1.1. Proportion (ou fréquence)

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1 . Pourcetage,, fréquece. ctivité p 6 ctivité p 7.. Proportio (ou fréquece). Pourcetage exprimat ue Proportio Soit E u esemble ayat élémets et ue partie de E ayat E élémets La proportio ou fréquece d ue sous-populatio das ue populatio E est le rapport des effectifs : Nombre d'élémets de p Nombre délémets de E Dire que représete x% de E équivaut à : E E x Exemple : Das u service d hôpital de 8 lits, sot occupés. f E. O ote la fréquece ( ) Proportio de lits occupés? répose : E pourcetage? répose,75. 4 Il y a doc 75% des lits qui sot occupés. 3 4 E 75 ttetio aux écritures. O écrit pas,75 75% ou 75% Quel que soit le choix de l écriture, ue proportio est toujours u ombre compris etre et.. dditio de pourcetage, Pourcetage de pourcetage x y Si C représete y% de B et si B représete x% de E, alors C représete % de E Exemple : Das ue maiso de retraite 88% des persoes ot plus de 78 as dot 65% sot des femmes. Quelle est la part des femmes de plus de 78 as das la maiso de retraite? dditio de pourcetage : O e peut additioer des proportios que das le cas de deux esembles DISJOINTS et B. Exemple : Das ue associatio de quartier chaque adhéret pratique u seul sport. 6% des adhérets pratique le judo, 35% la boxe, % la musculatio, le reste la gymastique. Combie pratique u sport de combat? 35% + 6% 6%. Exercices : p Tableur sur papier 6 TBLEUR : Fichiers TP-TP-TP-TP3-TP4 Cours ère STS E. Pouli Page

2 . Droites Foctio affie O se place das u repère ( O i j ).. Coefficiet directeur ; r, r orthoormé ou orthogoal. O cosidère ue droite, o parallèle à l axe des ordoées, et B deux poits disticts de cette droite. yb y Le coefficiet directeur de la droite est m. x x Cas particulier utilisé pour tracer ue droite : si x B x +, alors m y B y. isi, y y m B + B Si m >, la droite «mote». Si m la droite est «horizotale Si m <, la droite «desced». B y r j m i r x y r j i r B x y r j i r B m x Deux droites sot parallèles si elles ot même coefficiet directeur ) Commet détermier le coefficiet directeur d ue droite doée graphiquemet? Méthode : O repère deux poits et B de la droite, puis o calcule le coefficiet directeur yb y avec l égalité m. xb x Méthode : O se place sur la droite. O se décale d ue uité vers la droite et o «desced» ou o «mote» pour rejoidre la droite. La distace aisi parcourue doe la valeur du coefficiet directeur, positif si o est moté, égatif si o est descedu. Exemple ) Commet tracer ue droite dot o coaît u poit et le coefficiet directeur? O place le poit cou. partir de ce poit, o se «déplace» de vers la droite parallèlemet à l axe des abscisses. Si le coefficiet directeur est positif, o mote de sa valeur parallèlemet à l axe des ordoées et o marque le poit. Si le coefficiet directeur est égatif, o desced de sa valeur absolue parallèlemet à l axe des ordoées et o marque le poit. O trace alors la droite passat par le poit de départ et ce poit. Cours ère STS E. Pouli Page

3 Exemple.. Equatio de droite Toute droite o parallèle à l axe des ordoées admet ue équatio de la forme y mx + p, où m et p sot des réels. Le ombre m est le coefficiet directeur de la droite Le ombre p est appelé l ordoée à l origie de la droite (ordoée au poit d abscisse ) Das le cas où est parallèle à l axe des ordoées, tous les poits de la droite ot même abscisse. Si o ote k cette abscisse, la droite a pour équatio x k ) Commet détermier l équatio réduite d ue droite o parallèle à l axe des abscisses, défiie par deux de ces poits? yb y. O calcule le coefficiet directeur m x x B. O écrit que les coordoées du poit vérifiet l équatio réduite y mx + p, puis o calcule p. 3. O écrit l équatio. Exemple ) Commet tracer ue droite dot o coaît l équatio réduite y mx + p? O place l ordoée à l origie de coordoées ( ; p) partir de ce poit, o se déplace d ue uité vers la droite parallèlemet à l axe des abscisses puis o mote ( si m > ) ou o desced (si m < ) de la valeur absolue du coefficiet directeur parallèlemet à l axe des ordoées. O marque ce poit. O trace alors la droite passat par les deux poit placés. Exemple.3. Foctio affie x a ax + b Soit la foctio f défiie par : où a et b sot des ombres réels doés, IR IR idépedats de x, et où a est pas ul : f est ue foctio affie La représetatio graphique d ue foctio affie est ue droite. Das le cas d ue foctio liéaire (b), la droite passe par l origie du repère Variatios Tableau de variatios Cas a> ( x) f est strictemet croissate sur IR Cas a< f est strictemet décroissate sur IR x + x f f ( x) Cours ère STS E. Pouli Page 3

4 a> a< Cas Particulier : La foctio idetité ( x a x ) C est ue droite passat par l origie du repère, de coefficiet directeur. Exercice 37 à 44 page Sige de ax+b x b + a Sige de ax+b Sige de (-a) Sige de (a).4. Utilisatio de la calculatrice Puissace Tableau de valeurs Graphique Cours ère STS E. Pouli Page 4

5 3. Statistique ctivité p ctivité p Itroductio - Vocabulaire l origie (e Chie as avat JC, e égypte 7 as avat JC, puis das l empire romai), la statistique (du lati «Status» : Etat) rassemblait des iformatios itéressat l état, cocerat la POPULTION, dot les élémets sot des INDIVIDUS et cosiste à observer, étudier u même aspect de chaque idividu appelé VRIBLE OU CRCTERE. O distigue deux types de caractères : Les caractères QULITTIFS (professio, couleur des yeux...). Les caractères QUNTITTIFS que l o peut mesurer. Ces valeurs peuvet être m ; m 5, m 5; m 6...) regroupées e CLSSES ([ [ [ [ L EFFECTIF d ue valeur de la variable est le ombre d idividus correspodat à ue même valeur. La FREQUENCE d ue valeur est le quotiet de l effectif de cette valeur par l effectif total i de la populatio. f i Remarque : Les fréqueces sot des ombres compris etre et, dot la somme est. Elles sot souvet exprimées e pourcetage ou trasformée e degré pour la costructio d u diagramme circulaire. 3.. Représetatios graphiques. Diagramme e bâtos, diagramme circulaire Exemple : Temps quotidie passé devat la télévisio Pourcetage des télespectateurs mois de h,% [ h ; h[ 5,% [ h ; 3 h[ 7,% [3 h ; 4 h[ 6% [4 h ; 8 h[ 4,7% 5% 4% Diagramme e bâtos Diagramme circulaire mois de h 3% % % % [ 4 h ; 8 h[ [ h ; h[ [ h ; 3 h[ [ 3 h ; 4 h[ Ce type de diagramme est privilégié das le cas d u caractère discret Les agles et doc les aires des secteurs sot proportioels aux effectifs Cours ère STS E. Pouli Page 5

6 . Histogramme U histogramme permet de représeter des séries statistiques à caractère quatitatif, dot les valeurs observées peuvet être, à priori, importe quel ombre réel d u itervalle. Ces valeurs sot regroupées e classes (itervalles). Ue uité d aire correspod à ue (ou plusieurs) valeur(s) observée(s). Exemple : Les résultats d u cotrôle das ue classe de 3 élèves sot les suivats : Classes [ ;8[ [ 8 ; [ [ ;4[ 4 ; Effectifs [ ] O représete alors l Histogramme sachat qu ue uité d aire représete élève. C est doc e comptat le ombre d uité d aire que l o a le ombre d élève das chaque classe Diagramme tige et feuilles U diagramme tige et feuilles permet de préseter les valeurs observées pour des séries statistiques à caractère quatitatif, lorsque ces valeurs appartieet à u itervalle d amplitude peu élevée. L itérêt de la méthode est de doer u aperçu graphique de la série sas perdre aucue iformatio. Exemple : O a relevé le ombre de jours d attete avat de pouvoir cosulter u médeci spécialiste à l hôpital : 3 ; 36 ; 6 ; 39 ; ; 49 ; 38 ; 3 ; 5 ; 4 ; ; 34 ; 4 ; 36 ; 3 ; 4 ; 4 ; ; 33 ; 37 ; 9 ; 8 ; 9 ; 47 ; 7 ; 8 ; 5 ; ; 8. Représeter ces doées sou forme de diagramme tige et feuilles. Méthode : ère étape : Repérer la plus petite valeur, 7 et la plus grade 49. Les parties pricipales, sur la tige serot das l ordre croissat,,, 3, 4. (ce sot ici les dizaies). Ces chiffres formerot la première coloe. Tige 3 4 feuilles ème étape : Les feuilles serot costitués des uités. Les chiffres sot reportés au fur et à mesure sur la lige de sa partie pricipale. Tige 3 4 feuilles ème étape : O ordoe les chiffres de chaque feuille das l ordre croissat. O obtiet alors u diagramme tige et feuilles. Note : O peut aisi rapidemet détermier le temps d attete média Il s agit de la 5 ème valeur, soit 8 jours d attete. Tige 3 4 feuilles Cours ère STS E. Pouli Page 6

7 3.3. Paramètres statistiques. Idicateur de positio :.. la moyee La moyee est u idicateur de cetralité (marquat la positio) des valeurs de la série. Cf CTIVITE O distigue trois cas : er cas : la populatio est doée par la liste de ses élémets : x, x, K, x. ème cas : la populatio est doée par le tableau des effectifs i de chacue des p classes x i. 3 ème cas : la populatio est doée par le tableau des effectifs i de chacue des p classes ai + bi [a i ; b i [ de cetre ci La MOYENNE d ue série quatitative discrète, otée x est égale à : er cas : ème cas : 3 ème cas : x + x + K + x x i x x + x + K + p x p x c + c + K+ pcp x x i i Le symbole est le symbole somme. Exemple : O a relevé la taille e cm de persoes : Das ce cas, il faut détermier le cetre de classe. Classe [45 ;55[ [55 ; 65[ [65 ; 75[ [75 ;85[ [85 ;95[ Cetre de classe Effectif E remarquat que l effectif total est de, la moyee des tailles est : m 68,5 Remarque : Pour calculer la moyee d ue série regroupée e classe, o se ramèe au cas discret e remplaçat chaque classe par so cetre. Propriété de la moyee : Si les populatios E et E ot aucu élémet commu, alors la populatio E E E est NX + N X d effectif N + N et la moyee sur E est égale à : X N + N.. La médiae Soit ue série quatitative ordoée. La médiae otée M e est u ombre qui sépare la populatio e deux sous-esembles de même effectif ; c est u idicateur de cetralité (qui marque la positio) des valeurs de la série. 5% de l effectif 5% de l effectif x M e M e x M e Cours ère STS E. Pouli Page 7

8 Exemples : Les otes de Paul sot : 7 ;8 ;8 ; ; ;3 ;4. La ote médiae est. Les otes d lice sot : 5 ;8 ;9 ; ; ;4. O pred pour ote médiae 9,5 (toute ote 9 ; est médiae. O choisit plutôt le cetre de l itervalle. das ] [. Idicateur de dispersio.. L étedue L étedue est la différece etre la plus grade et la plus petite valeur de la variable... L écart type L écart type σ, obteu à l aide de la calculatrice (ou du tableur) est u idicateur de dispersio des valeurs de la série. σ X, tel que : L écart-type d ue série de moyee x est le réel, oté ( ) σ ( X ) ( x x) + ( x x) + K + ( x x) p p O predra la valeur doée par la calculatrice ttetio, sur u tableur, il faut choisir : EcartypeP Remarques Cette quatité est positive ou ulle ; (elle est ulle si toute les valeurs de la série sot égales à la moyee. σ est petit, plus la série est cocetrée autour de sa moyee X. Plus ( X ) Plus σ ( X ) est grad, plus la série est dispersée autour de sa moyee X 3.4. Quartiles et itervalle iterquartile - Déciles Pour ue série dot la liste des valeurs observées est triée das l ordre croissat : La médiae M e est u ombre qui sépare la populatio e deux sous esembles de même effectif. M e est pas forcémet ue valeur de la série : Si N +, M e x + x + x+ Si N, M e Le er quartile Q est la plus petite valeur de la série telle qu au mois 5% des valeurs soiet iférieures ou égales à Q. Le 3 ème quartile Q 3 est la plus petite valeur de la série telle qu au mois 5% des valeurs soiet iférieures ou égales à Q 3. L écart iterquartile Q3 Q est u idicateur de dispersio des valeurs de la série ; Q cotiet 5% des effectifs. L itervalle iterquartile [ ] ;Q 3 Le i ème décile D i, (i allat de à 9) est la plus petite valeur de la série telle qu au mois i des valeurs soiet iférieures ou égales à D i. L écart iterdécile D9 D est u idicateur de dispersio des valeurs de la série ; L itervalle iterdécile [ D ; D 9 ] cotiet 8% des effectifs. Exemples : (Effectif de 6, puis 7, puis 8, puis 9) Exemple choisi das la classe : Motat dépesé par chaque élève lors des soldes. Cours ère STS E. Pouli Page 8

9 Diagramme e boîte : Das le cas d ue série ayat u effectif importat, o représete la série par u diagramme mettat e valeur les valeurs cetrales appelé diagramme e boîte ou «diagramme à moustaches». Ecart (ou itervalle) iterquartile Ecart (ou itervalle) iterdécile mi D Q Me Q 3 D 9 max xe gradué. Méthode d applicatio Les résultats d ue equête auprès de 3 médecis sur le ombre de revues spécialisées auxquels ils sot aboés sot regroupés das le tableau suivat : Nombre d aboemets Nombre de médecis Commet réaliser u diagramme e boites correspodat? ❶ O dresser le tableau des effectifs cumulés croissats : Nombre d aboemets Nombre de médecis % 5% 5% 75% 9% ❷ O e déduit la médiae, les er et 3 ème quartiles, l écart iterquartiles et les er et 9 ème décile 3 La médiae : 5, doc la médiae se trouve etre les valeurs observées de rag 5 et ; o pred pour médiae la moyee de ces deux valeurs : M e 5, 5 Quartiles : 3 7, 5, doc le er 4 quartile est la valeur observée de rag 8 : Q 4 3 3,5, doc le 3 ème quartile est la valeur observée de rag 3 : Q Ecart iterquartile : Déciles : 3 3, doc le er décile est la valeur observée de rag 3 : D , doc le 9 ème décile est la valeur observée de rag 7 : 9 D ❸ O peut alors réaliser le diagramme e boîte correspodat : Q Q 4 revues , Cours ère STS E. Pouli Page 9

10 3.5. Tableaux croisés U tableau à double etrée permet de préseter les effectifs e vue d é»tudier simultaémet deux caractères et B sur cette populatio :,,..., et B, B,..., B p B Effectif de etb Totaux Effectif de B B p Totaux Effectif de Effectif de Effectif de Effectif total U tableau de fréquece permet de comparer deux populatios selo u même caractère :,,..., sot les modalités du caractère. O peut alors défiir la fréquece coditioelle f B ( D) comme la fréquece des idividus preat la valeur D parmi les idividus preat la valeur B : Nombre d'idividus vérifiat D et B f B ( D) Nombre d'idividus vérifiat B Voir ctivité feuille : ctivitétableauxcroisés U grossiste commade 9 kg de fruits e proveace d Espage et du Maroc. la livraiso, ces fruits sot classés suivat leur maturité : Pas assez mûr Boe maturité Trop mûr. L aalyse de la marchadise ous permet d affirmer que : Parmi les 55 kg de fruits acheté au Maroc, % sot trop mûr et 4% e sot pas assez mûr 7% de la livraiso sot des fruits à boe maturité. Il y a 5 kg de fruits proveat d Espage qui sot trop mûr. ) Compléter le tableau suivat : Pas assez Bo Trop Total Espage Maroc Total ) Soit E : «Le fruit proviet d Espage» M : «Le fruit proviet du Maroc» B : «Le fruit est à boe maturité» Détermier f ( E), f ( M ), f ( B) B B. Quel est, proportioellemet à la quatité livrée, le pays qui fourit le plus de ) Détermier f M ( ) et ( ) fruits à boe maturité? ctivité feuille : ctivitétableauxcroisés f E 857 hommes et 6968 femmes d ue petite agglomératio ot été cosultés sur l améagemet d u réseau de pistes cyclables. ) Réaliser u tableau de fréqueces, arrodies à -3 permettat de comparer ces deux populatios selo leurs réposes ) Est-il vrai qu il y a relativemet plus d avis favorables parmi ces femmes que parmi ces hommes? Hommes Femmes Favorables Opposés Ne se proocet pas Cours ère STS E. Pouli Page

11 Répose Réposes Favorables Opposés Ne se proocet Totaux Populatio pas Femmes,65,39,36 Hommes,599,89, Oui car 65,% des femmes et 59,9% des hommes sot favorables au projet. DOSSIER SUR L ETUDE D UNE SERIE STTISTIQUE DE L VIE QUOTIDIENNE Méthodologie de l equête (des sources) Boîte à moustaches Diagrammes Tige et feuilles Exercices :. TP : TP p 4 Tableur sur papier TBLEUR Fichiers TP3-TP3 CLCULTRICE ctivité 3 p5 TP3 p 6 (avec tableur) TP6 p (avec tableur) Cours ère STS E. Pouli Page

12 4. Pourcetage d évolutio,, coefficiet multiplicatif 4.. Pourcetage d évolutio, coefficiet multiplicatif ctivité 4 p 9. Taux d évolutio etre deux gradeurs Défiitio Si ue gradeur V pred successivemet les valeurs V et V (valeurs positives), le taux V V V fial V iitial d évolutio ou variatio relative, (ou taux de variatio) est : t V Viitial t peut être écrit sous forme décimale ou sous forme de pourcetage. Si t>, il s agit d ue augmetatio de t%. Si t<, il s agit d ue dimiutio de -t%. Remarque : V V est appelé variatio absolue fial iitial Exemple : Le prix de l essece 98 est passé de,3 à,9. Quel est le pourcetage d augmetatio? ~4,88% Ex p 3-3 Ex 35 p 3 Ex 46 p3. Coefficiet multiplicatif Le coefficiet multiplicatif de V à V est le ombre c ( + t) V à V. O a doc : V ( + t) V cv. Le coefficiet multiplicatif est u ombre positif. Si c >, l évolutio est ue hausse. Si c <, l évolutio est ue baisse, où t est le taux d évolutio de x Ue augmetatio de x% trasforme toute gradeur V e + V x Ue dimiutio de x% trasforme tout ombre x e V Exemples : U téléphoe portable coûtait 79 e 999. E, il a subi ue baisse de 4%. Quel est so ouveau prix? ,4 U paquet de cigarette est taxé à 3% par l état. S il coûte 3,6 TTC, Quel est so prix HT? 3 x + 3,6 soit x,9 Cours ère STS E. Pouli Page

13 Remarque : Si o coaît V F et V I, alors Ex p Evolutios successives V c V Si t est le taux d évolutio de V à V et t le taux d évolutio de V à V, alors le taux d évolutio de V à V, alors le coefficiet multiplicatif de V à V est : + t + t + t c c ( )( ) Ce résultat se gééralise au cas de plus de deux évolutios successives TTENTION : E cas de hausse ou de baisse successive, les taux e s ajoutet doc pas Ex page Evolutio réciproque Deux évolutios (hausse et baisse, ou baisse et hausse) sot réciproques si et seulemet si leurs coefficiets multiplicatifs c et c sot tels que c c Exemple : Le prix du baril de pétrole a augmeté de 5% e ue aée. Quelle baisse faudrait-il pour qu il reviee à sa valeur iitiale? Répose : Coefficiet multiplicatif de la hausse : c + 5%, 5 Coefficiet multiplicatif de la baisse : c,4 6% c,5 Il faut doc ue baisse de 6% sur le ouveau tarif. Ex p pproximatios affies e cas de faibles variatios O cosidère das ce paragraphe des taux t très faibles, c est-à-dire proches de. Lorsque t et t, écrits sous forme décimale, sot proches de, le pourcetage t dévolutio globale est proche de t + t + t + t + t + t + t t. Si t % et si t 5%, o a t t,,%, ce qui est égligeable Le pourcetage dévolutio est approximativemet égal à t + t,3 3% E effet, ( )( ) F I Exercices : p Tableur sur papier 6 TBLEUR Fichiers TP-TP TP : Coefficiet directeur et droite. CLCULTRICE Livre TP3 p7 DOSSIER SUR LES POURCENTGES DNS L VIE QUOTIDIENNE 3 types d exemples différets sources à doer avec précisio Préciser le type de pourcetage et réaliser u exemple de calcul Cours ère STS E. Pouli Page 3

14 5. Foctios umériques ctivité livre p36-37 Documet Support Cours à Editer 5.. Itroductio Ue foctio umérique f est ue relatio qui à chaque ombre x apparteat à D associe u ombre réel uique, oté f ( x) appelé image de x par f. Cette relatio déped doc d ue variable x, cette derière preat des valeurs das u itervalle doé. La foctio permet de décrire u phéomèe physique ou mathématique. O ote : Esemble de défiitio D Variable D IR x a L esemble de défiitio idique l itervalle où l étude de la foctio doit être coduite. Cet esemble exclue les valeurs impossibles. Das le pla rapporté à u repère, la courbe représetative de la foctio f est l esemble de f x y f x tous les poits de coordoées ( x; ( )), où x D. Cette courbe a pour équatio ( ) 5.. Variatios d ue foctio ctivité 3 livre p38 f ( x) Esemble d arrivée Image de x par f. Tableau de variatios Soit la foctio représetée par la courbe suivate. O remarque qu etre et, la courbe décroît, alors qu etre et elle croît. O dira que f est décroissate sur l itervalle ; ; [ ] et croissate sur [ ] Nous pouvos regrouper ces iformatios das u tableau de variatios x - f(x),5 -, Cours ère STS E. Pouli Page 4

15 Défiitio : Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I O dit que f est croissate sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a < b, o a f ( a) f ( b). (strictemet croissate si f ( a) < f ( b) ). O dit que f coserve le ses des iégalités. O dit que f est décroissate sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a < b, o a f ( a) f ( b). O dit que f iverse le ses des iégalités. O dit que f est costate sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a < b, o a f a f b. ( ) ( ) Ex de à livre p64-65 Ex de à 36 livre p68-7. Maximum et miimum ( VOIR) Ue foctio f admet u maximum e x sur l itervalle I si pour tout x de I : ( x) f ( x ) maximum est f ( x ) Ue foctio f admet u miimum e x sur l itervalle I si pour tout x de I : ( x) f ( x ) miimum est f ( x ) Das l exemple ci-dessus, f admet u miimum pour x. Ce miimum est f ( ), 5 f. Ce f. Ce 5.3. Résolutio d équatios et d iéquatios CTIVITE p 38 Das le cours Soit f ue foctio défiie sur u itervalle, et C f.sa courbe représetative das u repère O; i r, r j. ( ) f ( x) k Résoudre l équatio ( x) k f reviet à chercher les atécédets de f par k, ce qui correspod aux abscisses des poits d itersectio de la droite horizotale d équatio y k avec la courbe C f. f ( x) g( x) Résoudre l équatio ( x) g( x) f ( x) > k ( x) g( x) f > f cosiste à détermier les réels x qui vérifie l égalité proposée, ce qui correspod aux abscisses des poits d itersectio des courbes représetatives des deux foctios. Les solutios de l iéquatio f ( x) > k (respectivemet f ( x) < k ) sot les abscisses des poits de la courbe C f. situés au dessus (respectivemet e dessous) de la droite horizotale d équatio y k Exemple page 4 Ex à page 67 Commet démoter ou vérifier que deux foctios sot égales? fi de faciliter l étude des foctios, celles-ci ot été classifiées. Cours ère STS E. Pouli Page 5

16 5.4. Foctios et courbes de référece ctivité 4 page 39. Foctios affies x a ax + b Soit la foctio f défiie par : où a et b sot des ombres réels doés, IR IR idépedats de x, et où a est pas ul : f est ue foctio affie La représetatio graphique d ue foctio affie est ue droite. Das le cas d ue foctio liéaire (b), la droite passe par l origie du repère Variatios Tableau de variatios Cas a> ( x) f est strictemet croissate sur IR Cas a< f est strictemet décroissate sur IR x + x f f ( x) a> a< Cas Particulier : La foctio idetité ( x a x ) C est ue droite passat par l origie du repère, de coefficiet directeur. Exercice 37 à 44 page Sige de ax+b x b + a Sige de ax+b Sige de (-a) Sige de (a) Cours ère STS E. Pouli Page 6

17 . Foctio carré TP Calculatrice (e groupe) : TP Livre page 48 + TP3 + TP4 x a x Soit la foctio f défiie par : IR IR Variatios :, f est strictemet décroissate sur ] ] f est strictemet croissate sur [,+ [ ituitivemet, o remarque que sur ], ], lorsque x augmete, f ( x ) décroit et que sur [ [ augmete, f ( x ) croit Tableau de variatios : x + f Pour cela ous allos étudier cette foctio sur l itervalle [ 3 3] valeurs suivat : Tableau de siges : x ,5 - -,5,5,5 3 f ( x ) 9 4,5,5,5,5 4 9,+, lorsque x x + x + + ; et compléter le tableau de 8 6 Cette courbe est ue parabole. L axe des ordoées est axe de symétrie car deux poits d abscisses opposées ot même ordoée Remarque : O dit que f est paire car : -Oy est axe de symétrie - Pour tout x de IR, f(-x)f(x) TP9 page 55 Ex 45 à 54 page 73 Cours ère STS E. Pouli Page 7

18 3. La foctio cube x a x 3 Soit la foctio f défiie par : IR IR Variatios : f est strictemet croissate sur IR Tableau de variatios : x + f Tableau de siges : x + x O peut étudier cette foctio sur l itervalle [ 3; 3] et compléter le tableau de valeurs suivat (à - près) : x ,75 -,5,5,75 3 f ( x ) ,4 -,,, Cette courbe est symétrique par rapport à l origie O car deux poits d abscisses opposées ot des ordoées opposées Remarque : O dit que f est impaire car : -O est cetre de symétrie - Pour tout x de IR, f(-x)-f(x) Soit la foctio f défiie par : Variatios : 4. La foctio racie carrée x a x [ ; + [ [ ; + [ f est strictemet croissate sur [,+ [ Tableau de variatios : x + f Tableau de siges : x + x + O peut étudier cette foctio sur l itervalle [ ; 9] et compléter le tableau de valeurs suivat (à - près) : x, f ( x ),7,4,73,4,45,65,83 3 Cours ère STS E. Pouli Page 8

19 Cette courbe est ue partie de parabole f : x a x 5. La foctio /x Soit la foctio f défiie par : Variatios : x a x IR* IR f est strictemet décroissate sur ] ; [ f est strictemet décroissate sur ] ;+ [ Tableau de variatios : x + f O peut étudier cette foctio sur [ 5 [ [ 5[ Ex 6 à 63 page 74 ] [ ] [ IR* ; ; + Tableau de siges : x + ; ; et compléter le tableau de valeurs à - près : x , ,5 3 5 f ( x ) -, -,33 -, ,5,33, x - + Cette courbe est ue hyperbole. Elle est symétrique par rapport à l origie du repère Problèmes : Ex 64 à 67 p Tableur sur papier : TP p 47 TP9 p 55 TBLEUR Fichiers TP-TP CLCULTRICE Livre TP p 48 - TP3 p49 - TP4 p 5-5 TP8 p Ex 55 à 59 page 74 Cours ère STS E. Pouli Page 9

20 6. Suites umériques Questio de logique! Détermier le ombre maquat Gééralités Défiitio : Ue suite umérique est ue foctio défiie sur ou sur ue partie de chaque etier aturel, o associe u ombre réel u. O dit que l esemble des ombre u forme la suite de terme gééral u. Notatio : Cette suite est otée (u ) ou u. Ue suite peut être détermiée : Soit par la doée des termes successifs Soit sous ue forme foctioelle : le terme gééral u est doé e foctio de Soit sous ue forme récurrete : u terme est doé e foctio du terme précédet Représetatio graphique : La représetatio graphique d ue suite est l esemble des poits M ( ; ) Exemples : u u... u... u... 5 c est la suite des ombres etiers aturels u u... u... u... 5 u u... u... u... 5 C est la suite des ombres etiers aturels impairs la suite des iverses des ombres etiers aturels est : u u u 3 3 Doc u... u 6.. Suites arithmétiques. Défiitio Ue suite arithmétique est ue suite umérique dot chaque terme s obtiet e ajoutat au précédet u ombre réel costat a appelé raiso. Pour tout ombre etier aturel de ou *, u u a Cours ère STS E. Pouli Page

21 . Exemples La suite des ombres etiers aturels impairs est ue suite arithmétique de raiso E effet, u+ u + La suite des ombres etiers aturels est ue suite arithmétique de raiso E effet, u +... Remarque : pour démotrer qu ue suite est arithmétique, il suffit de vérifier que u est costat ; cette costate est la raiso a. 3. Expressio du terme u e foctio de + O se propose d établir ue relatio permettat d obteir directemet le terme u d ue suite arithmétique sas calculer les termes précédets : D après la défiitio, ous pouvos écrire : u u + a ( u + a) + a u a ( u + a) + a u a u u + a + 3 u + a + u 3 Par suite, o a : u u + a u + a + a u ( ( ) ) a + Théorème Pour ue suite arithmétique de premier terme u et de raiso a, o a : u u + a pour tout de. Pour ue suite arithmétique de premier terme u et de raiso a, o a : u u + ( )a pour tout de IN*. Pour ue suite arithmétique de premier terme u et de raiso a, o a : et u u + ( p)a pour tout p p u REMRQUE : O peut reteir : u (premier terme) + (ombre de termes avat u )x(raiso) 4. Représetatio graphique Représetatio de la suite arithmétique de er terme u 3 et de raiso a Représetatio de la suite arithmétique de er terme v 5 et de raiso a Représetatio de la suite arithmétique de er terme w et de raiso a, u v w Cours ère STS E. Pouli Page

22 Coclusio : La représetatio graphique de la suite arithmétique de premier terme u et de raiso a est costituée des poits de la droite d équatio y ax + u (so coefficiet directeur est a) Si a >, la droite est croissate (croissace liéaire) Si a <, la droite est décroissate (décroissace liéaire) Réciproquemet, si les poits représetat ue suite sot des poits aligés, alors la suite est arithmétique 6.3. Suites géométriques Ue suite géométrique est ue suite umérique dot chaque terme s obtiet e multipliat au précédet ue costate b ( b ) appelée raiso. Pour tout ombre etier aturel de ou *, u bu. Exemples + La suite u u est ue suite géométrique. + x4 x4 x4 x Remarque : pour démotrer qu ue suite est géométrique, il suffit de vérifier que u + est u costat ; cette costate est la raiso b. Cours ère STS E. Pouli Page

23 . Expressio du terme u e foctio de O se propose d établir ue relatio permettat d obteir directemet le terme u d ue suite géométrique sas calculer les termes précédets : D après la défiitio, ous pouvos écrire : u bu u bu b bu Par suite, o a : ( ) b u 3 bu b u 3 ( b u ) b u u ( b u ) b bu b u Théorème Pour ue suite géométrique de premier terme u et de raiso b, o a : u u b pour tout de. Pour ue suite arithmétique de premier terme u et de raiso b, o a : u u b pour tout de *. Pour ue suite géométrique de premier terme u et de raiso b, o a : u p u p b pour tout de et p. REMRQUE : O peut reteir : ombre de termes avat u u (premier terme) x (raiso) 3. Représetatio graphique Exemples : Représetatio de la suite géométrique er terme u, 5 et de raiso b Représetatio de la suite géométrique er terme v 5 et de raiso b Représetatio de la suite géométrique er terme w et de raiso b, 8 O arrodira les résultats au cetième u v 9,6 7,68 6,4 4,9 3,93 w, Cours ère STS E. Pouli Page 3

24 Coclusio : La représetatio graphique de la suite géométrique de premier terme u et de raiso b ( b ) est costituée des poits qui sot situés sur ue courbe expoetielle ; cette courbe est pas ue droite. Si b >, cette courbe est croissate (croissace expoetielle). Si < b <, cette courbe est décroissate (décroissace expoetielle). Lorsque b, tous les poits de coordoées ( ; u ) sot situés sur ue droite horizotale (tous les termes sot égaux au terme iitial) Exercices :. TP3 p 89 Tableur sur papier TBLEUR Fichiers TP-TP. CLCULTRICE Livre TP p86 Cours ère STS E. Pouli Page 4

25 7. Probabilités Voir support feuille ctivités : Probabilités 7.. Itroductio historique Les jeux de hasard existe depuis l atiquité : Les jeux de dés e particulier. C est de ces différets jeux que vieet les origies des mots actuellemet utilisés e probabilité : léa viet du lati alea qui sigifie «coup de dé». Hasard viet de l arabe az-zahr qui sigifie «jeu de dé». Jusqu au XVI ème siècle Beaucoup de problèmes restaiet sas solutio. Par exemple le grad duc de Toscae, grad amateur de jeux de hasard avait remarqué qu e laçat trois dés simultaémet, le total reveait plus souvet que le total euf, alors que et 9 se décomposet de la même maière. FIRE L DECOMPOSITION C est Galilée (564 64) mathématicie physicie et astroome italie qui résolut le premier ce problème. Pascal (63-66) mathématicie, physicie, philosophe fraçais est cosidéré comme le fodateur du calcul des probabilités e gééralisat des méthodes issues de cas particuliers. ujourd hui, les probabilités sot utilisées das presque tous les secteurs : assurace, gestio, écoomie, géétique, médecie, physique des particules L iformatique peut même simuler le hasard : La touche Ra # ou RND permet d obteir u ombre pseudo-aléatoire.. vat de passer au calcul de probabilité ous allos ous itéresser au déombremet, c est-à-dire au ombre de cas possibles d ue situatio. 7.. Esemble U esemble est u objet qui cotiet des élémets e ombre fii ou ifii. Exemple : IR est l esemble de tous les ombres réels [ ;3] est l esemble de tous les ombres compris etre et 3. E {,, 3, 4, 5, 6} est l esemble des résultats possibles lorsqu o lace u dé à 6 faces. O ote : B l esemble coteat les élémets apparteat à ou à B (o lit Uio B) B l esemble coteat les élémets commus à et à B (o lit Iter B) Exemple : Si {,} et B {,3,4} B {,,3,4 et B {} E x 5 x B x 4 x 3 x 6 x Cours ère STS E. Pouli Page 5

26 7.3. Déombremet. Tableau d effectifs ctivité O lace fois u dé cubique e otat à chaque fois le ombre de poits figurat sur la face supérieure lorsque le dé s est immobilisé. Le tableau ci-dessous doe les résultats das l ordre de leur arrivée : ) Calculer das u tableau l effectif pour d apparitio de chacue des 6 faces du dé. ) E déduire la fréquece d apparitio de chacue des 6 faces du dé. RPPEL : O appelle fréquece d ue classe le quotiet de so effectif par l effectif total. 3 ) O ote P «le résultat du lacer est u ombre pair» O ote P «le résultat du lacer est u ombre impair» (évéemet cotraire à P) Détermier la fréquece f P d obteir u ombre pair puis f P Quel relatio lie f P et f P? 4 ) O ote E la classe «le résultat est iférieur ou égal à 3» et F «le résultat est strictemet supérieur à 4». Détermier la fréquece de E puis celle de F 5 O ote E F la classe «le résultat est iférieur ou égal à 3 ou le résultat est strictemet supérieur à 4». Détermier la fréquece de E F. E déduire ue relatio simple lie f E F à f F, f E. Tableau de résultats ctivité Sur les 5 professeurs d u lycée, 7% sot des femmes. Parmi tous les professeurs, 4 ot déclaré fumer. O costate de plus que 3 des fumeurs sot des hommes ) Reproduire et compléter le tableau suivat : Hommes Femmes Total fumeurs No fumeurs Total ) l aide du tableau, détermier a) le ombre de fumeurs hommes b) le ombre de fumeurs ou d hommes c) le pourcetage de femmes o fumeurs. 3. rbres ctivité 3 U fourisseur part de Ploemeur pour visiter 4 pharmacies otées, B, C, D. ) Utiliser u arbre pour détermier combie d ordres théoriques de visites il y a. ) Combie reste-t-il de possibilités s il doit passer par la pharmacie avat d aller à la pharmacie C, sachat qu il peut visiter u ou deux pharmacies etre et C B C D Cours ère STS E. Pouli Page 6

27 7.4. Probabilités. Vocabulaire.. Expériece aléatoire Lorsque das ue situatio doée, ous disposos de certaies iformatios, mais ous e pouvos coaître à l avace le résultat car le hasard iterviet, O dit qu il s agit d ue expériece aléatoire. Exemple : - Situatio : Lacer u dé cubique - Situatio : Tirer ue carte au hasard das u jeu de 3. - Situatio 3 : Jouer deux fois à pile ou face e laçat ue pièce.. Uivers Défiitio : Das ue expériece aléatoire, l uivers est l esemble de tous les résultats possibles. O ote souvet cet esemble Ω. Exemples : - Situatio : Ω{,,3,4,5,6} - Situatio : Ω est l esemble des 3 cartes du jeu - Situatio 3 : Ω est l esemble des couples suivat : (pile, pile), (pile, face), (face, pile) (face, face)..3. Evéemet Défiitio : U évéemet est ue partie de l uivers U évéemet élémetaire est u évéemet possédat u seul élémet. U évéemet impossible est u évéemet qui e cotiet aucu élémet de Ω. U évéemet certai est u évéemet qui cotiet tout l uivers. Deux évéemet sot disjoits ou icompatibles si et seulemet si B L évéemet cotraire d u évéemet est l évéemet costitué des élémets de Ω apparteat pas à. Exemples issu de la situatio : - {,,3} est u évéemet de Ω{,,3,4,5,6} - L évéemet «obteir 3» est u évéemet élémetaire. - L évéemet «obteir u ombre pair est P{,4,6} - L évéemet cotraire à P est l esemble P {,3,5} - P et P sot deux évéemets icompatibles.. Fréquece et probabilité Plus u échatillo est grad, c est à dire plus le ombre d expérieces effectuées est grad, plus la fluctuatio des fréqueces deviet faible. La fréquece d apparitio d ue issue ted vers u ombre appelé : probabilité d apparitio de cette issue. Cours ère STS E. Pouli Page 7

28 3. Défiitio d ue probabilité Exemples issus de la situatio. (le dé est pas pipé) La probabilité d obteir l évéemet élémetaire {3} est de 6. partir de cela, la probabilité d obteir l évéemet {,,3} est la somme des probabilités pour obteir l évéemet élémetaire {} puis {} puis {3}. Doc la probabilité d obteir l évéemet {,,3} est , c est à dire Défiitio : Soit Ω u uivers fii. La probabilité d u évéemet est la somme des probabilités des évéemets élémetaires qui le costituet. La probabilité de Ω est. la probabilité de est Notatio La probabilité d u évéemet est otée P(). Exemples issus de la Situatio : - Détermier la probabilité d obteir u valet de cœur. - Détermier la probabilité d obteir u cœur. - Détermier la probabilité d obteir u valet. 4. Probabilité uiforme - Equiprobabilité Défiitio : Ue probabilité uiforme (ou équiprobabilité) correspod au cas où tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité. Théorème : (admis) Das le cas où tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité, leur probabilité commue est : ombre d élémets de Ω Exemple : Cf situatios précédetes. Théorème : (admis) Das le cas où tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité, la probabilité d u évéemet est : Nombre d élémets de Nombre de cas favorables P() Nombre d élémets de Ω Nombre de cas possibles Exemple : Cf situatios et précédetes. ttetio : Das la situatio 3 il y a 4 évéemets équiprobables. Mais attetio : obteir «fois pile et fois face das u ordre quelcoque» est pas u évéemet élémetaire. Il y a deux possibilités sur 4 cas favorable soit ue probabilité de ½. 5. Propriétés : 5.. Evéemets disjoits Théorème : (admis) : Pour tout évéemet disjoit, B, P( UB) P( ) + P( B) 5.. Evéemets complémetaire Théorème : Pour tout évéemet P( ) P( ) Cours ère STS E. Pouli Page 8

29 Démostratio : O sait que et sot deux évéemets disjoits et que Ω P U P Ω D après 3., o a doc P( U) P( ) P( ) D où P( ) P( ) Théorème : (admis) +, mais ( ) ( ) 5.3. Réuio de deux évéemets Pour tout évéemet, B, P( UB) P( ) + P( B) P( B) Remarque : si et B sot deux évéemet disjoits (icompatibles : P UB P + P B ( ) ( ) ( ) B ) alors B B Ω Pour déombrer, o utilise gééralemet l u de ce trois schémas Diagramme de Ve rbre des évéemets Diagramme de Caroll lice au pays des merveilles, c est lui!!!!! B B Ω Choix pour Choix pour B B B TP Tableur : Partie B page 4 Cours ère STS E. Pouli Page 9

30 8. Tagete Nombre dérivé 8.. Rappels Soit D la droite d équatio y mx p + das u repère ( O; i, j) r r. m est appelé le coefficiet directeur de D. Commet détermier le coefficiet directeur d ue droite à partir de deux poits? Si et B sot deux poits de coordoées respectives ( x, y ) et ( x B, y B ) apparteat à la droite D d équatio y mx + p, alors m y y B x x 8.. Nombre dérivé B. Notio de tagete Exemple : la tagete à u cercle. D O remarque qu autour du poit, u petit arc de cercle est presque cofodu avec u petit segmet de la tagete D. Ue tagete e u poit doé est ue droite qui approche la courbe au voisiage de ce poit. O recotre 3 cas pour l équatio de la tagete T d équatio y mx p +. Tagete à ue courbe Cours ère STS E. Pouli Page 3

31 3. Nombre dérivé : défiitio Soit f ue foctio dot la courbe représetative admet ue tagete au poit d abscisse a o parallèle à l axe des ordoées. Le ombre dérivé de f e a est le coefficiet directeur de cette tagete. Notatio : Le ombre dérivé de f e a est oté f ( a ) (cela se lit f prime de a) Exemple : Preos la courbe défiie par f ( x) x sur [- ;] Graphiquemet o peut observer Facilemet que la tagete au poit d abscisse est horizotale. Doc f (). 4 3 De même e traçat la tagete à la courbe au poit d abscisse et e recherchat le coefficiet directeur de ce poit, o trouve m. Doc f () T - - O pourrait faire la calcul de la dérivée pour tous les poits de la courbe, mais ce travail serait log et fastidieux. Il existe e fait des formules permettat d obteir la valeur exacte d u ombre dérivé f a pour les foctios usuelles. Ces formules figuret das le paragraphe suivat. ( ) Remarque : Nous pouvos remarquer que la valeur de la dérivée e tout poit d ue foctio affie y ax b + est le ombre a puisque la tagete à ue droite, c est elle-même. 4. Equatio de tagete Nous savos que si f est dérivable e a, alors la tagete à la courbe représetative de f a pour coefficiet directeur au poit d abscisse a, f (a). L équatio de la tagete est doc de la forme y f ( a) x + p où p est ue cotate défiie par le fait que le poit d abscisse a et d ordoée f(a) appartiet à la courbe d équatio yf(x) et à cette tagete 8.3. Le ombre dérivé de foctios usuelles Défiitio Soit f ue foctio dérivable sur u itervalle I. Si f admet u ombre dérivé pour tout réel x de I, o dit que f est dérivable sur I. f x le ombre dérivé de f e tout x de I. O ote ( ) Cours ère STS E. Pouli Page 3

32 Das ce paragraphe, ous admettos les résultats suivats cocerat les foctios de référece. f :. La foctio costate x a k (k costate réelle) a Si f ( x) k, alors f ( ) f : x a x. La foctio idetité a Si f ( x) x, alors f ( ) f : 3. La foctio carré x a x f Si f ( x) x, alors ( a) a f : 4. La foctio Cube 3 x a x f 3 Si f ( x) x, alors ( a) 3a f : \{ } 5. La foctio iverse ` x a x x a Si f ( x), alors f ( a) f : [ ;+ [ 6. La foctio racie carrée x a x Si f ( x) x, alors f ( a) a Cours ère STS E. Pouli Page 3