Mesure et Contrôle de la Précision dans un Plan de Sondage Complexe

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1 Mesure et Contrôle de la Précision dans un Plan de Sondage Complexe Cas de l Enquête sur la Structure des Salaires de 2006 R. Aeberhardt 1 V. Marcus 1 1 DERA - section salaires Atelier Méthodes, 6 avril 2006

2 Plan de la présentation 1 Présentation de l enquête Particularités de l enquête Plan de Sondage 2

3 Particularités de l enquête Plan de Sondage L enquête sur la structure des salaires (ESS) But de l ESS Fournir des données précises et harmonisées sur les salaires, les heures travaillées et le coût du travail au sein des pays membres de l Union Européenne (et des pays candidats à l accès) à des fins de politique économique et de recherche. Périodicité Tous les quatre ans depuis 2002

4 Particularités de l enquête Plan de Sondage L enquête sur la structure des salaires (ESS) Le Champ de l enquête tous les employés des entreprises de 10 salariés et plus sections C à K, M, N, O

5 Que veut-on? Présentation de l enquête Particularités de l enquête Plan de Sondage Variables d intérêt salaire brut heures payées et travaillées primes et leur détail Niveau de Publication activités économiques (NACE) taille de l entreprise localisation géographique (ZEAT) catégorie socio-professionnelle (CS1)

6 Plan de Sondage Particularités de l enquête Plan de Sondage Sondage à deux degrés Établissements Salariés Stratification au premier degré Activité économique de l établissement (NACE) Localisation géographique de l établissement (ZEAT) Taille de l entreprise Taille de l établissement Stratification au deuxième degré cadres non-cadres

9 But et Plan de Bataille Le but est de déterminer pour chaque strate: le nombre d établissements à enquêter le nombre de salariés à enquêter dans chaque établissement tout en maximisant la précision globale sous des contraintes de précision locale. Plan de Bataille 1 expression analytique de la variance de l estimateur 2 seuils de précision minimale (établissements et employés) 3 allocation finale (allocation de Neyman sous contraintes)

10 But et Plan de Bataille Le but est de déterminer pour chaque strate: le nombre d établissements à enquêter le nombre de salariés à enquêter dans chaque établissement tout en maximisant la précision globale sous des contraintes de précision locale. Plan de Bataille 1 expression analytique de la variance de l estimateur 2 seuils de précision minimale (établissements et employés) 3 allocation finale (allocation de Neyman sous contraintes)

11 Variance de l estimateur d une moyenne Rappel Sondage Aléatoire Simple V(ˆȳ) = 1 n (1 n N )S2 avec S 2 = 1 N 1 N (Y i Ȳ ) 2 i=1

12 Variance de l estimateur d un total Sondage à deux degrés V( ˆT ) = M 2 (1 m M )S2 1 m + M m M i=1 N 2 i (1 n i N i ) S2 2i n i Sondage à deux degrés avec stratification au premier degré ( ) H V( ˆT ) = Mh(1 2 m h ) S2 h1 + M M h h N 2 M h m h m hi(1 n hi ) S2 2hi h N hi n hi h=1 Les M et m correspondent aux établissements et les N et n correspondent aux employés S 1 et S 2 représentent les variances inter et intra i=1

13 Variance de l estimateur d un total Sondage à deux degrés V( ˆT ) = M 2 (1 m M )S2 1 m + M m M i=1 N 2 i (1 n i N i ) S2 2i n i Sondage à deux degrés avec stratification au premier degré ( ) H V( ˆT ) = Mh(1 2 m h ) S2 h1 + M M h h N 2 M h m h m hi(1 n hi ) S2 2hi h N hi n hi h=1 Les M et m correspondent aux établissements et les N et n correspondent aux employés S 1 et S 2 représentent les variances inter et intra i=1

14 Variance de l estimateur d un total Sondage à deux degrés V( ˆT ) = M 2 (1 m M )S2 1 m + M m M i=1 Sondage à deux degrés stratifié au second degré N 2 i (1 n i N i ) S2 2i n i V( ˆT ) =M 2 (1 m M )S2 1 m + M M m N2 i c (1 n i c ) S2 2i c + Ni 2 N ic n nc (1 n i nc ) S2 2i nc ic N i=1 }{{} inc n }{{ inc } cadres non cadres

15 Variance de l estimateur d un total Sondage à deux degrés V( ˆT ) = M 2 (1 m M )S2 1 m + M m M i=1 Sondage à deux degrés stratifié au second degré N 2 i (1 n i N i ) S2 2i n i V( ˆT ) =M 2 (1 m M )S2 1 m + M M m N2 i c (1 n i c ) S2 2i c + Ni 2 N ic n nc (1 n i nc ) S2 2i nc ic N i=1 }{{} inc n }{{ inc } cadres non cadres

16 Hypothèses simplificatrices le nombre d employés interrogés dans chaque établissement ne dépend que de la strate la part de cadres interrogés dans chaque établissement ne dépend que de la strate (et ne fait donc pas partie des variables sur lesquelles porte l optimisation)

17 Hypothèses simplificatrices le nombre d employés interrogés dans chaque établissement ne dépend que de la strate la part de cadres interrogés dans chaque établissement ne dépend que de la strate (et ne fait donc pas partie des variables sur lesquelles porte l optimisation)

18 Variance de l estimateur d un total Formule finale simplifiée a h = M 2 hs 2 1h M M X h i=1 V( ˆT ) = H h=1 N hic S 2 2hic + N hinc S 2 2hinc c h d h = b h + λ h 1 λ h M X h b h = M h N 2 hic S 2 2hic i=1 a h + d h M h S1 2 m h m h n h h λ h = M X h c h = M h N 2 hinc S 2 2hinc vu ux t M h i=1 i=1 vu ux t M h i=1 N 2 hi c S 2 2hi c + N 2 hi c S 2 2hi c vu ux t M h i=1 N 2 hi nc S 2 2hi nc

19 Variance de l estimateur d un total Formule finale simplifiée a h = M 2 hs 2 1h M M X h i=1 V( ˆT ) = H h=1 N hic S 2 2hic + N hinc S 2 2hinc c h d h = b h + λ h 1 λ h M X h b h = M h N 2 hic S 2 2hic i=1 a h + d h M h S1 2 m h m h n h h λ h = M X h c h = M h N 2 hinc S 2 2hinc vu ux t M h i=1 i=1 vu ux t M h i=1 N 2 hi c S 2 2hi c + N 2 hi c S 2 2hi c vu ux t M h i=1 N 2 hi nc S 2 2hi nc

20 Choix des seuils Choix des m hmin et n hmin sous contrainte de précision Différentes approches possibles: Déterminer l ensembles des couples frontières Partager la variance en deux parties contrôlées par: le nombre d établissements enquêtés le nombre d employés enquêtés Déterminer les m hmin sachant V hmax et n hmax tout en se souvenant que les m h sont des entiers! Seuils pour les m h à V hmax et n hmax donnés ah + d h /n hmax m hmin = V hmax + M h Sh1 2

24 Choix des seuils Choix des n hmin Arrondir les m h à l unité supérieure relâche la contrainte sur les n h! Seuils pour les n h à V hmax et m h donnés d h n hmin = m h (V hmax + M h Sh1 2 ) a h

25 Choix des seuils Choix des n hmin Arrondir les m h à l unité supérieure relâche la contrainte sur les n h! Seuils pour les n h à V hmax et m h donnés d h n hmin = m h (V hmax + M h Sh1 2 ) a h

26 Allocation de Neyman But: Minimiser la variance sous contraintes de coût Résultat (sous contrainte de coût) : l allocation est proportionnelle à la racine de la variance et à la taille de la strate Limites: pas de contrôle des strates qui saturent (inférieurement ou supérieurement) pas de contrôle de la précision locale pas une méthode d optimisation discrète

29 Introduction des contraintes Origine des contraintes Contraintes basses éviter la non-réponse totale dans une strate niveau de précision minimal Contraintes hautes la taille de l échantillon ne peut pas dépasser la taille réelle! charge statistique

30 Introduction des contraintes Origine des contraintes Contraintes basses éviter la non-réponse totale dans une strate niveau de précision minimal Contraintes hautes la taille de l échantillon ne peut pas dépasser la taille réelle! charge statistique

31 Intégration des contraintes Algorithme itératif simple pour les contraintes unilatérales Intégration des contraintes hautes et basses simultanément Problème quand on utilise un algorithme itératif Idée: déterminer les strates contraintes ex-ante Résultat L ordre de saturation effectif reste identique, même s il est déterminé en supposant qu aucune autre strate ne sature.

34 Rappel: allocation de Neyman dans le cas d un coût constant, on minimise: sous la contrainte : H h=1 N 2 h S 2 h n h H n h = n h=1 l allocation optimale est obtenue pour : n h = n N hs h H N h S h h=1 i.e. le vecteur des n h est proportionnel au vecteur des N h S h

38 Exemple d allocation sans contrainte on considère: 3 strates s 1, s 2 et s 3 le nombre total d unités à répartir n = 12 1 un vecteur d allocation 2 3 on note n i le nombre d unités interrogées dans la strate s i Allocation sans contraintes n 2 = 2n 1 et n 3 = 3n 1 d où l allocation: n 1 = 2, n 2 = 4, n 3 = 6

39 Exemple d allocation sans contrainte on considère: 3 strates s 1, s 2 et s 3 le nombre total d unités à répartir n = 12 1 un vecteur d allocation 2 3 on note n i le nombre d unités interrogées dans la strate s i Allocation sans contraintes n 2 = 2n 1 et n 3 = 3n 1 d où l allocation: n 1 = 2, n 2 = 4, n 3 = 6

40 Exemple d allocation avec contrainte unilatérale on ajoute l unique contrainte: n 3 3 algorithme itératif simple 1 on part de l allocation sans contrainte n 1 = 2, n 2 = 4, n 3 = 6 2 on sature s 3 à 3 3 on réalloue le reste (12 3 = 9) entre s 1 et s 2 avec n 2 = 2n 1 4 on obtient: n 1 = 3, n 2 = 6, n 3 = 3

44 Exemple d allocation avec contraintes hautes et basses on considère le jeu de contraintes suivant: 1 n n n 3 3 algorithme itératif simple on part de l allocation sans contrainte n 1 = 2, n 2 = 4, n 3 = 6 et ensuite, dilemme... 2 strates semblent contraintes

47 Exemple d allocation avec contraintes hautes et basses première solution on contraint s 2 à 5 et s 3 à 3 l allocation est alors n 1 = 4, n 2 = 5, n 3 = 3 contraintes: 1 n n n 3 3 deuxième solution on contraint s 2 à 5 on alloue le reste entre s 1 et s 3 sachant que n 3 = 3n 1 s 3 est à nouveau saturée à 3 l allocation est identique n 1 = 4, n 2 = 5, n 3 = 3 troisième solution on contraint s 3 à 3 on alloue le reste entre s 1 et s 2 sachant que n 2 = 2n 1 l allocation est alors n 1 = 3, n 2 = 6, n 3 = 3

50 Exemple d allocation avec contraintes hautes et basses Choix de la bonne solution... les 3 solutions saturent s 3 à 3 pour répartir 9 unités entre s 1 et s 2, n 1 = 3 et n 2 = 6 est optimale donc n 1 = 3, n 2 = 6, n 3 = 3 est meilleure que n 1 = 4, n 2 = 5, n 3 = 3 Conclusion La saturation de s 3 a libéré suffisamment d unités pour supprimer la contrainte sur s 2! L ordre des contraintes influe sur le résultat

51 Exemple d allocation avec contraintes hautes et basses Choix de la bonne solution... les 3 solutions saturent s 3 à 3 pour répartir 9 unités entre s 1 et s 2, n 1 = 3 et n 2 = 6 est optimale donc n 1 = 3, n 2 = 6, n 3 = 3 est meilleure que n 1 = 4, n 2 = 5, n 3 = 3 Conclusion La saturation de s 3 a libéré suffisamment d unités pour supprimer la contrainte sur s 2! L ordre des contraintes influe sur le résultat

52 Allocation sous contraintes hautes et basses à chaque strate s i on associe: α i le coefficient du vecteur d allocation l i la contrainte basse h i la contrainte haute Algorithme d allocation sous contraintes 1 on détermine l ordre des événements (saturation ou désaturation) suivant l ordre des l i α i et des h i α i 2 on détermine les seuils effectifs correspondant à ces événements sachant quelles sont les strates qui sont contraintes

55 Exemple d utilisation de l algorithme contraintes: 1 n n n 3 3 vecteur d allocation: Ordre des événements l 3 α 3 = 1 3, l1 α 1 = 1, h3 α 3 = 1, l2 α 2 = 5 2, h2 α 2 = 5, h1 α 1 = 10 Seuils effectifs 7: s 3 désature en premier 9: s 1 désature et s 3 sature 10,5: s 2 désature 18: s 2 sature 23: s 1 sature Application: allouer 12 unités seule s 3 est saturée, on alloue les 9 unités restantes entre s 1 et s 2, et on obtient bien: n 1 = 3, n 2 = 6, n 3 = 3

58 Optimisation en quatre étapes 1 Déterminer le nombre minimum d établissements par strate 2 Allouer les établissements sous contraites hautes et basses 3 Déterminer le nombre minimal de salariés par établissement 4 Allouer les salariés sous contraintes hautes et basses

62 Détails pratiques pour l allocation On utilise le salaire horaire comme variable d intérêt On travaille avec des ratios et pas avec des totaux On suppose que les strates de publication sont des agrégats des strates d échantillonnage On répartit la variance maximale de la strate de publication de manière égale entre les sous-strates (d échantillonnage) On n impose pas, a priori, de critère d exhaustivité dans les strates

67 Exemples d allocations Coefficient de Variation Nombre minimal d établissements Nombre minimal de salariés 0,5% % % % contraintes supplémentaires: on interroge entre 4 et 24 salariés par établissement on interroge au moins 3 établissements par strate

68 Résumé Présentation de l enquête clés: Expression analytique de la variance d un estimateur dans le cas d un sondage à deux degrés stratifié à chaque degré Travailler avec des contraintes dans le cas d une allocation de Neyman Application à une allocation sous contrainte de précision locale

71 Travailler avec des ratios Démonstration rapide I à chaque strate s i on associe: α i le coefficient du vecteur d allocation l i la contrainte basse h i la contrainte haute On alloue des unités de la saturation basse générale ( l i ) à la saturation haute générale ( h i ). Au fur et à mesure que l on alloue des unités, des événements se produisent: saturation et désaturation de certaines strates. On cherche à déterminer l ordre de ces événements. Pour cela on se place dans une situation où certaines strates sont contraintes et d autres non. Il reste n unités à attribuer aux strates non contraintes. On veut dans un premier temps savoir quelle sera la prochaine strate à désaturer.

72 Travailler avec des ratios Démonstration rapide II On rappelle que pour les strates non contraintes, l allocation se fait suivant la formule: n k = n α k où la somme est prise sur les α h h Ω strates non contraintes Ω. Dans ce cas, à la limite de saturation basse, le nombre de questionnaires restant à allouer parmi les strates non contraintes est tel que: n lj = l j α h où la somme est prise sur les strates α j h Ω non contraintes. Ceci nous indique que l ordre de désaturation suit l ordre des l j α j. De même l ordre de saturation suit l ordre des h i α i. En fait l ordre des événements suit l ordre des l j α j et des h i α i. Pour le voir il suffit de se placer dans une situation où certaines strates sont contraintes et d autres non. On veut savoir si le

73 Travailler avec des ratios Démonstration rapide III prochain événement sera une saturation ou une désaturation. On connaît les deux strates candidates. À la limite de saturation de la prochaine strate, on aura = h i α h, en supposant que l autre strate ne désature pas n hi α i h Ω avant. De même, à la limite de désaturation de la prochaine strate, on aura n lj = l j α j ( h Ωα h + α j ) i.e. le reste à attribuer aux autres strates à la limite de désaturation est: l j α j h Ω α h. Pour savoir si le prochain événement sera une saturation ou une désaturation, il suffit donc de se fier à l ordre des l j α j et des h i α i.

74 Travailler avec des ratios Espérance de l estimateur d un ratio on pose R = Y X et ˆR = Ŷ ˆX E(ˆR R) = Ȳ X V( x) X 2 Cov( x, ȳ) X Ȳ } {{ } O( 1 n ) +O( 1 n 3/2 )

75 Travailler avec des ratios Variance de l estimateur d un ratio V(ˆR) = 1 X ( 2 V(ȳ R x) + O( 1 ) n 3/2 )