Performances et corrections d un système asservi analogique linéaire. Tbf(p) = R(p) X(p) =

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1 BS EL. La sabilié d un sysème asservi.. rappel du problème posé X(p) ε(p) Tbo(p) R(p) Le sysème asservi rédui a pour ransmiance en boucle fermée Tbf(p) = R(p) X(p) = Tbo(p) + Tbo(p). La sabilié es une noion liée au régime ransioire. Le crière de sabilié d un sysème linéaire a déjà éé cié lors de l éude des sysèmes linéaires : ous les pôles de la foncion de ransfer T(p) doiven avoir une parie réelle négaive. Si on ne dispose pas d une méhode pour déerminer les pôles, on éudie la sabilié à parir de l équaion du dénominaeur de la FTBO. Si on ne dispose pas de l équaion mahémaique, l éude se fai à l aide des diagrammes de Bode ou de Nyquis de la FTBO qu il es oujours possible de relever expérimenalemen..2. condiions d oscillaion en boucle fermée Cee condiion es évidemmen à évier en asservissemen si on ne souhaie pas obenir un oscillaeur. On réalise un oscillaeur s il exise une pulsaion ω o (ou fréquence f o ) pour laquelle la FTBF es infinie. Dans ce cas il suffi d un parasie ou un brui conenan dans son specre la fréquence f o pour que la sorie produise un signal sinusoïdal de même fréquence f o. Tbf (jω o ) = T bo (jω o ) + T bo (jω o ) + si T bo (jω o ) = - Dans ce cas l amplificaion dans la boucle, à cause de l inversion au niveau du comparaeur es de +. L oscillaeur es un serpen qui se mord la queue. ε(p) R(p) Im(T(jω)) Le lieu de Nyquis de la FTBO d un el sysème oscillan passe donc par le poin appelé le poin criique d affixe - comme le monre la figure ci-conre. - ω croissans T bo (jω ) Ré(T(jω)) ωo = ϕ = arg Tbo (jω ω ) ω2 Remarque : le lieu de Nyquis représené correspond à un passe-bas d ordre 3 : lorsque ω croî de à l infini, l amplificaion T bo (jω) diminue e la phase passe de à - 3π 2 (-27 ). Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page / 5

2 BS EL.3. crières de Nyquis e du revers Le crière de Nyquis : un sysème asservi es sable en boucle fermée si le lieu de Nyquis de la FTBO n enoure par le poin criique d affixe -. sysème sable Im(T bo (jω)) sysème insable Im(T bo (jω)) - Ré(Tbo (jω)) - Ré(Tbo (jω)) ω = ω = ω croissans ω croissans Le crière du revers es une simplificaion du héorème précéden : un sysème asservi es sable en boucle fermée si le lieu de Nyquis de la FTBO passe à droie du poin criique d affixe - pour les ω croissans. sysème sable Im(Tbo (jω)) sysème insable Im(Tbo (jω)) - Ré(T bo (jω)) - Ré(Tbo (jω)) ω = ω = ω croissans ω croissans Exension du crière de sabilié au plan de Bode : G db = 2 log T bo G db = 2 log T bo db db ϕ bo ϕ bo -8-8 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 2 / 5

3 BS EL.4. les marges de sabilié Si le lieu de Nyquis es rop poche du poin criique le sysème risque l insabilié. Les marges de gain e de phase son des crières servan à quanifier l éloignemen du lieu de Nyquis de la FTBO au poin criique. a) la marge de phase M ϕ la marge de phase vau M ϕ = 8 + arg T bo (jω T ) où ωt es la pulsaion de ransiion ou de croisemen, c es la pulsaion pour laquelle le module de la FTBO es de, c es la pulsaion pour laquelle le gain es de db b) la marge de gain MG la marge de gain MG vau M G = - 2 log T(jω π ) où ωπ es la pulsaion pour laquelle l argumen es de π T(jω π ) c) les marges de gain e de phase dans le plan de Nyquis - Im(T bo (jω)) ω = + Ré(T bo (jω)) d) les marges de gain e de phase M ϕ ω = ω croissans dans le plan de Bode : dans le plan de Black : G db = 2 log T bo M ϕ G bo db db ω T ω π MG -8 ω = ϕ bo ϕ bo ω T ω π MG -8 M ϕ ω + le poin criique correspond à G db = db e -8 e) les degrés de sabilié suffisans les degrés de sabilié suffisans corresponden à M ϕ > 45 e M G > 6 db Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 3 / 5

4 BS EL g) exemple : T o Prenons le cas rès couran d un processus don la FTBO s écri T bo (p) = p ( + τ p) En effe cee FTBO correspond à un inégraeur suivi d un sysème du premier ordre de consane de emps τ. T bo T bf (p) = + Tbo = + Tbo e par idenificaion avec = + K + 2m ωo p + p 2 ω o 2 = p( + τp) T o l'amplificaion saique en boucle fermée vau K = la pulsaion propre ωo es elle que ωo 2 e le coefficien d amorissemen m es el que 2m = m = ω o = ω o T o 2T o + p T o + τ T o p2 = τ T o e vau ωo = T o τ. 2T o m = 2 To.τ Si on accepe un dépassemen de 2%, ce qui correspond à un coefficien d amorissemen de m =,456, T o = 4m2τ =,2 e ω τ o =,. τ Calculons dans ces condiions la marge de phase Mϕ :. sysème du deuxième ordre, La pulsaion de ransiion ω T pour laquelle G db = es elle que,2 j τ ω T ( + j τ ω T ) d où (τ ω T ) + (τ ω T )2 =,2 (τ ω T )2( + (τ ω T )2) =,22 en posan x = (τ ω T ) 2, on résou x(+x)-,2 2 =, c'es à dire x 2 +x-,2 2 =, pour rouver x = (τ ωt) 2 =,8 finalemen e M ϕ = 8 + arg,2 j,8( + j,8) d où la marge de phase de M ϕ = 48. To τ = arcan,8 = La marge de gain ne peu pas êre définie puisque ω π end vers l infini. = Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 4 / 5

5 BS EL 2. La précision d un sysème asservi On rappelle qu un sysème es précis, si, en régime éabli (permanen), la grandeur de sorie se rapproche de la grandeur de consigne. 2.. expression de l erreur saique ε appelé aussi l écar La précision es définie par la valeur de l erreur saique ε = lim + ε () = lim [ e() - s() ]. + L erreur se calcule à l aide du héorème de la valeur finale que l on rappelle : ε () = p. ε (p). Cherchons d abord l expression de ε(p) : + p Tbo(p) ε(p) = E(p) - S(p) = E(p) - E(p). + Tbo(p) = E(p).( - Tbo(p) + Tbo(p) ) = E(p). + T bo(p) - Tbo(p) + Tbo(p) d où la relaion à reenir : ε(p) = E(p) + Tbo(p) Donc l erreur en régime permanen vau : ε = ε () = + p p. E(p) + T bo (p). L erreur relaive es parfois exprimée en pourcenage lim ε() lim ε % =. + e() =. p p. ε(p) E(p) = lim p p. + T bo (p) On éudie la précision pour des formes simple du signal d'enrée : l échelon : e() = E o Γ() E(p) = E o p ; l échelon produi une erreur de posiion noée ε p, la rampe ou échelon de viesse : e() = s. E(p) = s p 2 ; la rampe produi une erreur de raînage noée ε, s car en anglais, la pene se di slope ; rappelons que s es en vols par seconde : V / s, la parabole ou échelon d accéléraion : e() = a 2 2 E(p) = a p 3, elle produi une erreur d accéléraion noée εa, a comme accéléraion, rappelons que a es en vols par seconde au carré : V / s la classe ou le ype d un asservissemen L erreur saique, qui vau ε = ε () = + p p. E(p) + Tbo(p), dépend de E(p) e de T bo(p). Si la FTBO peu se mere sous la forme Tbo(p) = C p α. + b p + b2p ap + a2p 2 +, on a lim p T bo( p) = C p α. E(p) K(p) comparaeur X(p) R(p) ε(p) H(p) K(p) S(p) Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 5 / 5

6 BS EL Le coefficien enier α es la classe de l asservissemen. La classe correspond donc au nombre d inégraeur conenus dans la boucle ouvere. Exemples : - si T bo( p) = p + 2, lim p T bo( p) = 2 l asservissemen es de classe - si Tbo( p) = 5 p(p + 3), lim p T bo( p) = 5 3p l asservissemen es de classe 8 - si T bo( p) = p2(p + 2), lim p T bo( p) = 2 l asservissemen es de classe 2 e on p2 ne dépasse pas la classe 2, car chaque inégraion diminue la marge de phase de 9, augmenan l insabilié erreurs de posiion, de raînage e d accéléraion a) précision d un sysème de classe : Tbo( p) =C. + b p + b2p2 + + ap + a2p 2, sysème sans + e() = E Γ() inégraeur : E - l erreur de posiion vau ε p = ε () = + p p. E(p) + Tbo(p) = lim p p. E o / p + C = E o + C elle es consane, diminue si on augmene C s() erreur de posiion ε p - l'erreur de raînage vau ε = ε () = + p p. E(p) + T bo (p) = lim s / p2 p. p + C = + e comme ε(p) = ε() = s p 2 ( + C) s + C. + ε() e() = s. s() erreur de raînage ε - l erreur d accéléraion es aussi infinie puisqu on inrodui une inégraion supplémenaire. b) précision d un sysème de classe : T bo( p) = C p. + b p + b 2 p ap + a2p 2, sysème à inégraeur, + - l erreur de posiion vau ε p = ε () = + p p. E(p) + T bo (p) = lim p p. E o / p + C / p il n y a pas d erreur de posiion. = ; Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 6 / 5

7 BS EL - l'erreur de raînage vau ε = ε () = + p p. E(p) + Tbo(p) = lim p s / p2 p. + C / p = s C - l erreur d accéléraion es infinie puisqu on inrodui une inégraion supplémenaire. e() = s. s() erreur de raînage ε c) précision d un sysème de classe 2 : T bo( p) = C p 2. + b p + b2p2 + + ap + a2p 2, sysème à 2 inégraeurs, + - l erreur de posiion vau εp = ε () = + p p. E(p) lim + Tbo (p) = p p. Eo / p + C / p 2 il n y a pas d erreur de posiion. = ; - l'erreur de raînage vau ε = ε () = + p p. E(p) + T bo (p) = lim p p. s / p 2 + C / p 2 = ; il n y a pas d erreur de raînage. - l erreur d accéléraion vau ε a = d) ableau récapiulaif e conclusions : ε () = + p p. E(p) + T bo (p) = lim p p. a / p3 + C / p 2 = a C e() erreurs classe classe classe 2 pas d inégraion une inégraion deux inégraions échelon E o. Γ() ε p E o + C rampe s. ε + s C parabole a 2. 2 ε a + + a C le dilemme sabilié - précision : l augmenaion de la classe augmene la précision mais diminue la sabilié, augmener la classe se fai en ajouan un inégraeur (muliplier par / p), pour diminuer l erreur ε, on peu augmener C en ajouan un amplificaeur, c es ce qu on appelle la correcion proporionnelle, mais cela diminue la sabilié du sysème. Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 7 / 5

8 BS EL 3. Les correcions d un sysème bouclé Le problème consise à rouver un compromis pour assurer au sysème asservi les rois qualiés suivanes : un maximum de sabilié, une meilleure précision saique e une rapidié suffisane. Le correceur C s ajoue au sysème bouclé e son acion agi habiuellemen sur la grandeur d erreur ε() fournie par le comparaeur. Il fourni le signal de commande u() du processus. Yc(p) R(p) ε(p) C(p) correceur U(p) K(p) H(p) processus Y(p) Corriger consise à agir inelligemmen sur des crières conradicoires pour les rendre compaibles : le correceur à acion proporionnelle es compléé par une acion inégrale qui assurera une meilleure précision e par une acion dérivée amélioran la rapidié du sysème. 3.. la commande proporionnelle L acion es dosée suivan la valeur de l erreur : u() = K ε() donc C(p) = K. Si K es grand, la correcion es énergique e il y a des risques de dépassemen e d oscillaions (pompage). Si K es faible, la correcion es molle e lene. Donc si on augmene K, on augmene la précision e en même emps l insabilié du sysème. bande proporionnelle La sauraion de u inrodui la noion de bande proporionnelle BP qui es la plage d erreur pour laquelle on vérifie la relaion u() = K ε(). Elle s exprime en pourcenage, alors BP% = K. Analogie avec la conduie auomobile : la correcion proporionnelle c es écraser l accéléraeur. L acion es franche mais rese limiée. En effe la secion de l injeceur es limiée e on obien des à-coups qui ne son peu-êre pas souhaiés. Usa -ε max +ε max u -U sa ε Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 8 / 5

9 BS EL 3.2. la loi de commande inégrale, le correceur à reard de phase Pour obenir une commande progressive (pour évier d écraser l accéléraeur ou de démarrer brusquemen), on uilise une loi de commande de ype inégrale : u() = Ti ε(x) dx U(p) = ε(p) Ti p puisque C(p) = U(p), la foncion de ransfer du ε(p) correceur inégral es C(p) = Ti p. L effe du correceur sur un échelon ε() = E Γ() perme de comprendre la significaion de la consane d inégraion Ti, c es le emps au bou duquel la ension a aein la ension d enrée. E ε() = E Γ() E ε() u() u() = E Ti ε() T i T i La correcion inégrale assure un rarapage progressif de l erreur saique. T i doi êre accordé sur la consane de emps dominane du sysème. Remarquons aussi, que même si ε es nulle, u ne l es pas, assuran oujours la ension nécessaire pour aeindre le poin de foncionnemen. Le correceur de ype proporionnel e inégral : PI G db = 2 log C(jω) Le correceur PI a comme foncion de ransfer C(p) = K + T i p on peu agir sur les deux paramères K e Ti. Son acion es limiée aux basses fréquences ω << Ti. Le correceur de ype proporionnel e inégral approché ϕ -9 T i G db = 2 log C(jω) Ce correceur perme d évier les amplificaions excessives aux basses fréquences. Sa foncion de ransfer s écri C(p) = K + T i p + a Ti p avec a >. On l appelle correceur à reard de phase. ϕ -9 ati T i Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 9 / 5

10 BS EL On peu monrer que la phase es maximale pour la pulsaion ω o = Ti a, alors ϕ max = - arc an a - 2 a pour un gain G o = 2 log K - log a. L inégraion améliore la précision mais inrodui un reard. Exemple de correceurs PI : le correceur passif : le correceur acif : + R2C p C(p) = + (R + R2)C p C(p) = R 2 R. + RC p + (R + R2)C p R2 R R2 C R R C + - Ro Ro + - Les effes d un correceur inégral sur les diagrammes de la FTBO : Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page / 5

11 BS EL 3.3. la loi de commande dérivée, le correceur à avance de phase Il fau aussi enir compe de l évoluion plus ou moins rapide de l erreur ε. Une variaion raide appelle une acion énergique, alors qu une variaion lene appelle une commande molle. u() = Td. dε d U(p) = T d.p.ε(p) C(p) = Td p Td es la consane de dérivaion du correceur, elle perme de doser l acion dérivée. Le correceur de ype proporionnel e dérivé, noé PD u() = K (ε() + Td. dε() d ) C(p) = K ( + Td p) ε Exemple : T d. dε d ε u erme proporionnel : Kε résulane : Kε + KTd. dε d I erme dérivé : KT d. dε d L accosage d un navire doi êre de ype PD. L erreur ε es la disance du baeau au quai. La grandeur u() peu êre considérée comme éan la viesse du baeau. Lorsque le baeau se rapproche du quai il fau ralenir e au poin I inverser le sens de roaion des machines. I es appelé le poin d inversion des hélices. Pour en savoir plus, rappelons que le nœud es l unié de viesse uilisée pour les navires, équivalan à mille (852 m) par heure («filer 5 nœuds»). L acion dérivée améliore la sabilié e la rapidié d un sysème. G db = 2 log C(jω) Le diagramme de Bode du correceur monre que celui ce agi aux haues fréquences e réabli la marge de phase. En haues fréquences, malheureusemen l amplificaion es rop imporane ;les bruis e parasies son amplifiés, donc ce correceur doi êre modifié. ϕ +9 Td Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page / 5

12 BS EL GdB = 2 log C(jω) Le correceur PD approché ϕ +9 atd Td Exemples de monages à avance de phase uilisés : Il limie le gain aux haues fréquences e sa foncion de ransfer s écri : C(p) = K + a Td p + Td p avec a >. R C R R + - R2 R C R2 + - Ro Ro la commande P.I.D. Rappels : le correceur PI améliore la précision en inervenan aux basses fréquences (régime permanen). le correceur PD améliore la sabilié en inervenan aux haues fréquences (régime ransioire). Conclusion : si l une des correcions ne suffi pas il fau les uiliser ensemble avec Ti < Td donc avec T i > T d. La ransmiance héorique serai C(p) = K ( + T i p + T d p ). Le correceur réel doi avoir une foncion de ransfer C(p) = K (+ Ti p + Td p + τ p ) avec τ<<t d. On en dédui rois ypes de correceurs PID : le ype série ε C(p) = K ( + P I D T i p )( + T d p ) u ε le ype parallèle P D C(p) = K + I T i p + T d p + τ p u Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 2 / 5

13 BS EL le ype mixe I ε D P u Le ype mixe es le plus couran car il a une acion inermédiaire enre le ype parallèle, plus modéré, e le ype série, plus énergique. Le diagramme de Bode résulan es dédui des diagrammes PI e PD filré aux haues fréquences. C(p) = K ( + Ti p + Td p + τ p ) GdB = 2 log C(jω) L effe du correceur PID sur un sysème asservi du deuxième ordre es représené ci-dessous ϕ +9-9 Ti Td dans le plan de Bode G db = 2 log FTBF sans correceur dans le plan de Black ϕ BF -8 T i T d avec PID avec PID sans correceur M G -8 M ϕ G bo db ω = ϕ bo dans le plan de Nyquis - Im(T bf (jω)) Ré(T bf (jω)) ω + ω croissans Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 3 / 5

14 BS EL Annexe Les crières algébrique de sabilié de Rouh - Hürwiz Ces crières permeen d éudier la sabilié d un sysème connaissan le dénominaeur D(p) de la FTBF. Tbo(p) Soi Tbf(p) = + T bo (p) = N(p) D(p) = N(p) anp n + an-p n- + + ap + a a) premier examen : si cerains coefficiens a i son négaifs ou nuls, le sysème es insable. En effe si cerains coefficiens ai son négaifs ou nuls, les pôles son dans la parie droie du plan complexe. b) deuxième examen : on écri le ableau de Rouh suivan e on calcule le conenu de chaque case jusqu au premier zéro dans la première colonne. Crière nécessaire e suffisane de sabilié : ous les coefficiens de la première colonne doiven êre de même signe. Consrucion du ableau : colonne à poser a n a n-2 a n-4 a n- a n-3 a n-5 à déerminer A A 2 A 3 B B 2 B 3 M M 2 N N 2 où A = a n-an-2 - anan-3 an- A 2 = a n- a n-4 - a n a n-5 a n-, A 3 = a n- a n-6 - a n a n-7 a n- B = A a n-3 - a n- A 2 A, B 2 = A a n-5 - a n- A 3 A O = N M 2 - M N 2 N, ;,, exemple : T(p) = exemple 2 : T(p) = K + 6p - 3p2 + 3p3 + p4 es K + 6p + 3p2 + 3p3 + p4 exemple 3 : T(p) = K ( + τ p ) + 6p + 3p 2 + 3p 3 + p 4 es Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 4 / 5

15 BS EL K exemple 4 : T(p) = + 6p + 3p2 + 5p3 + p4 exemple 5 : soi le sysème asservi suivan : Tbo (p) = Ki Ao Ti p( + 2p + 2p 2 ) Tbf(p) = = Y(p) Yc(p) = Tbo (p) + Tbo(p) = + Tbo(p) + T i p( + 2p + 2p 2) Ki Ao = Y c (p) K i A o / T i 2p3 + 2p2 + p + K i Ao T i d où le ableau : e la condiion de sabilié du sysème : K exemple 6 : T(p) = + 6p + 2p 2 + 3p 3 + p4 ce exemple nous monre que si un zéro rend impossible le calcul des coefficiens, on remplace la première valeur nulle par ε >. ε(p) Ki Ti p A o + 2p + 2p2 Y(p) exemple 7 : T(p) = K p 4 + 3p 3 + p 2 + 3p + exemple 8 : T(p) = K p4 + 3p3 + 4p2 + 3p + 3 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 5 / 5