Jeudi 25 février - Concours blanc - type CCP. Étude d un plasma en vue de réaliser la fusion nucléaire

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1 PC Dupuy de Lôme Physique Jeudi 25 février - Concours blanc - type CCP Problème A Composition de Physique - 4 heures Étude d un plasma en vue de réaliser la fusion nucléaire Le plasma étudié est un gaz ionisé, obtenu à partir du Deutérium,constituéd ions + et d électrons.afinderéaliserlafusionnucléaireentreions +,ilfautconfinerleplasmac estàdirelemaintenir àunefortedensitéàunetempératureconsidérable( ). Nous étudions ici quelques aspects du confinement magnétique. A-I Mouvement d une particule dans un champ magnétique uniforme et permanent Dans un premier temps, nous étudions le mouvement d une particule ponctuelle positive de charge >,demasse,nonrelativistedansunchampmagnétiqueuniformeetpermanent =,dans le référentiel galiléen R( ). 1- Donner une inégalité sur la vitesse de la particule pour que lepoidsdecetteparticulesoitnégligeable par rapport à la force magnétique. On suppose cette condition réalisée dans toute la suite. 2- Comment évolue l énergie cinétique Ec de cette particule? 3- A =,laparticulesetrouveaupoint ( ) avec une vitesse = ( > ). Déterminer le mouvement ultérieur de la particule. 4- Aladate =,laparticulesetrouvemaintenantaupoint ( ) avec une vitesse = ( > ). Les données sont :,, et. 4-a- Déterminer les équations différentielles vérifiées par les composantes,, de la vitesse de dans le repère cartésien.(on posera = ). 4-b- Montrer que le mouvement est plan. 4-c- On introduit la vitesse complexe = + avec =.Déterminer l équation différentielle vérifiée par. 4-d- Résoudre cette équation et donner en fonction de, et du temps. 4-e- On introduit la position complexe = +.A la date =, = +.A partir d une relation liant et,déterminer l équation horaire de en fonction de,, et. 4-f- En déduire que ( )= + [ ( )] et ( ) = + ( ),etdéterminer en fonction de et des données. 4-g- Montrer que la trajectoire est un cercle dont on donnera la position du centre ( ). 4-h- Faire un schéma précisant : la position initiale, le vecteur vitesse initial, la trajectoire suivie par la particule et son sens de parcours. 1

2 PC Dupuy de Lôme Physique 4-i- A =,laparticulesetrouveen avec une vitesse = // + avec // et positifs. Quelle est la nature de la trajectoire? On constate donc que les particules s enroulent autour des lignes de champ. A-II Dérives de particules On regarde l influence sur le mouvement de la particule ( > ) d une processus dissipatif modélisé par la force supplémentaire opposée à la vitesse =. Avec les mêmes conditions initiales qu à la question,le mouvement se fait dans le plan( ). On pose toujours = + et = +.Les données sont,,, et. 1- Former l équation différentielle vérifiée par 2- Montrer que = ( + ) et expliciter et et en fonction des données. 3- En déduire l équation horaire en fonction de, et des données. 4- Trouver les valeurs limites ( ) et ( ) lorsque tend vers l infini. 5- En observant les trajectoires, on constate qu il y a une dérive : la particule ne décrit pas un cercle mais une spirale qui se termine au point de coordonnées et. Déterminer littéralement et en fonction de,,, et. 6- Sur la figure ci-contre, une des particules est un électron. Déterminer la masse, la charge et le nom de l autre particule. A-III Mesure au sein d un plasma Nous étudions seulement ici les conditions de propagation d une onde électromagnétique à travers un plasma formé de noyaux de deutérium ( + )etd électrons( ), en l absence de champ magnétique permanent. On considère le plasma électriquement neutre et au repos macroscopique ( les vitesses moyennes des particules sont nulles). On travaille dans la base cartésienne ( ). On soumet ce plasma à l action d une onde électromagnétique plane progressive monochromatique, caractérisée par le champ électrique : ( ) = ( ) On négligera toutes les interactions autres que celles dues à l onde. On donne : Les densités volumique particulaires supposées constantes etuniformes: pour les électrons ; pour le deutérium. Les masses : pour l électron et pour le noyau de deutérium. La charge élémentaire : La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide = La perméabilité du vide : = 2

3

4 = θ θ = = θ θ θ

5 ( )

6 λ ( ) ω R ( ) ( ) ( ω ) = R ( ) = ω + ϕ R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ) ( ) ω ω ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) = = ω ( ω ) ω ω + ω ω

7 R R = λ R ( ) ( ω ) = ( ω ) ω = λ π = ω = ( )

8 σ + ε σ σ σ > < ε σ σ σ σ = ε

9 ( ) = + ( ) ( ) = ( ω + ϕ) ( ) ε ( ) = = =+ ( ) = ( ) = ( ) ε = ( )

10 ( )

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