Expérimenter, manipuler pour apprendre en mathématiques

Transcription

1 Expérimenter, manipuler pour apprendre en mathématiques OÙ, QUAND, COMMENT, POURQUOI Thierry DIAS, HEP Lausanne

2 plan 1. pourquoi 2. comment 3. oùo et quand éducation scientifique et enseignement expérimenter et/ou manipuler situations d'apprentissages

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4 Expérimenter manipuler 1. Pourquoi

5 L'enseignement des mathématiques relève de l éducation scientifique (et donc de sa culture). POURQUOI mais Déclin de l intérêt pour les études scientifiques Cause probable : la manière dont sont enseignées les sciences à l école (rapport de la commission européenne, 2007) Une préconisation principale : la démarche d investigation

6 POURQUOI un brin d'histoire "N'est-il pas indispensable de faire bien saisir à l'enfant, puis à l'adolescent, les liens étroits qui unissent les mathématiques au monde sensible. N'est-ce pas là un moyen pour mettre en confiance le débutant, pour éviter qu'il ne se sente très vite rebuté par une étude où il pourrait ne voir qu'une sorte de jonglerie, souvent purement verbale et sans signification apparente." (I.O. de Janvier 1957)

7 quelle représentation de l enseignement de la discipline? S il faut réconcilier les élèves et plus largement les individus avec cette discipline, la représentation qui est donnée de son enseignement et de ses apprentissages est déterminante. Et pourtant

8 Le prix de la voiture de pierre est: sqrt(72400) - (2427/3) soit : = soit : = POURQUOI Maths et réalité????

9 Maths et réalité Les objets de connaissance mathématiques peuvent tisser des liens avec la réalité. Comment utiliser la réalité pour «montrer» les objets mathématiques les plus théoriques.

10 POURQUOI Maths et réalité Identités s remarquables et remarquées es!! (a + b) (a + b) = (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

11 POURQUOI l éducation scientifique vise à développer : des connaissances et des attitudes développer des connaissances des concepts, des objets, des relations, des méthodes en vue de leur compréhension primordiale pour leur acquisition développer des attitudes raisonnement pensée critique en vue du développement cognitif de l individu

12 POURQUOI développer des connaissances à l école élémentaire, on ne vise pas l'acquisition de connaissances formelles, mais principalement des connaissances fonctionnelles utiles pour résoudre des problèmes

13 POURQUOI développer des connaissances Olga veut creuser un bassin dans son jardin. Elle a fait quatre dessins différents parmi lesquels elle doit maintenant choisir. Quel est le bassin qui a la plus petite aire?

14 développer des attitudes La science ne poursuit jamais l'objectif illusoire de rendre ses réponses définitives ou même probables. Elle s'achemine plutôt vers le but infini encore qu'accessible de toujours découvrir des problèmes nouveaux, plus profonds et plus généraux, et de soumettre ses réponses, toujours provisoires, à des tests toujours renouvelés et toujours affinés." Karl R. POPPER.

15 développer des attitudes munissez vous d'un instrument de calcul si : 1 = 5 2 = 25 3 = = 625 Chercher alors 5 =?

16 Expérimenter, manipuler 2. COMMENT agir dire comprendre expliquer

17 COMMENT processus de raisonnement induction ou analyse principe conclusion déduction ou synthèse

18 COMMENT ne pas mener de combat entre induction et déduction du particulier au général de l'exemple à la théorie du général au particulier de la théorie à l'exemple méthode recommandée : investigation et/ou résolution de problèmes

19 COMMENT principe conclusion De fait, trois principaux* raisonnements sont utilisés en mathématiques : la déduction, l'induction, mais aussi le raisonnement expérimental (ou heuristique) * autres raisonnements : par analogie, par l'absurde, ou par récurrence

20 COMMENT le raisonnement heuristique, " raisonnement que l'on considère non comme final et rigoureux, mais simplement comme provisoire et plausible et dont l'objet est de découvrir la solution du problème à traiter Dans la construction d'une démonstration rigoureuse, le raisonnement heuristique jour le rôle de l'échafaudage dans la construction d'une maison" (Polya, 1945, Comment poser et résoudre un problème, p. 185)

21 COMMENT Le raisonnement expérimental démarche pratiquée dans une activité de recherche qui comprend plusieurs étapes : la mise en place d'investigations, l'observation de faits, le recueil d'informations, l'élaboration d'hypothèses, la déduction de conséquences à partir des hypothèses, la confrontation des prévisions déduites des hypothèses avec les faits observés (vérification)

22 COMMENT Expérimenter et/ou Manipuler? une dialectique plus qu une opposition manipuler: déplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliser expérimenter: contrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver

23 COMMENT de la manipulation à l expérimentation écrire observer raisonner écrire anticiper exercice d'application : Combien de fois doit-on écrire le chiffre 5 si on veut écrire tous les nombres de 1 à 999?

24 Expérimenter / Manipuler COMMENT dépasser l idée du "tâtonnement" au profit de la notion d action (des gestes sur) intention action organisation but raisonnement vers une méthode scientifique : l'investigation

25 COMMENT Expérimenter / Manipuler INVESTIGUER L expérimentation facilite la compréhension des pratiques de la science. L importance est donnée au raisonnement, à la méthodologie, et à la validité des conclusions. Il s'agit d aider les élèves à problématiser ou à émettre un projet et de favoriser les confrontations.

26 COMMENT investigation et/ou résolution de problèmes les 6 étapes clés 1. Le choix de la situation d'apprentissage par le professeur. 2. Une résolution du problème conduite par les élèves. 3. Une organisation du travail qui permet les échanges argumentés. 4. Un étayage constant et raisonné par le professeur. 5. Un temps dédié à la structuration des connaissances. 6. Un cahier d expérience rendant compte de tout le processus.

27 ACTION expériences sensibles et mentales manipulations RECHERCHE mise en COMMUN FORMULATION mettre en mots décrire faire des hypothèses VALIDATION argumenter discuter prouver ENTRAINEMENT INSTITUTIONALISATION stabilisation du savoir définitions

28 Expérimenter, manipuler 3. OÙ, O, QUAND

29 OÚ, QUAND aspects pédagogiques : organisation, dispositifs, programmation en classe de mathématiques (découverte, défi) en classe pluri-disciplinaire (maths et géo, maths et EPS) dans un laboratoire de mathématiques dans des épreuves de rallye

30 OÚ, QUAND un lieu et un matériel dédié aux expérimentations Liste de matériel possible : matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques, les jeux de la classe, Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves supports :calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements outils :feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle instruments :Instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, tables de multiplication, ordinateur

31 Quelques situations d'expérimentations en mathématiques jeux de calcul entrainement au raisonnement, àla logique nombres et relations pavages etc compétence/connaissance situation problème tâche

32 pour chaque situation, le mieux serait de 1. faire une analyse didactique - compétences visées (lien avec les programmes) - variables d'adaptation et de différenciation (car tout le monde n'apprend pas à la même vitesse ) 2. prévoir les dispositifs pédagogiques de travail - travail individuel -binômes - groupes 3. programmer les activités - nombre de séance - lien avec les autres apprentissages 4. prévoir le matériel nécessaire : la trousse du laboratoire de mathématiques

33 expérimenter sur les nombres

34 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Placer les six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans les cases pour que la somme des trois nombres soit égale à 10 sur chacun des côtés du triangle. ARMT

35 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel variante n 1 avec 7 jetons Placer les nombres 1 à 7 dans les cases rondes pour obtenir la même somme sur chacune des trois lignes.

36 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Variante n 2 avec 9 jetons, pouvez-vous trouver un carré magique?

37 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Faites trois piles avec ces 12 jetons sachant que : dans chaque pile il y a le même nombre de jetons, dans chaque pile, le jeton du dessus vaut la somme des autres jetons de la pile. Quels sont les jetons qui seront sur chacune des piles? ARMT

38 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Chloé a 4 cartes avec des chiffres. Elle choisit 3 chiffres pour écrire le nombre en haut. Elle choisit 3 chiffres pour écrire le nombre en bas. Elle fait l opération et trouve 39. Quels nombres a-t-elle choisis?

39 analyse didactique pré-requis : connaissance de la TO matériel objet d'apprentissage : relations entre les nombres dans une situation opératoire dispositifs pédagogiques pour la phase de découverte : variable (individuel, groupe, ou collectif) pour l'entrainement : individuel sous forme d'ateliers ou de contrats présentant une progression : corpus de nombres, cartes manquantes, ou relativement aux schémas de transformation. programmation Cette activité vient après le travail de découverte de la TO de la soustraction. Il renforce la compréhension des aspects numériques qui sous-tendent cette technique particulière de pose. Ce dispositif matériel pourra être repris avec d'autres TO.

40 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Dans un grand parc, il y a deux sortes de bancs : des bancs à deux places et des bancs à trois places. Il y a 15 bancs à deux places de plus que de bancs à trois places Il y a en tout 185 places assises sur les bancs du parc. Combien ce parc compte-t-il de bancs en tout? ARMT

41 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Sur cette piste, on avance d un pas par case, en tournant toujours dans le même sens. On fait le premier pas sur la case A, le deuxième sur B. A la troisième case on est sur la case C, etc Sur quelle case est-on après 1234 pas? ARMT

42 des outils pour expérimenter dans l'espace et le plan

43 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel expérimenter dans le plan 5 tétraminos des grilles tétraminos, pavages et raisonnement

44 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel un exemple : avec plusieurs de ce type de tetramino peut paver complètement la grille 4 x 8? Y a-t-il plusieurs solutions?

45 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel autre exemple : recherche Combien existe-t-il de formes différentes pour les pentaminos? 368 solutions pour couvrir complètement une grille de 4 x 15

46 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel LES CARRÉS DE MAC MAHON Combien peut-on trouver de façons différentes de colorier complètement ce carré avec 3 couleurs différentes? Attention, les carrés ne doivent pas être superposables!

47 analyse didactique pré-requis : comprendre une consigne matériel objet d'apprentissage : organiser une recherche en mathématiques dispositifs pédagogiques pour la phase de découverte : variable (individuel, groupe, ou collectif) pour la recherche : individuel, sous forme d'ateliers, de rituel ou de contrats programmation Cette recherche peut être la première d'une séquence sur des problèmes ouverts, ou au contraire venir clore des apprentissages dans ce domaine. Progression possible : faire chercher 3 puis 6 puis 10 carrés par exemple.

48 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Voici 3 constructions réalisées avec un pavé jaune, une boule rouge et une pyramide bleue. Colorie les vues des différentes constructions comme les voient Lucas et Fatou.

49 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Manipuler expérimenter du registre géométrique au registre numérique Max empile dix cylindres de cette façon. Peut-il arriver à construire de la même manière une pyramide de cent cylindres?

50 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Pour reproduire cette figure, Olga a commencé par tracer un carré, puis elle a marqué quatre sommets par des points. Termine son dessin.

51 des outils pour apprendre à raisonner

52 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien en rang les uns derrières les autres. Range les animaux dans l ordre en lisant attentivement les renseignements : - Le coq n'est pas devant le cygne. - Le cygne voit trois animaux devant lui. - L'autruche n'a personne derrière elle. - Le canard suit le coq. - Le hibou n'est pas le premier. cigogne

53 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel JASMINE PRISONNIERE ARMT Le terrible Jafar a enlevé la princesse Jasmine et la retient prisonnière dans une des trois cellules de son palais. Aladin, accouru pour libérer Jasmine, se retrouve devant trois portes portant chacune une indication dont une seule est vraie. Aladin sait qu'il ne pourra ouvrir qu'une seule cellule avant que les gardes arrivent, laquelle?

54 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel quel est l'élément commun entre ces 4 figures?

55 analyse didactique dispositifs pédagogiques programmation matériel

56 et les programmes dans tout ça??? rien de contradictoire, bien au contraire ;o)

57 extraits des programmes 2008 L apprentissage des mathématiques développe l imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades des apprentissages.

58 CONCLUSION 3 atouts pour mieux apprendre

59 3 atouts pour mieux apprendre des situations d'apprentissage avec : du matériel pour agir, des questions à expérimenter, des situations qui ont du sens. connaissances en actes

60 3 atouts pour mieux apprendre de la place pour les activités langagières : mettre en mots, décrire, faire des hypothèses, confronter des idées anticiper les faits. connaissances en mots

61 3 atouts pour mieux apprendre s'entraîner pour : "roder son moteur" (faire et refaire) travailler à son rythme, à son niveau de compétence se dépasser, défier utilisation des connaissances

62 "Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les mathématiques, à susciter les intelligences des êtres et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir et d apprendre." merci de votre attention

63 Thierry DIAS, HEP Lausanne