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1 Détection a-contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies Lionel Moisan MAP5, Université René Descartes-Paris 5 travail réalisé en collaboration avec Bénédicte Grosjean (MAP5 / General Electrics Healthcare) Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 1

2 Cancer du sein et mammographie le cancer du sein : est le cancer le plus fréquent chez la femme (touche une femme sur 10) nouveaux cas et décès par an en France avantages du dépistage par mammographie: diagnostic mammographique isolé exact dans 85 à 90 % des cas détection de tumeurs plus petites (<2mm) diagnostic plus précoce (gain de 2 ans) permet la détection de cancers in-situ (30 %) baisse de 30% du taux de mortalité (tranche d âge ans) impossibilité de définir radiologiquement un sein normal (très forte disparité en fonction de la patiente, de l âge, etc.) lecture comparative bilatérale nécessaire expertise humaine difficile à égaler Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 2

3 Anomalies types dans les mammographies Signes classiques du cancer du sein : micro-calcifications (punctiformes, irrégulières, amas) distorsions de l architecture glandulaire lésions stellaires masses (opacités) opacité très visible opacité peu visible Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 3

4 Détectabilité des lésions Comment améliorer les performances des appareils de mammographie numérique? compromis à réaliser entre : résolution de l image bruit quantique, bruit électronique intensité du faisceau de rayons X (risque de surdose) autres paramètres physiques pour optimiser un système d imagerie mammographique, il est nécessaire de construire un modèle de détectabilité des lésions ce n est pas un objectif de détection automatique ou d aide au diagnostic (les meilleurs systèmes experts sont les médecins eux-mêmes) Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 4

5 Détectabilité de taches sur un fond texturé problème plus général: détectabilité de taches dans une texture définition d une tache: sur-contraste local additif (pas une occlusion) exemples de simulations dans une texture de bruit blanc: cylindre sphère cône remarque: pas de perception de bords pour la tache conique pur sur-contraste local, intéressant pour les simulations du point de vue de la modélisation, on ne suppose pas de profil précis Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 5

6 Détectabilité, taille et contraste (1) Pour toute texture, la détectabilité augmente toujours avec le contraste Sur une texture de type bruit blanc : à contraste fixé, la détectabilité augmente quand la taille augmente pour garder une détectabilité fixée, le contraste doit diminuer si la taille augmente taille 5, contraste 40 taille 20, contraste 20 taille 50, contraste 15 Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 6

7 Détectabilité, taille et contraste (2) Sur une texture plus complexe, la situation inverse peut se produire C est notamment le cas dans les mammographies (loi de Burgess) : à contraste fixé, la détectabilité diminue quand la taille augmente à détectabilité fixée, le contraste doit augmenter si la taille augmente Loi de Burgess (lien taille/contraste pour la détectabilité humaine d opacités dans les mammographies et dans un bruit blanc) Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 7

8 Détectabilité, taille et contraste (3) Observation de loi de Burgess pour des bruits colorés en 1/f 3 : taille 5, contraste 90 taille 20, contraste 110 taille 50, contraste 140 Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 8

9 Modéliser la détectabilité 1ère solution: notion d observateur idéal (test de Neyman-Pearson) inconvénient nécessité de construire un modèle du signal à détecter (H 1 ) test global, peu adapté Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 9

10 Modéliser la détectabilité 1ère solution: notion d observateur idéal (test de Neyman-Pearson) inconvénient nécessité de construire un modèle du signal à détecter (H 1 ) test global, peu adapté 2ème solution: détection a contrario [Desolneux, M., Morel (2000)] On se donne: un modèle de texture seul (H 0 ) une mesure locale (détecteur T (x)) Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 9

11 Modéliser la détectabilité 1ère solution: notion d observateur idéal (test de Neyman-Pearson) inconvénient nécessité de construire un modèle du signal à détecter (H 1 ) test global, peu adapté 2ème solution: détection a contrario [Desolneux, M., Morel (2000)] On se donne: un modèle de texture seul (H 0 ) une mesure locale (détecteur T (x)) On réalise alors un ensemble de N tests T i = T (x i ), 1 i N, Le test T i est positif (rejet de H 0 ) si NF A(t i ) S, où NF A(t) = N P (T t). Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 9

12 Modéliser la détectabilité 1ère solution: notion d observateur idéal (test de Neyman-Pearson) inconvénient nécessité de construire un modèle du signal à détecter (H 1 ) test global, peu adapté 2ème solution: détection a contrario [Desolneux, M., Morel (2000)] On se donne: un modèle de texture seul (H 0 ) une mesure locale (détecteur T (x)) On réalise alors un ensemble de N tests T i = T (x i ), 1 i N, Le test T i est positif (rejet de H 0 ) si NF A(t i ) S, où NF A(t) = N P (T t). Propriétés: E (#{i, T i rejette H 0 } H 0 ) S. contrôle par S de l espérance du nombre de fausses alarmes (faux positifs) modélisation bien adaptée à la perception visuelle (principe de Helmholtz) Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 9

13 Modèle de détection a contrario Modèle sans contexte: on se donne une fonction s normalisée ( R s = 1), paire, ŝ C 2 On mesure, pour une famille de points (x i ) 1 i N (par exemple sur une grille régulière), les < u, s i >= Z y u(x)s i (x) dx, avec s i (x) = s(x x i ), et on s étonne d observer certaines valeurs anormalement élevées. Exemple: s(x) = m R (x) := 1 πr 2 1 D(0,R) (x) Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 10

14 Modèle de détection a contrario Modèle sans contexte: on se donne une fonction s normalisée ( R s = 1), paire, ŝ C 2 On mesure, pour une famille de points (x i ) 1 i N (par exemple sur une grille régulière), les < u, s i >= Z y u(x)s i (x) dx, avec s i (x) = s(x x i ), et on s étonne d observer certaines valeurs anormalement élevées. Exemple: s(x) = m R (x) := 1 πr 2 1 D(0,R) (x) Modèle avec contexte conditionnel: on se donne s et s, et on s étonne d observer une valeur anormalement élevée de certains < u, s i > conditionnellement à la valeur observée correspondante de < u, s i >. Exemple 1: s = m R, s = m αr (α > 1) : contexte incluant l objet Exemple 2: s = m R, s = 1 πr 2 (α 2 1) 1 D(0,αR)\D(0,R)(x) : contexte excluant l objet Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 10

15 Modèle de détection a contrario Modèle sans contexte: on se donne une fonction s normalisée ( R s = 1), paire, ŝ C 2 On mesure, pour une famille de points (x i ) 1 i N (par exemple sur une grille régulière), les < u, s i >= Z y u(x)s i (x) dx, avec s i (x) = s(x x i ), et on s étonne d observer certaines valeurs anormalement élevées. Exemple: s(x) = m R (x) := 1 πr 2 1 D(0,R) (x) Modèle avec contexte conditionnel: on se donne s et s, et on s étonne d observer une valeur anormalement élevée de certains < u, s i > conditionnellement à la valeur observée correspondante de < u, s i >. Exemple 1: s = m R, s = m αr (α > 1) : contexte incluant l objet Exemple 2: s = m R, s = 1 πr 2 (α 2 1) 1 D(0,αR)\D(0,R)(x) : contexte excluant l objet Modèle avec contraste au contexte: on se donne s et s, et on s étonne d observer une valeur anormalement élevée de certains contrastes < u, s i > < u, s i >. Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 10

16 Bruit blanc bidimensionnel Bruit blanc gaussien discret: processus (W (x)) x Z 2 où les W (x) sont des variables aléatoires i.i.d N(0, 1) Propriété: Pour une image discrète f : Z 2 R, f l 2 (Z 2 ), X f(x)w (x) N 0, X! f(x) 2. x x Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 11

17 Bruit blanc bidimensionnel Bruit blanc gaussien discret: processus (W (x)) x Z 2 où les W (x) sont des variables aléatoires i.i.d N(0, 1) Propriété: Pour une image discrète f : Z 2 R, f l 2 (Z 2 ), X f(x)w (x) N 0, X! f(x) 2. x x Le bruit blanc continu est décrit par l intégrale stochastique Z f L 2 (R 2 ), f(x)w (x)dx = < f, W > N Z 0, «f 2. Plus généralement, on a f, g L 2 (R 2 ), cov(< f, W >, < g, W >) = Z fg. Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 11

18 Détectabilité dans une texture de bruit blanc Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σw, W bruit blanc Modèle sans contexte Mesure: m =< u, s > Détection si NF A(µ, σ, m) S, avec NF A(µ, σ, m) = N P (M m) = N erfc avec erfc(t) = P(X t X N(0, 1)) = 1 2π Z + cas particulier: s = m R NF A = N erfc R π m µ σ courbes d iso-détectabilité: log(a µ) = R + cte. t «m µ, σ s. e s2 /2 ds. à détectabilité fixée, le contraste a µ requis décroît quand R augmente Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 12

19 Détectabilité dans une texture de bruit blanc Modèle avec contraste au contexte Mesure: m m avec m =< u, s > et m =< u, s > Détection si NF A(µ, σ, m, m ) S, avec NF A = N P `M M m m «m m = N erfc. σ s s permet de s affranchir de la connaissance a priori de µ cas particulier: si s = m R, s = m αr, α > 1, alors 0 NF A = N πr q 1 1 α 2 1 m m A. σ Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 13

20 Détectabilité dans une texture de bruit blanc Modèle avec contexte incluant l objet Mesures: m =< u, s > et m =< u, s > Détection si NF A(µ, σ, m, m ) S, avec 0 NF A(µ, σ, m, m ) = N 1 σ s <s,s > s s 2 si s = 1 D D et s = 1 D D, avec D D, alors «m m NF A = N erfc. σ s s (a µ) (b µ) < s, «1 s > A. s 2 dans ce cas, coïncidence avec le modèle de contraste au contexte (m m ) Pas de modèle intéressant avec contexte excluant l objet (m et m indépendants) Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 14

21 Modèle de microtexture (bruit coloré) On appelle microtexture de noyau k K le processus Gaussien U = µ + σk W. K: espace des distributions tempérées k S telles que ˆk L. propriétés: f L 2, cas particuliers: < f, k W > = < k f, W > N 0, 1 4π 2 f, g L 2, cov(< f, k W >, < g, k W >) = 1 4π 2 Z Z «ˆk 2 ˆf 2. ˆk 2 ˆf ĝ. ˆk(ξ) = 1 (i.e. k = δ 0 ) : bruit blanc ˆk(ξ) 1 (spectre de puissance en 1/ ξ β ) : bruit coloré (fractal) ξ β/2 Le cas β = 3 modélise bien le fond des textures mammographiques Mathématiquement, on considère ˆk ε (ξ) = 1 [ε,+ [( ξ ) et l on fait ε 0. ξ β/2 Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 15

22 Exemples de textures en loi de puissance β = 0 (bruit blanc) β = 1 β = 2 β = 3 β = 4 β = 5 Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 16

23 Loi de Burgess Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 17

24 Détectabilité dans une texture quelconque Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σk W (k S ) Modèle sans contexte Mesure: m =< u, s >, détection si NF A ε (µ, σ, m) S, avec «a NF A = N erfc. σ k s modèle peu adapté aux textures basse fréquence ( k s grand) en particulier pour les textures en loi de puissance Modèle avec contexte conditionnel Mesures: m =< u, s >, m =< u, s > Détection si NF A ε (µ, σ, m, m ) S, avec 0 NF A = N 1 σ k s <k s,k s > k s k s 2 (a µ) (b µ) < k s, k «1 s > A. k s 2 Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 18

25 Détectabilité dans une texture fractale Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σk ε W, avec ˆk ε (ξ) = 1 [ε,+ [( ξ ) ξ β/2 Modèle avec contexte conditionnel Mesures: m =< u, s R > et m =< u, s R >, s R (x) = s ` x, R s R (x) = s ` x. R Détection si NF A ε (µ, σ, R, β, m, m ) S Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 19

26 Détectabilité dans une texture fractale Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σk ε W, avec ˆk ε (ξ) = 1 [ε,+ [( ξ ) ξ β/2 Modèle avec contexte conditionnel Mesures: m =< u, s R > et m =< u, s R >, s R (x) = s ` x, R s R (x) = s ` x. R Détection si NF A ε (µ, σ, R, β, m, m ) S Théorème. Si 2 < β < 4, alors 0 NF A ε ε 0 N 1 R β 2 2 m m σ 1 π q A R. + ŝ(f) ŝ 0 (f) 2 f 1 β df Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 19

27 Détectabilité dans une texture fractale Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σk ε W, avec ˆk ε (ξ) = 1 [ε,+ [( ξ ) ξ β/2 Modèle avec contexte conditionnel Mesures: m =< u, s R > et m =< u, s R >, s R (x) = s ` x, R s R (x) = s ` x. R Détection si NF A ε (µ, σ, R, β, m, m ) S Théorème. Si 2 < β < 4, alors 0 NF A ε ε 0 N 1 R β 2 2 m m σ 1 π q A R. + ŝ(f) ŝ 0 (f) 2 f 1 β df courbes d iso-détectabilité: log(m m ) = β 2 2 log R + cte. Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 19

28 Détectabilité dans une texture fractale Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σk ε W, avec ˆk ε (ξ) = 1 [ε,+ [( ξ ) ξ β/2 Modèle avec contexte conditionnel Mesures: m =< u, s R > et m =< u, s R >, s R (x) = s ` x, R s R (x) = s ` x. R Détection si NF A ε (µ, σ, R, β, m, m ) S Théorème. Si 2 < β < 4, alors 0 NF A ε ε 0 N 1 R β 2 2 m m σ 1 π q A R. + ŝ(f) ŝ 0 (f) 2 f 1 β df courbes d iso-détectabilité: log(m m ) = β 2 2 log R + cte. à détectabilité fixée, le contraste m m requis croît quand R augmente Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 19

29 Détectabilité dans une texture fractale Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σk ε W, avec ˆk ε (ξ) = 1 [ε,+ [( ξ ) ξ β/2 Modèle avec contexte conditionnel Mesures: m =< u, s R > et m =< u, s R >, s R (x) = s ` x, R s R (x) = s ` x. R Détection si NF A ε (µ, σ, R, β, m, m ) S Théorème. Si 2 < β < 4, alors 0 NF A ε ε 0 N 1 R β 2 2 m m σ 1 π q A R. + ŝ(f) ŝ 0 (f) 2 f 1 β df courbes d iso-détectabilité: log(m m ) = β 2 2 log R + cte. à détectabilité fixée, le contraste m m requis croît quand R augmente on retrouve la pente observée par Burgess ( β 2 2 ), indépendante de s et s Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 19

30 Détectabilité dans une texture fractale Modèle naïf (H 0 ): U = µ + σk ε W, avec ˆk ε (ξ) = 1 [ε,+ [( ξ ) ξ β/2 Modèle avec contexte conditionnel Mesures: m =< u, s R > et m =< u, s R >, s R (x) = s ` x, R s R (x) = s ` x. R Détection si NF A ε (µ, σ, R, β, m, m ) S Théorème. Si 2 < β < 4, alors 0 NF A ε ε 0 N 1 R β 2 2 m m σ 1 π q A R. + ŝ(f) ŝ 0 (f) 2 f 1 β df courbes d iso-détectabilité: log(m m ) = β 2 2 log R + cte. à détectabilité fixée, le contraste m m requis croît quand R augmente on retrouve la pente observée par Burgess ( β 2 ), indépendante de s et s 2 coïncidence avec le modèle de contraste au contexte pour tous s et s Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 19

31 Conclusion construction d un modèle d observateur mathématique pour la détection de taches prérequis: modèle de texture (H 0 ), détecteur pas de modèle de tache à expliciter (pas de H 1 ) si un tel modèle est néanmoins disponible, on peut alors optimiser le détecteur (taille relative du contexte par exemple) notion de contexte essentielle pour une texture basse fréquence cadre mathématique asymptotique pour les textures en loi de puissance on retrouve la loi de Burgess inversion de la relation taille/contraste identification de la pente exacte à détectabilité donnée application aux mammographies: possibilité de préciser l influence de paramètres du système sur la détectabilité de lésions de taille et de contraste donnée modèle de détectabilité et non de détection Lionel Moisan - Détection a contrario de taches dans une image texturée. Application aux mammographies. p. 20

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