Rappel sur les pourcentages

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1 Rppel sur les pourcenges 1. Proporion L pr, ou l proporion, d une qunié pr rppor à une qunié ole, qunié qui doi impérivemen êre non nulle, es le quoien Exemple : dns une virine de jeux de réflexion, on compe 51 ojes réservés ux enfns de moins de 36 mois, 34 ojes pour les 3-5 ns e 17 pour les 5-7 ns. Quelle es l proporion d ojes réservés ux moins de 36 mois dns cee virine? Nomre ol d ojes : = = 102. Nomre d ojes réservés ux moins de 36 mois : = 51. Proporion d ojes réservés ux moins de 36 mois dns cee virine : = 51 = 1 = 0, Pourcenge, ux de pourcenge Le pourcenge d une qunié pr rppor à une qunié non nulle es fois le quoien Noion : % = % Le ux de pourcenge = s exprime sns unié. Remrque : l vleur décimle du pourcenge c es Exemple : pour friquer une guee de pin de 200 g, il fu 66 g d eu, 2 g de levin, 4,2 g de sel e 140 g de frine (on remrquer que l msse ole des ingrédiens es supérieure à 200 g, une prie de l eu s évpore à l cuisson). Clculer le pourcenge de sel conenu dns cee guee, puis donner son ux de pourcenge. Le pourcenge es clculé vis-à-vis de l guee cuie. Pourcenge de sel : % = x 4,2 = 2,1 %. Tux de pourcenge : = 2, Remrque : connissn le ux de pourcenge, il es possile de clculer l pr (proporion) de sel u kg de pin (1 kg = g) : x 2,1 = 21 On rouve donc 21 g de sel pr kg dns ce ype de pin. Cee vleur es u dessus des recommndions du minisère de l sné. Aenion : ne ps confondre l vleur décimle du pourcenge e le ux de pourcenge (dns l exemple précéden l vleur décimle du pourcenge vu 2,1 % = 0,021 cr c es 2,1 pour cen donc 2,1 = 0,021 lors que le ux de pourcenge es 2,1). 3. Comprison de vleurs, de résuls L écriure sous forme de pourcenge perme de comprer rpidemen cerins résuls : Un consruceur uomoile fi friquer une pièce qui doi s emoîer dns une ure qu il frique lui-même chez rois sousrins. Le premier noé A fourni pièces chque nnée, don 682 se révèlen défecueuses. Le deuxième, noé B, fourni pièces nnuellemen, don 165 on éé jugées défecueuses. Le roisième, noé C, limie l producion de pièces défecueuses à 0,31 % de s producion. Le consruceur devri-il privilégier l un des sous-rins pour oenir moins de pièces défecueuses? Pour A : le pourcenge de pièces défecueuses es de x = 0,31 % Pour B : le pourcenge de pièces défecueuses es de x = 0,31 % (rrondi u cenième). Ces deux vleurs corresponden à celle du roisième fournisseur, ce qui veu dire qu ils on ous les rois le même ux de reus. Aucun ne fi mieux que les ures Mhémiques Tux d'évoluion (vriion relive) 1 1 ère STMG

2 Tux d'évoluion, coefficien mulipliceur 1. Tux d'évoluion Le ux d évoluion d une vrile numérique (une qunié) es le rppor e = où es l vleur iniile de l vrile e f s vleur finle. f Exemple : le chiffre d ffire d une enreprise pour le mois de jnvier éi de 1, (donc 1,23 millions d euros). En février il es pssé à 1, Clculer le ux d évoluion du chiffre d ffire de cee enreprise enre jnvier e février. e = f = 1,25 x ,23 x 10 6 = 0, ,0163 1,23 x 10 6 Aenion, il fu rrondir e à 4 chiffres près l virgule (voir ci-près). Remrque : rès souven le ux d évoluion es exprimé sous forme d un pourcenge, ce qu il fu indiquer. Pour l exemple précéden, on peu écrire : le ux d évoluion exprimé en pourcenge (u cenième près) es : e = 1,25 x ,23 x 10 6 x = 1,626 1,63 % 1,23 x 10 6 On uri pu fire 0,0163 = 1,63 ; d où e exprimé en pourcenge : e = 1,63 % 2. Pourcenge, ux d'évoluion e coefficien mulipliceur Pr définiion, le coefficien mulipliceur es le rppor CM = où es l vleur iniile de l vrile e f s vleur finle. f Exemple : dns le cs de l enreprise précédene, le coefficien mulipliceur CM de pssge du chiffre d ffire de jnvier à février es : CM = f = = 1, ,0163 Aenion, le rppor CM doi êre rrondi à 10 4 près. 1,25 x ,23 x 10 6 Il es fcile de psser de e à CM : e = f = f - i = f - 1 = CM 1 d'où : CM = 1 + e Une évoluion peu êre posiive (ugmenion de l vleur finle pr rppor à l vleur iniile) : dns ce cs, CM = 1 + où es le ux de pourcenge d ugmenion. Une évoluion peu ussi êre négive (diminuion de l vleur finle pr rppor à l vleur iniile), uquel cs, CM = 1 - Exemples : Le prix du crurn SP95 es pssé de 1,53 en vril 2011 à 1,5492 en mi de l même nnée. Clculer le coefficien mulipliceur, quel es le pourcenge d ugmenion? f CM = = = 1, ,0125 On en dédui que ce crurn sui une ugmenion de 1,25 % cr (1,0125 1) x = 1,25 1,5492 1,53 On conse que pour les même des, le gzole es pssé de 1,37 à 1,35. Clculer le coefficien mulipliceur. Quel es le pourcenge d évoluion? f CM = = 1,35 = 0, ,9854 (vleur inférieure à 1). On en dédui que ce crurn sui une isse de 1,46 % 1,37 cr (1 0,9854) x = 1,46 Sison des soldes : dns un mgsin vendn 280 ricles de prix différens, des réducions de 15, 20, 25, 30 e 35 % von êre proposées. Léglemen l éiquee doi indiquer : l ncien prix rré, le pourcenge de réducion, le nouveu prix. Commen procéder pour un ricle nciennemen ffiché à 48 qui ser soldé vec 25 % de réducion? En déduire commen procéder pour chcun des ricles. 48 x 25 Ce qu il ne fu ps fire : isse de 25 % pour 48 donc = 12 puis = 36. Le nouveu prix es 36. Cee méhode donne un résul correc. Il fu 2 clculs pour chque ricle! Mhémiques Tux d'évoluion (vriion relive) 2 1 ère STMG

3 25 Ce qu il fu fire : isse de 25 % donc CM = 1 - = 0,75 Pour ous les ricles en isse de 25 % le nouveu prix s oien en muliplin l ncien prix pr 0,75. Pour 48, 48 x 0,75 = 36. Le nouveu prix es 36. Cee méhode perme d oenir ous les nouveux prix pr un seul clcul, une fois clculé le coefficien mulipliceur (qui souven se clcule menlemen). Donc pour chque pourcenge de réducion, clculer son coefficien mulipliceur, muliplier ce CM pr chque ncien prix pour oenir le nouveu prix soldé. Le prix moyen TTC d un lire de SP95 déu juin 2011 éi de 1,313 (hors mrges de disriuion). Son prix HT 0,31. Cerins disen que environ 80 % du prix de l essence es représené pr les différenes xes cr : x 0,310 1,313 = - 76,3899 % - 76,39 % ce qui es proche de 80 %. 1,131 Clculer le pourcenge des xes ppliquées u lire de SP95, commener ce résul. L vleur iniile es le prix HT. On doi voir P TTC = P HT x (1 + P TTC ) = P HT x CM D où CM = = = 4, ,2355 Le pourcenge des xes ppliquées es donc de 323,55 % P HT 1,313 0,31 Il n es ps fux de dire que «sur le prix pyé, environ 80 % es représené pr des xes» ;ouefois, il seri plus correc de dire «le pourcenge de xes sur le crurn SP95 es supérieur à 320 %». Remrque : dns les clculs de pourcenge, il fu solumen uiliser le coefficien mulipliceur (suf pour un clcul direc). 3. Psser du ux de pourcenge (ou d'évoluion) u coefficien mulipliceur e réciproquemen On reiendr que CM = 1 + pour une husse ou CM = 1 - pour une isse E que = (CM 1) x pour une husse ou = (1 - CM) x pour une isse Exemples : En juin 2011 le prix du kwh d élecricié ugmene de 3 %. Schn qu il éi de 0,0817 hors xes en mi. Quel es le rif du kwh près l ugmenion? CM = 1 + = = 1 + 0,03 = 1,03 d où le nouveu rif : 0,0817 x 1,03 = 0, ,0842 (le prix ser rrondi à l unié supérieure!). On remrquer que le pourcenge d ugmenion du coû pour l usger es ssez difficile à clculer cr d une pr les xes jouées u prix son vriles, e d ures pr, le forfi «compeur» ser lui ugmené de 30 % (ce qui pénlise les «peis» consommeurs). Une revue mensuelle d économie propose un onnemen nnuel à 49 (por compris). Le prix des 11 numéros uquel son joués 4 numéros «hors série» seri de 68,10. Clculer le pourcenge de réducion. f C es une réducion : CM = = = 0, , ,10 Tux de réducion : 1 0,7195 = 0,2805. Le ux de pourcenge de réducion es donc de 28,05 % En dollr consn, le cours du ril de pérole es pssé de 29,73 $ en jnvier 2001 à 91 $ en jnvier Quel es le ux de pourcenge d évoluion du ril de pérole sur cee période? C es une ugmenion : CM = = = 3, ,0609 f 91 29,73 Tux d ugmenion : 3, = 2,0609. Le ux de pourcenge d ugmenion es donc de 206,09 % Remrque : le ux d ugmenion es supérieur à % (qui représene un doulemen de l qunié), en lisn l vleur du CM, on conse que le prix éé muliplié pr un peu plus de 3 en 10 ns. Mhémiques Tux d'évoluion (vriion relive) 3 1 ère STMG

4 Évoluions successives e réciproques, indices 1. Évoluions successives Une grndeur peu voir des vriions imprévisiles pour de cours inervlles de emps (vleur d une cion oursière), ou une vriion relivemen prévisile à de fixe (comme les ugmenions de slire). En générl, l vleur du Smic es réjusée deux fois pr nnée. On s inéresse u ux d ugmenion nnuel connissn les deux ux d'ugmenion oenus pendn l nnée. Déu 2009 le Smic horire ru vli 8,71. Pr décre du 26/06/2010 il es ugmené de 1,26 %. Puis pr décre du 17/12/2010 il es de nouveu ugmené de 0,46 %. Quelle es le pourcenge d ugmenion sur l nnée 2010? Quelle éi l vleur du Smic près le 17/12/2010? Il fu uiliser le coefficien mulipliceur. CM 1 = 1,0126 e CM 2 = 1,0046. Le rif iniil es muliplié pr CM 1 pour oenir l vleur de l 1ère ugmenion, puis cee vleur es mulipliée pr CM 2 pour oenir l vleur près l deuxième ugmenion. Donc, le rif iniil es muliplié pr CM 1 x CM 2 CM 1 x CM 2 = 1,0126 x 1,0046 = 1, ,0173 On en dédui que le pourcenge d ugmenion nnuelle correspondn es de 1,73 % leur oenue près les deux ugmenions : 8,71 x 1,0173 = 8,86. Tux moyen équivlen Le ux moyen équivlen correspond u ux unique qu il fudri ppliquer pour oenir l même évoluion que celle oenue pr deux (ou plus) évoluions successives sur les même périodes. Cs de deux évoluions successives : le ux moyen es oenu à prir du coefficien mulipliceur moyen CM m = CM g où CM g es le coefficien mulipliceur glol. Dns le cs précéden, pour deux périodes CM g = 1,0173. Alors CM m = 1,0173 = 1, ,0086 Le ux d évoluion équivlen exprimé en pourcenge es donc 0,86 % On peu vérifier que 8,71 x 1,0086 = 8,78489 e 8,785 x 1,0086 = 8,8605 8,86. Peies différences dues ux rrondis. Cs de plusieurs évoluions successives (progrmme de erminle) : Une esimion de l ugmenion des prix en Frnce indique une isse de 0,2 % en jnvier 2011, de 0,5 % en février, de 0,8 % en mrs, de 0,3 % en vril e de 0,1 % pour le mois de mi (données clculées pr une ssociion de consommeurs). Quelle seri l ugmenion moyenne équivlene, c'es-à-dire l ugmenion fixe qu il fudri ppliquer chque mois pour oenir l même ugmenion glole? Pour rouver l ugmenion ole, effecuer le produi des CM : 0,998 x 1,005 x 1,008 x 1,003 x 1,001 = 1, pour les 5 périodes, soi 1,506 % d ugmenion glole. CM m = Il fu ppliquer un ux de pourcenge de 0,299 % chque mois pour oenir une évoluion équivlene. Remrque : le ux moyen s oien pr l moyenne géomérique des coefficiens mulipliceurs. Mhémiques Tux d'évoluion (vriion relive) 4 1 ère STMG

5 . Tux réciproque d'une évoluion Soi e le ux d évoluion d une vleur A vers une vleur B. Le coefficien mulipliceur de pssge de A vers B es B CM AB = = A (1 + e ) où e es exprimé sous forme décimle. A A Le ux d évoluion réciproque r de B vers A es el que CM BA = = B (1 + r ) B Ce coefficien mulipliceur perme de psser de l vleur B à l vleur A. C es l inverse du précéden. On donc : 1 + r = e Exemple : le prix d un ppreil ugmene de 20 % en 2 nnées. Quel doi êre le pourcenge de isse pour qu il revienne à son prix de dépr? Ce n es ps 20 %...! e Il fu 1 + r = = = = 0,8333 d où r = 0, = - 0, ,20 1 1,20 C es négif, c es donc une isse de 16,67 % (rrondi à 10 2 près). Pei exemple numérique (qui n es ps une preuve) : Une pire de ennis coûi 85. L mode fi qu elle se ven rop ien, le friqun décide d ugmener le prix de 20 %. Le prix psse à 85 1,20 = 102 Il n en vend priquemen plus. Il décide de fire une risourne permen de l vendre u prix précéden. Quel es le ux de isse qui ser ffiché? D près le clcul précéden, c es 16,67 % (il y un rrondi, le résul ne ser ps ou à fi exc). 102 (1 0,1667) = 84,9966 qui es rrondi à 85, l vleur de dépr. 2. Indices Les pourcenges permeen de comprer ssez fcilemen des évoluions, ugmenions ou diminuions, de vleurs différenes. Exemple : Alice e Bernrd on ous deux éé ugmenés. Alice se voi ugmenée de 45 sur son slire ne mensuel de Bernrd lui se voi ugmené de 80 pour une rémunérion nee mensuelle de En vleur solue, Bernrd à une ugmenion plus imporne que Alice Le pourcenge d ugmenion du slire d Alice es de : x = 3,46 % qund celui de Bernrd es de x = 3,27 % Proporionnellemen l ugmenion de Bernrd es plus file que celle de Alice Les indices son une ure fçon de comprer les évoluions de quniés différenes, de présenion gréle e fcile à lire. Soi 0 l vleur iniile d une vrile numérique à l de 0, 1 s vleur à l de 1 près une première évoluion, 2 s vleur à l de 2 près une deuxième évoluion, n s vleur à l de n près n évoluions. L indice de se à 0 de à l de i es l qunié x On présene en générl les résuls dns un leu. 0 Exemples : (D près c) : Le leu ci-dessous donne le nomre d hins en Frnce, exprimé en millions. (Source INSEE) En prenn pour indice de se le nomre d hins de l nnée 1985, clculer les indices de chcune des ures nnées rrondis u cenième près. 58,2 56,6 Clcul de l indice pour 1990 : x = 102, ,83 59,4 56,6 Clcul de l indice pour 1995 : x = 104, ,95 Mhémiques Tux d'évoluion (vriion relive) 5 1 ère STMG

6 Les résuls des clculs suivns son présenés dns le leu ci-dessous : Les indices permeen de comprer rpidemen les différenes vleurs vis-à-vis de l première. On remrquer que les pourcenge d évoluion son immédis : enre 1985 e 2010 l populion Frnçise ugmené de 10,95 % De même, le CM enre 1985 e 2010 ser 1,1095. En 2011, le kilow heure d'élecricié (kwh) coûe pour un priculier yn une consommion inférieure à kw : 0,22 u Luxemourg, 0,21 en Belgique, 0,20 en Allemgne, 0,17 en Angleerre, 0,13 en Frnce méropoliine e en Ilie. En prenn pour se le rif en Frnce méropoliine e en Ilie, clculer les indices des rifs des différens pys indiqués. On présener les résuls dns un leu. Mhémiques Tux d'évoluion (vriion relive) 6 1 ère STMG