Dérivés Financiers Futures et Contrats à Terme

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1 Dérivés Financiers Futures et Contrats à Terme Owen Williams Grenoble Ecole de Management > 2 Introduction Les forwards et futures sont des engagements à acheter ou vendre un actif à une date future donnée, pour un prix convenu. Les contrats futures sont négociés sur des marchés organisés, avec des caractéristiques standardisées. Les contrats forwards sont des accords de gré à gré, entre deux institutions financières, ou entre une institution et une entreprise. > 3 Plan Fonctionnement des marchés de futures Stratégies de couverture par les contrats futures Détermination des prix forwards et des prix futures 1

2 Fonctionnement des marchés de futures > 5 Négociation des contrats futures Marchés les plus importants Aux Etats-Unis : Chicago Board of Trade (CBOT, Chicago Mercantile Exchange (CME, En Europe : London International Financial Futures and Options Exchange (www.liffe.com, racheté en 2001 par Euronext) Eurex (www.eurexchange.com, résultat de l association des bourses allemandes et suisses) > 6 Spécifications d un contrat Lorsqu un contrat est créé, les autorités de marché doivent spécifier les obligations des deux parties (acheteur et vendeur). Cela suppose de préciser : Le sous-jacent La taille du contrat Le lieu de livraison La période de livraison Les cotations Les variations maximales 2

3 > 7 Spécifications d un contrat L actif sous-jacent Dans le cas de matières premières, le contrat spécifie les qualités acceptables Possibilité d ajustement de prix pour tenir compte des différences de qualité Le problème ne se pose pas en général pour un actif financier > 8 Spécifications d un contrat La taille du contrat Quantité d actifs sous-jacents livrable pour un contrat Décision importante : quantité trop élevée exclut de nombreux investisseurs, alors que quantité trop faible implique des coûts fixes importants Existence de mini-contrats pour attirer de «petits investisseurs», comme le Mini Nasdaq100 sur le CME (taille 5 fois inférieure à celle d un contrat normal) > 9 Spécifications d un contrat La livraison Le ou les lieux de livraison sont spécifiés, dans la mesure où le coût de transport peut être élevé (cas des marchandises et matières premières) Possibles variations de prix pour plusieurs lieux de livraison Les mois de livraison La période du mois pendant laquelle la livraison est possible (peut être le mois entier) 3

4 > 10 Spécifications d un contrat Les cotations Le prix futures est coté d une manière qui soit facile à comprendre Exemple : Le contrat futures sur le pétrole est coté en USD par baril Les contrats sur indice sont cotés en points d indice, avec un équivalent monétaire par point d indice Les variations minimales (ticks) dépendent de l unité de cotation. Exemples : USD 10 et 0,01 point pour l indice sur pétrole EUR 5 et 0,50 point pour le contrat sur CAC40 USD 12,50 et ¼ point pour le contrat sur maïs USD 31,25 et 1/32 point pour le contrat U.S. T-Bond > 11 Spécifications d un contrat Les variations journalières maximales Les autorités de marché fixent des variations maximales journalières Les transactions cessent quand ces limites sont atteintes Volonté des autorités de freiner les mouvements de cours dus à une spéculation excessive > 12 Future sur Blé 4

5 > 13 Future sur Porc > 14 Future sur West Texas pétrole brut > 15 Future S&P 500 5

6 > 16 Future S&P 500 e-mini > 17 Les appels de marge Compte de dépôt: marge initiale, puis marge de maintenance, déposées par l investisseur chez le broker. Mécanisme d ajustement quotidien (marking to market) : si l investisseur ne peut pas répondre à un appel de marge, sa position est soldée Les dépôts et règles gouvernant les appels de marge sont fixés par les autorités de marché Les apports dépendent de la volatilité des prix de l actif sous-jacent (prix très volatils apport élevé) Le dépôt minimise la possibilité de perte en cas de risque de défaut. > 18 Les appels de marge La chambre de compensation Permet d assurer la bonne fin des contrats Enregistre et gère toutes les transactions, tient les comptes et réalise les appels de marge Organisation destinée à éviter le défaut des contreparties (a plutôt bien fonctionné jusqu à présent) 6

7 > 19 Exemple de Future Un investisseur prend une position longue sur 2 contrats futures sur l or, horizon décembre, le 5 juin Taille du contrat : 100 onces. Prix future : 600 USD par once Marge initiale : 2000 USD/contrat (4000 USD en tout) Marge de maintenance : 1500 USD/contrat (total 3000) A la fin de chaque journée, le compte de dépôt est ajusté > 20 Volumes / Positions ouvertes Volume de transactions : le nombre d échanges en un jour Position ouverte : le nombre total de contrats vivants Egal au nombre de positions longues ou au nombre de positions courtes > 21 Convergence Future/Comptant (spot) A l approche de l échéance, le prix d un contrat converge vers le prix de l actif sous-jacent. A la livraison, les 2 prix sont égaux ou très proches. Sinon, il y aurait une opportunité d arbitrage : par exemple, si les futures étaient au-dessus du prix spot, on pourrait (et devrait) exploiter l opportunité d arbitrage suivante : Vendre un future + acheter l actif - le livrer 7

8 Stratégies de couverture par les contrats futures > 23 Couverture par les futures Si une entreprise sait qu elle doit vendre un actif particulier à une date donnée dans le futur, elle peut se couvrir en prenant une position courte, et ainsi bloquer le prix de vente. Si une entreprise doit acheter un actif dans le futur, elle peut prendre une position longue sur un future, et ainsi bloquer le prix d achat. La couverture vise seulement à réduire l'incertitude. > 24 Contexte Nombreux intervenants sur les marchés de futures sont des opérateurs en couverture (hedgers) Utilisation des contrats futures pour réduire le risque Une couverture parfaite permet d éliminer complètement le risque (rarement possible) Objectif : Définir des principes permettant la construction de stratégies dont les résultats sont aussi proches que possible d une couverture parfaite 8

9 > 25 Exemple de couverture (position courte) Une entreprise sait qu elle peut perdre pour chaque baisse d un cent du prix d une matière première. Pour se couvrir, le trésorier peut prendre une position courte sur un future sur cette matière première. Position construite de façon que le contrat futures gagne quand le prix baisse d un cent. Si le prix augmente, le gain sur la matière première est compensé par une perte sur le contrat futures. > 26 Exemple de couverture (position courte) Couverture appropriée quand le hedger détient l actif sousjacent et prévoit de le vendre dans un avenir plus ou moins proche Dès lors que le sous-jacent et l actif sont parfaitement corrélés, ce type de couverture neutralise complètement le risque. Couverture également utile quand on ne détient pas encore l actif, mais qu on doit le recevoir dans les mois à venir Les pertes comme les gains sont compensés. Exemple Cette contrats de couverture (position longue) 120 cents stratégie a pour effet de fixer le prix d achat achat futur de à 4 Contrats sur le cuivre : quotité livres Soit une entreprise qui doit acheter livres de cuivre dans 4 mois Le prix spot du cuivre est de 140 cents la livre, et le prix futures du contrat échéance 4 mois est de 120 cents la livre > 27 9

10 L actif Le La laquelle Le risque dénouer jacent de base échéance hedger stratégie à du couvrir il la contrat devra peut position couverture n est ne acheter futures pas sur pas connaitre les forcément peut contrats vendre éventuellement avec l actif futures le même exactitude bien que imposer avant la le date sous- leur de à En pratique c est généralement moins simple pour plusieurs raisons : Les exemple précédents présentent une couverture parfaite > 28 Ces éléments donnent naissance au risque de base > 29 La base Définition : la base b est la différence entre le prix au comptant et le prix futures b = S - F S est le prix spot et F le prix du future (dont la date de maturité est une date T future). Si l actif à couvrir et le sous-jacent du contrat futures coïncident, la base sera nulle à l échéance du contrat. Avant l échéance, la base peut être positive ou négative > 30 Le choix du contrat Lorsqu une couverture parfaite n est pas disponible, deux décisions doivent être prises : Choisir l actif sous-jacent du contrat parmi les contrats disponibles Choisir le mois de livraison 10

11 taille > 31 Le choix du contrat Exemple Le 8 juin, une entreprise sait qu elle devra acheter barils de pétrole brut en octobre ou novembre La taille des contrats est de 1000 barils par contrat L entreprise décide de prendre une position longue sur 20 contrats échéance décembre à un prix futures de 18 USD le baril L achat du pétrole est finalement réalisé le 10 novembre, et la position sur les contrats est dénouée à cette date, alors que les spot et futures sont respectivement à 20 USD et 19,1 USD Quel est le prix réellement payé par l entreprise? > 32 Le choix du contrat Exemple (suite) Gain sur les contrats : 19,1 18 = 1,1 USD par baril À la date de clôture, la base est de 20 19,1 = 0,9 USD Le prix effectivement payé par baril est la différence entre le prix spot et le gain sur les contrats : 20 1,1 = 18,9 Ce prix peut également être exprimé comme le prix futures initial plus la base : ,9 = 18,9 USD Le prix total payé est donc 18,9 * = USD > 33 Le ratio de couverture de variance minimum Le ratio de couverture, h =. position sur futures. taille position sur l actif à couvrir La minimisation du risque par le hedger n impose pas toujours de choisir un ratio égal à 1 11

12 > 34 Le ratio de couverture de variance minimum C est le ratio qui minimise le risque de la position, celui-ci étant mesuré comme la volatilité, dans l esprit du MEDAF. Donc, si un investisseur est long d une unité de l'actif, il doit avoir une position courte de h unités futures (short hedge). La position initiale vaut Π = S hf Le changement de valeur de la position sera Π = S h F > 35 Le ratio de couverture de variance minimum La variance sera : σ 2 2 σ = σ + h σ 2hρσ σ σ Π 2 S Où S et F sont les écarts-types de et respectivement, et la corrélation entre eux. ρ Pour minimiser cela nous prenons alors le ratio optimal 2 F σ S h* = ρ σ F S S F F > 36 Le ratio de couverture de variance minimum Notations S ou δs : variation du prix spot pendant la période de couverture F ou δf : variation du prix futures pendant la période de couverture σ S : écart-type de S σ F : écart-type de F ρ : corrélation entre S et F h* : ratio de couverture qui minimise le risque de la position du hedger σ S h* = ρ σ F 12

13 > 37 Le nombre optimal de contrats Le nombre optimal de contrats pour couvrir une position donnée peut être obtenu comme : Notations Q A : taille de la position à couvrir (en unités) Q F : taille d un contrat futures (en unités) N* : nombre optimal de contrats futures pour la couverture h* Q N* = Q F A > 38 Le nombre optimal de contrats - Exemple Une société doit acheter un titre ou une matière première risquée dans le future (une compagnie aérienne doit acheter des millions de gallons de kérosène dans 4 mois) L achat de futures sur le pétrole (fortement corrélé au kérosène) réduira le risque au risque de base. Si les prix du pétrole montent, la société recevra du pétrole peu cher, le revendra et, avec les bénéfices, paiera l augmentation de prix du kérosène. Si les prix baissent, la société fera une perte sur l achat/revente du pétrole. Cependant, les économies faites sur le kérosène devraient la compenser. Le risque de base est la possibilité que le pétrole monte plus le kérosène, et vice versa. > 39 Le nombre optimal de contrats - Exemple Si la compagnie aérienne doit acheter 2 millions de gallons de kérosène dans 4 mois L historique des variations du kérosène (δs) et du futures sur fuel domestique (δf) nous permet de calculer les écarts-types et les corrélations (formules statistiques usuelles) On obtient : σ S = 0,0263, σ F = 0,0313, ρ = 0,928 Sachant que chaque contrat porte sur gallons, quel est le nombre optimal de contrats? 13

14 > 40 Le nombre optimal de contrats - Exemple L équation nous donne le ratio de variance minimum (h*): 0,928 * 0,0263 / 0,0313 = 0,78 Chaque contrat porte sur gallons, ce qui nous donne le nombre de contrats optimal (N*): 0,78 * / > 41 Les futures sur indices Utilisés pour couvrir un portefeuille d actions Notons P la valeur du portefeuille aujourd hui et A la valeur du contrat future sur indice Si le portefeuille duplique exactement l indice, le ratio de couverture est égal à 1, et le nombre optimal de contrats est : N* = V A / V F Exemple d un portefeuille qui vaut 3 millions d et qui duplique le CAC40. Le futures CAC40 porte sur 10 fois l indice. Si l indice est à 3000, on a V A = et V F = 10 * Il faut donc prendre une position courte sur 100 contrats pour couvrir la position > 42 Les futures sur indices Quand le portefeuille ne duplique pas l indice (cas le plus courant), utilisation du β du portefeuille (CAPM) Dans ce cas, le nombre optimal de contrats est défini par : N* = β * V A / V F Cette relation suppose que la maturité du contrat est proche de celle de la couverture 14

15 > 43 Les futures sur indices Exemple Valeur du CAC40 = 3000 Valeur du portefeuille = Taux sans risque = 5 % Rendement en dividende de l indice = 2 % Bêta du portefeuille = 1,5 Supposons que la couverture souhaitée soit de 3 mois, et que le contrat CAC40 utilisé ait une durée de vie de 4 mois Le prix futures du contrat est : 3000 * e (0,05-0,02)*4/12 = 3030,15 (voir plus loin) > 44 Les futures sur indices Exemple (suite) Le nombre de contrats futures à utiliser est : 1,5 * / Une position courte sur 80 contrats doit être prise Si l indice chute à 2700 trois mois plus tard, le prix futures sera : 2700 * e (0,05 0,02)*1/12 = 2706,75 Et le gain réalisé sur les futures : 80 * (3030, ,75) * 10 = Les futures sur indices Exemple (suite) Perte sur l indice de 10%, dividende de 2%, soit 0,5% sur 3 mois (pour simplifier) Une rentabilité de -9,5% Taux sans risque annuel de 5%, soit 1,25% sur 3 mois D après le CAPM : E[Rp] = 1,25 + 1,5 * (-9,5 1,25) = -14,875% La valeur espérée du portefeuille est donc : 1,6 * (1 0,14875) = 1,362 millions d > 45 15

16 > 46 Les futures sur indices Exemple (suite) La valeur finale de la position s écrit : = Des simulations pour diverses valeurs de l indice montrent que cette position est stable, pratiquement indépendante de la valeur de l indice > 47 Les futures sur indices Changer le bêta d un portefeuille Dans l exemple précédent, le bêta de la position devient nul après la mise en place de la couverture Possibilité de modifier le bêta sans l annuler Dans l exemple précédent : Pour réduire le bêta de moitié, position courte sur deux fois moins de contrats, soit 40 Pour faire passer le bêta à 3, position longue sur 80 contrats > 48 Les futures sur indices De manière générale, pour faire passer le bêta d une valeur β à une valeur β* : Si β > β*, il faut prendre une position courte sur un nombre de contrats égal à : N* = (β β*) V A / V F Si β < β*, il faut prendre une position longue sur un nombre de contrats égal à : N* = (β* -β) V A / V F 16

17 > 49 Les futures sur indices La couverture contre les variations de prix d une action individuelle repose sur les mêmes principes Il n existe pas toujours de contrats futures sur actions Dans ce cas, utiliser les contrats sur indice, avec le même raisonnement en termes de bêta Résultat obtenu nettement moins bon, car couverture contre les mouvements de marché mais pas contre les variations spécifiques à l action Couverture envisageable pour un investisseur optimiste sur l action mais pessimiste sur l évolution du marché dans son ensemble > 50 La couverture glissante Nous avons vu que la couverture optimale n était pas toujours parfaite. Si l actif à couvrir est différent du sous-jacent des contrats futures, alors nous devons choisir les contrats futures qui ont la plus forte corrélation avec l actif à couvrir. S il n y a pas de contrats futures sur l actif qui expirent à la date de maturité de la couverture, alors nous devons choisir les futures qui expirent aussi près que possible mais pas avant - la date de maturité de la couverture. Si l actif à couvrir a un horizon qui dépasse celle de tous les futures disponibles, alors le hedger doit faire glisser sa couverture d une échéance à l autre. > 51 La couverture glissante Ceci est fait en fermant les positions arrivées à maturité et en achetant ou vendant les futures suivants. Dans cette stratégie, il y a n-1 risques de base : la différence entre le prix future du contrat dénoué et son successeur. Il y a un n ième risque de base, la différence classique entre le dernier contrat et le prix spot du sous-jacent à la date t. 17

18 La détermination des prix forward et futures > 53 Forward et Futures Forward Futures Négocié sur un marché de gré à gré Non standardisé Négocié sur un marché organisé Contrat standardisé Une date de livraison Une période de livraison Un seul flux à la fin du contrat Mark-to-market quotidien Livraison ou dénouement en cash sont la norme Positions le plus souvent dénouées avant l échéance > 54 Composition continue des intérêts En réalité la cotation des taux d intérêts, pour les futures et forwards, a généralement lieu chaque jour, mois, an etc. Cependant, pour le cohérence et la simplicité des formules, nous utiliserons surtout la composition continue des intérêts. Si une somme A est déposée n années and composées m fois, au taux annualisé r, sa valeur finale sera ( ) m V n F = A 1+ r m Pour composer de manière continue, nous devons augmenter m jusqu à l infini, et m n rn V F = lim A( 1+ r m) = Ae m Réciproquement, actualiser de manière continue donnera : V P = Ae rn 18

19 > 55 La vente à découvert Une stratégie souvent utilisée pour l'arbitrage, consiste dans la vente de quelque chose que l'investisseur n'a pas. En pratique : Le courtier du client emprunte les titres à un autre investisseur et les vend sur le marché. A un moment donné (futur), le vendeur à découvert doit acheter les titres sur le marché, et les déposer sur le compte du prêteur. Le vendeur à découvert à l obligation de payer les dividendes et autres bénéfices au possesseur des titres empruntés. Il est évident que la vente à découvert requiert un agrément entre un investisseur et son courtier, l investisseur devant maintenir un compte de marge. > 56 Hypothèses Par la suite, nous allons faire un certain nombre de suppositions : Pas de frais de transaction Taux d imposition identique pour tous Prêts et emprunts réalisés au même taux sans risque Les opérateurs profitent des opportunités d arbitrage dès qu elles apparaissent > 57 Notations Les notations suivantes seront utilisées : T : délai jusqu à la date de livraison d un contrat forward ou futures (en années) S 0 : prix du sous-jacent en 0 (aujourd hui) F 0 : prix forward ou futures aujourd hui r : taux sans risque 19

20 > 58 Arbitrage Il y a arbitrage quand on peut générer un profit certain sans investissement initial. A partir de ces notions, vient le principe de pricing dit d absence d arbitrage : If le prix diffère de sa valeur théorique, on peut réaliser un profit sans risque ni investissement initial Un portefeuille parfaitement couvert est totalement sans risque : Il devrait donc rémunérer au taux sans risque! > 59 Prix forward Cas d un contrat dont le sous-jacent n engendre aucun revenu sur la durée de vie du contrat (action ne versant pas de dividende ou obligation ZC) Illustration Contrat forward échéance 3 mois sur une action ne versant pas de dividendes Cours action = 40 Taux sans risque r = 5% > 60 Prix forward Illustration (suite) 1 er cas : Le prix forward est 43 Un arbitragiste emprunte 40 au taux sans risque, achète l action et vend un contrat forward À la fin des 3 mois, remboursement emprunt (40*e 0,05*3/12 = 40,5 ) et livraison de l action (reçoit 43 ), soit un gain assuré de 2,5 2 ème cas : Le prix forward est 39 Un arbitragiste achète le forward, vend l action à découvert et place le montant de la vente À la fin des 3 mois, le placement rapporte (40*e 0,05*3/12 = 40,5 ) et il paie 39 pour obtenir l action et dénouer la vente à découvert, soit un gain assuré de 1,5 Quel est le prix forward qui assure l absence de ces arbitrages? 20

21 > 61 Prix forward Généralisation Soit F 0 le prix d un contrat forward sur un actif S 0, de durée de vie T. Alors : F 0 = S 0 * e rt Si le prix diffère de ce prix théorique, un profit certain peut être réalisé sans investissement Si F 0 > S 0 * e rt, arbitragiste achète l actif et vend le forward Si F 0 < S 0 * e rt, arbitragiste achète le forward et vend l actif > 62 Cas d un flux intermédiaire connu Cas d un contrat où l actif sous-jacent paie un flux (dividende ou coupon), supposé connu, pendant la durée de vie du contrat Illustration Contrat forward échéance 10 mois sur une action versant des dividendes égaux à 0,75 par action dans 3, 6, et 9 mois Cours action = 50 Taux sans risque r = 8% > 63 Cas d un flux intermédiaire connu Illustration (suite) 1 er cas : Le prix forward est 53 Un arbitragiste emprunte pour acheter l action et vend un contrat forward Montant emprunté : 0,75* (e- 0,08*3/12 + e- 0,08*6/12 + e- 0,08*9/12 ) = 2,162 qui seront remboursés par les dividendes Seule la différence (50 2,162) est empruntée sur 10 mois À la fin des 10 mois, remboursement emprunt ((50 2,162) * e 0,08*10/12 = 51,14 ) et livraison de l action (reçoit 53 ), soit un gain assuré de 53 51,14 = 1,86 21

22 > 64 Cas d un flux intermédiaire connu Illustration (suite) 2 ème cas : Le prix forward est 50 Un arbitragiste achète le forward, vend l action à découvert et place le montant de la vente (une partie à 3, 6 et 9 mois pour payer les dividendes, le reste à 10 mois) À la fin des 10 mois, le placement rapporte : [50 0,75 * (e -0,08*3/12 + e -0,08*6/12 + e -0,08*9/12 )]*e 0,08*10/12 = 51,14 Il paie 50 pour obtenir l action et dénouer la vente à découvert, soit un gain assuré de 1,14 Quel est le prix forward qui assure l absence de ces arbitrages? > 65 Cas d un flux intermédiaire connu Généralisation Soit F 0 le prix d un contrat forward sur un actif S 0 payant des flux, de durée de vie T. Soit I la valeur actuelle des flux, alors : F 0 = (S 0 I) * e rt Si F 0 > (S 0 I) * e rt, arbitragiste achète l actif et vend le forward Si F 0 < (S 0 I) * e rt, arbitragiste achète le forward et vend l actif > 66 Cas d un actif à rendement connu Cas d un contrat où l actif sous-jacent paie un rendement continu au taux q, plutôt qu un flux à une date donnée. En supposant que le rendement est composé en continu (comme les taux), la valeur du forward est : F 0 = S 0 * e (r-q)t 22

23 > 67 Cas d un actif à rendement connu Illustration Contrat forward à 6 mois, sur un actif procurant un revenu de 3,96% par an (taux continu) Taux sans risque = 10% Prix de l actif = 25 Le prix forward est : F 0 = 25 * e (0,1 0,0396)*6/12 = 25,77 > 68 Évaluation des contrats forward La valeur d un contrat forward est toujours nulle au moment où il est créé Il peut ensuite avoir une valeur positive ou négative Notons : K le prix de livraison (F 0 toujours le prix forward aujourd hui) f la valeur du contrat forward aujourd hui T la durée de vie résiduelle du contrat r le taux sans risque Alors : f = (F 0 K) * e -rt > 69 Évaluation des contrats forward Illustration Position longue sur un forward sur action ne versant pas de dividende, prise il y a quelques mois Il reste 6 mois avant l échéance. Taux sans risque = 10% Action = 25 Prix de livraison K = 24 Le prix forward est F 0 = 25 * e 0,1*6/12 = 26,28 La valeur du contrat forward est alors : f = (26,28 24) * e -0,1*6/12 = 2,17 23

24 > 70 Évaluation des contrats forward La valeur d un contrat forward peut aussi s écrire : f = S 0 K e rt f = S 0 I K e rt f = S 0 e qt K e rt si l actif ne paie aucun flux si l actif paie des flux intermédiaires si l actif a un rendement q > 71 Prix forward et prix futures Les prix forward et futures sont identiques pour des contrats de même maturité, lorsque les taux sont constants. Si les taux sont aléatoires, prix forward et futures peuvent être différents, la différence est fonction de la corrélation entre le sous-jacent et les taux. D autres paramètres peuvent justifier un écart de prix : liquidité, risque de contrepartie, fiscalité, coûts de transaction, procédures d appels de marge, En général la différence est négligeable et sera ignorée. Nous noterons les prix futures et forward par le même F. > 72 Contrats futures sur indices Un indice reflète les variations d un portefeuille hypothétique de titres Le poids d une action dans l indice est la proportion de la valeur du portefeuille investie dans l action Même si le portefeuille hypothétique n est pas modifié, les poids des titres qui le constituent changent au cours du temps Les contrats sur indice ne donnent pas lieu à la livraison du sous-jacent, mais sont dénoués en cash 24

25 > 73 Contrats futures sur indices Exemples de prix de contrats futures sur quelques indices européens (les Echos du 9 octobre 2003, échéance DEC03) Premier + haut + bas Dernier Comp Volume CAC , DAX ,5 3356,5 3410, FTSE- EUROFIRST > 74 Contrats futures sur indices Prix futures des contrats sur indices Un indice peut être vu comme un actif d investissement (le portefeuille d actions qui constitue l indice) qui paie des dividendes Hypothèse de dividendes payés en continu au taux q Le prix futures du contrat s écrit : F 0 = S 0 e (r-q)t > 75 Contrats futures sur indices Arbitrage sur indice Si F 0 > S 0 e (r-q)t, un profit peut être réalisé en achetant au comptant les actions composant l indice et en vendant le contrat futures Si F 0 < S 0 e (r-q)t, il faut adopter la stratégie symétrique. Cet arbitrage peut être monté par un fonds de pension qui possède déjà un portefeuille répliquant l indice Ces stratégies d arbitrage sur indice sont souvent opérés à partir d un système de program trading qui émet les ordres de manière automatique 25

26 > 76 Contrats futures et forwards sur devises Notons: r d le taux sans risque du pays domestique r f le taux sans risque du pays étranger S 0 le taux de change au comptant F 0 = S 0 e (r d - r f)t Quand r d > r f, les taux de change futures augmentent avec la maturité > 77 Matières premières, actifs d investissement La détention d or ou d argent est génératrice de revenus (banques centrales facturent un taux d intérêt pour prêter l or, par exemple) La relation entre prix forward et prix au comptant en l absence de coûts de stockage: F 0 = S 0 e rt > 78 Matières premières, actifs de consommation Les coûts de stockage peuvent être interprétés comme des revenus négatifs dus à la détention de l actif Soit U, la valeur actuelle du stockage : F 0 = (S 0 + U)e rt Si les coûts de stockage sont exprimés par un taux, µ F 0 = S 0 e (r + µ)t 26

27 > 79 Matières premières, actifs de consommation Arbitrage sur matières premières F 0 > (S 0 + U)e rt Emprunter au taux sans risque, acheter l actif et payer les coûts de stockage. Position courte sur un forward. F 0 < (S 0 + U)e rt Absence d arbitrage sur les matières premières qui ne jouent pas de rôle d actifs d investissement Par conséquent : F 0 (S 0 + U)e rt > 80 Le rendement d opportunité La détention d une matière première procure des avantages pour une entreprise qui s en sert dans son processus de production Appelons y le rendement d opportunité (convenience yield) : F 0 e yt = (S 0 + U)e rt F 0 e yt = S 0 e (r+u)t Pour un actif d investissement, y = 0 Quand y > (r + u), les prix futures sont décroissants avec les maturités y reflète les anticipations des opérateurs quant à la disponibilité future de l actif > 81 Le coût de portage Notons: c, le coût de portage : c = coût de stockage + coût de financement - revenu engendré par l actif Coût de portage pour un actif d investissement : F 0 = S 0 e ct Coût de portage pour un actif de consommation : F 0 = S 0 e (c-y)t 27

28 > 82 Espérance du prix spot futur Admettons des flux à la date 0 (-F 0 e -rt ) et à la date T (S T ), la valeur espérée de l investissement s écrit: -F 0 e -rt + E(S t )e -kt où k = le taux d actualisation Si tous les investissements ont une valeur actuelle nette espérée nulle: F 0 = E(S t )e (r-k)t Si l actif n est pas corrélé avec le marché M, le risque systématique est nul et k = r F 0 = E(S t ) 28

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