CHAPITRE 11 CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS

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1 CHAITRE 11 CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS Le ytème peuvent préenter une préciion inuffiante, de l intabilité, un temp de répone trop lent, un dépaement trop important, de vibration, une grande enibilité aux perturbation. our cela, il et néceaire de corriger leur comportement à l aide de l aerviement. Le ytème aervi doit comporter un réeau correcteur (contrôleur) dont l objectif et de repecter le performance du ytème aervi. Le rôle de l ingénieur conite préciément à dimenionner un correcteur ayant une fonction de tranfert telle que a combinaion avec celle du ytème à aervir aure le performance attendue. Il y a deux approche eentielle à ce problème. 1)-On ynthétie un correcteur appartenant à une clae de correcteur bien connue que l on appelle roportionnel- Intégrateur- Dérivé (ID). Ce correcteur ont diponible dan le commerce. Leur tructure et fixée et le rôle de l ingénieur conite à adapter le paramètre. )-On effectue la ynthèe d un correcteur pécifique au problème poé. Il ne ont pa diponible dan le commerce et il faut le contruire. ar l une ou l autre de deux approche, il exite une multitude de technique mathématique, graphique et expérimentale qui permettent d aider à ynthétier un correcteur 1)-OSITION DU ROBLEME : Le problème de la ynthèe d un correcteur e poe comme uit : étant donné le modèle d un ytème à B( aervir de fonction de tranfert : G( comment ynthétier un correcteur de fonction de A( ( tranfert: tel que le ytème en boucle fermé réalie le performance déirée. L( Figure 11.1 : ytème aervi avec compenateur Sachant que le pôle influencent grandement le comportement du ytème à aervir; le problème de la ynthèe peut e poer comme uit: étant donné un modèle du ytème à aervir G(, peut-on ynthétier un correcteur tel que le pôle de la boucle fermée e trouvent dan de endroit prédéfini? Rappelon que le pôle ont le racine de l'équation caractéritique A(L( + B(( = 0. Exprimé mathématiquement le problème de la ynthèe du correcteur et le uivant : étant donné le polynôme A (, B( (définiant le modèle) et étant donné un polynôme A dé ( (définiant l emplacement déiré de pôle de la boucle fermée), et-il poible de trouver le polynôme ( et L( tel que) A(L( + B(( = A de (? Mathématiquement ceci et poible. L équation A(L( + B(( = A de ( et connue ou le nom d équation de Diophantine. La méthode de ynthèe de correcteur baé ur la réolution de l'équation de Diophantine et connue ou le nom de méthode de placement de pôle. Il y a pluieur algorithme efficace qui peuvent réoudre ce problème. Cependant, il faut tenir compte de certaine contrainte. )- CORRECTEURS ROORTIONNEL- INTEGRATEUR- DERIVE (ID) : -1)- CORRECTEUR ROORTIONNEL : Si on utilie un correcteur du type proportionnel contitué d un l amplificateur de gain K, on obtient une loi de commande qui et proportionnelle à l erreur: u( t) K. ( t) La fonction de tranfert de ce 98

2 U ( correcteur et donc : K Ce correcteur à action proportionnelle et le correcteur de bae, ( il agit principalement ur le gain du ytème aervi. Effet : Une augmentation du gain entraîne une diminution de l erreur tatique, ce qui améliore la préciion du ytème aervi. L expreion de la préciion tatique et: 1 lim ( t) lim ( lim.. E( et elle dépend du gain K. t 0 1 K. G( La tabilité du ytème aervi dépend également du gain K qui modifie l emplacement de pôle puique l équation caractéritique et 1 K. G( 0. En concluion, un correcteur proportionnel augmente la rapidité du ytème (effet ouhaitable) mai il augmente aui on intabilité (effet non ouhaitable en général). C et le dilemme tabilité-préciion. On verra qu il faut déterminer la valeur de compromi entre tabilité et préciion. -)-CORRECTEUR ROORTIONNEL -INTEGRATEUR a) Intégrateur pur : Si on choiit un correcteur de type intégrateur pur, loi de commande u(t) et de la forme: t u( t) 1 ( t) dt. Sa fonction de tranfert et : t) 1 T T i 0 Ce type de correcteur n et pa réaliable avec un réeau paif (circuit RC) mai une bonne approximation peut être réaliée avec un montage intégrateur à bae d amplificateur opérationnel. L intérêt de ce correcteur et d ajouter dan la chaîne de commande une intégration. Effet : Il permet d améliorer la préciion, mai introduit un déphaage de -90 qui rique de rendre le ytème intable (diminution de la marge de phae). Le correcteur intégral et un correcteur à retard de phae. b) Correcteur roportionnel Intégrateur : Le correcteur Intégrateur et en général aocié au correcteur proportionnel et la loi de commande t corrigée et de la forme: u( t) K ( ( ) 1 p t ( t) dt) La fonction de tranfert du correcteur et donc : T K p T i 1 T i i 0. Effet : Une commande intégrale (Ki) aura l'effet d'éliminer l'erreur tatique, mai elle peut rendre la répone tranitoire plu mauvaie. Il augmente le temp de répone (ytème moin rapide), et augmente l intabilité (introduit un déphaage upplémentaire de -90 ). -3-CORRECTEUR ROORTIONNEL DERIVATEUR: a)-dérivateur pur : d ( t) La loi de commande et de la forme : u( t) Td la fonction de tranfert et donc C t Td dt ( ).. Ce type de correcteur et purement théorique, un ytème phyique ne peut pa avoir un numérateur de degré upérieur au dénominateur. Une approximation d un correcteur permettant d avoir un effet dérivé Td. T et un correcteur de la forme : K p avec K d p et N entier>1 1. N i. 99

3 b)-correcteur roportionnel Dérivateur La loi du correcteur roportionnel Dérivé et donc K p Td. 1. Effet : Une commande dérivée (Kd) aura l'effet d'augmenter la tabilité du ytème, de réduire le dépaement, et d'améliorer la répone tranitoire. Le correcteur et un correcteur à avance de phae. -d-correcteur proportionnel Intégrateur Dérivateur (ID) L intérêt du correcteur ID et d intégrer le effet poitif de troi correcteur précédent. La détermination de coefficient Kp, Ti, Td du correcteur ID permet d améliorer à la foi la préciion (Td et Kp) la tabilité (Td) et la rapidité (Td, Kp). Le réglage d un correcteur ID et en général aez complexe, mai de méthode pratique de réglage permettent d obtenir de bon réultat. Notez que ce corrélation peuvent ne pa être exactement précie, parce que Kp, Ki, et Kd dépendent l'un l'autre. En fait, changer un de ce variable peut changer l'effet de deux autre. Effet : Le correcteur.i.d e comporte pour le bae fréquence comme un intégrateur donc le ytème era préci d un point de vue tatique, aux haute fréquence l avance de phae et de +90 donc une amélioration de la tabilité 3-EXEMLE D ALICATION D UN CORRECTEUR ID L exemple que l on va étudier montre comment le choix de paramètre d un correcteur proportionnel, intégral, dérivé, et ID peut influencer la répone d un ytème aervi et permettent d obtenir la répone déirée. Nou conidéreron un ytème aervi en boucle unitaire et nou utilieron le commande de Matlab pour avoir imuler le répone du ytème aervi conidéré. 3-1-LE CONTROLEUR ID La loi de commande générale d un correcteur ID et de la forme : fonction de tranfert du contrôleur ID peut écrire ou la forme : K KD. K. K I I K KD. avec Kp gaine propotionnel Exemple KI = gain intégral Kd = gain dérivé u( t) K pk e( t). dtk i d de( t) dt renon un modèle qui peut repréenter deux ytème mécanique, compoé d une mae m, un reort de contante de raideur k, d un effet de frottement de coefficient b. On ouhaite contrôler l élongation x(t) lorqu on applique une force extérieur F(t) (Figure 11.). La 100

4 Figure 11. : exemple de deux ytème mécanique L équation de model du ytème donné et: d x m b dx kxf dt dt La fonction de tranfert du ytème en boucle ouverte entre le déplacement X( et l entrée F( et: F( X( 1 F( m bk oant: M = 1kg, b = 10 N./m, k = 0 N/m et F( = 1 Avec ce valeur, la fonction de tranfert devient : F ( Le but de ce problème et de montrer comment chacun de Kp, de Ki et de Kd contribue pour obtenir Temp de montée rapide Le dépaement minimum Eliminer l erreur tatique Répone de boucle ouverte à l échelon Montron d'abord la répone à l échelon du ytème en boucle ouverte. Avec Matlab, il uffit d écrire le programme uivant dan un fichier de Matlab. num=1; den=[ ]; tep (num, den) ; 101

5 Figure 11.3 : répone en boucle ouverte à l échelon Le gain tatique de la fonction de tranfert du ytème donné et 1/0, aini 0,05 et la valeur finale de la ortie à une entrée d'échelon unité. Ceci correpond à l'erreur tatique de 0,95. Cette erreur et trè grande. En outre, le temp de montée et environ une econde, et le temp de répone et environ 1,5 econde. On ouhaite concevoir un correcteur qui réduira le temp de montée, éliminera l'erreur tatique. a)-commande proportionnelle réduira le temp de répone, et On commencera par eayer la commande proportionnelle. On ait que le contrôleur proportionnel (Kp) réduit le temp de montée, augmente le dépaement, et réduit l'erreur tatique. La fonction de tranfert en boucle fermée du ytème ci-deu avec un correcteur proportionnel et: G( K 10. (0 K oon Kp= 300, utilion Matlab pour imuler la répone du ytème aervi (en boucle fermée) à l échelon unitaire: Kp=300; num=[kp ]; den=[ Kp ]; t=0:0.01:; tep(num, den, t) On obtient le graphe uivant. ) Figure11.4 : Répone du ytème aervi à l échelon ave un correction Le graphe ci-deu prouve que le contrôleur proportionnel a réduit le temp de montée, le temp de répone et l'erreur tatique. Mai, il augmente le dépaement. 10

6 1. t 0 1 K. F( Etudion l erreur de poition : lim ( t) lim ( lim.. E( En remplaçant G( et en conidérant E(=1, on obtient l expreion de l erreur de poition: e p 0 (0 K ) our avoir une erreur de poition négligeable, il faut augmenter le gain Kp. Noton que l erreur de vitee et d accélération ont infinie. Etudion la tabilité de ce ytème aervi. aervi : K 0 ; le déterminant et : 5 K our cela, prenon l équation caractéritique du ytème --i 0 ; oit Kp<5, alor le ytème et table et ne préente pa d ocillation. le pôle ont déterminée par : Kp et 5 5 Kp --i 0 K 5, le ytème a un pole double i 0, oit Kp>5, le ytème et table mai préente une ocillation plu ou moin amortie uivant la valeur de K. En concluion, le ytème aervi et table mai i on augmente Kp pour améliorer la préciion tatique, l amplitude de ocillation en régime tranitoire augmente et peut durer aez longtemp. Le ytème aervi répond plu rapidement aux changement de la conigne et devient progreivement ocillant et par la uite intable. Analyon le régime tranitoire du ytème aervi, pour cela, metton en évidence la pulation naturelle et le facteur d amortiement : K K (0 K ) K G. = 10. (0 K ) (0 K ) ( K ) (0 K (. ) ( n. ) n On en déduit : n 0 K 5 et 0 K Il apparaît clairement que i Kp augmente, la pulation naturelle augmente et l amortiement diminue. Le dépaement augmente aui. b)-correcteur roportionnel- Dérivé On ait que le contrôleur dérivé (Kd) réduit le dépaement et le temp de répone. La valeur de la contante d'amortiement, peut être ajutée pour réalier une répone critique, comme repréenté ur la prochaine Figure 5. La fonction de tranfert en boucle fermé du ytème donné avec un contrôleur roportionnel Dérivé et: G( KD. K (10K ). (0K oon Kp =300 et Kd = 10. avec Matlab, on a : D ) 103

7 Kp=300; Kd=10; num=[kd Kp]; den=[1 10+Kd 0+Kp]; t=0:0.01:; Step (num,den,t) Figure 11.5: Répone du ytème aervi à l échelon avec un correcteur dérivé On contate en obervant ce graphe que le contrôleur dérivé a réduit le dépaement et le temp de répone. L erreur de poition et donnée par l expreion : Kd n a pa d influence ur l erreur tatique. e p 0 0. K, l erreur de poition eulement de Kp. Du point de vue tabilité, on conidère l équation caractéritique : (10 Kd) 0 Kp 0 Le pôle du ytème aervi ont donc affecté par le deux coefficient Kd et Kp. Le ytème peut être table, intable ou jute ocillant. c)-correcteur roportionnel- Intégral : On ait qu'un contrôleur intégral (Ki) our le ytème aervi avec un correcteur proportionnel Ki, la fonction de tranfert en boucle fermé avec une commande de I et: G ( 3 K. K I 10. (0 K poon Kp = 30, et Ki = 70. avec Matlab, on a: Kp=30; Ki=70; num=[kp Ki]; den=[ Kp Ki]; t=0:0.01:; tep(num,den,t) ). K I 104

8 Comme : Figure 11.6: Répone du ytème aervi à l échelon avec un correcteur intégral K. K l, on a l expreion de l erreur tatique: 1 lim ( t) lim ( lim.. E( ; t 0 1 K. F( on a: ep=0 ; le contrôleur intégral a éliminé l'erreur tatique. our la tabilité, il faut étudier le racine de l équation caractéritique du ytème aervi qui et : (0 Kp) Kl 0 La tabilité du ytème aervi dépend de deux contant Kp et Kl. Nou avon cherché un compromi en réduiant le gain proportionnel (Kp) parce que le contrôleur intégral réduit le temp de répone et augmente le dépaement comme le fait le contrôleur proportionnel. d)-correcteur roportionnel- Intégral- Dérivé : Utilion le contrôleur ID. contrôleur de ID et: G La fonction de tranfert en boucle fermé du ytème aervi avec un K. K D ( 3 (10 K D ).. K (0 K I ). K Aprè pluieur eai de modification de paramètre du correcteur, on contate que e valeur : Kp=350, Ki=300, et Kd=50 donnent la répone déirée. On peut vérifier avec Matlab Kp=350; Ki=300; Kd=50; num=[kd Kp Ki]; den=[1 10+Kd 0+Kp Ki]; t=0:0.01:; tep(num,den,t) I 105

9 Figure 11.7: Répone du ytème aervi à l échelon avec un correcteur ID Maintenant, nou avon obtenu la répone atifaiante du ytème aervi qui ne préente pa de dépaement, avec un temp de répone rapide, et aucune erreur tatique. En combinant le effet poitif de chacun de troi terme, on et arrivé à obtenir la répone déirée. 3.4-DETERMINATION RATIQUE DES ARAMETRES D UN CORRECTEUR ID De façon pratique, pour fixer le paramètre du contrôleur ID qui permettent d obtenir une répone atifaiante du ytème aervi, on uit le étape uivante : 1-On imule d abord la répone en boucle ouverte et on détermine le effet qu il faut corrigé. On introduit la commande proportionnelle pour améliorer le temp de montée du ytème aervi 3. on introduit la commande dérivée pour améliorer le dépaement 4. On introduit la commande intégrale pour éliminer l'erreur tatique 5. On ajute chacun de paramètre du correcteur Kp, Ki, et Kd juqu'à ce l obtention d une répone atifaiante. 4-DETERMINATION DES ARAMETRES D UN CORRECTEUR CLASSIQUE : La correction d un ytème aervi linéaire à l aide d un correcteur pécifique e fait en deux étape : On choiit d abord la forme de la fonction de tranfert, pui on cherche le meilleure valeur à donner aux paramètre du correcteur. Dan la première étape, on tient compte du critère de performance chiffrant la préciion dynamique et la préciion tatique que l on veut obtenir. L application d un critère de performance conduit pratiquement à impoer quatre condition : 1-la fonction de tranfert en boucle ouverte F( du ytème corrigé doit comporter un pole à l origine d un certain ordre (en générale, =1 mai quelquefoi =) ; -le facteur de réonance Q doit poéder une certaine valeur Q n ; 3-La pulation de coupure en boucle fermée c à -6db doit avoir une valeur voiine de cn ; 4-le gain K de la fonction de tranfert T( doit être upérieure ou égale à K n. 106

10 A partir de ce condition, i par exemple la bande paante du ytème non corrigé et uffiamment large, on choiit une action I i l on veut augmenter l ordre du pole à l origine de T c ( et on gain K par rapport à ceux de T(. On choiit une imple action à retard de phae i l ordre du pole à l origine et uffiamment élevé. Si par contre on déire augmenter la bande paante du ytème, il faut utilier une action roportionnelle-dérivée Ou une action par avance de phae, i celle ci poède un effet uffiant, etc La econde étape et ouvent plu délicate. De méthode de détermination de paramètre d un correcteur ont été propoée par différent auteur. 4-)-Correcteur à avance de phae 1 a.. Un correcteur à avance de phae et e la forme : avec a>1 1. L intérêt de ce type de correcteur et de peu modifier le comportement du ytème aux bae et haute fréquence mai de rajouter une phae poitive autour du point critique de fonctionnement.(réonance). Ce type de correcteur e comporte autour du point critique comme un correcteur dérivé. Il permet d améliorer la tabilité an changer le autre paramètre. Le déphaage maximal et obtenu pour la 1 a 1 pulation: m et correpond à : in( m ). La paramètre a permet d ajuter le déphaage. a a 1 maximal. 4-)-Correcteur à retard de phae Il permet d augmenter le gain aux bae fréquence. En conéquence, il améliore la préciion tatique mai ne modifie pa beaucoup la préciion dynamique. Ce correcteur et une forme approchée du 1. correcteur roportionnel-integral. Sa fonction de tranfert et : avec b>0. Le 1 b. paramètre b permet d ajuter le retard de phae. 4-3)-Détermination d un correcteur à avance de phae et d un correcteur retard- avance : La détermination d un correcteur du type retard- avance peut être conidérée comme celle de deux correcteur indépendant, l un à retard de phae que l on ait choiir, l autre à avance de phae que l on voir maintenant comment déterminer. Le choix d un correcteur à avance de phae, qui agit autour de la pulation de réonance, et plu délicat que celui de correcteur précédent : la forme du lieu de tranfert e trouve modifiée, par l introduction du correcteur, au voiinage de la pulation de réonance R et il et difficile de prévoir quelle eront le nouvelle pulation de coupure et de réonance, et par quel facteur on pourra multiplier le gain K pour obtenir le facteur de réonance déiré. Il y a toujour une grande quantité de olution pour le choix de paramètre a et τ. Si a par exemple et fixé, il exite une olution qui permet de donner à K une valeur maximale et en général une autre qui donne au ytème la pulation c la plu élevée. Remarque : Il n y a pa de méthode analytique permettant de calculer le compoante du correcteur, par contre de méthode pratique permettent une évaluation correcte de coefficient du correcteur. Méthode pratique de Ziegler Nichol pour le réglage d un correcteur.i.d luieur méthode expérimentale ont été développée pour déterminer ce coefficient d un correcteur ID. En 194, Ziegler et Nichol ont propoé deux approche expérimentale detinée à ajuter rapidement le paramètre de régulateur, I et ID. La première néceite l'enregitrement de la répone indicielle du ytème à régler eul, alor que la deuxième demande d'amener le ytème en boucle fermée à a limite de tabilité. Il et important de ouligner que ce méthode ne 'appliquent en général 107

11 qu'à de ytème an comportement ocillant et dont le déphaage en haute fréquence dépae -180 degré. Ce ytème poèdent ouvent un retard pur et/ou pluieur contante de temp. On le rencontre urtout dan le proceu phyico-chimique tel que le réglage de température, de niveau, de preion, etc. La méthode développée par Ziegler et Nichol n et utiliable que i le ytème étudié upporte le dépaement. Elle conite à augmenter progreivement le gain d un correcteur proportionnel pur juqu'à l obtention de l ocillation (ytème jute ocillant). On relève alor le gain limite (Klim) correpondant et la pulation de ocillation. A partir de ce valeur Ziegler et Nichol propoent de valeur permettant le réglage de correcteur,.i et.i.d. Correcteur.I.I.D Kp Ti - Td 0 0 Tableau DETERMINATION DES ARAMETRES DES CORRECTEUR SECIFIQUES On peut poer de différente manière le problème de la détermination d un correcteur pécifique (voir chéma ci-deou Figure 11.8 : correcteur pécifique a)-la fonction de tranfert G( et H( ont fixée, donc la fonction de tranfert en boucle ouverte an correction T(=H(.G( et fixée. La fonction de tranfert en boucle ouverte du ytème corrigé (en boucle fermée) et : T c (=T(.. On peut, dan ce condition, choiir la fonction de tranfert en boucle ouverte T c ( du ytème corrigé à l aide d un certain critère de performance. Alor : Tc ( T ( -dan le même condition, on peut choiir la fonction de tranfert en boucle fermée F C ( du ytème corrigé. Alor, puique : On peut écrire : F C G( (, 1 G( H ( 1 Fc ( G( 1 F ( H ( c 108

12 b)-eule la fonction de tranfert G( et fixée : on poède dan ce condition un degré de liberté upplémentaire. On peut choiir par exemple T c ( et F c (.alor et H( obtiennent de la même façon que précédemment : Tc ( H ( 1 T ( c 1 F ( c et T ( G( H ( -dan le même condition, on peut choiir, oit T c ( oit F c ( et calculer et H( de telle ort que la enibilité de la fonction de tranfert en boucle fermée à la variation d un de e paramètre oit minimale ou qu un critère performance établi par rapport à une autre perturbation oit atifait. -lorque la fonction de tranfert du correcteur et déterminée, il e poe le problème de a réaliation. La détermination d un correcteur pécifique et cependant limitée par un certain nombre de contrainte, notamment de contrainte de réaliabilité phyique et de tabilité par rapport aux condition initiale Contrainte a)-il faut que le correcteur obtenu mathématiquement oit phyiquement réaliable. our cela, le degré du numérateur de a fonction de tranfert doit être inférieur (ou égale) à celui de on dénominateur. Ceci limite le choix de la fonction de tranfert du correcteur, mai cette difficulté peut être urmontée. Il uffit par exemple d introduire dan l expreion de la FT du correcteur de terme (pôle agiant aux fréquence élevée, en dehor de la bande paante du ytème corrigé. b)-influence de condition initiale : Il emble naturel de chercher à compener le pôle du ytème à contrôler par une fonction de tranfert ayant de zéro emblable. Une telle approche et dangereue car cette compenation n et pa poible en pratique à caue de l impoibilité de faire que le terme éliminent an conéquence. La non prie en compte de condition initiale peut conduire à l intabilité. 109

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