Action proportionnel - P Action Intégrale - I Action Dérivée - D Action P.I.D. Part VIII. Construction de correcteurs

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1 Part VIII Construction de correcteurs

2 Sommaire Thanks to Yassine Ariba, Doctorant groupe Mac 28 Action proportionnel - P 29 Action Intégrale - I Correcteur intégral pur Correcteur proportionnel intégral Correcteur retard de phase 3 Action Dérivée - D Correcteur Proportionnel Dérivé Correcteur à avance de phase 3 Action P.I.D. Construction step by step Autres types de réglages pour le PID

3 Synthèse d un correcteur Un système de commande a pour objectif de doter le système asservi de certaines propriétés : la stabilité dusystème asservi, la qualité durégime transitoire (Rapidité, dépassement), la précision en régime permanent, la robustesse (marges de stabilité, rejet de perturbation). Plusieurs techniques développées : Techniques directes reservées aux ordres petits, 2 Techniques fréquentielles, 3 Techniques Espace d état. Utilisation des modèles Espace d état, 2 Utilisation des variables d état pour construire des correcteurs élaborés.

4 Action proportionnelle Ce type de correcteur est un simple amplificateur de gain réglable: u(t) =k p ɛ(t) K(p) =k p. Avantages et Inconvénients: db G(dB) La BP, La rapidité delabf, 3dB OdB; 8 9 kp> kp< phase Si k p >, G bf (), l erreur de position diminue, Si k p >, M g, M φ (jusqu à déstabiliser le système), Si k p >, Oscillations dépassement possibles, Si k p <, agit en atténuateur: stabilité du système améliorée mais réponse temporelle dégradée.

5 Action proportionnelle: exemple Soit le système à commander Σ(p) = et le système de commande p 2 +p+ K(p) =k p.lesystème en boucle fermée s exprime par Σ bf (p) = k p p 2 + p ++k p. Cette nouvelle fonction de transfert est caractérisée par K statique = k p k p +, ω n = +k p, ζ = 2 +k. Donc si k p alors ζ, les marges et l erreur de position ɛ p = +k p.

6 Simulations de la réponse fréquentielle et temporelle Black en BO Step Response 4 db db.5 db 2 db db 3 db.8 3 db 6 db Gain (db) 6 db Amplitude.6 2 db db db Phase (deg) Time (sec)

7 Simulations de la réponse fréquentielle et temporelle Nichols ChartBlack de la BO Step Response 4 db db.5 db 2 db db 3 db.8 3 db 6 db Gain (db) 6 db Amplitude.6 2 db db db Phase (deg) Time (sec)

8 Simulations de la réponse fréquentielle et temporelle Black en BO Step Response 4 db db.5 db 2 db db 3 db.8 3 db 6 db Gain (db) 6 db Amplitude.6 2 db db db Phase (deg) Time (sec)

9 Action intégrale Ce correcteur introduit un intégrateur qui ajoute un pôle nul àlafonctionde transfert en boucle ouverte: u(t) = t ɛ(t)dt K(p) = p. Avantages et Inconvénients: db integrateur pur G(dB) Gain statique, erreur de position nulle en BF, Diagramme de phase décalé de 9 : marges de stabilités dégradées, 3dB OdB; 8 9 phase Peut provoquer des oscillations et du dépassement, Rapidité en général.

10 Action intégrale: exemple Soit le système à commander Σ(p) =.8 et le système de commande p 2 +p+ K(p) = /p. Lesystème en boucle fermée s exprime par Σ bf (p) =.8 p 3 + p 2 + p +.8. Σ bf est un ordre 3: la marge de gain est finie, Déphasage de π/2, marges dégradées oscillations et dépassement, Phénomène de surtension en boucle fermée (voir bode de Σ bf ), intǵrateur Pas d erreur de position.

11 Simulations de la réponse fréquentielle et temporelle Black en BO Step Response 4.6 db 3.25 db G(jω)K(jω).4.5 db 2 db db.2 3 db 3 db 6 db Gain (db) 6 db Amplitude.8 G(jω) 2 db db db Phase (deg) Time (sec)

12 Correcteur PI (Proportionnel Intégral) Ce correcteur a pour objectif de tirer profit des avantages de l effet de I sans ses inconvénients: K(p) =k p +τ i p τ i p. Idée du correcteur: 2 logc(ω) Utiliser l avantage de l intégrateur en basses fréquences: précision, 2 log(kp) φ(ω) / τ i ω L action intégrale ne doit plus avoir d effet dans les fréquences élevées, en particulier dans la région du point critique, ω 9

13 Correcteur PI 3dB db 3dB OdB; 8 PI /Ti 45 9 G(dB) Réglage intuitif du correcteur: Ajuster le gain proportionnel en fonction de l objectif et des caractéristiques du système avant correction: le diminuer pour augmenter les marges de stabilité, l augmenter pour améliorer la rapidité dusystème. phase Ensuite, la partie I est ajoutée en réglant le zero /τ i de façon à ce que la correction ne se fasse qu en basses fréquences.

14 8 Correcteur PI: exemple 2 Soit le système G(p) =. On peut calculer sa marge de phase p 2 +p+ M φ avec ω =.52rad/sec. Afin d effectuer la correction seulement en basses fréquences, on choisit /τ i.52/5.5. On obtient ainsi le correcteur K(p) = +5p 5p..5 db.25 db 2 db 3 db 6 db Correction PI Gain (db) 2 sans correction 4 6

15 Simulations temporelles Reponse indicielle en BF.2 Reponse indicielle boucle fermee PI.8 Amplitude.6 Reponse indicielle boucle fermee unitaire Time (sec) intégrateur Erreur de position nulle Oscillations et dépassement diminuer le gain du correcteur.

16 Correcteur à retard de phase 2 logc(ω) +atp Ce correcteur est une approximation du PI K(p) =k p +Tp, a <. 2 log(kp) Idée du correcteur: 2 log(kp.a) φ(ω) 9 /T /at Méthode de réglage du correcteur: ω ω Ce correcteur a donc le même objectif que le PI, Généralement, il n a pas la capacité d annuler l erreur en régime permanent. Ajuster les paramètres pour régler la marge de phase, Calculer k p en fonction de la précision souhaitée (réglage du gain statique), Choisir T afin que la phase négative du correcteur n intervienne pas au niveau du point critique (/at ω db ).

17 Correcteur à retard de phase: exemple Soit la fonction de transfert G (p) = (+ p )3. On souhaite que le système en boucle fermée ait une erreur ɛ p = 5% et une marge de phase Δφ =45 : On régle k p a pour satisfaire la condition sur la M φ Mφ = π 3arctan ω db = π 4 ω db =rad/s k G(ω db )= pa ( ) 3 = k p a =2.8 + ω2 db On règle k p pour satisfaire la condition sur la précision ɛ p = +k p =.5 k p =9 a =.47 Choix de T assez grand pour que l apport de gain 2log(k p )nesoit effectif qu en bf /at ω db T =6.8

18 Correcteur à retard de phase: exemple Nichols Chart Step Response 4 2 db.5 db.25 db db G(jω)K(jω) db.4.2 System: Gbf2 Peak amplitude:.3 Overshoot (%): 9.4 At time (sec):.35 3 db 6 db 3 db 6 db 2 db Open Loop Gain (db) 2 4 G(jω) 2 db 4 db Amplitude.8.6 System: Gbf Peak amplitude:.57 Overshoot (%): 3.9 At time (sec): db db.2 db Open Loop Phase (deg) Time (sec) Présence d oscillations (marge de phase trop faible). Le temps de montée est diminué mais le temps de réponse est plus grand.

19 Correcteur PD (Proportionnel Dérivée) Ce correcteur a pour objectif d apporter du gain et de la phase dans les moyennes et hautes fréquences: K(p) =k p ( + τ d p). Idée du correcteur: 2 logc(ω) Accroît le degré de stabilité (marges de gain et de phase), 2 log(kp) φ(ω) 9 /τ d ω Améliore le comportement transitoire (oscillations, dépassement et rapidité), Problèmes: correcteur non propre, amplification du bruit (gain très grand en hf). ω

20 Correcteur PD 3dB db OdB; 8 /Td 45 9 G(dB) Réglage intuitif du correcteur: Ajuster le gain proportionnel en fonction de l objectif et des caractéristiques du système avant correction: le diminuer pour augmenter les marges de stabilité, l augmenter pour améliorer la phase rapidité dusystème et/ou la précision. Ensuite, la partie D est ajoutée en réglant le zero /τ d de façon à ce que la correction ne se fasse que dans la région du point critique.

21 Correcteur à avance de phase Ce correcteur est une approximation du PD et peut être réalisé physiquement 2 logc(ω) K(p) =k p +atp +Tp, a >. 2 log(kp.a) 2 log(kp) φ(ω) 9 φ m /at /T ω Idée du correcteur: Ce correcteur a donc le même objectif que le PD, Ajoute de la phase près du point critique (Mφ ). ω m ω

22 Correcteur à avance de phase db G(dB) Méthode de réglage du correcteur: Ajuster le paramètre k p pour la précision et/ou la rapidité, 3dB OdB; 8 phase Calculer a en fonction de la quantité de phase àapporter a = +sinφm sinφ m, Calculer T de sorte que ω m coïncide avec ω db (ω m =/T a).

23 Correcteur à avance de phase: exemple Soit la fonction de transfert G (p) = ( + p) 2 On souhaite que le système en boucle fermée ait une marge de phase Mφ =45 : Calculons la marge de phase avant correction G(ω) = (+ωdb 2 ) = ω db =9.95rad/s Mφ = π 2arctanω db = La marge est insuffisante, il faut donc remonter la phase de φ m =34 à la pulsation ω db a = +sinφ m = +sin34 sinφ m sin34 =3.54 Puis, on règle T afin d ajouter la quantité φ m au bon endroit T a = ω db T =.53

24 Correcteur à avance de phase: exemple Black en BO Step Response db db.6 System: Gbf Peak amplitude:.7 Overshoot (%): 73 At time (sec):.34 2 db.5 db db System: Gbf2 Peak amplitude:.34 Overshoot (%): 35.4 At time (sec): db System: G Phase Margin (deg):.5 Delay Margin (sec):.2 6 db At frequency (rad/sec): 9.95 Closed Loop Stable? Yes Gain (db) System: untitled Phase Margin (deg): 39.2 Delay Margin (sec):.446 At frequency (rad/sec): 5.3 Closed Loop Stable? Yes 3 db 6 db 2 db Amplitude db db Phase (deg) Time (sec)

25 Correcteur PID Ce correcteur PID est une combinaison des actions PI et PD ( ) +Ti p K(p) =k p ( + T d p). T i p Idée du correcteur: 2 logc(ω) Ajouterdugainenbf (précision ), 2 log(kp) φ(ω) /τ i 9 /τ d ω Ajouter de la phase près du point critique (Mφ ). ω 9

26 Correcteur PID filtré Ce correcteur PID est une combinaison des actions PI et PD +unfiltre ( ) +Ti p K(p) =k p ( + T d p) T i p ( + T f p). Idée du correcteur: 2 logc(ω) Ajouterdugainenbf (précision ), 2 log(kp) φ(ω) /τ i 9 9 /τ d /τf ω ω Ajouter de la phase près du point critique (Mφ ). Le correcteur est causal, Atténuer l effet du bruit (moins de gain en hf).

27 Correcteur PID Méthode de réglage du correcteur: Etudier le système en BO et ses caractéristiques (marges, précision, rapidité...), Régler le gain proportionnel k p afin d obtenir un premier asservissement satisfaisant (en termes de marges, dépassement, oscillations, rapidité), Régler la constante de temps de l action intégrale de sorte qu elle n agisse qu en bf (pour ne pas pénaliser les marges), Régler la constante de temps de l action dérivée de sorte qu elle n agisse qu autour du point critique (pour ne pas pénaliser la précision).

28 Correcteur PID filtré Méthode de réglage du correcteur: Etudier le système en BO et ses caractéristiques (marges, précision, rapidité...), Régler le gain proportionnel k p afin d obtenir un premier asservissement satisfaisant (en termes de marges, dépassement, oscillations, rapidité), Régler la constante de temps de l action intégrale de sorte qu elle n agisse qu en bf (pour ne pas pénaliser les marges), Régler la constante de temps de l action dérivée de sorte qu elle n agisse qu autour du point critique (pour ne pas pénaliser la précision). Régler la constante de temps du filtre de sorte qu il n enlève pas de phase près du point critique, L ordre du filtre peut être augmenté afindemieuxatténuer le bruit en hf.

29 Correcteur PID: exemple 5 Soit le système G(p) = p 2 +p+. Première étude: stable en BF, une erreur de position ɛ p =6.7%, un dépassement de 5% et une marge de phase M φ =27.8 à ω db =2.33rad/s. Correcteur P afin de baisser l erreur et accélérer le système: on prend k p = 2 pour avoir une erreur de 9%. Nouvelle marge de phase M φ =8.9 à ω db =3.23rad/s et un dépassement de 6.9%. Choix de la constante de temps du I avant le point critique T i =3 /3.23. Le correcteur C(p) =2 +3p 3p. ɛ p est maintenant nulle mais nouvelle marge de phase de M φ =2.9 à ω db =3.24rad/s. Il s agit ensuite de placer la constante de temps de la partie D avant le point critique de façon à laisser le temps au correcteur de remonter la phase jusqu a obtenir une marge satisfaisante:t i T d =.4 > /3.24. On obtient M φ =7.4. Ajout du Filtre avec une constante de temps relativement faible T f =. < /3.24. Il en résulte M φ =45.9, ce qui reste satisfaisant.

30 Simulations fréquentielles Black en BO 6 2G(p) +3p 3p 4 db.5 db.25 db 2G(p) 2 db db 3 db 6 db G(p) 3 db 6 db Gain (db) 2 db 2 2 db 4 2G(p) +3p +.4p 3p +.p 2G(p) +3p 3p ( +.4p) 4 db 6 6 db Phase (deg) db

31 Réponses temporelles de la BF.5 Reponse indicielle K(p)= Amplitude Time (sec) Reponse indicielle K(p)=2 Amplitude Time (sec) Reponse indicielle K(p)=PI 2 Amplitude Time (sec) Reponse indicielle K(p)=PID Amplitude Time (sec) Reponse indicielle K(p)=PIDf Amplitude Time (sec)

32 D autre types de réglages automatiques sont possibles. Réglage par essai erreurs. Méthode de Ziegler-Nichols. Méthode d oscillations par relais.

33 Méthode de Ziegler-nichols Ziegler et NIchols ont calculé lesdifférents paramètres de la commande PID en minimisant le critère intégral J = ɛ(t) dt Sortie en BO Droite de pente a Réponse Temps On applique un échelon au processus en boucle ouverte (sans le régulateur). On trace la tangente au point d inflexion. On mesure le temps T r ainsi que la pente a de la droite d inflexion. Tr

34 Méthode de Ziegler-nichols On obtient la valeur du correcteur en utilisant le tableau suivant : Régulateur K(p) Essai indiciel (T r, a) k p k p = at r k p ( + τ i p ) k p =.9 at r,τ i =3.3T r k p ( + τ i p + τ dp) k p =.2 at r,τ i =2T r,τ d =.5T r.6 Step Response PI.4 PID.2 P Amplitude Time (sec)

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