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1 Exo7 Déombremets Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exercice IT * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours. (***) Trouver ue démostratio combiatoire de l idetité C = C + ou ecore démotrer directemet qu u esemble à élémets cotiet autat de parties de cardial pair que de parties de cardial impair.. (****) Trouver ue démostratio combiatoire de l idetité C = C. 3. (****) Trouver ue démostratio combiatoire de l idetité C = = (C ). [578] Exercice *** Combie y a-t-il de partitios d u esemble à pq élémets e p classes ayat chacue q élémets? (Si E est u esemble à pq élémets et si A,..., A p sot p parties de E, A,..., A p formet ue partitio de E si et seulemet si tout élémet de E est das ue et ue seule des parties A i. Il reviet au même de dire que la réuio des A i est E et que les A i sot deux à deux disjoits.) [579] Exercice 3 *** Combiaisos avec répétitios. Motrer que le ombre de solutios e ombres etiers x i de l équatio x + x x = ( etier aturel doé) est C +. (Noter a, le ombre de solutios et procéder par récurrece.) [58] Exercice 4 * Combie y a-t-il de ombres de 5 chiffres où figure ue fois et ue seule? [58] Exercice 5 ***I Quelle est la probabilité p pour que das u groupe de persoes choisies au hasard, deux persoes au mois aiet le même aiversaire (o cosidèrera que l aée a toujours 365 jours, tous équiprobables). Motrer que pour 3, o a p. [58] Exercice 6 *** Motrer que le premier de l a tombe plus souvet u dimache qu u samedi. [583] Exercice 7 **I

2 O part du poit de coordoées (,) pour rejoidre le poit de coordoées (p,q) (p et q etiers aturels doés) e se déplaçat à chaque étape d ue uité vers la droite ou vers le haut. Combie y a-t-il de chemis possibles? Idicatio Vidéo [584] Exercice 8 ***I De combie de faços peut-o payer euros avec des pièces de, et 5 cetimes? [585] Exercice 9 ****. Soit E u esemble fii et o vide. Soiet u etier aturel o ul et A,..., A, parties de E. Motrer la «formule du crible» : card(a... A ) = i= card(a i ) i <i card(a i A i ) ( ) card(a i A i... A i ) i <i <...<i ( ) card(a... A ).. Combie y a-t-il de permutatios σ de {,...,} vérifiat i {,...,}, σ(i) i? (Ces permutatios sot appelées déragemets (permutatios sas poit fixe)). Idicatio : oter A i l esemble des permutatios qui fixet i et utiliser ). O peut alors résoudre u célèbre problème de probabilité, le problème des chapeaux. persoes laisset leur chapeau à u vestiaire. E repartat, chaque persoe repred u chapeau au hasard. Motrer que la probabilité qu aucue de ces persoes ait repris so propre chapeau est eviro e quad est grad. [586] Exercice ** Combie y a-t-il de surjectios de {,..., + } sur {,...,}? [587] Exercice *** Soit (P) u polygoe covexe à sommets. Combie ce polygoe a-t-il de diagoales? E combie de poits disticts des sommets se coupet-elles au maximum? [588] Exercice ***. O doe droites du pla. O suppose qu il e existe pas deux qui soiet parallèles, i trois qui soiet cocourates. Détermier le ombre P() de régios délimitées par ces droites.. O doe plas de l espace. O suppose qu il e existe pas deux qui soiet parallèles, i trois qui soiet cocourats e ue droite, i quatre qui soiet cocourats e u poit. Détermier le ombre Q() de régios délimitées par ces plas. [589] Exercice 3 *** Soit P le ombre de partitios d u esemble à élémets e classes. Motrer que P = P + P pour.

3 Dresser u tableau pour, 5. Calculer e foctio de P le ombre de surjectios d u esemble à élémets sur u esemble à p élémets. [59] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3

4 Idicatio pour l exercice 7 Coder u chemi par u mot : D pour droite, H pour haut. 4

5 Correctio de l exercice. Soit E u esemble à élémets,, et a u élémet fixé de E. Soit f : P(E) { P(E) A \ {a} si a A A A {a} si a / A Motros que f est ivolutive (et doc bijective). Soit A u élémet de P(E). Si a / A, f (A) = A {a} et doc, puisque a A {a}, f ( f (A)) = (A {a}) \ {a} = A. Si a A, f (A) = A \ {a} et f ( f (A)) = (A \ {a}) {a} = A. Aisi, A P(E), f f (A) = A ou ecore, f f = Id P(E). Maiteat clairemet, e otat P p (E) (resp. P i (E)) l esemble des parties de E de cardial pair (resp. impair), f (P p (E)) P i (E) et f (P i (E)) P p (E). Doc, puisque f est bijective. card(p p (E)) = card( f (P p (E)) cardp i (E) et de même card(p i (E)) cardp p (E). Fialemet, card(p i (E)) = cardp p (E).. Soiet E = {a,...,a } u esemble à élémets et a u élémet fixé de E. Soit {,..., }. Il y a C parties à élémets qui cotieet a. Doc, C (= C C ) est doc la somme du ombre de parties à élémets qui cotieet a et du ombre de parties à élémets qui cotieet a... et du ombre de parties à élémets qui cotieet a. Das cette derière somme, chaque partie à élémets de E a été comptée plusieurs fois et toutes les parties à élémets (e ombre égal à C) ot été comptés u même ombre de fois. Combie de fois a été comptée {a,a...a }? Cette partie a été comptée ue fois e tat que partie coteat a, ue fois e tat que partie coteat a... et ue fois comme partie coteat a et doc a été comptée fois. Coclusio : C = C. 3. Soit E = {a,...,a,b,...,b } u esemble à élémets. Il y a C parties à élémets de E. Ue telle partie a élémets das {a,...,a } et das {b,...,b } pour u certai de {,...,}. Il y a C choix possibles de élémets das {a,...,a } et C choix possibles de élémets das {b,...,b } pour doé das {,...,} et quad varie de à, o obtiet : C = = = = C C (C ). Correctio de l exercice Il y a C q pq choix possibles d ue première classe. Cette première classe état choisie, il y a C q pq q = C q (p )q choix possibles de la deuxième classe... et C q q choix possibles de la p-ième classe. Au total, il y a C q pqc q (p )q...cq q choix possibles d ue première classe, puis d ue deuxième...puis d ue p-ième. Maiteat das le ombre C q pqc q (p )q...cq q, o a compté plusieurs fois chaque partitio, chacue ayat été compté u ombre égal de fois. O a compté chaque partitio autat de fois qu il y a de permutatios des p classes à savoir p!. Le ombre cherché est doc : p! Cq pqc q (p )q...cq q = (pq)! ((p )q)! p! q!((p )q)! q!((p )q)!...(q)! q! q!q! q!! = (pq)! p!(q!) p. Correctio de l exercice 3 Clairemet, N, a, = (uique solutio : = ) et N, a, = (uique solutio : = ). Soiet et fixés. a +, est le ombre de solutios e ombre etiers positifs x i de l équatio x x + x + =. Il y a a, solutios telles que x + = puis a, solutios telles que x + =... puis a, solutios telles que x + =. Doc, N, N, a +, = a, + a, a, (et o rappelle a, = a, = ). 5

6 Motros alors par récurrece sur, etier aturel o ul, que : N, N, a, = C+. Pour =, o a pour tout aturel, a, = = C+. Soit, supposos que N, a, = C+. Soit. a +, = i= a,i = i= C i +i = + (C i+ i= ce qui reste clair pour =. O a motré par récurrece que N, N, a, = C +. +i Ci +i) = +C+ + = C+ +, Correctio de l exercice 4 O place le soit au chiffre des uités, soit au chiffre des dizaies, soit au chiffre des cetaies, soit au chiffre des milliers (mais pas au chiffre des dizaies de milliers) et le état placé, o y a plus droit. Répose : = = 4.(8 + ) = = 644. Correctio de l exercice 5 Si 366, o a clairemet p = (Pricipe des tiroirs : si 366 persoes sot à associer à 365 dates d aiversaire, alors persoes au mois sot à associer à la même date d aiversaire). Si 365, o a p = q où q est la probabilité que les dates d aiversaire soiet deux à deux distictes. Il y a (365) répartitios possibles des dates d aiversaires (cas possibles) et parmi ces répartitios, il y e a (365 + ) telles que les dates d aiversaire soiet deux à deux distictes. Fialemet Esuite, p = (365) (365 + ) = = ( 365 ). p ( 365 ) l( 365 ) l l( ) l. 365 Maiteat, soit x [,[. O a x l( x) = Pour élémet de {,..., }( {,...,364}), E appliquat l iégalité précédete, o obtiet 365 t dt x dt = x. est u réel élémet de [,[. Aisi, l( 365 ) 365 ( ) =. 73 p ( ) l 73l + + 9l =, Fialemet, das u groupe d au mois 3 persoes, il y a plus d ue chace sur deux que deux persoes au mois aiet la même date d aiversaire. Correctio de l exercice 6. Notre caledrier est 4 as périodique (et presque 4.7 = 8 as périodique). E effet, (a) la répartitio des aées bissextiles est 4 as périodique (6 et sot bissextiles mais 7, 8 et 9 e le sot pas (etre autre pour regager 3 jours tous les 4 as et coller le plus possible au rythme du soleil)) 6

7 (b) il y a u ombre etier de semaies das ue période de 4 as. E effet, sur 4 as, le quart des aées, soit as, mois 3 aées sot bissextiles et doc sur toute période de 4 as il y a 97 aées bissextiles et 33 aées o bissextiles. Ue aée o bissextile de 365 jours est costituée de 5.7+ jours ou ecore d u ombre etier de semaies plus u jour et ue aée bissextile est costituée d u ombre etier de semaie plus deux jours. Ue période de 4 as est doc costituée d u ombre etier de semaies plus : = = 497 = 7.7 jours qui fourit ecore u ombre etier de semaies.. Deux périodes cosécutives de 8 as e coteat pas d exceptio (siècles o bissextiles) reproduiset le même caledrier. E effet, les 7 aées bissextiles fourisset u ombre etiers de semaies plus.7 jours = semaies et les aées o bissextiles fourisset u ombre etier de semaies plus. jours = 3 semaies. 3. D après ce qui précède, il suffit de compter les ers de l a qui tombe u dimache ou u samedi sur ue période de 4 as doée, par exemple de 9 à 99 (iclus). O décompose cette période comme suit : 9, 9 98, , , 985, 3 4, 4 68, 69 96, 97, 8, 9 56, 57 84, 85, , 57 84, O motre esuite que sur toute période de 8 as sas siècle o bissextile, le premier de l a tombe u même ombre de fois chaque jour de la semaie (Ludi, mardi,..). (La coaissace des cogrueces modulo 4 et 7 seraiet bie utile). Quad o passe d ue aée o bissextile à l aée suivate, comme ue telle aée cotiet u ombre etier de semaies plus u jour, le er de l a tombe u jour plus tard l aée qui suit et deux jours plus tard si l aée est bissextile. Par exemple, er javier 998 : jeudi 999 : vedredi : samedi : Ludi : Mardi 3 : Mercredi 4 : Jeudi 5 : samedi... Notos A,B,C,D,E,F,G les jours de la semaie. Sur ue période de 8 as sas siècle o bissextile fiissat par exemple ue aée bissextile, o trouve la séquece suivate : ABCD FGAB DEFG BCDE GABC EFGA CDEF (puis çà redémarre ABCD...) soit 4A, 4B, 4C, 4D, 4E, 4F, et 4G. 5. Il reste à étudier les périodes à exceptio (souligées das le 3)). Détermiatio du er javier 9. Le er javier 998 était u jeudi. Il e est doc de même du er javier = 97 et des premiers javier 94 et 94 puis o remote : 94 Jeudi 93 Mercredi 9 Ludi 9 Dimache 9 Samedi 99 Vedredi 98 Mercredi 97 Mardi 96 Ludi 95 Dimache 94 Vedredi 93 Jeudi 9 Mercredi 9 Mardi 9 Ludi (9 est pas bissextile) Les premiers de l a, 8, 56 et 84 sot des samedis, 88 u jeudi, 9 u mardi, 96 u dimache et doc 97 mardi 98 mercredi 99 jeudi vedredi. est u samedi de même que 9, 57, 85 ce qui doe de 85 à iclus la séquece : S D L Ma J V S D Ma Me J V D L Ma Me est u jeudi de même que 85 ce qui doe de 85 à 99 iclus la séquece : J V S D Ma Me J V D L Ma Me V S D Le décompte des Ludis, mardis... souligés est : 6D 4L 6Ma 5Me 5J 6V 4S. Das toute période de 4 as, le er de l a tombe fois de plus le dimache que le samedi et doc plus souvet le dimache que le samedi. Correctio de l exercice 7 O pose H = "vers le haut" et D = "vers la droite". U exemple de chemi de (,) à (p,q) est le mot DD...DHH...H où D est écrit p fois et H est écrit q fois. Le ombre de chemis cherché est clairemet le ombre d aagrammes du mot précédet. 7

8 Le ombre de choix de l emplacemet du H est C q p+q. Ue fois que les lettres H sot placées il y a plus de choix pour les lettres D. Il y a doc C q p+q chemis possibles. Remarque : si o place d abord les lettres D alors o a C p p+q choix possibles. Mais o trouve bie sûr le même ombre de chemis car C p p+q = C (p+q) p p+q = C q p+q. Correctio de l exercice 8 O ote respectivemet x, y et z le ombre de pièces de, et 5 cetimes. Il s agit de résoudre das N 3 l équatio x + y + 5z = ou ecore x + y + 5z =. Soit N. x + y = x = y et le ombre de solutios de cette équatio est : E(/) = E( = ) +. Pour z doé, le ombre de solutios de l équatio x + y = 5z est doc E( 5z ) +. Le ombre de solutios e ombres etiers de l équatio x + y + 5z = est doc z= Maiteat (E( 5z ) + ) = z= (E( 5z ) + 5) =.5 + E( 5z ) = 7 + E( 5z ). z= z= z= E( 5z ) = (E( 5( ) )+E( 5() )) = (E( 5+ 5 ) 5) = ( +) =.. Le ombre de solutios cherchés est doc 7 53 = 54. Il y a 54 faços de payer euros avec des pièces de, et 5 cetimes. Correctio de l exercice 9. χ A... A = χ A... A = χ A... A = χ A... χ A = ( χ A )...( χ A ) = ( et e sommat sur l esemble des x de E, o obtiet le résultat. ( ) ( i <...<i χ Ai...χ Ai )). Pour, posos A = {σ S / σ() = }. L esemble des permutatios ayat au mois u poit fixe est A A... A. L esemble des permutatios sas poits fixes est le complémetaire das S de A A... A. D après ), leur ombre est doc : card(s ) card(a A... A ) = card(s )... + ( ) i= card(a i ) + card(a i A j ) i< j i <i <...<i card(a i...a i ) ( ) card(a... A ). A i est l esemble des permutatios qui fixet i. Il y e a ()! ( ombre de permutatios de {,...,}\ {i}). A i A j est l esemble des permutatios qui fixet i et j. Il y e a ( )!. Plus gééralemet, card(a i... A i ) = ( )!. D autre part, il y a = C etiers i das {,} puis C couples (i, j) tels que i < j et plus gééralemet, il y a C -uplets (i,...,i ) tels que i < i <... < i. Le ombre de déragemets est 8

9 ! + ( )!!( )! ( )! =! ( ). =! Aisi le «problème des chapeaux»admet pour répose p = = ( ).! Motros que cette suite ted très rapidemet vers e =,36... quad ted vers l ifii. (O adapte u calcul déjà meé pour le ombre e.) Motros que N, e = ( ) =! + ( ) + ( t)! e t dt. Pour =, ( ) + ( t) O! e t dt = e t dt = + e et doc, o a bie e = Soit. Supposos que e = ( ) =! + ( ) + ( t)! e t dt. Ue itégratio par parties fourit e t dt. ( t)! Mais alors, ] e t ( t)+ ( t) dt = [ + ( + )! e t ( + )! e t dt = e = Le résultat est démotré par récurrece. O e déduit que ( + )! + ( ) + ( ) + ( t) + =! ( + )! e t dt. p e = ( ) + ( t) e t dt! = ( t)! Ceci motre que p ted très rapidemet vers e. e t ( t) dt dt =! ( t) + ( + )! e t dt. ( + )!. Correctio de l exercice Soit u aturel o ul. Dire que f est ue surjectio de {,..., + } sur {,...,} équivaut à dire que deux des etiers de {,..., + } ot même image par f et que les autres ot des images deux à deux distictes et distictes de. O choisit ces deux etiers : C+ choix et leur image commue : images possibles ce qui fourit C+ choix d ue paire de {,..., + } et de leur image commue. Puis il y a ( )! choix des images des élémets restats. Au total, il y a! (+) =.(+)! surjectios de {,...,+} sur {,...,}. Correctio de l exercice Soit 5. De chaque sommet part droites (vers les autres sommets) dot sot des cotés et 3 des diagoales. Comme chaque diagoale passe par sommets, il y a ( 3) diagoales. Ces diagoales se recoupet e C( 3)/ poits disticts ou cofodus. Das ce décompte, chaque sommet a été compté autat de fois que l o a choisi ue paire de deux diagoales passat par ce sommet à savoir C 3. Maiteat, il y a sommets. Répose : C( 3)/ C 3 = ( 3) = ( 3) ( 3)( 4) ( ) = ( 3) ( 7 + 4) 8 9 ( 3) (( 3) 4( 4)) 8

10 Les diagoales se recoupet e ( 3)( 7+4) 8 poits disticts ou cofodus et disticts des sommets (ou ecore e ( 3)( 7+4) 8 poits au maximum). Correctio de l exercice. O a bie sûr P() =. Soit. O trace droites vérifiat les coditios de l éocé. Elles partaget le pla e P() régios. O trace esuite D +, ue (+)ème droite. Par hypothèse, elle coupe chacue des premières droites e poits deux à deux disticts. Ces poits défiisset (+) itervalles sur la droite D +. Chacu de ces ( + ) itervalles partage ue des P() régios déjà existates e deux régios et rajoute doc ue ouvelle régio. Aisi, P( + ) = P() + ( + ). Soit. P() = P() + (P( + ) P()) = + = + + ce qui reste vrai pour =. ( + ) = + = + ( + ). O a bie sûr Q() =.Soit. O trace plas vérifiat les coditios de l éocé. Ils partaget l espace e Q() régios. O trace esuite P +, u ( + )ème pla. Par hypothèse, il recoupe chacu des premiers plas e droites vérifiat les coditios du ). Ces droites délimitet P() = + (+) régios sur le pla P +. Chacue de ces régios partage ue des Q() régios déjà existates e deux régios et rajoute doc ue ouvelle régio. Aisi, Q( + ) = Q() + P() = Q() Soit. Q() = P() + = ( + ) + (Q( + ) Q()) = + ( )( ) + ( ) ) = + ( ) + + = Correctio de l exercice 3 Soiet et des etiers aturels tels que. Soit E u esemble à élémets et a u élémet fixé de E. Il y a P partitios de E e classes. Parmi ces partitios, il y a celles das lesquelles a est das u sigleto. Elles s idetifiet aux partitios e classes de E \ {a} et sot au ombre de P. Il y a esuite les partitios das lesquelles a est élémet d ue partie de cardial au mois. Ue telle partitio est obteue e partitioat E \ {a} e classes puis e adjoigat à l ue de ces classes au choix l élémet a. Il y a P telles partitios. Au total, P = P + P. Valeurs de P pour, 5. / Exprimos maiteat e foctio des P, le ombre de surjectios d u esemble à élémets das u esemble à p élémets.

11 Si p >, il y a pas de surjectios de E das E p (où E et E p désiget des esembles à et p élémets respectivemet). O suppose doréavat p. La doée d ue surjectio f de E sur E p équivaut à la doée d ue partitio de l esemble E e p classes (chaque élémet d ue même classe ayat même image par f ) puis d ue bijectio de l esemble des parties de la partitio vers E p. Au total, il y a doc p!p surjectios d u esemble à élémets das u esemble à p élémets pour p.

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