TP1 : Analyse et Commande des Systèmes Linéaires

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1 TP1 : Analyse et Commane es Systèmes Lnéares 1. Analyse e la stablté 'n système Consérons le système : ( p ) ( p + 1) p Cas K 1 Calcl es pôles système (racnes énomnater). roots(en) Proposer ne atre méthoe por trover les pôles système grâce à la commane eg. Tracé agramme e boe e G( p ) (les échelles sont choses atomatqement). r( t ) - K G( p ) y( t ) boe(nm,en); Tracé agramme e Nyqst e G( p ) (les échelles sont choses atomatqement). Ce système est-l stable? Fgre 1 : Défnr la foncton e transfert G( p ) système sos matlab. nm [1 1]; enconv([-1 1],[-1/3 1]); ps applqer la commane tf2ss. Explqer. nyqst(nm,en); Crtère e Nyqst : Le système sera stable en bocle fermé s le agramme e Nyqst entore atant e fos le pont -1 q'l y a e pôles nstables ans le système en bocle overte. Le système en bocle fermée est-l stable? Vérfcaton : Formons la bocle fermée par la foncton cloop. [nmbf1,enbf1]cloop(k*nm,en,-1); ISSAT Karoan 1/6

2 Calcl es pôles système en bocle fermée (racnes énomnater). roots(enbf) 1.2 Cas K 10 K 10 ; Tracé agramme e boe e K. G( p ), les échelles sont choses atomatqement. boe(k*nm,en); Tracé agramme e Nyqst e G( p ), les échelles sont choses atomatqement. nyqst(k*nm,en); Qel est le; nombre 'encerclement pont -1. Le système en bocle fermée est-l stable? Vérfcaton : Formons la bocle fermée par la foncton cloop [nmbf1,enbf1]cloop(k*nm,en,-1); Vérfcaton sr la réponse ncelle. step(nmbf,enbf); 1.3 Valer lmte e K assrant la stablté Le système est stable por K 10 et nstable por K 1. Répéter la foncton svante por K allant e 1 à 1.5 par pas e 0.1. nyqst(k*nm,en); Conclson : qelle est la valer lmte e K assrant la stablté système boclé? Qels sont alors les pôles système en bocle fermée? 2. Synthèse e Correcters 2.1 Synthèse 'n correcter à avance e phase Un correcter à avance e phase permet 'agmenter la marge e phase système a vosnage e la bane passante. Sa foncton e transfert s'écrt sos la forme. Calcl es pôles système en bocle fermée (racnes énomnater). roots(enbf) C( p) K ( 1 + T. p) ( 1 + a. T. p) Consérons le système : avec a p 1 ISSAT Karoan 2/6

3 nm10; 10 ( 5 p + 1)( 0.13p + 1) enconv([5 1],[0.13 1]); Le gan statqe système vat G (0) 10. Vérfcaton : cgan(nm,en) On ésre ne errer statqe en bocle fermée e 1%. 'où K C(0). G(0) K K10 On ésre n temps e réponse en bocle fermée e 0.2 secone. Une formle emprqe permet e reler la plsaton e copre w c a temps e réponse t r. t. w r c π Donc la plsaton e copre est égale à 15 r s w 15; c Détermnaton e la marge e gan et e phase à la plsaton e copre. boe(k*nm,en); margn(k*nm,en); La marge e phase système à cette plsaton est e 28. On ésre n épassement sr la réponse ncelle e mos e 20%. Cec entraîne ne marge e phase e 45. Le correcter ot onc apporter ne marge e phase e sn π 180 a sn π 180 T 1 ( awc ) Calclons la foncton e transfert correcter : nmcork*[t 1] encor[a*t 1] Tracer le agramme e boe correcter. boe(nmcor,encor); ISSAT Karoan 3/6

4 Formons la bocle overte C( p). G( p ), sot en mltplant nmératers entre ex et énomnaters entre ex. Sot en tlsant la foncton séres. [nmbo,enbo]seres(nmcor,encor,nm,en); Tracé agramme e la bocle overte. boe(nmbo,enbo); Vérfer la marge e phase et la bane passante. Remarqes. margn(nmbo,enbo); Foncton e transfert e la bocle fermée; [nmbf,enbf]cloop(nmbo,enbo,-1); Tracer mantenant la réponse ncelle système. step(nmbf,enbf); Est ce qe le caher es charges est réalsé. 2.2 Synthèse 'n correcter Proportonnel Intégral (PI) Consérons le système 'orre 2 svant : 10 ( p + 1)( 0.05 p + 1) On ésre synthétser n correcter annlant l'errer statqe. Le système n'étant pas ntégrater, le correcter ot l'être. On chost onc le correcter proportonnel ntégral. ( 1+ T p) C( p) K T p On chost le correcter le pls smplement possble en écant e compenser le pôle (-1) système. Donc : T K 1 1 Calclons la foncton e transfert correcter. nmcork*[t 1] encor[t 0] Tracer le agramme e boe correcter. boe(nmcor,encor); Formons la bocle overte C( p). G( p ). [nmbo,enbo]seres(nmcor,encor,nm,en); Tracé agramme e la bocle overte. boe(nmbo,enbo); Vérfer la marge e phase et la bane passante. Remarqes. ISSAT Karoan 4/6

5 margn(nmbo,enbo); Foncton e transfert e la bocle fermée : [nmbf,enbf]cloop(nmbo,enbo,-1); Tracer mantenant la réponse ncelle système. step(nmbf,enbf); Est ce qe le caher es charges est réalsé?. Calclons la réponse système à ne rampe. L'errer por n échelon étant nlle, elle ot être constante por ne rampe. 0:.1:10; [y,x]lsm(nmbf,enbf,,); plot(,y); 2.3 Synthèse 'n correcter Proportonnel Intégral Dérvée (PID) Consérons le système 'orre 3 svant : 1 ( 0.1p + 1)( 0.2 p + 1)( 0.4 p + 1) nm1; enconv([.1 1],conv([.2 1],[.4 1])); On ésre synthétser n correcter annlant l'errer statqe et assrant ne bonne précson. Le système n'étant pas ntégrater, le correcter ot l'être. On chost onc le correcter proportonnel ntégral et érvé. 1 C( p) K T p T p Réglage es paramètres par la méthoe e Zegler- Nchols On agmente le gan K e la fgre 1 e manère à renre le système oscllant (lmte e stablté). Sot K cette valer lmte e K et P la péroe es oscllatons observée. On pet onc chosr comme paramètres réglater : K 0.6K T 0.5P T 1 8 P Réglage emprqe es paramètres Dans ne premère étape, on rét le réglater à l'acton proportonnelle K sele ( T nfn et T nl). On agmente K e façon à avor n épassement e 20% sr la réponse ncelle en ISSAT Karoan 5/6

6 bocle fermée. On mne alors T e façon à avor ass n épassement e 20% avec ne errer statqe nlle. Fnalement on agmente T por avor le épassement ésré. p_sm.m éte système corrgé par correcter à PID. Observaton e la réponse à fférents sgnax 'entrée et e pertrbaton. Por ce système es valers possbles sont : K 1.2 T 0.4 T Smlaton Temporelle en tlsant smlnk. Les systèmes en bocle fermée ont été réalsés por chacne es étes précéentes. Ces fchers pevent être complétés s on le ésre. sta_sm.m éte e la stablté système par observaton e la réponse ncelle por fférentes valers gan. av_sm.m éte système corrgé par correcter à avance e phase. Observaton e la réponse à fférents sgnax p_sm.m éte système corrgé par correcter à PI. Observaton e la réponse à fférents sgnax 'entrée et e pertrbaton. ISSAT Karoan 6/6