Chapitre 6 : Logarithme

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1 Chpitre 6 : Logrithme Introduction Pour représenter grphiquement des nombres qui vrient sur plusieurs ordres de grndeur (pr exemple de à 000), on ne peut ps utiliser l échelle hbituelle où les grdutions sont proportionnelles à des nombres. En effet, vec mm sur ppier pour représenter l vleur, cm représente l vleur 0, 0 cm l vleur 00, et il fudrit une feuille de m pour rriver jusqu à l vleur 000. Pour représenter le «domine des petites dimensions» qui v de 0 0 à 0 3, il fudrit, vec mm sur le ppier correspondnt à une tille de 0 0 m, une feuille de 0 km! On dopte lors une échelle telle qu en pssnt d une grdution à l suivnte, l vleur représentée est multipliée pr un même fcteur (ici =0). Cette échelle est dite logrithmique cr les distnces portées sur l xe sont proportionnelles ux logrithmes des nombres représentés. I. Logrithme déciml. Définition Les mthémticiens svent définir b x même si l exposnt x n est ps un rtionnel. Nous dmettons ceci : tout nombre réel > 0 donné peut s écrire sous l forme d une puissnce de b (b > 0 et b ). En prticulier : tout réel > 0 peut s écrire sous l forme 0 x. Le réel x est ppelé logrithme de bse 0 de, ou encore logrithme déciml de, noté log 0 ou encore log. Exple : log= 0 cr 0 0 = log0 = cr 0 =0 log0,= cr 0 = 0, log2 0,3003 log3 0,4772 cf. mchine log5 0,69897

2 Le «log de est l exposnt de l puissnce de 0 qui donne». Le log est utilisé en chimie pour définir le ph d un milieu ( ph = log[ H + ]). Exemple : milieu cide 2 < ph < 7 milieu neutre ph = 7 milieu bsique 7 < ph <2 Remrque : le log d un nombre négtif ou nul n existe ps cr 0 x est toujours > Propriétés Elles découlent de l définition =0 x x = log.. logrithmes prticuliers log= 0 log0 = 0 log = log( 0 x ) = x b. log d un produit Problème : connissnt log et log, en déduire log( ). Solution On : =0 x x = log =0 x 2 x 2 = log =0 x +x 2 x + x = log 2 ( 2) et donc : log( ) = log + log Le log d un produit est égl à l somme des log. c. log de l inverse Problème : connissnt log, en déduire log. 2

3 Solution On log = log + log mis log= 0 d où log + log = 0 et donc : log = log Le log de l inverse est égl à l opposé du log. d. log d un quotient Problème : connissnt log et log, en déduire log. Solution : on log = log = log + log et donc : log = log log. Le log d un quotient est égl à l différence des log. Exemple : log5 = log 0 2 = log0 log2 = log2. Connissnt log2 0,3003, on en déduit log5 0, e. log d une puissnce Problème : connissnt log, en déduire log p. Solution x = log =0 x ( ) = log ( 0 x ) p log p [ ] px = log( 0 ) L exposnt de l puissnce de 0 qui donne 0 px est px et donc log( p ) = px = plog, soit : log( p ) = plog 3

4 exemple : log = log ( ) = log = log 2 log( ) = log = 2 log log = log 2 = 2 log n log( ) = log log 3 n ( ) = log 3 = n log = 3 2 log 3. Echelle logrithmique On représente sur un xe grdué le nombre pr le point M d bscisse x = log. D près les propriétés des log : = est représenté pr le point x = 0 =0 est représenté pr le point x = Les nombres < <0 sont représentés pr les points 0 < x <. Les nombres 0 < <00 sont représentés pr les points < x < 2. Les nombres 0 n < <0 n + sont représentés pr les points n < x < n +. Les nombres 0 n < <0 n + sont représentés pr les points n < x < n +. Sur une échelle logrithmique, si =0 x 2 = x +. Remrque : on choisit l lrgeur des grdutions de fçon à pouvoir plcer toutes les vleurs qu on veut. L lrgeur des grdutions est donc rbitrire. Exercice : quel est l ordre de grndeur de, schnt que : log = 6,3003 [R : quelques 0 6 ] log = 99,60206 [R : quelques 0 99 ] log =00,60206 [R : quelques 0 00 ] 4

5 log = 5,69897 [R : quelques 0 6 ] log = 98,39794 [R : quelques 0 99 ] log = 99,39794 [R : quelques 0 00 ]? N.B. : les clcultrices scientifiques permettent d obtenir directement une pproximtion décimle du log d un nombre déciml. Exercice : connissnt log, trouver : log = 2,4772 [R : 300] log = 3,204 [R : 600] II. Logrithme népérien. Définition étnt un réel > 0 peut s écrire sous l forme d une puissnce de e, le nombre d Euler. Le nombre d Euler est donné pr : 0!= e = 0! +! + 2! +... = k! 2,7828!= où : 2!= 2 k= 0 k!= k Autrement dit : il existe un réel unique x tel que e x =. x est ppelé logrithme de bse e de, ou encore logrithme népérien de, noté log e ou encore ln. On dit courmment : «le ln de est l exposnt de l puissnce de e qui donne» Le logrithme népérien est utilisé cr l dérivée de l fonction prticulièrement simple (hors progrmme). y = ln x est 2. propriétés Elles découlent de = e x x = ln.. ln = 0 lne = e ln = = e x ln( e x ) = x = ln 5

6 b. ln = ln + ln c. ln = ln d. ln = ln ln e. ln( p ) = pln 3. reltion entre ln et log En rppelnt que = e x x = ln, on trouve : ( ) log = log e x = x loge x = log loge d où finlement : Numériquement : loge 0, ,3026 ln 2,30log loge ln = log loge N.B. : les clcultrices scientifiques permettent d obtenir directement une pproximtion décimle du ln d un nombre déciml. III. Logrithme de bse b ( b > 0 et b ) Le but de ce prgrphe est de pouvoir résoudre une éqution du type b x = en utilisnt une clcultrice scientifique.. Définition = b x x = log b 2. propriétés. log b 0 = log b b = etc 6

7 b. c. d. Comme précédemment vec log et ln e. 3. formules du chngement de bse Problème : comment clculer log b vec une mchine qui ne sit clculer que log et ln? Solution : = b x x = log b log = log( b x ) = x logb x = log logb d où finlement : log b = log logb Remrque : on montre de même que log b = ln lnb. Les clcultrices scientifiques permettent d obtenir indirectement une pproximtion décimle du log b d un nombre déciml, en utilisnt l touche log ou l touche ln. Dns l prtique, on retiendr le risonnement suivnt : pour extrire x de l églité b x = on prend le logrithme des deux membres (le log ou le ln). Exemple : voir l exercice 2 et l exercice 8. 7

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