Chapitre 3 : Fonctions de références

Transcription

1 Chapitre 3 : Fonctions de références En mathématiques, il eiste de nombreuses fonctions. Cependant, on va s intéresser à l étude d un groupe de fonction de la classe de première S appelée les fonctions de références. La mécanique de la rupture fait intervenir des problèmes de résistance des matériau qui fait intervenir de nombreuses contraintes pouvant s eprimer par des études de fonctions. I. Les fonctions de références en classe de 1 er S On va s intéresser à deu nouvelles fonctions de référence à la classe de 1 er S. Mais avant, nous allons faire un bref rappel de la classe de seconde. a. Rappel de seconde f est la fonction définie sur R par f() = a + b a > 0 a < 0 Représentation graphique Sens de variation La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Dans le cas d une fonction linéaire, la droite passe par l origine O du repère. f est strictement croissante sur R. f est strictement décroissante sur R. Dans chaque cas f est strictement monotone sur R. Tableau de variation Signe Définition : Fonction inverse La fonction inverse est définie sur R\{0} = R par On peut facilement tracer la courbe représentative de la fonction inverse. 1

2 Définition : Hyperbole Dans un repère orthogonal d origine O, la représentation graphique de la fonction inverse est appelée hyperbole. Propriété : Variation b. La fonction racine carrée Définition : Fonction racine carrée La fonction racine carrée est définie sur [0; + [= R + par Propriété : Variation 2

3 Propriété : Position par rapport au autres courbes de fonction On note C 1, C 2 et C 3 les courbes d équations y =, y = 2 et y =. Les points O(0; 1) et A(1; 1) sont communs à ces trois courbes. Sur ]0; 1[, Sur ]1; + [, Remarque : Dans un repère orthonormé, les courbes représentant les fonctions carré et racine carrée sur [0; + [ sont symétriques l une de l autre par rapport à la droite d équation y =. c. La fonction valeur absolue Définition : Valeur absolue La valeur absolue d un nombre réel positif est le nombre luimême. La valeur absolue d un nombre réel négatif est l opposé de ce nombre. Autrement dit, la valeur absolue du nombre, notée, est = Eemple : 4 =, 2,4 = et 0 = 3

4 Propriété : Simplifications Pour tout réel, Définition : Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par Propriété : Variation La fonction valeur absolue coïncide avec : 4

5 Propriété : Symétrie La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deu demidroites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est Remarque : Pour le moment vous avez les fonctions de référence suivantes en classe de 1 er S : Les fonctions constantes : f() = c pour tout R (où c R) Les fonctions affines : f() = a + b pour tout R (où a, b R avec a 0) Les fonctions trinômes : f() = a 2 + b + c pour tout R (où a, b, c R avec a 0) La fonction inverse : f() = 1 pour tout R. La fonction racine carrée : f() = pour tout R +. La fonction valeur absolue : f() = pour tout R. Ils nous restent en classe de 1 er S, la fonction cosinus, sinus à voir au chapitre de trigonométrie. En classe de Terminale, vous verrez la fonction eponentielle et logarithme en plus. II. Fonction λ + u() et λ u() On va s intéresse à d autres fonctions construit par somme ou produit de nombre? Si u et v sont deu fonctions définies sur un intervalle I, on peut considérer leur : somme, u + v définie sur I par (u + v): u() + v() soit (u + v)() = u() + v() produit, u v définie sur I par (u v): u() v() soit (uv)() = u()v() Connaissant le sens de variation de u et de v sur I, on ne peut généralement pas en déduire celui de u + v et uv. Par eemple : Si u() = 2 et v() = pour R alors (u + v)() = Si u() = 2 et v() = + 5 pour R alors (u + v)() = + 5. Dans chaque cas, u est strictement croissante sur I et v est décroissante sur I or (u + v) n est pas forcément croissante ou décroissante sur I. Si l une des deu fonctions est constante, on a en revanche les propriétés suivantes. Propriété : Somme avec un réel Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I et λ un réel. La fonction définie sur I par u() + λ a 5

6 Eemple 1 : La fonction f() = 3 est définie sur Eemple 2 : La fonction g() = est définie sur Propriété : Produit avec un réel Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I et λ un réel. La fonction définie sur I par u() λ a : Eemple 1 : La fonction f() = 3 est définie sur 6

7 Eemple 2 : La fonction g() = 4 2 est définie sur Eemple 3 : La fonction f() = 4 2 est définie sur III. Fonction u() et 1 u() On va s intéresse à d autres fonctions construit par composition avec la fonction racine carrée et la fonction inverse. Propriété : Composition avec la fonction racine carrée Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I. Si pour tout I, u() 0 alors la fonction u: u() 7

8 Propriété : Composition avec la fonction inverse. Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I. 1 : 1 est définie en tout I tel que u u() Si u est toujours strictement positif ou strictement négatif sur Ialors Remarque : ATTENTION!!! Les variations d une fonction s étudie sur un intervalle et non une réunion d intervalle ou autre Eemple : Etudions les variations de la fonction f() =