Chap.3 Aspects énergétiques de la dynamique du point (Part.1) TEC, travail et puissance d une force

Transcription

1 Chap.3 Aspects énergétiques de la dynamique du pint (Part.1) TEC, travail et puissance d une frce 0. Ntatin différentielle - Interprétatin physique 0.1. Différentielle d une fnctin scalaire à une variable 0.2. Différentielle d une fnctin vectrielle à une variable 1. Thérème de l énergie cinétique : frmulatin instantanée («TPC») 1.1. Intrductin des grandeurs énergétiques en mécanique 1.2. Energie cinétique d un pint matériel 1.3. Puissance reçue par le pint M sus l actin d une frce 1.4. Enncé du TEC : frmulatin instantanée, u «TPC» 1.5. Exemple d applicatin du TPC 2. Travail d une frce : énergie reçue par le pint sus l actin d une frce 2.1. Travail élémentaire d une frce 2.2. Travail d une frce pendant une durée finie, sur un trajet fini 2.3. Travail du pids 2.4. Travail d une frce de rappel élastique 2.5. Travail d une frce de frttements fluide 2.6. Frces cnservatives et frces nn-cnservatives 2.7. Retur sur les ntatins d u 3. Thérème de l énergie cinétique : frmulatin intégrale 3.1. Enncé du TEC 3.2. Exemple d applicatin Intr : L étude de la dynamique du pint matériel nus a permis de relier le muvement à ses causes. Au chapitre précédent, n a intrduit le cncept de frce et énncé les lis de Newtn. Dans ce nuveau chapitre, n va intrduire le cncept d énergie pur étudier le muvement d un pint matériel. Le cncept d énergie a un duble intérêt. Il permet de frmuler la RFD d une manière différente. Dans les prblèmes à un degré de liberté, l étude du muvement en est rendue plus simple, plus directe (mins de calculs, mins d étapes) Le cncept d énergie existe dans les différentes branches de la physique-chimie : en électrcinétique, en mécanique, mais aussi pur l étude des phénmènes thermiques, lumineux, chimiques, nucléaires etc. Le cncept d énergie «créée un pnt» entre ces différents dmaines et ffre une visin unifiée des phénmènes naturels. On reviendra sur ce cncept clef de la physique dans le curs de Thermdynamique. 1 Mreggia PCSI 2011/2012

2 0. Ntatin différentielle - Interprétatin physique 0.1. Différentielle d une fnctin scalaire à une variable La différentielle d une fnctin est une ntin qui est précisément définie en mathématiques. Dans ce chapitre de physique, n cherchera juste à la cmprendre de manière intuitive, d en prpser une interprétatin physique. On cnsidère une fnctin scalaire à une variable f(t). Pur faciliter l interprétatin physique de la ntin de différentielle, n cnsidère que f est une grandeur physique qui dépend uniquement du temps t. On intrduit la différentielle de la fnctin, ntée df, à partir de la définitin de la dérivée de f par rapprt au temps. On retiendra l interprétatin physique des ntatins intrduites, et leur représentatin sur un schéma. est une durée infinitésimale, i.e. infiniment petite. On dit aussi durée élémentaire. est la variatin élémentaire de la fnctin pendant la durée élémentaire Ces deux quantités élémentaires snt liées par la relatin : df df dt u simplement df f ' dt dt La variatin de la fnctin pendant la durée est la smme des variatins élémentaires sur cette durée : 0.2. Différentielle d une fnctin vectrielle à une variable L interprétatin physique de la différentielle d une fnctin vectrielle à une variable est similaire. Prenns un exemple cncret : le vecteur psitin d un pint matériel M. C est une grandeur vectrielle qui ne dépend que du temps : OM t. On intrduit la différentielle du vecteur psitin, ntée d OM, à partir de la dérivée du vecteur par rapprt au temps. On retiendra l interprétatin physique des ntatins intrduites, et leur représentatin sur un schéma. représente une durée élémentaire d OM représente la variatin élémentaire du vecteur OM pendant la durée élémentaire. On parle aussi du déplacement élémentaire du pint M. Ces deux variatins snt liées par la relatin suivante, qu il faut savir interpréter graphiquement : dom dom dt u simplement dom v dt dt En prjetant ces relatins dans le repère d étude, n peut exprimer les cmpsantes du vecteur en fnctin des crdnnées du pint M. Exprimer les prjectins du vecteur déplacement élémentaire en crdnnées cartésiennes et cylindriques. 2 Mreggia PCSI 2011/2012

3 1. Thérème de l énergie cinétique : frmulatin instantanée («TPC») 1.1. Intrductin des grandeurs énergétiques en mécanique On cnsidère un pint matériel M de masse m dnt n étudie le muvement dans un référentiel galiléen. On peut dnc appliquer la RFD. En multipliant scalairement les deux membres par le vecteur vitesse, n fait apparaître deux termes, l un hmgène à une puissance, l autre hmgène à une énergie. Dans les deux paragraphes suivants, n prpse une interprétatin physique de ces deux termes Energie cinétique d un pint matériel L énergie cinétique du pint matériel est une énergie emmagasinée par le pint sus frme cinétique. Définie à partir de la masse et de la vitesse, c est une grandeur cinétique, d ù sn nm. Elle est définie à chaque instant ; c est une fnctin du temps. Cmme la vitesse, elle dépend du référentiel d étude Puissance reçue par le pint M sus l actin d une frce C est une quantité algébrique!! P est la puissance reçue par le pint M sus l actin de la frce. si P > 0, alrs la frce est mtrice, sa prjectin seln v est dirigée dans le sens du muvement si P < 0, alrs la frce est résistante, sa prjectin seln v est ppsée au sens du muvement P 0 F v ; quand la frce est rthgnale au muvement, le pint M ne reçit pas d énergie Si le pint matériel ne buge pas, les frces qui lui snt appliquées ne furnissent pas de puissance! On a défini une puissance instantanée. Elle est définie à chaque instant ; elle varie généralement avec le temps. Définie à partir de la vitesse du pint matériel, elle dépend du référentiel d étude. D après la définitin, il est facile de mntrer que la puissance de la smme des frces est égale à la smme des puissances de chaque frce. On peut faire l analgie avec la puissance électrique échangée par un dipôle. La présente définitin est l analgue de la relatin «P = UI» en électrcinétique. Mais en mécanique, la cnventin RECEPTEUR est impsée. Quelques exemples de calcul de puissance : Calculer la puissance reçue par un pint matériel sumis à sn pids et à la réactin du supprt pur un muvement hrizntal. Mntrer que les frces de frttements fluides snt tujurs résistantes dans le référentiel u le fluide est au reps 1.4. Enncé du TEC : frmulatin instantanée, u «TPC» Dans un référentiel galiléen, l énergie reçue par unité de temps par le pint M est égale à la variatin par unité de temps de sn énergie cinétique. On parle parfis du Thérème de la Puissance Cinétique (TPC) : Ecrit sus cette frme, le TPC permet d établir l équatin différentielle du muvement. Ce n est rien d autre qu une refrmulatin de la RFD, interprété en termes d échange d énergie. 3 Mreggia PCSI 2011/2012

4 Il existe une différence essentielle entre le TPC et la RFD. La RFD est une relatin vectrielle. Prjetée sur les vecteurs de base d un repère, elle permet d btenir tris équatins scalaires. L applicatin du TPC ne permet d btenir qu une seule équatin scalaire. On chisira d utiliser le TPC plutôt que la RFD dans les prblèmes à un degré de liberté, i.e. lrsque une seule crdnnée suffit à repérer la psitin du pint matériel. Remarque : On va présenter le TPC sus une frme équivalente, inutile pur les calculs de sup, mais intéressante pur l interprétatin physique en terme d échange d énergie. En intrduisant les ntatins différentielles, n peut écrire que : La variatin élémentaire de l énergie cinétique du pint M est égale à la quantité élémentaire d énergie reçue par le pint M pendant une durée élémentaire. L énergie furnie par les frces, et reçue par le pint M, est emmagasinée par le pint M sus frme cinétique Exemple d applicatin du TPC L étude du muvement à l aide du TPC se fait seln la méthde présentée au chapitre 2., sectin 4 : Définir le système dnt n étudie le muvement Préciser le référentiel d étude (galiléen si l n veut appliquer le TPC) Définir un repère et l rienter cnvenablement Appliquer le TPC pur btenir l équatin différentielle du muvement (à la place de la RFD) Faire le bilan des frces Exprimer la puissance de chaque frce, en fnctin des crdnnées et leurs dérivées tprelles Exprimer l énergie cinétique du pint M, en fnctin des crdnnées et leurs dérivées tprelles Etablir l EDiff en appliquant le TPC On étudie l exemple du muvement sans frttements d un pint matériel sur un plan incliné. Etablir l ED du muvement. On retiendra que la réactin nrmale du supprt disparaît des équatins car elle est cnstamment rthgnale au muvement. L intérêt du TPC est justement d éliminer cette incnnue des équatins. On ntera que le TPC ne sera dnc d aucune utilité si l n suhaite calculer la réactin nrmale. 2. Travail d une frce : énergie reçue par le pint sus l actin d une frce 2.1. Travail élémentaire d une frce On a vu que l n puvait interpréter l actin d une frce sur un pint M cmme un transfert d énergie. La quantité d énergie reçue par le pint M sur un intervalle de temps dnné s appelle le travail. Le travail élémentaire d une frce est la quantité élémentaire d énergie reçue par le pint M pendant une durée élémentaire sus l actin de cette frce : On peut aussi exprimer le travail élémentaire en fnctin du déplacement élémentaire du pint M pendant dt : Le travail élémentaire d une frce est la quantité élémentaire d énergie reçue par le pint M sur le trajet élémentaire d OM parcuru par le pint M pendant une durée élémentaire dt. 4 Mreggia PCSI 2011/2012

5 Les deux frmulatins snt bien sûr équivalentes. Il est imprtant de retenir que l n purra calculer le travail élémentaire d une frce sur une durée élémentaire u sur un trajet élémentaire. Défini à partir de la puissance, le travail élémentaire dépend du référentiel d étude. D après la définitin, il est facile de mntrer que le travail élémentaire de la smme des frces est égal à la smme des travaux élémentaires de chacune des frces Travail d une frce pendant une durée finie, sur un trajet fini On s intéresse à présent au travail d une frce sur une durée finie, un trajet fini (par ppsitin à «élémentaire»). On suhaite évaluer le travail reçu par le pint M entre deux instants t 1 et t 2 (dnc sur la durée ). Le travail reçu par le pint M entre deux instants t 1 et t 2 est la smme des travaux élémentaires W reçus par le pint M entre ces deux instants : dnc : A l instant t 1, le pint M se situe au pint M 1. A l instant t 2, le pint M se situe au pint M 2. Entre ces deux psitins, le pint M a effectué un certain trajet (u chemin). D ù la frmulatin suivante : Le travail reçu par le pint M entre les deux psitins M 1 et M 2 est la smme des travaux élémentaires W reçus par le pint M au curs de sn trajet entre ces deux psitins : dnc : Remarque : Si le muvement n est pas à un degré de liberté (i.e. s il faut plus d une crdnnée pur repérer le pint M), n ne sait pas calculer cette dernière intégrale à ce stade de l année. On étudie un pint matériel M glissant sur un plan incliné. Le pint M parcurt une distance en une durée. Déterminer le travail des frces de frttements slides en fnctin du cefficient de frttement et de l angle de l inclinaisn. On fera deux fis le calcul, en utilisant chacune des frmules ci-dessus Travail du pids On évalue le travail du pids entre deux psitins M 1 et M 2 prises par le pint M. On remarque que l n n a pas besin de préciser le trajet emprunté pur aller de M 1 à M 2. On retiendra que le travail du pids ne dépend que de la psitin initiale M 1 et de la psitin finale M 2. Le travail du pids ne dépend pas de la trajectire suivie par le pint M entre ces deux psitins. On dit que le travail du pids «ne dépend pas du chemin suivi». On retiendra aussi que si les psitins initiales et finales snt les mêmes, alrs le travail du pids est nul. Ceci n est pas un résultat général, ce n est pas le cas pur tutes les frces. 5 Mreggia PCSI 2011/2012

6 2.4. Travail d une frce de rappel élastique On évalue le travail de la frce de rappel élastique entre deux psitins M 1 et M 2 prises par le pint M. On remarque que l n n a pas besin de préciser le trajet emprunté pur aller de M 1 à M 2. On retiendra que le travail d une frce de rappel élastique ne dépend que de la psitin initiale M 1 et de la psitin finale M 2. Le travail d une frce de rappel élastique ne dépend pas de la trajectire suivie par le pint M entre ces deux psitins. On dit que le travail de cette frce «ne dépend pas du chemin suivi». On retiendra aussi que si les psitins initiales et finales snt les mêmes, alrs le travail de la frce de rappel élastique est nul. Ceci n est pas un résultat général, ce n est pas le cas pur tutes les frces Travail d une frce de frttements fluide On évalue le travail de la frce de frttements entre deux psitins M 1 et M 2 prises par le pint M au curs de sn muvement. On l évalue en cnsidérant deux trajets pssibles pur aller de M 1 à M 2. On ntera que le travail de la frce de frttement est tujurs négatif, si l n se place dans le référentiel ù fluide est au reps. La frce y est tujurs résistante. On retiendra que : le travail dépend du muvement effectué par le pint M pur aller de M 1 à M 2 si les psitins initiales et finales snt les mêmes, le travail n est pas nul pur autant 2.6. Frces cnservatives et frces nn-cnservatives A travers ces tris exemples, n vit que l n peut distinguer deux types de frces : celles dnt le travail ne dépend pas du chemin suivi par le pint M : ce snt les frces cnservatives celles dnt le travail dépend du chemin suivi : ce snt les frces nn-cnservatives 2.7. Retur sur les ntatins d u Ntatins à retenir : Travail élémentaire W, travail fini W Variatin élémentaire d énergie cinétique de c, variatins finie d énergie cinétique E c Durée élémentaire dt, durée finie t Distance élémentaire seln un axe cartésien dx, distance finie x (idem pur y et z) La ntatin d est réservée aux variatins élémentaires. Le travail élémentaire n est pas une variatin, mais une quantité élémentaire. C est la raisn pur laquelle n utilise la ntatin. C est aussi directement lié au fait que le travail est une quantité qui dépend généralement du chemin suivi. 3. Thérème de l énergie cinétique : frmulatin intégrale Le TPC énnce que la variatin élémentaire d énergie cinétique du pint M est égale au travail élémentaire des frces qui lui snt appliquées. Le Thérème de l Energie Cinétique décule du TPC après intégratin par rapprt au temps Enncé du TEC Dans un référentiel galiléen, la variatin de l énergie cinétique du pint M entre deux instants t 1 et t 2 est égale au travail des frces appliquées au pint M entre ces deux instants : avec : 6 Mreggia PCSI 2011/2012

7 Ce thérème est particulièrement utile lrsque l n suhaite déterminer la nrme de la vitesse du pint matériel à un instant dnné (u à une psitin dnnée), cnnaissant la nrme de la vitesse à un autre instant (généralement la vitesse initiale u finale) Exemple d applicatin Un palet de masse m est lancé sur une piste verglacée, avec une vitesse initiale v 0. Une bande de largeur d nn verglacée se truve sur le trajet du palet. Le cefficient de frttement slide sur cette bande est nté f. Quelle est la vitesse initiale minimale à furnir au palet pur que celui-ci franchisse la bande nn verglacée? Ntins clefs Savirs : Définitin et interprétatin physique des ntatins différentielles Définitin de l énergie cinétique, de la puissance, du travail + interprétatin physique de ces ntins Enncés du TEC sus ses deux frmes (instantané, et intégré sur une durée) Tutes les grandeurs intrduites dans ce chapitre dépendent du référentiel Savirs faire : Utiliser la bnne ntatin u d pur les quantités / variatins élémentaires Utiliser la bnne ntatin pur les quantités / variatins finies Calculer la puissance et le travail d une frce Appliquer le TPC et le TEC pur résudre des prblèmes à un degré de liberté (référentiel galiléen) 7 Mreggia PCSI 2011/2012