CI2 : Analyse du comportement des systèmes invariants continus

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1 CI2 : Analyse du comportement des systèmes invariants continus Points étudiés : Simulation fonctionnelle d'un système complexe Correction des systèmes asservis (Proportionnelle et Proportionnelle Dérivée) Matériels utilisés : ordinateur de bureau logiciel Didac'Syde ENONCE RESSOURCES PEDAGOGIQUES DOSSIER TECHNIQUE (non disponible) POUR ALLER PLUS LOIN (non disponible) TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 1/ 10 B.D.V.S.

2 Etude de l'asservissement de l'altitude d'un Airbus A330 I.Présentation A. Objectifs pédagogiques Etude de la précision d un système Utilisation des diagrammes de Bode, Nyquist et Black Etude en parallèle des réponses temporelles et fréquentielles Etude des correcteurs proportionnel et proportionnel dérivé B. Support de l étude Il s agit de régler l asservissement du maintien d altitude d un avion de type AIRBUS A340. L objectif est donc de déterminer la forme, puis les valeurs numériques de la FT du correcteur qui permettra d obtenir un système stable dans toutes les configurations (c est à dire avec suffisamment de marge) et qui sera le plus précis possible : écart statique nul en réponse à un échelon d altitude écart de traînage nul en réponse au maintien d une vitesse verticale de montée écart minimum en réponse à une turbulence (accélération verticale subie par l avion) Figure 1 TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 2/ 10 B.D.V.S.

3 C. Déroulement de l étude: L avion est modélisé par un système du 2 e ordre, qui correspond à son mode dominant. Il s agit de la fonction de transfert de l avion, déjà stabilisé par les commandes de vol électriques. On note sur le schéma bloc que l avion est ici commandé en accélération verticale ce qui permet d avoir des modes de guidage automatique très variés tels que - maintien d une altitude affichée - maintien d une vitesse verticale (l entrée serait une rampe) - maintien d une pente de montée ou de descente - montée à vitesse optimale (d un point de vue consommation de carburant) - suivi d une trajectoire de référence La combinaison de ces modes de guidage permet de réaliser automatiquement des fonctions complexes telles que : approche du terrain d atterrissage, atterrissage et remise des gaz. Ce type de commande est très pénalisant pour la stabilité puisque la fonction de transfert de l avion commandé en accélération doit être suivie de 2 intégrateurs pour obtenir l altitude. Ces 2 intégrateurs déphasent le signal. La présence d un correcteur est donc absolument nécessaire. II.Présentation du schéma bloc Le schéma bloc représente l asservissement d altitude d un avion de type AIRBUS A340. L avion vole en palier à une altitude Z 0. A. Nom des variables: Zc : Altitude de consigne par rapport à l altitude initiale Z 0 Z : Altitude réelle de l avion par rapport à l altitude initiale Z 0, mesurée par un capteur de constante de temps négligeable devant le temps de réponse de l avion. Ez : Ecart d altitude Zc-Z Azc : Accélération verticale de consigne Az : Accélération verticale réelle de l avion Vz : Vitesse verticale de l avion B. Nom et fonction des différents blocs: Bloc d entrée Zc : la consigne à l entrée du pilote automatique est un changement d altitude de type échelon Bloc correcteur Cor : on cherche la Fonction de transfert N(p)/D(p), de façon à rendre le système stable avec la meilleure précision possible. Dans la 1 e partie, étude du système non corrigé, la FT du correcteur sera un gain K. TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 3/ 10 B.D.V.S.

4 Bloc avion Av: représente la Fonction de transfert du mouvement de l avion «stabilisé» Bloc intégrateur Int1: réalise l intégration pour passer de l accélération verticale Az à la vitesse verticale Vz Bloc intégrateur Int2: réalise l intégration pour passer de la vitesse verticale Vz à l altitude Z Bloc Zs : bloc de sortie (Zs = Z) nécessaire au bon fonctionnement du logiciel III.Etude du système non corrigé A. Préliminaires 1. Exécuter Did acsyde puis créer le schéma-bloc de l'asservissement. 2. Vérifier en cliquant 2 fois sur le bloc Av que la FT de l avion est décrite comme ci-dessous. 1 L avion est modélisé par un système du 2 e ordre : Av ( p) p p 1 3. Pour cette fonction du second ordre, déterminer le coefficient d'amortissement z et la pulsation naurelle n. n = z= 4. Vérifier en cliquant 2 fois sur le bloc Cor que la FT du correcteur est bien un gain proportionnel. B. Etude Fréquentielle en Boucle Ouverte 1. Tracé du diagramme de Bode 5. Tracer le diagramme asymptotique de Bode de la FTBO pour K = 1 ; puis tracer l allure du diagramme réel. 2. Vérification par logiciel du diagramme de Bode: Le logiciel permet de visualiser la FTBO sur le schéma-bloc complet ; il s agit de lui préciser l endroit où il doit couper la boucle ; le menu «analyse transfert boucle» le permet. 6. Analyse/Analyse transfert boucle Noeud choisi pour couper la boucle : Z Définition des paramètres formels : K =0.5,1,2 (tracé des diagrammes pour 3 valeurs différentes du gain K=0.5 puis K=1 puis K=2) Domaine fréquentiel min, max = 0.1, 100 (le tracé sera réalisé sur 3 décades autour de la pulsation propre de l avion de 0.1 rad/s à 100 rad/s) Nombre de points à visualiser = Visualisation Bode Amplitude en mode bande 8. Comparer avec le tracé précédent (K=1 courbe jaune) Noter que la variation du gain K de K=0.5 à 1 puis de K = 1 à 2 se traduit par une translation verticale du diagramme de Bode en amplitude. 9. Donner la valeur de la translation : db 10. Fin/Visualisation Bode Phase TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 4/ 10 B.D.V.S.

5 Comparer avec le tracé précédent et noter que la phase est définie à 360 près. Pour retrouver les valeurs habituelles, il convient dans ce cas particulier de retrancher 360 à la valeur de la phase affichée. 11. Déterminer l impact de la variation du gain K sur le diagramme de Bode en phase et justifier. 3. Tracé du diagramme de Nyquist 12. Fin/Visualisation Nyquist 13. Reproduire l allure du diagramme de Nyquist et tracer le point critique Orienter le lieu de Nyquist dans le sens des pulsations croissantes. Sachant que le critère du revers dans le diagramme de Nyquist s énonce par : Un système est stable si, en parcourant le lieu de transfert dans le sens des croissants, on laisse le point critique sur la gauche. 15. Vérifier que le système est instable quelque soit la valeur de K. 16. En utilisant le diagramme de Bode, déterminer la direction de la tangente à l origine. 17. Faire 4 ou 5 Zoom successifs pour vérifier ce résultat puis réafficher la courbe complète (Recadrer X/Y) 4. Tracé du diagramme de Black 18. Afficher le diagramme de Black (Fin/Visualisation/Black) et noter le décalage de la phase de 360 par rapport aux conventions habituelles. Le diagramme ci-dessous représente le diagramme de Black obtenu pour K=0,5, 1 et Orienter le diagramme de Black dans le sens des croissants et représenter le point critique. 20. Comment se traduit l augmentation du gain K dans le diagramme de Black: Sachant que le critère du revers dans le diagramme de Black s énonce: TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 5/ 10 B.D.V.S.

6 Un système est stable si, en parcourant le lieu de transfert dans le sens des croissants, on laisse le point critique sur la droite 21. Justifier que le système est instable quelque soit la valeur de K. 22. Tracer sur le diagramme précédent la déformation qu il faudrait apporter au lieu de Black pour que le système soit stable. 23. Souligner le nom du correcteur qui permettrait de réaliser cette déformation: Correcteur Proportionnel Correcteur à avance de phase Correcteur à retard de phase Avant d analyser l impact d un tel correcteur, nous allons d abord vérifier sur la réponse temporelle que le système est bien instable. C. Etude de la réponse temporelle en Boucle Fermée 1. Tracé de la réponse à un échelon Zc 24. Fermer les fenêtres précédentes puis Analyse/Réponse temporelle Variables de sortie: Z K = 0.5, 1, 2 (tracé pour 3 valeurs du gain K) Traitement des instabilités : oui Horizon temporel : 10 (en secondes) Modification du pas : non Visualiser uniquement Z et Zc (cliquer sur EZ pour supprimer la visualisation de la courbe correspondante) 25. Visualisation 26. La valeur de l échelon de consigne est Zc=300 m. Le comportement de l avion vous paraît-il satisfaisant? Quelle est l influence du gain K sur l instabilité? 27. Vérifier que ce résultat est conforme à celui donné par l analyse fréquentielle. IV.Etude du système corrigé A. Détermination de la forme du correcteur 28. Tracer l allure du diagramme asymptotique de Bode du correcteur Proportionnel-Dérivé (1+Tp), montrer qu il réalise une avance de phase. Ce réseau correcteur n apporte aucun gain aux basses fréquences mais une avance de phase de 45 à =1/T et de 90 au delà. Il présente l inconvénient d avoir un gain élevé aux hautes fréquences (il amplifie donc les bruits), mais cet inconvénient est tempéré ici par la présence des 2 intégrateurs dans la chaîne directe. On choisit la constante de temps T pour que le lieu de Black se déforme le plus possible dans la zone proche du point critique (A db =0 db ; =-180 ). 29. Visualiser le diagramme de Black du système en BO sans modification du correcteur, et relever (menu curseur) la pulsation c0 qui correspond à A db =0 db pour la FTBO (avec K=1) : 30. Relever la valeur de la phase pour cette pulsation c0 : c0 = ( c0 )= 31. Déterminer l avance de phase qu il faut ajouter pour obtenir une marge de phase de 30 environ. AP = 32. Placer sur le diagramme de Bode du correcteur la pulsation de cassure 1/T et la position approximative de la pulsation c0 la plus proche de 1/T qui respecte cette avance de phase. TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 6/ 10 B.D.V.S.

7 On choisit finalement la constante de temps du correcteur Proportionnel Dérivé pour que la pulsation de cassure (1/T) du correcteur soit placée sur une pulsation 10 fois plus faible que c0 : 1/T = c0 / 10. On doit obtenir approximativement : T = 10s 33. Programmer la nouvelle FT du correcteur: Cliquer 2 fois sur le bloc Cor et programmer directement la valeur numérique de T) T,1 K pour 1 Tp 1 H ( p) K (Rentrer Reprendre l analyse fréquentielle en Boucle Ouverte: Menu déroulant Analyse/Analyse Transfert Boucle, Noeud choisi pour couper la boucle: Z, K = 1, ( min, max ) = 0.01,10, nombre de points à visualiser = 100, visualiser uniquement le diagramme de Black. 35. Constater la déformation du lieu de transfert. 36. D après le critère du revers dans Black, le système est-il stable? Justifier. 37. Proposer une modification pour rendre le système stable: B. Réglage du gain Le correcteur précédent a agi aussi sur le gain, ce qui fait que la courbe s est en même temps déformée vers le haut du diagramme de Black par rapport aux prévisions. On choisit de faire varier le gain de la FTBO pour stabiliser le système. 1. Réglage en limite de stabilité 38. En travaillant sur le diagramme de Black avec le Curseur, déterminer de proche en proche la valeur K 1 du gain K du correcteur pour que le système soit à la limite de la stabilité. 20log H j K 1 = -180 = rad/s db Lancer une analyse temporelle de la FTBF. Menu déroulant : Analyse/Réponse temporelle/variables de sortie : Z, K 1 =..., Traitement des instabilités : oui, Horizon temporel : 10s, Modification du pas : non, Visualiser uniquement Z et Zc 40. Vérifier que la réponse temporelle est bien à la limite de la stabilité. Z m Z moy avec Z c 300m max m Ce résultat n est bien sûr pas satisfaisant pour le fonctionnement du pilote automatique; il est donc nécessaire de diminuer encore le gain K. 2. Réglage avec marge de gain Par sécurité, on prendra une marge de gain de 20dB. (en général on prend 10dB, mais on a négligé de nombreux retards en utilisant une fonction de transfert simplifiée de l avion) 41. Déterminer la nouvelle valeur K 2 du gain du correcteur : K Vérifier le résultat en reprenant l analyse fréquentielle de la FTBO (Analyse Transfert boucle) et visualiser le diagramme de Black pour K=K Vérifier la marge de gain et déterminer la marge de phase sur le diagramme de Black. On pourra faire un zoom de la zone intéressante et utiliser le curseur. MG db MP db TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 7/ 10 B.D.V.S.

8 Diagrammes de Bode TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 8/ 10 B.D.V.S.

9 C. Etude de la FTBF corrigée 44. Déterminer la résonance en Boucle Fermée (pulsation et coefficient de surtension Q): on rappelle que c est le point où le lieu de Black est tangent au contour fermé de Hall. R = rad/s 20 log Q db (à lire en boucle fermée sur les contours de Hall) 45. Vérifier ces valeurs en traçant uniquement le diagramme de Bode de la FTBF (Analyse, Réponse fréquentielle, Noeud d entrée : Zc, Noeud de sortie : Zs, K=K 2 =..., ( min, max )=0.1, 10rad/s) A l aide du curseur, relever les valeurs à la résonance: R = rad/s 20 log Q db Q = Le système, qui est du 4 e ordre a pour mode dominant un 2 e ordre de coefficient d amortissement z et de pulsation n. 46. Calculer n et z à partir de Q et R : n = rad/s z D. Etude de la réponse temporelle et de la précision 1. Ecart statique On commande au pilote automatique un échelon d altitude de 300m. 47. En supposant que le système répond suivant son mode dominant (z =...), tracer l allure de la réponse et calculer la valeur de Z max lors du 1 e dépassement. D z Zmax Z f 2 1 z 1 e Z f % Z max m 48. Vérifier ce résultat : Menu déroulant «analyse», Réponse temporelle, Variables de sortie: Z, K = K 2 =..., Horizon temporel: 60 (en secondes), Modification du pas : non, Visualiser Z c et Z. Z m E lim Z Z t max Z C f m 49. Justifier l écart statique par la classe du système : = 2. Ecart de traînage 50. Remplacer l entrée de type échelon par une entrée de type rampe: le pilote automatique ne fonctionne plus en mode maintien d altitude mais en mode suivi de vitesse verticale. 51. Cliquer sur l échelon d entrée, puis supprimer, menu déroulant «Modèles», entrées, choisir la rampe et positionner la sur le schéma bloc 52. Définir les caractéristiques de la rampe en cliquant 2 fois dessus: retard 0 s, pente 10 m/s 53. Lancer l analyse, réponse temporelle, nommer le bloc d entrée Zc, Variables de sortie: Z, K = K 2 =..., Horizon temporel: 60 (en secondes), Modification du pas : non, Visualiser Zc et Z. 54. Déterminer l écart de traînage et le justifier par la classe du système: E lim Z Z Z t m C f Cette précision de pilotage apportée par le système de classe élevée, justifie le pilotage en accélération (A Zc ) de l avion car il permet d obtenir une bonne précision quel que soit le mode de pilotage automatique; ce pilotage en accélération verticale (appelé = TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/2008 9/ 10 B.D.V.S.

10 facteur de charge) est pourtant très pénalisant pour la stabilité (présence de 2 intégrateurs dans la chaîne directe) 3. Réponse à une perturbation modélisée par une accélération verticale On étudie ici la réponse de l avion à une turbulence. 55. Charger un nouveau fichier: menu déroulant «Fichier», Ouvrir, choisir le fichier modalt Identifier les modifications par rapport au schéma précédent. 57. Quelle est la nature de la turbulence introduite (cliquer 2 fois sur le bloc Turb) et tracer ci-dessous la courbe définissant cette perturbation: 58. Lancer l analyse temporelle (Horizon temporel=120s) et déterminer l erreur d altitude provoquée par cette perturbation: E Z dyn m E Z stat m 59. Remplacer la perturbation par un échelon d accélération 60. Cliquer sur le bloc Turb, Supprimer, menu déroulant «Modèles», Entrées, choisir l échelon et positionner le sur le schéma bloc. 61. Définir ce bloc: Cliquer 2 fois dessus, retard 60s, amplitude 1 m/s 2. Lancer l analyse temporelle (Nommer le bloc Turb, Horizon temporel = 120s) et évaluer l écart d altitude provoqué par cette turbulence: Z m 62. Justifier cet écart d altitude non nul, malgré la classe du système : TP I2 Asservissement altitude Airbus A340 du 08/12/ / 10 B.D.V.S.

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