On désigne par C, l'événement «elles vont au cinéma» et par R, l'événement «elles font une randonnée»,

Transcription

1 Série L Mathématiques Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. EXECICE Amélie et Béatrice projettent une sortie soit au cinéma soit en randonnée, Amélie ou Béatrice décide du choix de l'activité. On désigne par A l'événement «Amélie décide» et par B l'événement «Béatrice décide», B est donc l'événement contraire de A. On suppose que la probabilité pour qu'amélie décide est p(a) = 7 Déterminer p(b), probabilité pour que Béatrice décide. Lorsque Amélie décide, 3 fois sur elle choisit le cinéma. Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur elle choisit la randonnée, On désigne par C, l'événement «elles vont au cinéma» et par, l'événement «elles font une randonnée», a) Déterminer les probabilités conditionnelles P A (C) et P B (C) où P A (C) est la probabilité de C sachant A et P B (C) est la probabilité de C sachant B. b) eproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant : A 3 a) Calculer les probabilités p(a C) et p(b C). b) Montrer que p(c) = 7. c) En déduire p(). 4 Sachant qu'amélie et Béatrice sont allées en randonnée, quelle est la probabilité pour que ce soit Béatrice qui ait décidé?

2 EXECICE Une entreprise a fabriqué objets d un modèle A en 999. Elle réduit progressivement cette production de 500 pièces par an jusqu à ce que la production devienne nulle. On note U 0 la production du modèle A pour l année 999 et U n la production du modèle A pour l année (999 + n). a) Calculer U et U. b) Exprimer U n + en fonction de U n. Quelle est la nature de la suite (U n )? c) Exprimer U n en fonction de n. d) Déterminer le nombre total d objets qui auront été produits du er janvier 999 au 3 décembre 007. Dès 999, cette entreprise lance un nouveau modèle B. 000 objets du modèle B ont été produits en 999. La production du modèle B augmente de 8 % chaque année. On note V n la production du modèle B pour l année (999 + n). Les résultats numériques seront arrondis à l unité près. a) Vérifier que V = 880 et calculer V. b) Exprimer V n + en fonction de V n. Quelle est la nature de la suite (V n )? c) Exprimer V n en fonction de n. d) Calculer la production de l année 007. e) Déterminer le nombre total d objets du modèle B qui auront été produits du er janvier 999 au 3 décembre 007. EXECICE 3 Le code ISBN (International Standard Book Number, Numéro international normalisé du livre) permet d identifier chaque livre de manière unique dans le monde entier. Il sert notamment de numéro de référence dans les bases de données informatiques (bibliothèque, éditeurs). Il est composé de dix chiffres répartis en quatre groupes séparés par des tirets. Exemples : ISBN ou ISBN Le premier groupe correspond au pays de l éditeur ( pour la France), le deuxième groupe est le numéro de l éditeur, le troisième celui du livre, enfin le dernier chiffre est une clé qui sert à vérifier qu on a pas effectué d erreurs de saisie en rentrant le code dans un ordinateur. Cette clé est calculée de la manière suivante : A partir des neuf premiers chiffres a,a, a 3,..., a 9 (sans tenir compte des tirets), on calcule la somme : S = a + a +3 a 3 +4 a 4 +5 a 5 +6 a 6 +7 a 7 +8 a 8 +9 a 9, puis on calcule le reste de la division euclidienne de S par. Ce reste est la clé. Il s agit d un entier compris entre 0 et inclus ; s il vaut, on écrit alors le chiffre romain X. Exemple : un livre américain est codé par les chiffres ? La somme S vaut dans ce cas 08 or 08 = 8+. Le reste est donc égal à, donc la clé sera X. On obtient alors le code X. Compléter les codes suivants par leur clés : ISBN ? ISBN ? Un bibliothécaire saisi le code ISBN Le logiciel lui indique alors qu il a commis une erreur. a) Comment le logiciel a-t-il détecté l erreur? b) Le bibliothécaire s aperçoit alors qu il a interverti les deux chiffres du numéro de l éditeur ; il saisit donc le code ISBN Ce code est-il cohérent avec la clé de contrôle? 3 Le bibliothécaire reçoit un nouveau message d erreur en rentrant le code ISBN Corriger son erreur sachant qu elle porte seulement sur le chiffre de gauche. 5 On voudrait savoir si intervertir deux chiffres entraîne toujours une modification de la clé, ce qui permet de déceler l erreur. On suppose par exemple qu au lieu de saisir les neufs chiffres d un code ISBN a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9, le bibliothécaire saisisse a a 3 a a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9. On considère S et S les sommes correspondant respectivement au code exact et au code erroné. a) Calculer S S en fonction des chiffres a et a 3. b) Quelles sont les valeurs possibles pour S S? c) Est-ce que S et S peuvent être congrues modulo? d) Que peut-on en conclure?

3 EXECICE 4 On considère l agorithme suivant : Entrée Initialisation Traitement : a un entier naturel. L liste vide Affecter la valeur a à x. : Tant que x > 0 ; Effectuer la division euclidienne de x par 6 ; Affecter son reste à r et son quotient à q ; Mettre la valeur de r au début de la liste L ; Affecter q à x. Sortie : Afficher les éléments de la liste L. Faire fonctionner cet algorithme pour a = 376. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera : r q L x Initialisation vide 376 Fin étape Fin étape Expliquer le lien entre les éléments de la liste L et l écriture de 376 en base 6. EXECICE 5 La population d une ville nouvelle est donnée par : 6 t + f (t) = où t est le temps depuis 970 (exprimé en années) et f (t) est le nombre d habitants (exprimé en t + 5 milliers). Calculer la population de cette ville début 980, puis début 995. a) Calculer f (t) où f est la dérivée de f. b) En déduire le sens de variation de f sur l intervalle [ 0 ; + [ et en donner une interprétation concrète. 3 La dérivée de la fonction f représente le rythme de croissance de la population de cette ville (exprimé en milliers d habitants par an). a) Calculer le rythme de croissance en 990 pour cette ville. b) Déterminer à quel moment le rythme de croissance sera égal à 0,5 milliers (ou 5 habitants de plus par an).

4 EXECICE Amélie et Béatrice projettent une sortie soit au cinéma soit en randonnée, Amélie ou Béatrice décide du choix de l'activité. On désigne par A l'événement «Amélie décide» et par B l'événement «Béatrice décide», B est donc l'événement contraire de A. On suppose que la probabilité pour qu'amélie décide est p(a) = 7 Déterminer p(b), probabilité pour que Béatrice décide. p(a) = 7 donc p (B) = p ( A) = p (A) = 7 = 7 = 5,5 Lorsque Amélie décide, 3 fois sur elle choisit le cinéma. Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur elle choisit la randonnée, On désigne par C, l'événement «elles vont au cinéma» et par, l'événement «elles font une randonnée», a) Déterminer les probabilités conditionnelles P A (C) et P B (C) où P A (C) est la probabilité de C sachant A et P B (C) est la probabilité de C sachant B. Lorsque Amélie décide, 3 fois sur elle choisit le cinéma donc p A (C) = 3 0,5 Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur elle choisit la randonnée donc P B () = 4 et P B(C) = 4 = 6 b) eproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :,5 3 a) Calculer les probabilités p(a C) et p(b C). p(a C) = 7 3 = 7 0,5 p(b C) = 5 6 = 4 b) Montrer que p(c) = 7. 0,5 7 p(c) = p(a C) + p(b C) = = 7 + = 7 c) En déduire p(). p() = p(c) = 7 = 3 4 Sachant qu'amélie et Béatrice sont allées en randonnée, quelle est la probabilité pour que ce soit Béatrice qui ait décidé? 5 p( B) 4 P (B) = = = 5 p() = 0,5 69 A B 4 C C

5 EXECICE Une entreprise a fabriqué objets d un modèle A en 999. Elle réduit progressivement cette production de 500 pièces par an jusqu à ce que la production devienne nulle. On note U 0 la production du modèle A pour l année 999 et U n la production du modèle A pour l année (999 + n). a) Calculer U et U. U = U = ,5 U = U 500 = ,5 b) Exprimer U n + en fonction de U n. Quelle est la nature de la suite (U n )? U n + = U n 500 donc la suite (U n ) est arithmétique de raison 500. c) Exprimer U n en fonction de n. U n = U 0 + n 500 d) Déterminer le nombre total d objets qui auront été produits du er janvier 999 au 3 décembre 007. U 0 + U + + U 8 = 9 U 0 + U = 9 = 000 Dès 999, cette entreprise lance un nouveau modèle B. 000 objets du modèle B ont été produits en 999. La production du modèle B augmente de 8 % chaque année. On note V n la production du modèle B pour l année (999 + n). Les résultats numériques seront arrondis à l unité près. a) Vérifier que V = 880 et calculer V. V = V = 880 0,5 V =,08 V = 830 0,5 b) Exprimer V n + en fonction de V n. Quelle est la nature de la suite (V n )? V n + =,08 V n. La suite (V n ) est géométrique de raison,08. c) Exprimer V n en fonction de n. V n = V 0,08 n d) Calculer la production de l année 007. V 8 = V 0, ,5 e) Déterminer le nombre total d objets du modèle B qui auront été produits du er janvier 999 au 3 décembre 007. V 0 + V V 8 = V 0 ( +,08 +,08 + +,08 8 ) = 000, ,5,08 EXECICE 3 Le code ISBN (International Standard Book Number, Numéro international normalisé du livre) permet d identifier chaque livre de manière unique dans le monde entier. Il sert notamment de numéro de référence dans les bases de données informatiques (bibliothèque, éditeurs). Il est composé de dix chiffres répartis en quatre groupes séparés par des tirets. Exemples : ISBN ou ISBN Le premier groupe correspond au pays de l éditeur ( pour la France), le deuxième groupe est le numéro de l éditeur, le troisième celui du livre, enfin le dernier chiffre est une clé qui sert à vérifier qu on a pas effectué d erreurs de saisie en rentrant le code dans un ordinateur. Cette clé est calculée de la manière suivante : A partir des neuf premiers chiffres a,a, a 3,..., a 9 (sans tenir compte des tirets), on calcule la somme : S = a + a +3 a 3 +4 a 4 +5 a 5 +6 a 6 +7 a 7 +8 a 8 +9 a 9, puis on calcule le reste de la division euclidienne de S par. Ce reste est la clé. Il s agit d un entier compris entre 0 et inclus ; s il vaut, on écrit alors le chiffre romain X. Exemple : un livre américain est codé par les chiffres ? La somme S vaut dans ce cas 08 or 08 = 8+. Le reste est donc égal à, donc la clé sera X. On obtient alors le code X. Compléter les codes suivants par leur clés : ISBN ? = = + donc la clé est égale à. ISBN ? = 43 = 3 donc la clé est égale à 0. Un bibliothécaire saisi le code ISBN Le logiciel lui indique alors qu il a commis une erreur. a) Comment le logiciel a-t-il détecté l erreur? = 53 = 3 donc la clé devrait être 0. b) Le bibliothécaire s aperçoit alors qu il a interverti les deux chiffres du numéro de l éditeur ; il saisit donc le code ISBN Ce code est-il cohérent avec la clé de contrôle? = donc la clé est cohérente. 3 Le bibliothécaire reçoit un nouveau message d erreur en rentrant le code ISBN Corriger son erreur sachant qu elle porte seulement sur le chiffre de gauche. a = a + 78 = a donc a = 0.

6 5 On voudrait savoir si intervertir deux chiffres entraîne toujours une modification de la clé, ce qui permet de déceler l erreur. On suppose par exemple qu au lieu de saisir les neufs chiffres d un code ISBN a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9, le bibliothécaire saisisse a a 3 a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9. On considère S et S les sommes correspondant respectivement au code exact et au code erroné. a) Calculer S S en fonction des chiffres a et a 3. S S = a + a + 3 a a a a a a a 9 a a 3 3 a 4 a 4 5 a 5 6 a 6 7 a 7 8 a 8 9 a 9 = a + 3 a 3 a 3 3 a = a a 3,5 b) Quelles sont les valeurs possibles pour S S? S S {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c) Est-ce que S et S peuvent être congrues modulo? S S { 9,, 9 } et le seul multiple de contenu dans cet ensemble est 0. Mais S S = 0 est impossible car sinon il n y aurait pas erreur. donc S et S ne sont jamais congrues modulo. d) Que peut-on en conclure? Quelque soit les valeurs de a et a 3 l erreur sera décelée car les clés correspondantes aux deux nombres seront différentes. 0,5 EXECICE 4 On considère l agorithme suivant : Entrée : a un entier naturel. Initialisation Traitement L liste vide Affecter la valeur a à x. : Tant que x > 0 ; Effectuer la division euclidienne de x par 6 ; Affecter son reste à r et son quotient à q ; Mettre la valeur de r au début de la liste L ; Affecter q à x. Sortie : Afficher les éléments de la liste L. Faire fonctionner cet algorithme pour a = 376. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera : r q L x Initialisation vide 376 Fin étape 4 6 {4} 6 Fin étape {, 4}... 4 {4,, 4} Sortie L = {, 4,, 4} 3 Expliquer le lien entre les éléments de la liste L et l écriture de 376 en base 7. Les éléments de la liste L donnent l écriture de 376 en base = 44 (6) = t + EXECICE 5 La population d une ville nouvelle est donnée par : f (t) = t + 5 années) et f (t) est le nombre d habitants (exprimé en milliers). Calculer la population de cette ville début 980, puis début La population de la ville début 980 est égale à f () = + 5 = 8 La population de la ville début 995 est égale à f (5) = a) Calculer f (t) où f est la dérivée de f où t est le temps depuis 970 (exprimé en = 0 u (t) = 6 t + et u (t) = 6 6 (t + 5) (6 t + ) 0 v (t) = t + 5 et v (t) = donc f (t) = (t + 5) = (t + 5),5 b) En déduire le sens de variation de f sur l intervalle [ 0 ; + [ et en donner une interprétation concrète. Pour tout réel t appartenant à I +, f (t) > 0 donc la fonction f est croissante donc la population de la ville est en

7 constante augmentation.,5 3 La dérivée de la fonction f représente le rythme de croissance de la population de cette ville (exprimé en milliers d habitants par an). a) Calculer le rythme de croissance en 990 pour cette ville. Le rythme de croissance en 990 pour cette ville est égale à f () = 0 5 = 8 5 b) Déterminer à quel moment le rythme de croissance sera égal à 0,5 milliers (ou 5 habitants de plus par an). Il faut résoudre l équation f (t) = 0,5 0 f (t) = 0,5 (t + 5) = = (t + 5) (t + 5) = 960 t + 5 = 960 t = t 6 donc le rythme de croissance sera égal à 0,5 milliers en 996 environ.

8 EXECICE p(a) = 7 donc p (B) = p ( A) = p (A) = 7 = 7 = 5 a) Lorsque Amélie décide, 3 fois sur elle choisit le cinéma donc p A (C) = 3 0,5 Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur elle choisit la randonnée donc P B () = 4 et P B(C) = 4 = 6 b) eproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant : 3 a) p(a C) = 7 3 = 7 p(b C) = 5 6 = 4 0,5 0,5 b) p(c) = p(a C) + p(b C) = = 7 + c) p() = p(c) = 7 3 = 4 P (B) = p( B) p() = = = = 69,5 EXECICE a) U = U = ,5 U = U 500 = ,5 b) U n + = U n 500 donc la suite (U n ) est arithmétique de raison 500. c) U n = U 0 + n 500 d) U 0 + U + + U 8 = 9 U 0 + U 8 = 9 a) V = V = = = 880 0,5 V =,08 V = 830 0,5 b) V n + =,08 V n. La suite (V n ) est géométrique de raison,08. c) V n = V 0,08 n d) V 8 = V 0, ,5 e) V 0 + V V 8 = V 0 ( +,08 +,08 + +,08 8 ) = 000,089,08 EXECICE 3 ISBN ? , = = + donc la clé est égale à. ISBN ? = 43 = 3 donc la clé est égale à 0. a) = 53 = 3 donc la clé : 0. b) = 60 =3 + 7 donc cohérente. 3 a = a + 78 = a a = 0. 5 a) S S = a + a + 3 a a a a a a a 9 a a 3 3 a 4 a 4 5 a 5 6 a 6 7 a 7 8 a 8 9 a 9 = a + 3 a 3 a 3 3 a = a a 3,5 b) S S {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c) S S [ 9,, 9 ] et le seul multiple de contenu dans cet ensemble est 0. Mais S S = 0 est impossible car sinon il n y aurait pas erreur. donc S et S ne sont jamais congrues modulo. d) Quelque soit les valeurs de a et a 3 l erreur sera décelée 0,5 7 A B 4 C C

9 EXECICE 4 r q L x Initialisation vide 376 Fin étape 4 6 {4} 6 Fin étape {, 4}... 4 {4,, 4} Sortie L = {, 4,, 4} 3 Expliquer le lien entre les éléments de la liste L et l écriture de 376 en base 7. Les éléments de la liste L donnent l écriture de 376 en base = 44 (6) = EXECICE 5 La population de la ville début 980 est égale à f () = + 5 = La population de la ville début 995 est égale à f (5) = = u (t) = 6 t + et u (t) = 6 6 (t + 5) (6 t + ) 0 a) v (t) = t + 5 et v (t) = donc f (t) = (t + 5) = (t + 5),5 b) En déduire le sens de variation de f sur l intervalle [ 0 ; + [ et en donner une interprétation concrète. Pour tout réel t appartenant à I +, f (t) > 0 donc la fonction f est croissante donc la population de la ville est en constante augmentation.,5 3 La dérivée de la fonction f représente le rythme de croissance de la population de cette ville (exprimé en milliers d habitants par an). a) Calculer le rythme de croissance en 990 pour cette ville. Le rythme de croissance en 990 pour cette ville est égale à f () = 0 5 = 8 5 b) Déterminer à quel moment le rythme de croissance sera égal à 0,5 milliers (ou 5 habitants de plus par an). Il faut résoudre l équation f (t) = 0,5 0 f (t) = 0,5 (t + 5) = = (t + 5) (t + 5) = 960 t + 5 = 960 t = t 6 donc le rythme de croissance sera égal à 0,5 milliers en 996 environ.