Il existe plusieurs coefficients qui permettent de mieux évaluer une distribution. Nous en examinons les principaux dans les lignes qui suivent.

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1 Le coefficient Il exite pluieur coefficient qui permettent de mieux évaluer une ditribution. Nou en examinon le principaux dan le ligne qui uivent. Le coefficient de variation (CV) Le coefficient de variation a été introduit en 1896 par Karl Pearon et viait, à l origine, la comparaion de la variabilité de différente ditribution. On aperçut par la uite que le CV était enible aux erreur dan une moyenne. À quoi ert le CV Eentiellement le CV ert à évaluer la diperion d une ditribution. Le CV permet également de valider la repréentativité d un etimé (ou de la moyenne). Plu grand era le CV moin grande era la repréentativité de la moyenne. Comme ce dernier exprime en pourcentage (%) on utiliation et plu imple que celui de l écart type. Il exite une règle générale dan l utiliation du CV. Aini i le CV e itue : Entre 0 et 15% (14,99%) : on dira que la moyenne et repréentative de la ditribution; Entre 15% et 30% (29,99%) : on dira qu il faut utilier avec prudence la moyenne de la ditribution; À 30% et plu : On dira que la moyenne n et pa repréentative de la ditribution. C et à dire qu il y a de obervation qui e ituent trè loin de la moyenne. La formule La formule du CV et * 100 alor que = écart type et x = la moyenne on multiplie le x σ tout par 100 pour le mettre en %. On retrouve également la formule * 100 lorqu il µ agit d une population. Nou avon aini : σ = l écart type µ = la moyenne de la population Exemple : Suppoon que nou déiron comparer deux moyenne qui proviennent de deux ditribution différente. Dan un premier ca nou avon ix travailleur dont le alaire horaire et de $20, $22, $25, $25, $25, $27. La moyenne de alaire et donc de $24/heure et l écart type () et de $2, (Note : même i le alaire ont arrondi à la deuxième décimale il et important, pour l utiliation de l écart type de conerver l enemble de décimale puique ceci peut avoir une incidence ur le autre

2 calcul par la uite). Dan une autre entreprie le alaire ont de $20, $20, $23, $25, $25, $25, la moyenne de alaire et de $23 et l écart type et $2, Toutefoi i nou calculon le CV Nou obtenon : 2, Pour le premier groupe : * 100 = 10,54% 24 2, Pour le deuxième groupe : * 100 = 10,65% 23 Ici l utiliation de l écart type comme imple meure de diperion indiquerait que le premier groupe et plu diperée que le econd puique l écart type et plu grand pour le premier. Cependant le CV et légèrement plu important pour le deuxième groupe ce qui indique que la diperion relative et en fait plu importante dan le econd groupe. Puique le deux réultat ont à l intérieur de 15% nou pouvon également conclure que la moyenne de deux groupe et repréentative de deux ditribution. Autre exemple : Suppoon que lor d une négociation un employeur indique au yndicat que la moyenne de alaire de on entreprie e itue bien au-delà de la moyenne générale du ecteur dan lequel œuvre cette même entreprie. L employeur utiliera donc la moyenne comme argument dan la négociation. Comment le yndicat peut-il rejeter la moyenne comme argument? En utiliant le CV. Aini, uppoon que la moyenne de l entreprie et de $24,837 et que l écart type et de $7897. (on prend pour acqui que le yndicat aura accè à l écart type ou à l enemble de alaire pour effectuer le calcul de l écart type) Le CV era * 100 = 31,795% (31,8%) Comme le CV et plu grand que 30% le yndicat pourrait affirmer que la moyenne et non repréentative de l enemble de employé et qu il et mal avié de l utilier dan la négociation. Le coefficient de diymétrie (CD) Le coefficient de diymétrie 1 (CD) ert à meurer l aymétrie d une ditribution. Comme le CD meure la différence entre la moyenne et la médiane un CD de 0 indique que la ditribution et ymétrique 2. En effet dan une ditribution normale la moyenne et égale 1 Le terme anglai et kewne 2 Une mie en garde et toutefoi néceaire puique le CD et de 0 lorqu il y a préence d une double ditribution. C et ce qui e produit lorqu il y a préence de deux ou population qui e préente avec chacune une ditribution normale. Toutefoi cette ituation et aez rare.

3 à la médiane. Cependant dan une ditribution qui n et pa ymétrique on ait que la moyenne e déplace plu rapidement que la médiane. Ceci et dû à la enibilité de la moyenne aux donnée contrairement à la médiane. Le CD offre donc une meure de cette diperion. La formule du CD et 3( x md ) tel que x = la moyenne md = la médiane = l écart type Il agit donc de 3 foi la différence entre la moyenne et la médiane diviée par l écart type. Comme nou l avon mentionné i le CD et de 0 nou avon probablement affaire à une ditribution normale. Si la répone et négative alor le donnée e retrouve majoritairement à la droite de la ditribution et i le réultat et poitif alor le donnée ont majoritairement à gauche. Plu le réultat éloigne de 0 plu l écart et grand. On l utilie urtout lorque l on compare différente ditribution. Exemple Dan notre exemple précédent, la moyenne de alaire de l entreprie et de $24,837. Suppoon que la médiane de alaire et $19,650. L écart type et de $7897. Donc le CD et 3( x md ) = ( ) = 3( 5187) = = 1, On note donc qu il exite une diperion, aez grande, entre la moyenne et la médiane. Comme le CD et poitif nou pouvon conclure que la plupart de obervation e retrouvent à la gauche de la courbe c'et-à-dire dan le plu petite valeur. Coefficient d aymétrie (CA) Nou utilieron le coefficient d aymétrie pour identifier la préence d une ou de pluieur donnée «aberrante». On identifie une donnée aberrante par une donnée qui écarte de façon ignificative de la moyenne. La formule du CA et la uivante : n ( )( ) i n 1 n 2 x x 3

4 Exemple Suppoon le alaire dan deux compagnie : Compagnie A Compagnie B Moyenne 19409, ,4545 Médiane Ecart type () 16920, ,2964 CA 2, , CD 0, , On remarquera que dan le deux compagnie il y a de alaire qui écartent de l enemble de obervation. On oberve en effet un alaire de $65000 pour la compagnie A et un alaire de $62000 pour la compagnie B. On ait que le valeur extrême auront une influence ur la moyenne. Dan le ca de la compagnie A la moyenne et de $19409,09 alor que cette moyenne et de $23545,45 pour la compagnie B. Le médiane ont repectivement de $15000 et $14500 alor que le écart type ont de $16920,13 et de $17250,30. On remarquera une imilitude au niveau de réultat.toutefoi, le CD et de 0,78 et de 1,57. Ce réultat n et pa urprenant puique même i le deux médiane ont relativement proche l une de l autre, le deux moyenne, pour leur part, ont aez différente. Comme la moyenne de la compagnie A et plu prè de a médiane que ce qu il et poible d oberver avec la compagnie B, il et tout à fait logique de contater que le CD et plu faible pour la compagnie A. Cependant le CA indique autre choe. Le CA pour la compagnie A, 2,27, et plu grand que pour la compagnie B, 1,27, puique la valeur extrême, ici $65000, a un impact plu important par rapport aux deux valeur extrême de la compagnie B, ici $62000 et $ Dan le deux ca le réultat indique qu il y a de donnée qui écartent grandement de la moyenne. Le CA peut être poitif ou négatif. Le igne indique l endroit où e trouve la ou le donnée aberrante. La lecture du CD ici nou informe que même i la moyenne de la compagnie A et plu faible que celle de la compagnie B, il y a une donnée qui «tire» ver le haut la moyenne de la compagnie A et que cette donnée a une influence importante. Il y aurait intérêt à

5 examiner avec oin la ditribution afin d identifier la (ou le) valeur qui ont atypique(). Cote Z et valeur de Z (Z) Il y a deux utiliation au calcul du Z. La première ert à «normalier» le obervation alor que la econde ert à calculer la uperficie ou la courbe normale. Dan le deux ca la formule et la même : Z = x i x Tel que : x i repréente la valeur x repréente la moyenne (note en utiliant la lettre grecque µ il agirait alor de la moyenne de la population) repréente l écart type (note en utiliant σ il agirait alor de l écart type de la population) Exemple de la cote Z Il agit en fait de rendre comparable de réultat qui proviennent d obervation différente. Suppoon que vou devez analyer la performance dan un cour de tatitique de quatre étudiant qui étudient dan quatre univerité différente. Vou pourriez utilier le réultat de ce quatre étudiant (la note finale par exemple) 3. Cependant, comme ce quatre étudiant ne viennent pa de la même univerité il faut «normalier» le note ou le rendre comparable entre elle. En effet et-ce qu un étudiant qui a obtenu une note de 93 et, par rapport à e confrère de clae, plu performant qu un étudiant qui a obtenu 85 dan une autre clae? C et ce que le Z permet de meurer. Plu le réultat et loin de 0 plu la «performance» et upérieure quand le Z et poitif ou inférieur quand le Z et négatif. Afin d illutrer ceci uppoon le quatre étudiant uivant : Étudiant Note Moyenne du groupe Écart type σ ou S A B C D Cet exemple et tiré du livre d Alain Gille Élément de méthodologie et d analye tatitique pour le cience ociale, McGraw Hill, 1994 pp

6 Quel étudiant a le mieux performé par rapport à on groupe? On utilie la formule x du Z : i x tel que : Z A = ( ) 18, , Z B = ( ) Z C = ( ) Z D = ( ) 13,2 = + 0,26 = + 0,36 = - 0,42 = - 0,38 On remarquera que tou le étudiant ont une différence de + ou - 5 point par rapport à la moyenne de leur groupe repectif. On ne peut donc utilier cette différence pour identifier le plu «performant». Cependant lorqu on examine le réultat de différent Z on remarque que c et l étudiant B qui obtient le Z le plu élevé. C et donc lui qui a le mieux réui par rapport à e collègue. Aini, l étudiant qui a obtenu 93 a été moin performant (avec un Z de + 0,26 comparativement à +0,36 pour l étudiant B) Également, l étudiant C même il a obtenu une note de 82 a une moin bonne cote Z (-0,42) que l étudiant D (-0,38). Rappelon que plu le Z éloigne de 0 plu il y a écart dan la «performance». Voici le tableau comparatif de réultat brut et du Z. Étudiant Note Rang elon la note Z Rang elon Le Z A ,26 2 B ,36 1 C ,42 4 D ,38 3 La valeur du Z On utilie également le Z afin de meurer la uperficie en pourcentage ou une courbe normale. Remarquez qu il et néceaire d avoir une courbe normale pour utilier le Z dan ce ca 4 x x. On utilie la même formule oit Z = i x ou Z = i x σ Exemple : Suppoon que le ampoule produite par un manufacturier ont une durée de vie moyenne de 2000 heure. Suppoon également que l écart-type et de 250 heure (S). 4 Dan le ca contraire, avec une courbe aymétrique, nou devrion utilier le théorème de Chebyhev.

7 Combien d ampoule auront une durée de vie d au moin 1750 heure? On ait que la production uit une courbe normale. Dan une courbe normale 50% de obervation e retrouvent entre la moyenne et la limite inférieure et 50% de obervation e retrouvent entre la moyenne et la limite upérieure (puique pour une courbe normale la moyenne et égale à la médiane). Pour notre exemple 1750 heure e retrouve avant la moyenne de 2000 heure. Il agit donc à l aide du Z de calculer la uperficie entre 1750 heure et 2000 heure. Si nou appliquon la formule du Z nou avon : x x Z = i = = = -1 Le Z = -1. Pour interpréter ce réultat nou devon utilier la table du Z (ce qui n était pa le ca avec la cote Z). Avec un Z de +1,00 ou de -1,00, la table nou donne une uperficie de 34,13%. Il y aurait donc 34,13% de ampoule dont la durée de vie e itue entre 1750 et 2000 heure. On peut illutrer cette ituation par le graphique uivant : 50% 50% 34,13% Si la quetion et de avoir quelle et la probabilité que l ampoule dure 1750 heure ou plu alor nou avon 34,13% entre 1750 et la moyenne et 50% entre la moyenne et la limite upérieure donc 34,13% + 50% = 84,13%. Si, au contraire, nou déiron avoir combien d ampoule, en pourcentage, brûleron 1750 heure et moin nou aurion comme réultat, toujour avec la même moyenne et le même écart-type: 50% 34,13% = 15,87% Autre exemple : Avec le même donnée que pour l exemple précédent, une moyenne de 2000 heure et un écart-type de 250 heure, nou déiron avoir combien d ampoule brûleront entre 1750 heure et 2250 heure. Nou avon donc : Z 1750 = = Z 2250 = =

8 Nou aurion donc 68,26% de ampoule entre ce meure. 34,13% 34,13% Enfin i nou déiron meurer le pourcentage entre 1750 heure et 1785 heure nou devrion faire le calcul uivant : Z 1750 = = Z 1785 = = Nou avon déjà que Z=1 repréente 34,13% entre 1750 heure et la moyenne de 2000 heure. La table nou indique que pour un Z de -0,86 la uperficie et de 30,51%. Il y aurait donc entre 1785 heure et 2000 heure 30,51% de ampoule. Nou déiron connaître combien, toujour en pourcentage, il y a d ampoule entre 1750 et 1785 heure tel qu illutré dan le graphique ci ba. Il agit donc de calculer la différence entre le deux Z tel que : 34,13% - 30,51% = 3,62%. Il y a donc 3,62% de ampoule entre 1750 et 1785 heure. 30,51% 3,62% 34,

9 Nou auron l occaion de revenir ur l utilité du Z ultérieurement. Mentionnon eulement que + ou 1 Z = 68,26% de la uperficie et que +ou- 2 Z = 95,44%. Ce deux chiffre ont d important point de référence à la foi pour le tet tatitique et pour le ondage.

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