) de ce plan et un nombre réel positif r. Un point P = ( x P

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1 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 HAPITRE 4 ERLES 4. Equation d'un cecle donné pa son cente et son ayon 4.. Equation catésienne d'un cecle Nous savons déjà qu'un cecle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point fixe. e point fixe s'appelle le cente et la distance le ayon du cecle. onsidéons maintenant un plan muni d'un epèe othonomé, un point = ( x 0 ; y 0 ) de ce plan et un nombe éel positif. Un point P = ( x P ; y P ), appatient au cecle de cente et de ayon si la distance de à P est égale à, c est-à-die si δ (; P) =. Définition : Le cecle c de cente et de ayon est l'ensemble des points du plan situés à une distance constante du point, δ (; P) =, c'est-à-die : (x x 0 ) + (y y 0 ) = P c = (x 0 ; y 0 ) P = (x ; y) δ(p ; ) = Puisque les deux membes de l'égalité ci-dessus sont positifs, elle est équivalente à (x x 0 ) + (y y 0 ) = qui est donc l'équation catésienne du cecle c de cente = (x 0 ; y 0 ) et de ayon. 'est cette denièe fome que nous utiliseons comme condition caactéistique d'un cecle. P = ( x ; y ) est donc un point du cecle de cente = ( x 0 ; y 0 ) et de ayon si ses coodonnées véifient la condition (x x 0 ) + (y y 0 ) = ; le cecle de cente et de ayon est alos l'ensemble de tous les points qui véifient cette condition. En langage ensembliste: c = {(x; y) (x - x 0 ) + (y - y 0 ) = et (x; y) R }. Exemple : OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.7

2 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4. L'équation du cecle c de cente = ( ; 3 ) et de ayon = 5 est (x ) + (y + 3) = 5 ette équation se tansfome de la façon suivante: x 4x y + 6x + 9 = 5 x + y 4x + 6y = 0 Finalement c : x + y 4x + 6y = 0 Le point A = ( 5 ; ) est un point du cecle c, ca : x A + y A 4x A + 6y A = = = 0 ou bien ca, A = (5 ) + (+ 3) = = 9 +6 = 5 = 5 =. y B 0 A x Le point B = ( ; 3 ) n'est pas un point du cecle c, ca x B + y B 4x B + 6y B = = = ou bien ca, B = ( ) + ( + 3) = + 5 = + 5 = 6 > 5 (ce qui monte que le point B est à l'extéieu du cecle c ).. L'équation du cecle c de cente = (-3; 5) et de ayon = 0 est : c : (x + 3) + (y - 5) = 400 ou x + y + 6x - 0y -376 = 0 Un cecle c peut aussi ête défini pa son cente et un de ses points ; dans ce cas, on commence pa détemine son ayon, qui est égal à la distance du cente au point donné. Exemple : Si l'on connaît le point A = ( ; - ) du cecle c de cente = ( 3 ; 4 ), son ayon est égal à la distance de à A:. On a alos = δ (; A) = A = ( 3) + ( 4) = ( ) + ( 6) = = 40. ( ) L'équation de ce cecle est donc (x 3) + (y 4) = 40 qui se tansfome en x 6x y 8y + 6 = 40 x + y 6x 8y 5 = 0 Finalement l'équation devient : c : x + y 6x 8y 5 = 0. On véifie facilement que le point A appatient à c : x A + y A 6x A 8y A 5 = + (-) 6 8 (-) 5 = = Fome généale de l'équation d'un cecle Nous avons vu dans les exemples pécédents que l'équation caactéistique du cecle pouvait toujous s'écie comme une équation du deuxième degé à deux vaiables, de la fome x +y + ax + by + c = 0 où a, b et c sont des nombes éels. 'est cette fome que nous appelleons la fome canonique de l'équation d'un cecle. Pou etouve le cente et le ayon d'un cecle donc on connaît l'équation sous sa fome canonique, on utilise la méthode de complétion des caés que nous avons vue en èe année. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.8

3 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 L'équation ci-dessus a donc les caactéistiques suivantes : a) elle est du e degé en x et en y; b) les coefficients de x et de y sont égaux; c) le coefficient du teme en xy est nul. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.9

4 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 Exemple : L'équation x + y 6x + y + = 0 se tansfome de la façon suivante: x 6x + y + y = - x 6x y + y + = (x 3) + (y + ) = 3 Le cecle donné est donc un cecle de cente = ( 3 ; - ) et de ayon = 3. Malheueusement, contaiement à ce qui se passe pou les doites, une équation du type x +y + ax + by + c = 0 ne définit pas toujous un cecle éel! Exemple : x + y + 4x 4y + 4 = 0 se tansfome successivement en x + 4x + y 4y = -4 x + 4x y 4y + 4 = (x + ) + (y ) = -6 Le ayon de ce cecle n'existe pas (ca ne peut jamais ête égal à -6), alos que son cente est = ( - ; )!! On pale dans ces cas là de cecles imaginaies. as paticulies. Si a = 0, alos l'équation devient x +y + by + c = 0 qui se tansfome en x + (y y ) = (si le cecle est éel). Le cente du cecle est donc su l'axe des y (ca x = 0).. Si b = 0, alos l'équation devient x +y + ax + c = 0 qui se tansfome en (x x ) + y = (si le cecle est éel). Le cente du cecle est donc su l'axe des x (ca y = 0). 3. Si a = 0 et b = 0, alos le cecle (s'il est éel) est centé en l'oigine, c'est-à-die = ( 0 ; 0 ). 4. Si c = 0, alos l'équation devient x +y + ax + by = 0 et le point ( 0 ; 0 ) véifie cette équation: a 0 + b 0 = = 0. Le cecle passe donc pa l'oigine, O = ( 0 ; 0 ). Remaque : L'équation du cecle est donnée sous fome implicite : c'est une elation contenant x et y qui est égale à 0. Si l'on voulait l'expime sous la fome y = f(x), il faudait isole y et on auait alos deux solutions : y = +... et y = Du point de vue fonctionnel, le cecle ne peut coesponde au gaphique d'une seule fonction. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.30

5 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite ecle passant pa tois points Nous avons vu en géométie (cous de èe année) que pa tois points (non alignés) du plan, on peut faie passe un et un seul cecle, le cecle ciconscit au tiangle fomé pa ces points et dont le cente se situe à l'intesection des médiatices du tiangle. Nous pouions utilise cette méthode en géométie analytique, ca nous savons détemine les équations des médiatices d'un tiangle, leu point d'intesection (qui seait le cente du cecle) et la distance de ce point à l'un des points donnés (qui donneait le ayon). Mais cette méthode est tès longue. onsidéons tois points (non alignés) E = ( x E ; y E ), F = ( x F ; y F ) et G = ( x G ; y G ). Le cecle passant pa ces tois points a une équation canonique qui doit pouvoi se mette sous la fome x + y + ax + by + c = 0, dont nous ne connaissons pas encoe les coefficients a, b et c. Mais le point E appatient au cecle, donc ses coodonnées doivent véifie l'équation du cecle et on doit avoi : x E + y E + ax E + by E + c = 0. De la même façon, comme les points F et G appatiennent au cecle, on doit avoi: x F + y F + ax F + by F + c = 0 et x G + y G + ax G + by G + c = 0 Nous avons donc tois équations dont les inconnues sont les coefficients a, b et c de la fome canonique. Il ne este qu'à ésoude un système de tois équations à tois inconnues. Exemple: Si E = ( - ; ), F = ( ; 5 ) et G = ( 4 ; 3 ), alos E : x E + y E + ax E + by E + c = 0 (-) + + a (-) + b + c = a + b + c = 0 -a + b + c = -5 De la même façon: F : x F + y F + ax F + by F + c = 0 G : x G + y G + ax G + by G + c = a + b 5 + c = a 4 + b 3 + c = a + 5b + c = a + 3b + c = 0 a + 5b + c = -9 4a + 3b + c = -5 Il faut donc ésoude le système: % a + b + c = 5 a + 5b + c = 9 4a + 3b + c = 5 (on utilise la méthode habituelle) % % a + b + c = 5 a + 5b + c = 9 4a + 3b + c = 5 a + b + c = 5 a + b = 6 a = 4 % a + b + c = 5 4a 4b = 4 6a b = 0 d'où les solutions a = -, b = -4 et c = -5 % a + b + c = 5 a + b = 6 3a + b = 0 L'équation du cecle passant pa E, F et G est : x + y x 4y 5 = 0. On peut facilement etouve le cente et le ayon de ce cecle. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.3

6 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.3

7 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 4. Intesection d'un cecle avec une doite 4.. Détemination des points d'intesection Nous avons vu en géométie qu'un cecle et une doite peuvent avoi points communs (on dit que la doite est une sécante du cecle), un seul point commun (la doite est une tangente au cecle) ou pas de point commun (la doite et le cecle sont disjoints). Pou détemine les points d'intesection d'une doite et d'un cecle, il faut touve l'ensemble de tous les points dont les coodonnées véifient simultanément les équations de la doite et du cecle ; il faut donc ésoude un système de deux équations à deux inconnues, mais dans ce cas, le système n'est pas linéaie, ca l'équation du cecle est du deuxième degé! Soit le cecle : x + y + a x + b y + c = 0 et la doite d : x + s y + t = 0. Pou détemine les points d'intesection de et d, il faut ésoude le système (non linéaie):! x + y + ax + by + c = 0 x + sy +t = 0 On expime y en fonction de x à l'aide de x + s y + t = 0 et on emplace dans l'équation du cecle % y = x t s Ax +Bx + = 0 L'équation Ax + Bx + = 0 peut avoi: i) deux solutions distinctes si Δ > 0 ii) deux solutions identiques (c'est-à-die une seule solution) si Δ = 0 iii) aucune solution si Δ < 0 Les deux solutions distinctes de cette équation du e degé donnent les abscisses x et x des deux points A et B de l'intesection du cecle et de la doite; pa substitution, on touve ensuite y et y Les deux solutions identiques donnent l'abscisse du point de tangence (A est supeposé à B) ; pa substitution, on obtient l'odonnée. On n'a aucune solution si la distance de la doite au cente du cecle est supéieue à. as où il y a deux solutions as où il y a une solution OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.33

8 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 En ésumé, on a donc : Point de vue des ensembles : L'intesection est une paie de couples d = {(x ;y ); (x ;y )} Point de vue de la géométie : L'intesection est un couple. d = {(x ;y )} L'intesection est l'ensemble vide d = d d d A B A δ(d; c) < d = {A; B} Point de vue de l'algèbe : δ(d; c) = d = {A} δ(d; c) > d = Ø % : x + y + ax + by + c = 0 d : x + sy +t = 0 On ésout ce système pa substitution et on touve un nouveau système dans lequel une des équations est une équation du deuxième degé avec une seule inconnue. Il y a tois possibilités : Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 δ(;d) < δ(;d) = δ(;d) > Exemples :. Soit le cecle : x + y x 4y 5 = 0 et la doite : d : x + y 5 = 0 Détemine les points d'intesection du cecle avec la doite (s'ils existent) x Il faut ésoude le système : + y x 4y 5 = 0 % x + y 5 = 0 A l'aide de l'équation de la doite, on expime y en fonction de x : y = 5 x. Dans l'équation du cecle, on substitue à y sa valeu en fonction de x ; l'équation du cecle devient alos successivement: x + (5 x) x 4(5 x) 5 = 0 x + 5 0x + x x 0 + 4x 5 = 0 x 8x = 0 ; x(x 4) = 0 On a donc deux solutions pou x : x = 0 et x = 4. Pou touve les valeus coespondantes de y, on utilise la elation qui nous a pemis de suppime y dans l'équation du cecle: y = 5 x. si x = 0, alos y = 5 0 = 5 et si x = 4, alos y = 5 4 = Les deux points d'intesection sont donc ( 0 ; 5 ) et ( 4 ; ). OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.34

9 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.35

10 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4. Soit le cecle : x + y x 4y 5 = 0 et la doite : d : x y 6 = 0 % x + y x 4y 5 = 0 x y 6 = 0 x = y + 6 (y + 6) + y (y + 6) 4y 5 = 0 4y +4y y 4y 4y 5 = 0 5y + 6y + 9 = 0 avec Δ = = 4 < 0 ette équation n'a pas de solution. Le cecle et la doite sont disjoints. 3. Soit le cecle : x - 4x + y - y - 64 = 0 et la doite d : 5x - y + = 0. Détemine le(s) point(s) d'intesection s'il(s) existe(nt). On doit donc ésoude le système suivant : x 4x + y y 64 = 0 5x y + = 0 On peut éécie l'équation de la doite d ainsi : y = 5x + l'équation du cecle. On obtient : x - 4x + 44 (5x + ) - (5x + ) - 64 = 0 44 x x + 5 x + 0 x x = 0 69 x x = 0 69(x - 4x + 40) = 0 69 (x - 4)(x + 0) = 0, d'où x = 4 ou x = -0. Si x = 4, alos y = 6 Si x = - 0, alos y = -4. I = {(-0; -4); (4; 6)) et emplace y pa son expession dans 4.. Positions elatives d'un cecle et une doite Une doite et un cecle peuvent ête disjoints, tangents ou sécants ; cela dépend de la distance de la doite au cente du cecle et du ayon du cecle: si δ(,d) >, alos la doite est top loin, pas d'intesection si δ(,d) =, alos la doite est tangente au cecle, un seul point d'intesection si δ(,d) <, alos la doite est sécante, deux points d'intesection. d d d δ δ δ Si l'on ne s'intéesse qu'au nombe de points d'intesection d'un cecle et une doite, on peut ne détemine que la distance de la doite au cente et compae cette distance avec le ayon du cecle. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.36

11 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 Exemples : Repenons les exemples et. pécédents avec le cecle défini pa : x + y x 4y 5 = 0 est un cecle de cente = ( ; ) et de ayon = 0. a) Avec d : x + y 5 = 0 δ(,d) = = = = < 0 = donc deux points d'intesection. a) Avec d : x y 6 = 0 δ(,d) = donc pas d'intesection 6 = = > = Intesection de deux cecles 4.3. Détemination des points d'intesection Soit les cecles : x + y + a x + b y + c = 0 et : x + y + a x + b y + c = 0. Pou détemine leus points d'intesection, il faut ésoude un système de deux équations (non linéaies) à deux inconnues:! x + y + a x + b y + c = 0 x + y + a x + b y + c = 0 es deux équations ont les mêmes coefficients pou x et y ; on peut donc facilement faie dispaaîte la patie non linéaie de l'une des deux équations:! x + y + a x + b y + c = 0 x + y + a x + b y + c = 0 On obtient alos un système du type! x + y + a x + b y + c = 0 x + sy +t = 0 et ce système peut ête vu comme epésentant l'intesection d'un cecle et une doite, et nous savons déjà ésoude un tel système! Exemples:. Soit : x + y = et : (x - ) + (y - ) =. On demande les coodonnées des points d'intesection des deux cecles. Il s'agit de ésoude le système x + y = x + y = x + y = % x + y x y = % x y = % y = x + ce qui donne pou les coodonnées des points d'intesection A = (; 0) et B = (0; ) On peut aisément epésente le poblème su un epèe othonomé. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.37

12 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4. Soit : x + y + 4x 4y 7 = 0 et : x + y 8x 0y + 3 = 0 x + y + 4x 4y 7 = 0 Il faut ésoude le système: % x + y 8x 0y + 3= 0 On élimine la patie non linéaie d'une des équations: % x + y + 4x 4y 7 = 0 x + y 8x 0y + 3= 0 % x + y + 4x 4y 7 = 0 x + 6y 48 = 0 x + y + 4x 4y 7 = 0 (dans ce cas, on peut simplifie le système obtenu) % x + y 8 = 0 (cela evient à cheche l'intesection du cecle : x + y + 4x 4y 7 = 0 avec la doite d : x + y 8 = 0). y = 8 x x + (8 x) + 4x 4(8 x) 7 = 0 5x 0x + 5 = 0 ; 5(x 3)(x ) = 0 d'où x = 3 et x = Si x = 3, alos y = 8 3 = et si x =, alos y = 8 = 6 Finalement, les points d'intesection sont ( 3 ; ) et ( ; 6 ) Positions elatives de deux cecles En tout, il peut donc se pésente cinq cas difféents selon la position des cecles l'un pa appot à l'aute. i) cecles extéieus ii) cecles tangents extéieuement iii) cecles tangents intéieuement + < δ( ; ) + = δ( ; ) - < δ( ; ) iv) cecle intéieu à un aute v) cecles sécants δ( ; ) < - - < δ( ; ) < + Exemple:. Soit : x + y + 4x 4y 7 = 0 et : x + y 8x 0y + 3 = 0 les cecles de l'exemple. On touve pou le pemie cecle = ( - ; ) et = 5 et pou le second = ( 4 ; 5 ) et = 0. Alos, = (4 + ) + (5 ) = = = D'aute pat, = et ( + ) = On voit que < < ( + ), ce qui monte que les cecles ont deux points d'intesection. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.38

13 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite Equation des tangentes à un cecle Il faut distingue 3 cas difféents de echeche des tangentes à un cecle donné, suivant que l'on connaît le point de tangence (su le cecle), la diection des tangentes ou un point des tangentes (extéieu au cecle) Equation de la tangente au cecle au point P (le point P ). Définition: La tangente au cecle au point P (P ) est la doite passant pa P, qui est pependiculaie au ayon P. Remaque: Il est évident que la distance d'une telle doite au cente du cecle est égale au ayon. Méthode analytique : Pou touve l'équation de la doite tangente en P, il s'agit d'écie l'équation d'une doite passant pa P et qui est pependiculaie au ayon. Exemple :. Soit le cecle de cente = (; 7) et de ayon 5. On demande de touve l'équation catésienne de la tangente au cecle au point M = (6; 4). La pente du ayon M vaut m = = La pente de la tangente vaut 4 est l'équation de la 3 y 4 tangente est x 6 = 4 4x - 3y - = 0. [Faie la epésentation gaphique de ce poblème; 3 monte que cette doite passe pa M et que la distance de la tangente touvée à est 5].. Le point T = ( 6 ; -) est un point du cecle : x + y 4x + 8y 5 = 0, dont le cente est = ( ; -4 ) et le ayon = 5. La pente du segment T vaut y t y c = + 4 x t x c 6 = 3 4 La pente de la tangente est définie pa m = - = La tangente est la doite de pente m et passant pa T : = y + x 6 ; On touve donc finalement : t : 4x + 3y = 0 OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.39

14 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite Equation des tangentes au cecle, passant pa le point P (P ). Remaque: Dans le cous de géométie, on a vu que, pa P passent deux doites tangentes, pou autant que P soit à l'extéieu du cecle. Définition: Les tangentes au cecle passant pa le point P (P ) sont les doites passant pa P, et qui sont pependiculaies au ayon en leu point de contact (point de tangence) avec le cecle. Méthode analytique : Il s'agit d'écie l'équation de l'ensemble des doites passant pa P (faisceau pope de cente P ) et de choisi, pami celles-ci, celles dont la distance au cente est égale au ayon du cecle [c est-à-die δ(d;) = ]. Exemple : Soit le cecle de cente = (; ) et ayon P = (; 6). Le faisceau pope des doites passant pa P est : y 6 = m mx - y - m + 6 = 0 (où m est un paamète). x 3. On demande l'équation des tangentes à issues de Pami ces doites, on veut celles qui ont distance 3 de = (; ). On écit m m+ 6 3 = 3m + 3 = (5 - m) m + 0m - = 0. m + Les solutions de cette équation sont les pentes des deux tangentes issues de P. On touve m = - 3 et m = et les équations des tangentes sont : 3 t : 3x + y - 8 = 0 et t : x - 3y - 4 = 0 On touve, à l'aide de la ésolution du système suivant, les coodonnées des points de contact cecletangente t % (x ) + (y ) = 3 3x + y 8 = 0 c'est-à-die T = (4; 3) De la même manièe on cheche les coodonnées de T où {T } = G t. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.40

15 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite 4 OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.4

16 Mathématiques e Niv. et Toisième patie : Géométie Théoie chapite Equation des tangentes au cecle paallèles à une doite donnée Définition : Les tangentes à paallèles à une doite donnée sont les deux doites paallèles à la doite donnée et dont la distance au cente est égale au ayon du cecle Méthode : Il s'agit d'écie l'équation de l'ensemble des doites paallèles à la doite donnée (faisceau impope) et de choisi celles dont la distance au cente est égale au ayon du cecle [ δ(d; ) = ]. Exemple: Soit le cecle d'équation x + y - y - 4 = 0 et la doite d : 3x + 4y +7 = 0. On demande l'équation des doites tangentes au cecle qui sont paallèles à d. Dans le faisceau impope, 3x + 4y + n = 0, il faut choisi les doites qui sont à une distance de 5 du cente = (0;) du cecle. Il faut donc que n soit solution de l'équation solution des deux équations suivantes: 4 + n = 5 ou -4 - n = n = n = 5, ce qui amène à la On a donc n = et n = -9. En coespondance, on a les deux tangentes : t : 3x + 4y + = 0 et t : 3x + 4y - 9 = 0 x + (y ) = 5 En ésolvant le système, % 3x + 4y + = 0 on touve les coodonnées du point T = (-3; -3) où {T } = t De la même manièe on calcule les coodonnées de T. OLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 0-03 H. 4, P.4

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