombres et desser u tracé e rectagle et moustaches pour ces doées. Eercce 9 : Le tableau suvat fourt u aperçu du ombre hypothétque de coflts de traval durat ue pérode de d as. Aée Nombre hypothétque de coflts de traval Calculer le résumé e cq ombres et desser la boîte à moustache Ala Arautovc, Fracesco Frazos

23 Statstque descrptve Eercce 0 : Voc le ombre de partes de basket-ball auquelles ot asssté 50 aboés : 5, 0, 8,, 5,, 3, 6,, 4, 4, 6, 5, 8,, 6, 3, 8,, 6, 8, 5, 8, 5, 9, 3, 4, 8, 6, 5,,, 8, 6, 5, 0, 4, 5, 3, 6, 8, 5, 8,, 4, 8, 5, 4, 3, 6. a) Compter les doées. b) Desser u dagramme à bades. c) Calculer la moyee, la médae et le mode. d) Calculer la varace et l'écart-type e) Calculer l'tervalle à l'téreur duquel 95 % des observatos devraet se stuer. f) Formuler u commetare sur la dsperso des doées. Eercce : Tâches méagères chez les hommes Ue equête aléatore de 00 hommes marés a doé la dstrbuto suvate d'heures qu'ls cosacraet par semae à u traval méager o rémuéré : a) Calculez les fréqueces cumulées. b) Dessez l'ogve (ou la courbe de dstrbuto) à l'ade de la fréquece cumulée c) À partr de la courbe, trouvez ue valeur médae appromatve. Qu'est-ce que cette valeur dque? d) Trouver l tervalle sem-terquartle. e) Doez le tracé e rectagle et moustaches. f) Quel est le mode? g) Calculez la moyee. Qu'est-ce que cette valeur dque? Doer l écart-type. h) Décrvez brèvemet la comparaso etre les valeurs moyee, médae et modale. Commet détermerez-vous s les femmes ot cosacré plus d'heures par semae que les hommes à u traval méager o rémuéré? Actvté 3 : (sur le web) Quelle est la talle moyee des élèves de votre classe? Heure(s) Nombre d'hommes [0 ; 5[ [5 ; 0[ 8 [0 ; 5[ 4 [5 ; 0[ 5 [0 ; 5[ 8 [5 ; 30[ [30 ; 35[ [35 ; 40[ Sur l eemple c-dessous o vot ettemet l fluece sur la moyee de la talle des garços de la mesure aberrate. Ce qu est pas le cas sur la médae! O trouvera d autres actvtés sur la même page ou e partculer sur : ou Ala Arautovc, Fracesco Frazos

24 Statstque descrptve Actvté 4 : Calculatrce scetfque Refare l'eercce c-dessous avec la calculatrce Eercce 0 : Voc le ombre de partes de basket-ball auquelles ot asssté 50 aboés : 5, 0, 8,, 5,, 3, 6,, 4, 4, 6, 5, 8,, 6, 3, 8,, 6, 8, 5, 8, 5, 9, 3, 4, 8, 6, 5,,, 8, 6, 5, 0, 4, 5, 3, 6, 8, 5, 8,, 4, 8, 5, 4, 3, 6. Calculer la moyee, la médae et le mode. Calculer la varace et l'écart-type * * * La sute du chaptre est lassée à l'apprécato de l'esegat(e). Ala Arautovc, Fracesco Frazos