Réponse indicielle des systèmes linéaires analogiques

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1 Réponse indicielle des systèmes linéaires analogiques Le chapitre précédent a introduit une première méthode de caractérisation des systèmes analogiques linéaires avec l analyse fréquentielle. Nous présentons ici une deuxième méthode appliqué à deux types de système. A. Réponse indicielle d un système du premier ordre fondamental A.1. Définition La réponse indicielle g(t) d un système est définie comme le signal obtenu en sortie de ce système lorsqu un échelon unité u(t) est appliqué en entrée. Si nous notons F la transformation qui caractérise l action du système, nous avons pour la réponse indicielle : g(t) F[u(t)]. A.. Constante de temps et gain statique Nous avons déjà rencontré un filtre du premier ordre fondamental dans le chapitre précédent. Il est caractérisé par une équation différentielle de la forme : ds(t) s(t) + τ e(t) La quantité τ, homogène à un temps, est appelée constante de temps du circuit. La quantité H 0, sans dimension, est le gain en tension statique du filtre. A.3. Réponse indicielle Cherchons la solution g(t) de cette équation différentielle lorsque l excitation est un échelon unité en supposant le système au repos à t 0. Nous savons que la solution générale d une telle équation différentielle peut s écrire comme la somme de deux fonctions : - la solution générale de l équation homogène (sans second membre) ou réponse libre du système; - une solution particulière de l équation complète correspondant au régime permanent. Commençons par résoudre l équation sans second membre : Elle a pour solution générale : d s(t) s (t) + τ 0 S. Tisserant ESIL Traitement du signal

2 s (t) A e où A est une constante à déterminer en fonction des conditions aux limites. Nous nous intéressons évidement à la réponse pour t > 0, l équation complète s écrit alors : d s(t) s (t) + τ H 0 Comme le membre de droite ne varie pas avec le temps nous pouvons choisir une solution particulière également constante, ce qui nous donne : La solution complète s écrit donc : g (t) s (t) H 0 + A e Le système est supposé initialement au repos, c est-à-dire tel que g(0) 0. Nous avons donc : g (t) ( 1 ) e Nous avons tracé cette réponse indicielle sur la figure 6-1. Nous y avons également matérialisé certaines caractéristiques géométriques qui peuvent aider à une détermination expérimentale (à l aide d un oscilloscope par exemple) du gain statique H 0 et de la constante de temps τ. Tout d abord pour avoir accès au gain statique il faut que l enregistrement soit suffisamment long pour permettre d atteindre le régime stationnaire. La courbe tend vers une asymptote horizontale dont l ordonnée donne le gain statique. Fig. 6.1 : Réponse indicielle d un filtre du premier ordre (τ > 0), t r représente ici le temps de réponse à 10 % S. Tisserant ESIL Traitement du signal

3 Il existe plusieurs méthodes complémentaires pour accéder à la constante de temps. Par exemple si nous calculons la valeur prise par la réponse indicielle pour t τ, nous avons : 1 (e 1) g ( τ ) 1 0,63 e e Donc, comme indiqué sur la figure 6-1, l intersection de la réponse indicielle d un filtre du premier ordre fondamental avec la droite horizontale d ordonnée 0,63 H 0, donne accès à la constante de temps. La tangente à l origine de la réponse indicielle permet également de mesurer la constante de temps. Calculons la dérivée de la réponse indicielle : h (t) d g(t) H 0 e τ La tangente à l origine (t 0 + ) a donc pour pente H 0 /τ. et l abscisse de son intersection avec l asymptote est donc égale à τ. A.4. Rapidité et temps de réponse La constante de temps τ détermine la rapidité de réponse du système, c est-à-dire sa capacité à suivre une variation brusque de l entrée. Cette rapidité est quantifiée par le temps de réponse du système. Le temps de réponse d un système t r, défini à ε, est la durée au bout de laquelle l écart relatif de la réponse indicielle à la valeur finale est inférieur à ε : t t r on a g(t) ε Sur la figure 6-1 nous avons indiqué le temps de réponse à 10 % pour le filtre du premier ordre fondamental. Remarquons que la constante de temps correspond au temps de réponse à 37 %. Si nous reprenons l expression de la réponse indicielle nous pouvons écrire : g(t) (1 e ) e Nous pouvons donc exprimer facilement le temps de réponse t r en fonction de la référence ε choisie : g(t r ) r e ε t r τ ln ε S. Tisserant ESIL Traitement du signal

4 On fait souvent référence au temps de réponse à 5 % qui est très proche de 3 τ. B. Réponse indicielle d un système du deuxième ordre fondamental B.1. Résolution de l équation différentielle Un filtre du deuxième ordre fondamental est caractérisé par une équation différentielle de la forme : α d s(t) 1 d s(t) s(t) + + e(t) ω 0 ω0 La quantité ω 0, homogène à l inverse d un temps, est appelée pulsation propre du circuit. Son inverse τ 1/ω 0 est appelé constante de temps. La quantité α, sans dimension, est appelée coefficient d amortissement. La quantité H 0, sans dimension, est l amplification statique du filtre. Nous supposons la pulsation propre et le coefficient d amortissement positifs. Nous supposons également que le système est initialement au repos ce qui se traduit par deux relations indiquant que le signal de sortie et sa dérivée sont nuls à l instant t 0 : d s s (0) 0 et (0) 0 ds La solution de cette équation différentielle peut s écrire comme la superposition de la solution générale de l équation homogène et d une solution particulière de l équation complète. Commençons par l équation homogène : α s(t) + ω0 d s(t) 1 + ω0 d s(t) 0 Pour résoudre cette équation nous devons déterminer les racines de l équation caractéristique 1 associée : x + α x + ω0 0 Elle a pour discriminant réduit : ' α ω0 ω0 ω0 ( α 1) dont le signe dépend de α comparé à 1. Selon la valeur du coefficient d amortissement l équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, une racine réelle double ou deux racines complexes conjuguées. Nous rappelons ici les trois solutions. 1 L équation a été normalisée : le coefficient du terme de degré est pris égal à 1. S. Tisserant ESIL Traitement du signal

5 Amortissement critique (α 1) L équation admet une racine réelle double : x -ω 0 et la solution générale s écrit : ω s(t) (A + Bt) e 0 t Amortissement faible (α < 1) : régime pseudo-périodique L équation admet deux racines réelles négatives distinctes : On pose : x ± x ± λ ± ω α ω0 ± jω0 1 α avec λ α ω0 et ω ω0 1 α La solution générale s écrit : λ t s(t) A cos( ωt + ϕ) e Amortissement fort (α > 1) : régime apériodique L équation admet deux racines réelles négatives distinctes : On pose : La solution générale s écrit : x ± α ω0 ± ω0 α 1 λ ± ω0 α ± α 1 s(t) λ t λ + A e + Be t Nous nous intéressons à la réponse pour t > 0, l équation complète s écrit alors : α d s(t) 1 d s(t) s (t) + + H 0 ω0 ω0 Comme le membre de droite ne varie pas avec le temps nous pouvons choisir une solution particulière également constante, ce qui nous donne : s (t) Nous allons étudier avec un peu de soin la réponse indicielle d un filtre du deuxième ordre fondamental pour les trois régimes possibles. H 0 S. Tisserant ESIL Traitement du signal

6 B.. Système à amortissement critique La solution de l équation complète s écrit dans ce cas : ω g(t) + (A + B t) e Les conditions initiales nous permettent de déterminer les deux coefficients A et B. Nous obtenons : ω0 t g(t) 1 (1 + ω0 t) e [ ] La l allure de la courbe correspondante est présentée sur la figure t Fig. 6. : Réponse indicielle d un filtre du deuxième ordre à amortissement critique t r représente ici le temps de réponse à 5 % La réponse indicielle a une tangente horizontale en t 0 et tend vers une asymptote horizontale à l infini. Elle présente donc un point d inflexion dont on peut montrer qu il intervient à l instant τ. D autre part, la tangente au point d inflexion coupe l asymptote y H 0 pour t 0 3τ. La figure 6- montre également le temps de réponse pour ε 5 % (t r 4,7 τ). La mesure expérimentale du temps de réponse et/ou la détermination de la tangente peuvent donner une indication de la constante de temps (ou de la pulsation propre) d un filtre du deuxième ordre en régime critique. B.3. Système à faible amortissement La solution de l équation complète s écrit dans ce cas : λ t g(t) + A cos( ωt + ϕ) e S. Tisserant ESIL Traitement du signal

7 Les conditions initiales nous permettent de déterminer les deux coefficients A et ϕ. Nous obtenons : cos( ωt + ϕ) λ t g(t) 1 + e avec cos ϕ 1 α et sin ϕ α 1 α La l allure de la courbe correspondante est présentée sur la figure 6-3. Nous observons des oscillations amorties de part et d autre d une asymptote horizontale. Pour un filtre du deuxième ordre en régime faiblement amorti (α < 1) la quantité λ α ω 0 est appelée facteur d amortissement et la quantité ω ω pseudo-pulsation. La pseudopériode T est égale à : π π T. ω ω α α Fig. 6.3 : Réponse indicielle d un filtre du deuxième ordre faiblement amorti t r représente ici le temps de réponse à 10 % La courbe tend vers une asymptote horizontale dont l ordonnée donne l amplification statique H 0. Nous pouvons déterminer la pseudo-période T des oscillations amorties en déterminant les intersections de la réponse indicielle avec cette asymptote comme indiqué sur la figure. Nous avons des extrema pour : λ tan( ω t + ϕ) ω α 1 α tan ϕ ωt 0 ( π) Nous avons les minima pour : S. Tisserant ESIL Traitement du signal

8 et les maxima pour : t t ( + 1) π ω π ω T avec T + T 0 avec 0 Ces extrema se trouvent sur les courbes suivantes : gmax (t) gmin (t) ( 1+ e ) ( 1 e ) Celles-ci ont été visualisées en pointillés sur la figure 6-3. On appelle dépassement l amplitude d un maximum mesurée par rapport à l asymptote. Notons d le dépassement du maximum d ordre 0. Nous avons : d H 0 ( 1 + e ) H H e 0 0 Calculons le rapport de deux dépassements consécutifs : d d + 1 e λ(t + e + 1 e 1 ) e λt Ce rapport est constant indépendant de. On appelle décrément logarithmique δ le logarithme du rapport de deux dépassements consécutifs : d δ ln λt d + 1 π λ ω π α 1+ α Nous avons une propriété identique avec les minima. Le premier dépassement, noté D sur la figure, peut suffire à évaluer le coefficient d amortissement. En effet nous avons : D d λt / δ / απ / 0 e e e 1 α La mesure de l amplification statique H 0 et du premier dépassement permet donc de déterminer le coefficient d amortissement α. Le régime pseudo-périodique est caractéristique d un système du deuxième ordre. Il permet plusieurs mesures redondantes des deux paramètres α et ω 0. Nous parlerons de l exploitation du temps de réponse t r (visualisé sur la figure 6-3 pour 10 %) dans le paragraphe B.5. Attention ce ne sont pas les enveloppes de la courbe g(t). S. Tisserant ESIL Traitement du signal

9 B.4. Système à fort amortissement La solution de l équation complète s écrit dans ce cas : avec : g(t) λ t + A e + Be λ + λ ± ω0 α ± α 1 t Les conditions initiales nous permettent de déterminer les deux coefficients A et B : λ A λ+ λ λ B + λ λ+ La l allure de la courbe correspondante est présentée sur la figure 6-4. Fig. 6.4 : Réponse indicielle d un filtre du deuxième ordre fortement amorti t r représente ici le temps de réponse à 5 % Comme pour le régime critique la réponse indicielle présente un point d inflexion. La position du point d inflexion est donnée par : S. Tisserant ESIL Traitement du signal

10 t I ω0 β τ avec β ln α + α 1 α 1 1 Si nous notons t 0 le point d intersection de la tangente au point d inflexion avec l asymptote nous avons : α t0 t I α τ ω0 D autre part l utilisation du temps de réponse, que nous étudions dans le prochain paragraphe, fournit une seconde relation entre le coefficient d amortissement et la pulsation propre du circuit. B.5. Temps de réponse d un système du deuxième ordre Contrairement au système du premier ordre, il n existe pas d expression analytique reliant le temps de réponse aux deux paramètres caractéristiques d un système du deuxième ordre α et ω 0. Il est cependant possible de calculer numériquement la quantité ω 0 t r, temps de réponse réduit, en fonction du coefficient α. Nous avons tracé le résultat obtenu pour le temps de réponse à 5 % sur les figures 6-5 et 6-6. Cette courbe peut être utilisée comme abaque pour aider à la détermination des caractéristiques d un filtre du deuxième ordre. Fig. 6-5 : Relation entre le temps de réponse à 5 % et les paramètres α et ω 0 d un filtre du deuxième ordre Cette courbe permet également de choisir, pour une pulsation propre donnée, le coefficient d amortissement qui optimise la rapidité d un filtre du deuxième ordre. Si nous utilisons le temps de réponse à 5 % comme critère celui-ci est minimal pour α 0,70. S. Tisserant ESIL Traitement du signal

11 Fig. 6-6 : Relation entre le temps de réponse à 5 % et les paramètres α et ω 0 d un filtre du deuxième ordre S. Tisserant ESIL Traitement du signal

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