Correction des systèmes asservis

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1 Asservissements continus Correction des systèmes asservis 3 ème année Polytech Paris Sud Département EES Cédric KOENIGUER

2 Plan I. Objectifs de la correction II. Correcteur proportionnel III. Correcteurs à action intégrale IV. Correcteurs à action dérivée V. Correcteur PID VI. Correcteur à avance de phase 2

3 I. Objectifs de la correction Objectifs Principe : insérer dans le système bouclé des fonctions de transfert en vue de modifier la FTBF Buts : Modifier le degré de stabilité Améliorer la rapidité ou la bande passante Rendre plus précis un système Structures : Correction série : en série avec la FTBO Correction parallèle : en parallèle avec la FTBO Correction «mixte» : mélange des deux types de correction Rem sur correction série : placer le correcteur avant la FTBO (rejet des perturbations) E(p) e(p) C(p) H(p) S(p) Vs (p) = S(p) 3

4 II. Correcteur proportionnel Correction proportionnelle E(p) e(p) K H(p) S(p) Vs (p) = S(p) Caractéristiques : Diminution de l erreur Baisse du degré de stabilité (risque d instabilité) Diminution du temps de réponse, peut augmenter la bande passante Exemple du er ordre (calcul) ET3 EES - Asservissements continus 4

5 II. Correcteur proportionnel Exemple : 2 nd et 3 ème ordre en Nyquist BO non corrigée BO corrigée - H 0 KH 0 - H 0 KH 0 Diminution de la marge de phase Diminution de la marge de phase et/ou système instable ET3 EES - Asservissements continus 5

6 II. Correcteur proportionnel Exemple : 2 nd et 3 ème ordre en Bode ET3 EES - Asservissements continus 6

7 II. Correcteur proportionnel Réalisation Circuit : amplificateur non-inverseur Dimensionnement : Fixer la marge de stabilité (ex : 45 de marge de phase) Calculer le gain pour assurer la marge voulue (si c est possible) ET3 EES - Asservissements continus 7

8 III. Correcteurs à action intégrale Intégrateur pur E(p) e(p) τp H(p) S(p) Vs (p) = S(p) Caractéristiques : Annulation de l erreur : de position pour un système de classe 0 de vitesse pour un système de classe Inconvénient : Déstabilise le système (déphasage constant de p /2) : réduction de la marge de phase Augmentation du temps de réponse Exemple du premier ordre (calcul) ET3 EES - Asservissements continus 8

9 III. Correcteurs à action intégrale Exemples : 2 nd ordre BO non corrigée BO corrigée - H 0 - H 0 Stable théoriquement mais diminution de la marge de phase diminution de la marge de phase et système instable ET3 EES - Asservissements continus 9

10 III. Correcteurs à action intégrale Remarques et réalisation Si le système est stable : tension finie en sortie de l intégrateur signal e tend vers 0 annulation de l erreur Intégrateur : gain infini en 0 plus efficace que correction proportionnelle (= correction proportionnelle de «gain infini») Réalisation : Intégrateur pur à AO Pb de dérive des signaux (intégration des offsets) utilisation d un «pseudo-intégrateur» ET3 EES - Asservissements continus 0

11 III. Correcteurs à action intégrale Correcteur proportionnel intégral : PI E(p) e(p) C(p) H(p) S(p) C p = K + τ i p Vs (p) = S(p) Principe : Basse fréquence : comportement intégral pour annuler ou réduire les erreurs Haute fréquence : comportement proportionnel pour éviter de déstabiliser le système ET3 EES - Asservissements continus

12 III. Correcteurs à action intégrale Exemple : 2 nd ordre Action proportionnelle H db - H 0 KH 0 0 db arg (H) τ i K τ i 0 - p/4 - p/2 Action intégrale BO non corrigée BO corrigée ET3 EES - Asservissements continus 2

13 III. Correcteurs à action intégrale Remarques et réalisation Action proportionnelle : dans le domaine de fréquences liées à la marge de gain et/ou de phase (à vérifier lors du dimensionnement) Action intégrale : aux basses fréquences, avant les fréquences liées aux calculs des marges Réglages : Fixer la marge de phase ou de gain Fixer la bande passante Déduction de K et t i ET3 EES - Asservissements continus 3

14 IV. Correcteurs à action dérivée Dérivateur pur E(p) e(p) τ d p H(p) S(p) Caractéristiques : Vs (p) = S(p) Stabilise le système par un apport de phase Augmente la bande passante Inconvénients : Pas d amélioration de l erreur Amplification du bruit en HF ET3 EES - Asservissements continus 4

15 IV. Correcteurs à action dérivée Correcteur proportionnel dérivé : PD E(p) e(p) C(p) H(p) S(p) Vs (p) = S(p) H db C p = K + τ d p 0 db arg (H) Kτ d τ d p/2 p/4 0 ET3 EES - Asservissements continus 5

16 V. Correcteurs PID Correcteur Proportionnel-Intégral-Dérivé : PID E(p) e(p) C(p) H(p) S(p) C p = K + τ i p + τ dp Principe : Vs (p) = S(p) Basse fréquence : comportement intégral pour annuler les erreurs Haute fréquence : comportement dérivé pour stabiliser ET3 EES - Asservissements continus 6

17 V. Correcteurs PID Diagramme de Bode du correcteur C db Hyp : τ i < τ d et K> Minimum du module : 20 log K 0 db τ i K τ i Kτ d τ d ω = τ i τ d Pulsation liée au calcul des marges : arg (C) p/2 τ i τ d ω > τ i τ d 0 - p/2 ET3 EES - Asservissements continus 7

18 V. Correcteurs PID Exemple : 3ème ordre Action dérivée C db - H 0 0 db arg (C) p/2 0 - p/2 Action intégrale BO non corrigée BO corrigée ET3 EES - Asservissements continus 8

19 V. Correcteurs PID Réalisation : méthode de Ziegler-Nichols Méthode «empirique». On place un correcteur proportionnel de gain K 2. On détermine le gain K M rendant le système instable 3. On détermine la période T 0 des oscillations 4. On applique les réglages suivants : K = 0, 6 K M τ i = T 0 2 τ d = T 0 8 ET3 EES - Asservissements continus 9

20 VI. Correcteurs à avance de phase Correcteur à avance de phase E(p) e(p) C(p) H(p) S(p) C p = C 0 + τ p + τ 2 p Vs (p) = S(p) Objectifs : τ > τ 2 On pose : τ =a τ 2, a> Augmenter la bande passante, en assurant la stabilité ou Stabiliser un système ayant une marge de phase initialement trop faible ET3 EES - Asservissements continus 20

21 VI. Correcteurs à avance de phase C p = C 0 + τ p + τ 2 p Diagramme de Bode du correcteur τ > τ 2 τ =a τ 2 Maximum de déphasage : ω 0 = τ τ 2 C db 20 log a C 0 Condition sur la pulsation liée au calcul des marges : ω > τ τ 2 20 log C 0 0 arg (C) τ τ 2 p/2 0 w 0 ET3 EES - Asservissements continus 2

22 VI. Correcteurs à avance de phase Stabilisation : État initial : marge de phase < 45 Protocole : Méthodes de réglages w C. Déterminer w C : bande passante voulue du système (BO, non corrigée), H(jω C ) = 2. Calculer la marge de phase du système (non corrigé) : M φ 0 db p/2 3. Déduire le déphasage que doit apporter le correcteur : φ = 45 M φ 4. Déduire a grâce au maximum de déphasage 5. Assurer ω C = ω 0 : déduire alors t 6. Assurer C(jω C ) H(jω C ) = : en déduire C p/2 - p correcteur BO non corrigée ET3 EES - Asservissements continus 22

23 VI. Correcteurs à avance de phase Méthodes de réglages Augmentation de la Bande passante : État initial : marge de phase = 45 Protocole :. Déterminer w 0 : bande passante du système (BO, non corrigée), H(jω 0 ) = 0 db w 0 w C 2. Calculer la marge de phase du système pour la pulsation de coupure voulue : w C (non corrigé) : M φ p/2 3. Déduire le déphasage que doit apporter le correcteur : φ = 45 M φ 0 - p/2 4. Dimensionner un correcteur pour avoir cette valeur en w C - p 5. Assurer C(jω C ) H(jω C ) = : en déduire C 0 correcteur BO non corrigée ET3 EES - Asservissements continus 23

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