Racines carrées 20 = 4,

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1 Clsse de 3ème 08/11/010 Chpitre Rcines crrées I. Activité n 1. ABCD est un crré de coté c et d ire. (1 ) Choisir des vleurs de c puis clculer. ( ) Choisir des vleurs de puis clculer c. c = 3 cm c = cm c = 5 cm = 9 cm², = 16 cm² = 5 cm² c = 6 cm c = 7 cm c =? = 36 cm² = 9 cm² = 0 cm² Si = 0 cm², on cherche le nombre positif c dont le crré est égl à 0. 0 est compris entre 16 et 5, donc c est compris entre et 5. Fites plusieurs essis. Pr exemple : pour c =,5, on clcule c² = 0,5, trop grnd. Recommencez vec d utres nombres. On peut ussi utiliser l touche de l clcultrice (limitée à 10 chiffres). On obtient : 0 =, Mis ttention! A-t-on, = 0? C est fux, puisque qui 18 décimles et doit se terminer pr un 5. En fit, n est qu une vleur pprochée de, est un nombre 0 rrondie à l 9ème décimle. Avec un logiciel (MAPLE), on cherché une vleur pprochée vec 100 décimles : etc II. Rcine crrée d un nombre positif 1 ) Définition Soit un nombre positif. Il existe un (seul) nombre positif dont le crré est égl à. Ce nombre est ppelé «rcine crrée de» et se note. Le symbole s ppelle un «rdicl». Abdelltif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis.

2 Chpitre Clsse de 3ème Exemples n existe ps cr il n existe ucun nombre dont le crré est égl à. 5 = 5 cr 5² = 5 et 5 > 0. Ce qui n est ps le cs pour ( 5). ) Premières propriétés Quels que soient les nombres et b positifs, on les propriétés suivntes : (P 1 ) : 0 (P ) : ( ) = (P bis ) : = (P 3 ) : = ( 8) = 8 8 = 8 et 5 = 5 = 5. 3 ) Définition Si est un nombre positif, lors rtionnel. Dns ce cs, on dit que n est ps toujours un nombre entier ou déciml ou est un nombre irrtionnel (comme π). et 3 sont des nombres irrtionnels. 5 = 5 est un nombre entier.,5 = 1,5 est un nombre déciml. Pour obtenir un nombre entier, il fut choisir un nombre dns l liste des nombres entiers crrés prfits : 0 ; 1 ; ; 9 ; 16 ; 5 ; 36 ; 9 ; 6 ; 81 ; 100 ; 11 ; 1 ; 169 ; 196 ; 5 ; III. Opértions sur les rcines crrées 1 ) Rcine crrée et multipliction Soient et b deux nombres positifs. Alors, le produit de deux rcines crrées est égl à l rcine crrée du produit : (P ) : b = b Exemple : 8 = 8 = 16 = Abdelltif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis.

3 Chpitre Clsse de 3ème 3 ) Rcine crrée et quotient Soient et b deux nombres positifs, b 0. Alors, le quotient de deux rcines crrées est égl à l rcine crrée du quotient : (P 5 ) : b = b Exemple : = = = = ) Rcine crrée et ddition Soient et b deux nombres positifs non nuls. Alors, l somme de deux rcines crrées n est ps égle à l rcine crrée de l somme : (P 6 ) : + b + b Exemple : = + 3 = 7 et = 5 = 5. Donc, on bien : ) Rcine crrée et soustrction Soient et b deux nombres positifs non nuls, > b. Alors, l différence de deux rcines crrées n est ps égle à l rcine crrée de l différence : (P 7 ) : b b Exemple : 16 9 = 3 = 1 et 16 9 = 7. Donc, on bien : ) Simplifiction des rcines crrées Simplifier une rcine crrée 8 revient à l écrire vec un nombre le plus petit possible sous le rdicl! Pour cel on utilise les nombres entiers crrés prfits et les propriétés : 8 = = =. On décomposé 8 à l ide d un crré prfit 8 = x. 8 = 16 3 = 16 3 = 3. On décomposé 8 à l ide d un crré prfit 8 = 16x3. 75 = 5 3 = 5 3 = 5 3. On décomposé 75 à l ide d un crré prfit 75 = 5x3. IV. Règles de clculs Les règles de clculs sur les rcines crrées sont les mêmes que les règles ppliquées ux nombres décimux, ux frctions et u clcul littérl. Abdelltif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis.

4 Chpitre Clsse de 3ème A = 5 +3 On met B = 5 x 3 3 On multiplie les nombres A = (5+3) en fcteur B = 5 x 3 x x 3 entre eux et les rcines A = 8. B = 15 x 3 entre elles. B = 15 6 C = (3 )(5 +3) - On développe nturellement en respectnt C = 3 x5 + 3 x3 x5 x3 les propriétés. C = 3x5x x + 3x3 x5 x3 - On clcule x = (d près P bis ) C = 15 x On utilise l distributivité C = (9 0) - On regroupe les entiers entre eux C = et les rcines entre elles. Réduire une somme vec des rcines crrées (Brevet) : D = On décompose les nombres sous le rdicl D = à l ide de crrés entiers et fire pprître D = 5x un fcteur commun D = 5x +x 3 5 D = On met en fcteur D = ( ) D = 1 V. Résolution des équtions «x ² =» 1 ) Trois cs possibles Soit un nombre positif donné. Alors Si < 0, lors l éqution Si = 0, lors l éqution Si < 0, lors l éqution et l utre négtive :. x = n dmet ucune solution. x = 0 dmet une seule solution : le nombre 0. x = dmet deux solutions : l une positive :, Résoudre les équtions suivntes : (1) x 7 = 0 ; () x + 5 = 0 et (3) x = 0. Abdelltif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis.

5 Chpitre Clsse de 3ème 5 (1) l éqution x 7 = 0 est équivlente à solutions 7 et 7. () l éqution x + 5 = 0 est équivlente à x = 7. Or 7 > 0. Donc l éqution (1) dmet deux x = 5. Or 5 < 0. Donc l éqution () n dmet ucune solution puisqu un crré n est jmis négtif. (3) l éqution x = 0 dmet une seule solution : le nombre 0. VI. Applictions A D Exemple 1. Clcul de l digonle d un crré ABCD est un crré de côté et de digonle d. Exprimer l digonle d en fonction de. B d C ABC est un tringle rectngle en B. Donc, d près le théorème de Pythgore, on : AC² = AB² + BC² d ² = ² + ² d ² = ² Donc d = d = A d = Exemple. Clcul de l huteur d un tringle équiltérl. ABC est un tringle équiltérl de côté et de huteur h. Exprimer l huteur h en fonction de. ABH est un tringle rectngle en H. Donc, d près le théorème B H h C de Pythgore, on : Donc h ² = AB² = AH² + BH² ² = ² + h² h ² = ² h = 3 3 h = 3 Abdelltif ABOUHAZIM. Collège Mondétour Les Ulis.