TABLE DES MATIÈRES. Introduction CHAPITRE I STATISTIQUE DESCRIPTIVE

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1 TABLE DES MATIÈRES Introduction CHAPITRE I STATISTIQUE DESCRIPTIVE I L observation statistique...2 I.1 Concepts de base... 2 I.2 L élaboration de tableaux statistiques I.21 Étude d un seul caractère I.211 Cas de l étude d un caractère qualitatif I.212 Cas de l étude d un caractère quantitatif I Cas de l étude d une variable discrète...33 I Cas de l étude d une variable continue...34 I.22 Étude simultanée de plusieurs caractères... 3 I.221 au de distribution à 2 caractères qualitatifs... 3 I.222 au de distribution à 2 caractères quantitatifs I.223 au de distribution mixte «qualitatif-quantitatif» I.3 Résumé de la section I II La synthèse statistique...42 II.1 La «synthèse par l image» II.11 Caractère qualitatif... 42

2 C 8 appliquée à la gestion II.12 Caractère quantitatif... 4 II.121 Graphiques établis à partir fréquences élémentaires...4 II Cas variables discrètes...4 II Cas variables continues - l histogramme...4 II.122 Graphiques établis à partir fréquences cumulées...51 II Courbe fréquences cumulées d une variable discrète II Courbe fréquences cumulées d une variable continue...51 II.2 La synthèse par les paramètres... 5 II.21 Cas caractères qualitatifs... 5 II.22 Cas caractères quantitatifs... 5 II.221 Paramètres de tendance centrale... 5 II La moyenne...5 II.221 1a Calcul de la moyenne dans le cas d une variable discrète... 5 II.221 1b Calcul de la moyenne dans le cas d une variable continue II.221 1c Deux propriétés intéressantes de la moyenne... II.221 1d Limites de la moyenne arithmétique... 1 II La médiane...2 II.221 2a Calcul de la médiane dans le cas d une variable discrète... 2 II.221 2b Calcul de la médiane dans le cas d une variable continue... 4 II Le mode... II.222 Paramètres de dispersion... II L intervalle interquartile... II La variance et l écart-type...8 II.222 2a Définition de la variance... 8 II.222 2b L écart-type et le coefficient de variation... 1 II.222 2c L inégalité de Bienaymé-Tchebicheff... 3 II.222 2d Variance d une variable définie comme le produit d une variable par une constante... 3 II Représentation graphique de la dispersion par les «boîtes à moustaches»...4 II.223 Cas particuliers... 5 II Moyenne et variance de variables décrites par un tableau de contingence...5 II Moyenne et variance d une somme de 2 variables...5 II.224 Les indices... 9 II Les indices élémentaires...8 II Les indices synthétiques...82 II.224 2a L indice de Laspeyres quantités et l indice de Laspeyres prix II.224 2b L indice de Paasche quantités et l indice de Paasche prix... 8 II.3 Résumé synoptique de la section II... 9

3 CHAPITRE II INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS C 9 I Première approche probabilités: le cas d un élément tiré d un ensemble préexistant d éléments...91 I.1 Les concepts de base I.11 Les notions d épreuve de résultat et d événement I.12 Les concepts de probabilité de distribution marginale et de probabilité conditionnelle I.121 Première approche du concept de probabilité I.122 Distribution marginale I.123 Probabilité conditionnelle I.2 Théorèmes de probabilité... 9 I.21 Le théorème probabilités composées et ses conséquences... 9 I.211 Le théorème probabilités composées... 9 I.212 Le calcul probabilités conditionnelles I.213 Événements indépendants I.22 Le théorème probabilités totales I.221 Cas d événements exclusifs (ou incompatibles) I.222 Événements non exclusifs I.23 Le théorème de Bayes... 1 I.3 La notion de variable aléatoire I.4 Résumé de la section I II Compléments...1 II.1 Extensions concepts de probabilité et d événements... 1 II.11 L épreuve ne consiste pas à tirer un élément d un ensemble préexistant... 1 II.12 L épreuve consiste dans la réalisation de plusieurs épreuves élémentaires... 1 II.121 Définition de l épreuve... 1 II.122 Définition de l événement II.123 Calcul probabilités II Construction de l arbre résultats physiquement observables II Construction de l arbre événements II.13 Introduction à une présentation formalisée de probabilités II.2 Problèmes de dénombrement Chapitre III

4 C 1 II.21 Permutations II.22 Arrangements...11 II.23 Combinaisons...11 II.3 Introduction à la simulation aléatoire par la méthode de Monte Carlo II.31 Principes II.32 Généralisation II.4 Résumé de la section II appliquée à la gestion CHAPITRE III LES PRINCIPALES DISTRIBUTIONS THÉORIQUES I Principaux modèles statistiques relatifs aux variables discrètes I.1 La loi Binomiale I.11 Présentation de la loi Binomiale L(X) = B(n p) I.12 Propriétés importantes de la loi Binomiale I.13 La loi Binomiale en proportion L(f n ) = B(n p) I.2 La loi de Poisson P (λ) I.21 Présentation I.211 La loi de Poisson comme approximation d une loi Binomiale I.212 Les processus de Poisson I.22 Propriétés importantes I.221 Reconnaissance empirique d une loi de Poisson I.222 Autres propriétés importantes I.3 Quelques autres distributions discrètes I.31 Loi Binomiale négative I.32 Loi Hypergéométrique I.4 Résumé de la section I II Principaux modèles statistiques concernant les variables continues II.1 La loi normale II.11 Présentation

5 II.12 Propriétés importantes II.121 Définition mathématique de la loi Normale II.122 Paramètres caractéristiques de la loi Normale II.123 Somme de variables aléatoires indépendantes suivant lois Normales II.124 Somme d un grand nombre de variables aléatoires indépendantes II.125 suivant le même type de loi Dispersion valeurs d une variable aléatoire suivant une loi Normale II.13 La droite de Henry II.14 Utilisation de la loi Normale pour variables discrètes directement ou en approximation II.141 Utilisation d une loi Normale pour décrire un caractère quantitatif discret II Calcul de P(X = x)...15 II Calcul de P(X < x) ou de P(X x) avec correction de continuité...15 II.142 Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale II Calcul de P(X = x) II Calcul de P(X < x) ou de P(X x) avec correction de continuité II.143 Approximation de la loi de Poisson par la loi Normale II.2 La loi de Student... 1 II.3 Quelques autres distributions continues II.31 Loi Uniforme II.32 Loi triangulaire II.33 Loi Bêta II.34 Loi Gamma II.35 Loi de Weibull II.3 Loi du χ II.3 Loi de Fisher-Snedecor II.4 Résumé de la section II... 1 C 11 CHAPITRE IV L INDUCTION STATISTIQUE I L échantillon...19 I.1 Le concept de distribution d échantillonnage d un paramètre de synthèse...19 I.2 L observation sur échantillon Chapitre III

6 C 12 I.21 Définition de l échantillon I.211 Les échantillons aléatoires...14 I.212 Les échantillons empiriques...1 I.22 Recueil de l information dans l échantillon...1 I.23 Définition de la taille de la population-mère d où l échantillon est extrait...18 I.231 Cas processus stabilisés I.232 Cas échantillons numériquement peu importants par rapport à la population-mère...19 I.3 Résumé de la section I appliquée à la gestion II II.1 Les problèmes de distribution d échantillonnage relatifs À un paramètre de tendance centrale...19 Problèmes de distribution d échantillonnage relatifs à un caractère qualitatif II.11 Présentation du cas général II.12 Remarques complémentaires II.121 Multiplicité réponses possibles II.122 Précision résultats II.123 Corrections à apporter éventuellement à σ* II.124 Cas d impossibilité d approximation directe par la loi Normale.. 18 II Cas de petits échantillons avec utilisation directe de la loi Binomiale...18 II Cas d utilisation de la loi de Poisson...18 II.2 Problèmes de distribution d échantillonnage relatifs à un caractère quantitatif II.21 Présentation du cas général II.22 Remarques complémentaires III Les problèmes d estimation d un paramètre de tendance centrale III.1 L estimation ponctuelle III.11 Les caractéristiques d un estimateur III.12 Les estimateurs habituellement utilisés III.121 Caractère qualitatif III Estimateur de la proportion inconnue de la population-mère...19 III Estimateur de la variance de la distribution d échantillonnage fréquences observables dans les échantillons de taille n...19 III.122 Caractère quantitatif III Estimateur de la moyenne M de la population-mère...19 III Estimateur de la variance σ III Estimateur de la variance de la distribution d échantillonnage moyennes observables dans les échantillons de taille n...198

7 III.2 Estimation par intervalle de confiance d une moyenne III.21 Détermination de l intervalle de confiance III.22 Précision et taille de l échantillon III.221 La précision d une estimation III.222 Détermination de la taille d un échantillon pour obtenir une précision désirée...24 III.23 Remarques complémentaires III.231 La variance de la population-mère est inconnue III.232 Cas petits échantillons... 2 III.233 Précision taille de l échantillon et utilisation du coefficient d exhaustivité... 2 III.234 Cas d une loi de Poisson... 2 III.3 Estimation par intervalle de confiance d une fréquence dans la population-mère...2 III.31 L usage de tables ou d abaques III.311 Les tables à lecture directe de l intervalle de confiance III.312 Les abaques à lecture directe de la précision III.32 Le calcul direct de l intervalle de confiance III.321 Calcul de σ* à partir de l estimation ponctuelle III.322 Le calcul de σ* par excès III.4 Résumé sections II et III IV Les problèmes de distribution d échantillonnage et d estimation relatifs à la variance IV.1 Problèmes de distribution d échantillonnage d une variance.. 21 IV.2 Estimation par intervalle de confiance d une variance IV.3 Résumé de la section IV C 13 CHAPITRE V INTRODUCTION À LA THÉORIE DES TESTS I Choix entre deux paramètres de tendance centrale I.1 Choix entre deux proportions I.11 Résolution successive de 2 problèmes de distribution d échantillonnage I.111 n et α connus π et β à déterminer I.112 π et α connus n et β à déterminer Chapitre III

8 C 14 I.113 n et π connus α et β à déterminer I.12 Résolution simultanée 2 problèmes de distribution d échantillonnage (α et β connus) I.13 Décision finale I.2 Choix entre deux moyennes I.21 n et α connus π et β à déterminer I.22 α et β connus π et n à déterminer I.23 Remarques complémentaires I.3 Résumé de la section I appliquée à la gestion II Comparaison de distributions II.1 Caractère qualitatif II.11 Test du χ II.12 Remarques II.121 Incidence de la taille de l échantillon sur le risque de première espèce II.122 Effectif théorique minimal II.123 Introduction d une correction de continuité II.2 Caractère quantitatif II.21 Cas variables discrètes II.22 Cas variables continues II.221 Utilisation du test du χ 2 pour juger de l adéquation d une distribution empirique à une distribution théorique continue II.222 Test graphique de normalité (test de Lilliefors) II.3 Résumé de la section II CHAPITRE VI L AJUSTEMENT LINÉAIRE I Introduction à la régression linéaire simple...25 I.1 La régression linéaire simple I.11 Le problème posé I.12 La méthode moindres carrés I.13 Application résultats analytiques à l exemple retenu I.14 Interprétation résultats... 22

9 I.15 Remarques pratiques de calcul I.151 Incidence d une transformation linéaire variables I.152 Régression linéaire simple et tableaux de contingence I.1 Définition de la covariance... 2 I.2 Analyse de la «qualité» de la régression I.21 Les mesures de la «qualité» de la régression I.211 L écart-type résiduel I.212 Le coefficient de détermination r 2 et le coefficient de corrélation r...29 I Définition coefficients de détermination et de corrélation...29 I Portée coefficients de détermination ou de corrélation...22 I.213 Le coefficient de corrélation rangs (ou coefficient de Spearman)...24 I.22 Le jugement graphique I.3 Généralité du modèle linéaire... 2 I.31 Le modèle semi-logarithmique... 2 I.311 Présentation du modèle Log e Y = ax + b... 2 I.312 Présentation du modèle Y = a Log e X + b I.32 Présentation du modèle doublement logarithmique: Log e Y = alog e X + b I.33 Autres transformations possibles I.4 Résumé de la section I C 15 II Compléments...29 II.1 Le jugement en probabilité dans la régression linéaire simple 29 II.11 Estimation ponctuelle principaux paramètres II.12 Jugement par intervalle de confiance II.121 Jugement par intervalle de confiance coefficients de régression...29 II.122 Jugement par intervalle de confiance d une valeur calculée de Y.3 II.123 Jugement par intervalle de confiance du coefficient de corrélation...32 II.13 Le non-respect hypothèses probabilistes de la régression. 33 II.131 Hétéroscédasticité II.132 Corrélation écarts résiduels... 3 II.2 Notion de régression multiple II.21 Présentation générale II.22 Compléments II.221 Rappel bases du calcul matriciel Chapitre III

10 1 II.222 Principaux résultats de la régression linéaire multiple II.223 Remarques pratiques C II.3 Résumé de la section II...31 CHAPITRE VII COMPARAISON D ÉCHANTILLONS DE VARIABLES QUANTITATIVES I L approche paramétrique...31 appliquée à la gestion I.1 Cas de deux échantillons aléatoires I.11 Comparaison moyennes de deux échantillons I.111 Cas de lois Normales pour X 1 et X 2 (ou utilisation possible du théorème de la limite centrale) - σ 1 et σ 2 connus I.112 Cas de lois Normales (ou utilisation possible du théorème de la limite centrale) pour X 1 et X 2 - σ 1 et σ 2 inconnus I Cas variances identiques I Cas de l inégalité variances I.113 Cas de variables aléatoires ne suivant pas de lois Normales I.114 Problèmes d estimation d une différence M 1 M I.12 Comparaison variances de deux échantillons I.2 Cas de plusieurs échantillons aléatoires I.21 Les bases de l analyse de la variance à un facteur contrôlé I.211 Première estimation à partir variances intra-classes I.212 Seconde estimation à partir de la variance inter-classes I.213 Test d égalité variances I.22 Remarques complémentaires I.221 Décomposition de l écart à la moyenne générale I.222 Présentation résultats par le tableau de la variance I.223 Vérification de l hypothèse de normalité I.3 Résumé de la section I II Introduction aux tests non paramétriques...34 II.1 Cas échantillons non appariés II.11 Test fishérien II.12 Test sur les rangs: test de Wilcoxon (Mann-Whitney) II.2 Cas échantillons appariés II.21 Test fishérien

11 II.22 Test sur les rangs (test de Wilcoxon) II.3 Résumé de la section II C 1 CHAPITRE VIII QUESTIONNAIRES À CHOIX MULTIPLES (QCM) I Énoncés QCM I.1 QCM sur le chapitre I (statistique criptive) I.2 QCM sur le chapitre II (introduction aux probabilités) I.3 QCM sur le chapitre III (principales distributions théoriques)...3 I.4 QCM sur le chapitre IV (induction statistique) I.5 QCM sur le chapitre V (introduction aux tests d hypothèse).. 33 I. QCM sur le chapitre VI (ajustement linéaire) I. QCM sur le chapitre VII (comparaison d échantillons) II Corrigé QCM...3 II.1 Réponses aux QCM du chapitre I... 3 II.2 Réponses aux QCM du chapitre II II.3 Réponses aux QCM du chapitre III II.4 Réponses aux QCM du chapitre IV II.5 Réponses du QCM du chapitre V II. Réponses aux QCM du chapitre VI II. Réponses aux QCM du chapitre VII CHAPITRE IX ANNEXE MATHÉMATIQUE I Remarque liminaire...3 II La variable indicée...3 III Le symbole Σ de la sommation...38 Chapitre III

12 C 18 IV Utilisation puissances V La notation factorielle VI Logarithmes VII Résolution d équations VII.1 Equation du premier degré à une inconnue VII.2 Système de deux équations du 1er degré à deux inconnues appliquée à la gestion CHAPITRE X EXERCICES CORRIGÉS I Remarques préalables II Exercices portant sur le chapitre I III Exercices portant sur le chapitre ii...4 IV Exercices portant sur le chapitre III V Exercices portant sur le chapitre IV...43 VI Exercices portant sur le chapitre V...45 VII Exercices portant sur le chapitre VI...43 VIII Exercices portant sur le chapitre VII CHAPITRE XI RÉCAPITULATION DES PRINCIPAUX RÉSUMÉS SYNOPTIQUES CHAPITRE XII TABLES ET ABAQUES Annexe 1 s factorielles et puissances Annexe 2 s de la loi de Poisson P (λ)...51 Annexe 3 s de la loi Normale Annexe 4 s de la loi de Student...529

13 Annexe 5 du χ Annexe de nombres au hasard Annexe Détermination de l intervalle de confiance [p 1 - p 2 ] (unité %) d une proportion p inconnue à partir d un échantillon de taille n où k événements sont observés et tel que k appartienne à l intervalle [x 1 - x 2 ] défini pour p de telle sorte que P(x 1 X x 2 ) = α Annexe 8 s de Durbin-Watson Annexe 9 s de Fisher - Snedecor - risque de rejet à tort de α Annexe 1 tables de Wilcoxon - échantillons non-appariés...54 Annexe 11 s de Wilcoxon - échantillons appariés C Mathématiques financières + financière (extrait de Gestion de la production et flux - 3e édition - Economica - Vincent Giard ) Financière C Chapitre III

14

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