TP3 Modélisation et commande d un pendule inversé

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1 TP3 Modélisation et commande d un pendule inversé 1 Objectifs L objectif de ce TP est de contrôler un pendule inversé. Pour parvenir à cet objectif, il est nécessaire au préalable de : modéliser le chariot qui supporte le pendule et déterminer sa zone de fonctionnement modéliser le pendule en position standard (non inversée) concevoir un correcteur basé sur le modèle. Ce TP présente des similitudes avec de nombreuses applications ; par exemple en position inversée, la stabilisation d un Segway peut se ramener à la stabilisation d un pendule inversé. En position standard, la charge située en bas du pendule peut être comparée à la charge déplacée par une grue ; on cherchera dans ce cas à limiter les oscillations à l extrémité de la charge ; on cherchera aussi à être peu sensible aux perturbations (rafales de vent,...). 2 Présentation du procédé Figure 1 Maquette du pendule et son module de commande 1

2 La maquette est constituée d un pendule - qui peut fonctionner en position standard ou en position inversée - relié à un module de commande sur lequel les réglages seront effectués. Le pendule est fixé à un chariot solidaire d une courroie dentée. Le chariot est asservi en position par l intermédiaire d un servomoteur. Figure 2 Face avant du module de commande Le module de commande du pendule comporte plusieurs parties (Figure 2) : le potentiomètre P 1 qui permet d appliquer une tension comprise entre 10V et +10V. les potentiomètres P 3 et P 4 qui permettent le réglage de l asservissement de la position du chariot (P 3) avec contre-réaction sur la vitesse (P 4) le potentiomètre P 5 qui doit être réglé à la valeur de la longueur L afin que l on puisse obtenir au niveau de la borne L la variable y = x + Lθ un potentiomètre P 2 avec, au-dessus, un interrupteur qui permet de modifier le signe du gain P 2 un compensateur analogique : en fonction des éléments électroniques placés entre les bornes C,D,E et F, il est possible de réaliser un correcteur proportionnel, proportionnel dérivé,...le réglage du gain du correcteur se fait par le biais du potentiomètre P2. 3 Préparation 3 : Afin de modéliser l ensemble chariot+pendule, les variables seront conformes à la figure 2

3 L : distance entre l axe de rotation du bras et le centre de gravité de l ensemble (bras+poids situé à l extrémité). la masse du chariot est notée M et la masse de l ensemble bras+poids est notée m. x : position du chariot, θ : angle du bras du pendule par rapport à l axe vertical y = x + L.sinθ : position du centre de gravité suivant l axe horizontal ; dans tout le TP, les variations de θ seront faibles autour du point d équilibre (< 30 o ) de sorte que l on approximera : y x + L.θ. Figure 3 Schéma de l ensemble chariot+pendule La position du chariot est déjà asservie de telle sorte que la fonction de transfert du chariot (entre la position désirée du chariot x ref et la position x du chariot) est donnée par : G c (s) = X(s) X ref (s) = K c 1 + 2ξc ω nc s + s2 ω 2 nc En supposant les frottements négligeables et des variations de l angle θ faibles, on peut montrer que la dynamique complète du système pendule+chariot satisfait l équation suivante : ẍ + L θ = gθ (1) 1. A partir de l équation précédente, et sachant que y x + L.θ déterminer la fonction de transfert (l écrire sous forme normalisée) : G p (s) = Y (s) X(s) 3

4 2. En déduire les caractéristiques de la fonction de transfert : G p (s) = K p 1 + 2ξp ω np s s2 ω 2 np 3. Etudier la stabilité du système G p (s) 4. En partant de l équation (1) et en considérant les conditions initiales θ(t = 0) = θ 0, θ(t = 0) = 0, x(t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = 0 monter que : θ(s) = Num ξp ω np s s2 ω 2 np X(s) + Num ξp ω np s s2 ω 2 np Noter que la réponse libre (ne dépend que des conditions initiales) présente le même dénominateur que le régime forcé. 5. Soit le système en boucle ouverte de fonction de transfert : H BO (s) = K 1 s2 ω0 2 Déterminer sa fonction de transfert en boucle fermée et étudier la stabilité du système en boucle fermée (avec un retour unitaire) en fonction de la valeur de K (K peut prendre des valeurs positives ou négatives). 4 Etude du chariot - Expérimentation Pour effectuer les mesures de cette partie, le bras du pendule doit être dévissé. La maquette doit être en position standard (non inversé). 4.1 Caractéristique statique du chariot Pour tracer la caractéristique statique du chariot, on fait varier la tension Set Point et on mesure la tension V x image de la position du chariot x : 1. Régler la tension Set Point à 0 (cette tension sera notée V SP ). 2. Régler le potentiomètre P 3 au maximum et le potentiomètre P 4 à une positon médiane. 3. Relier la borne A à la borne H pour appliquer la tension V SP à l entrée de l asservissement du chariot. 4. Mettre la maquette sous tension. 5. Faire varier la tension V SP entre 10V à 10V par pas de 2V et relever avec deux voltmètres les tensions V x et V SP. 6. Tracer la caractéristique statique (tension V x en fonction de V SP ). 7. Déduire la plage de fonctionnement acceptable pour le chariot. 8. Déterminer le gain statique K c du chariot à partir de la caractéristique statique. 4 θ 0

5 4.2 Etude dynamique du chariot - réponse temporelle Afin d étudier la réponse temporelle du chariot, un signal carré V xref (t) est appliqué à l entrée du chariot ; les tensions V x (t) et V xref (t) sont observées à l oscilloscope : 1. A partir du réglage précédent des potentiomètres P 3 et P 4, appliquer à l entrée de l asservissement du chariot (borne H) un signal carré d amplitude crête-à-crête de 1V et de fréquence 1Hz. 2. Relever la réponse et mesurer le gain statique, le temps de réponse à 5%, l instant du premier dépassement et le dépassement du système. 3. Déduire de ces mesures les caractéristiques de la fonction de transfert G c (s) = V x(s) V xref (s). 5 Etude dynamique pendule - Expérimentation Essayer de stabiliser le bras du pendule (que vous avez dévissé en début de TP) en le plaçant sur votre main ; n hésitez pas à effectuer un mouvement du bras pour cela. Près de votre maquette se trouve une tige plus longue que le bras du pendule. Essayer de stabiliser cette tige. Pour analyser ces résultats, rappeler l expression théorique de la pulsation naturelle ω np du pendule. Faites la comparaison avec votre capacité à réagir rapidement. A présent, on se propose de vous remplacer par le chariot qui est plus rapide. Pour cela, vous devrez comparer la pulsation naturelle du chariot ω nc à la pulsation naturelle du pendule ω np. Afin de déterminer les caractéristiques dynamiques du pendule seul, on se propose de tracer la tension image de l angle V θ du bras du pendule. La maquette doit être telle que le pendule ne soit pas en position inversée. Le chariot étant à l arrêt, on va simplement écarter la tige de sa position d équilibre et relever à l oscilloscope la courbe V θ conformément aux étapes ci-dessous : 1. Visser le bras à l endroit prévu sur le chariot, le poids étant fixé à l extrémité du bras. Aucun câblage n est nécessaire pour la question suivante. Seule la maquette doit être alimentée. 2. Connecter la tension V θ à l oscilloscope. 3. Attraper le bras et l écarter d environ 30 o de sa position d équilibre (ne pas entrer en butée). Lâcher le bras sans vitesse initiale et relever V θ. 4. Régler les sensibilités de l oscilloscope de sorte à utiliser l écran au maximum. 5. Exploiter cette réponse pour obtenir la pulsation naturelle du pendule seul. 6. Analyser vos résultats et retrouver la longueur L du pendule. Votre résultat est-il cohérent? 5

6 6 Pendule inversé Dans cette dernière partie, le pendule est en position inversée. La variable de sortie est la position y x + L.θ. Faire le schéma bloc qui relie X ref (s) à Y (s) en laissant en évidence la variable X(s). La variable X ref (s) = U(s) est à présent l entrée de commande de l ensemble chariot+pendule. On approche la fonction de transfert G c (s) par son gain statique K c. Expliquer pourquoi cette approximation est possible. Compléter le schéma bloc dans le cas où le pendule est commandé par un correcteur proportionnel K corr. On appellera la consigne Y ref (s). Calculer la fonction de transfert en boucle fermée et déterminer ses pôles. Est-ce que l on peut stabiliser le système avec un correcteur proportionnel (positif ou négatif)? On se propose de contrôler le pendule avec un correcteur à avance de phase (qui est aussi un correcteur proportionnel dérivé avec filtre) : K(s) = K corr 1 + aτ K s 1 + τ K s L objectif du correcteur est de rejeter une perturbation en 2.5 secondes maximum. Pour cela, le dénominateur du système en boucle fermée sera : avec τ des1 = 0.01s, τ des2 = 0.5s. (1 + τ des s)(1 + +τ des2 s) 2 1. Justifier le choix du dénominateur désiré (ordre et constantes de temps). 2. Expliquer (sans faire le calcul) la méthode qui permet de calculer les paramètres K corr, a et τ K du correcteur. 3. Le calcul n est pas demandé, mais si vous avez le temps en fin de séance, vous pourrez effectuer les calculs. Les composants électroniques mis à disposition près de la maquette permettent de réaliser le correcteur : s K(s) = K corr s = K 1 + RC 1 s corr 1 + RC 2 s. K corr est réalisé grâce au potentiomètre P 2 ; il peut être positif ou négatif. 1. Déterminer les valeurs de τ K et de a correspondant au dispositif électronique. 2. Tester votre commande sur le système, en choisissant K corr négatif et légèrement supérieur à Appliquer une petite tape sur le bras stabilisé et vérifier le rejet de perturbation. 6