- 1. En notant I la valeur initiale et F la valeur finale de la quantité on a :

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1 1 Définition Soit une quantité mesurée à deux dates distinctes : Dates t 0 t 1 Valeur de la quantité q 0 q 1 Le pourcentage d évolution entre les dates t 0 et t 1 est le nombre T défini par : T = q 1 - q 0 x soit T q 0 = q 1-1 q 0 En notant I la valeur initiale et F la valeur finale de la quantité on a : T = F - I x I T est aussi appelé taux d évolution. Exemple 1 : On souhaite comparer l évolution du poids de deux enfants entre deux dates : Date 1/12/2005 1/12/2006 Poids du nourrisson (kg) né en Poids d un enfant (kg) âgé de 5 ans en Variation absolue Variation relative Pourcentage d évolution Nourrisson 9 = 6 9- = 2 9- x = 200 Enfant = = 0, x = 7,5 Le poids du nourrisson a augmenté de 200%. Le poids de l enfant a augmenté de 7,5%. Exemple 2 : Un opérateur de télécommunications décide de baisser le prix de la minute de communication pour les appels vers les Etats-Unis : le tarif passe de 0,14 à 0,08 (prix TTC). 0,08-0,14 T = x -42,86. 0,14 Il y a une baisse de 42,86 % sur ce tarif. 1

2 Remarques : Lors d une hausse, T est un nombre positif et le pourcentage peut être supérieur à %. Lors d une baisse, T est un nombre négatif et le pourcentage ne peut être inférieur à -%. 2 Utilisation a) Calculer une valeur après une évolution Il y avait 6 milliards d habitants sur la planète en Selon l ONU il y aurait,4 % d augmentation entre 2000 et Quelle serait alors le nombre d individus sur terre en 2025? Si on appelle F ce nombre on a : F - 6 x =,4 6 Soit F = 6 + 6x0,4 = 6 x 1,4 = 8,004 La population serait de 8 milliards d habitants en Propriété Une quantité dont la valeur initiale est I, est augmentée de T%. Elle devient F = I x (1 + T T ). Le coefficient multiplicateur est 1 + Une quantité dont la valeur initiale est I, est diminuée de T%. Elle devient F = I x (1 - T T ). Le coefficient multiplicateur est 1 - b) Calculer l évolution d un pourcentage instantané La part des ménages connectés à Internet depuis leur domicile est passée de 2% en 1998 à 22% en 200. On peut apprécier l évolution de deux façons : En variation absolue : la part des connectés augmente de «20 points» En pourcentage d évolution : 0,22-0,02 x = 0. 0,02 La part des ménages connectés a augmenté de 0%. 2

3 Paradoxes Exemple 1 : Le prix d un article initialement è gal à p, subit une hausse de 20% suivie d une baisse de 20%. L article est-il vendu au même prix? Le prix devient : p (1 + 0,2)(1-0,2) = p x 0,96 = p(1 0,04) Il y a donc une baisse de 4%. Exemple 2 : La population d une ville nouvelle augmente de 50% en 2006 puis de 0% en A-t-elle augmenté globalement de 80%? Si q est la population en 2005, en 2007 elle devient : q (1 + 0,5) (1+0,) = q x 1,95 = q x (1 + 0,95) La population a augmenté globalement de 95%. Une hausse de t% n est pas compensée par une baisse de t%. Lorsqu on cumule deux hausses ou deux baisses successives, les pourcentages d évolution ne s ajoutent pas. 4 Evolutions successives Pour calculer directement le pourcentage global correspondant à des variations successives on utilise les coefficients multiplicateurs. a. Augmentations successives d un même taux Après n augmentations successives du même taux t%, La valeur d une grandeur est multipliée par t n 1 + Le taux global T est donné par la relation : 1 + T = t n 1 + Calculer le pourcentage global correspondant à augmentations successives du même taux de % On a 1 + T = 1 + = 1,0 = 1, = 1 + 9,2727 Le taux global d augmentation est donc T = 9,2727 %

4 Remarque : cas des faibles pourcentages (approximation linéaire) Dans le cas où le pourcentage d augmentation est faible, on peut estimer l évolution globale en utilisant une approximation linéaire. Ainsi n augmentations successives d un faible taux t, peuvent être approchées par une augmentation globale du taux n t. 15 augmentations successives d un taux de 1 %. Avec l approximation linéaire : augmentation globale : 15 1 = 15% Avec les coefficients multiplicateurs : 1, ,16 soit une augmentation globale de 16 %. On remarque que 15% et 16% sont des valeurs proches. b. Diminutions successives d un même taux Après n diminutions successives du même taux t%, La valeur d une grandeur est multipliée par 1 - t n Le taux global T est donné par la relation : 1 - T = 1 - t n Calculer le pourcentage global correspondant à 4 diminutions successives du même taux de 2%. On a 1 - T = = 0,98 4 = 0, = 1-7,76184 Le taux global T de diminution est environ 7,76 % c. Taux moyen Un prix augmente de T% sur deux ans. Le taux annuel t% qui provoque la même augmentation globale vérifie la relation : t = 1 + T On en déduit : 1 + t = 1+ T Le taux t est appelé taux moyen d augmentation annuelle. 4

5 Sur la période d un semestre, le prix d un lecteur de DVD a baissé de 40% en passant de 00 à 180. Le taux moyen de baisse t pour chacun des deux trimestres est tel que : 1 - t t = 0,6 = 1-40 = 0,6 t 22,5 = 1 0,6 Le taux moyen de baisse sur chaque trimestre est d environ 22,5%. L estimation du prix à la fin du 1 er trimestre est : 00 0,6 = 22,5 5