Sciences et Technologies de l Industrie et du Développement Durable. Mécanique

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1 ciences et Technologies de l Industrie et du Développement Durable écanique Terminale TID atériau et tructures : Dimensionnement COU pliquer des éléments d une modélisation proposée relative au comportement de tout ou partie d un sstème J ai de la force, Tu as de la force, Il a de la force.. on, ceci n est pas un cours de Français mais bien un rappel des éléments de mécanique Cette branche des sciences phsiques est utilisée pour étudier les forces agissant sur les différents sstèmes (ou corps) et leurs conséquences sur ces sstèmes (ou corps). Pour cela, la mécanique des solides s intéresse à plusieurs volets du comportement des sstèmes : la statique : étude de l équilibre des sstèmes, la cinématique : étude des mouvements des sstèmes (vitesse et accélération), la dnamique : étude du mouvement des sstèmes sous l action des forces qui lui sont appliquées, la résistance des matériau : étude de la déformation et de la résistance des sstèmes soumis à des actions mécaniques. Toutes les applications de la mécanique nécessitent de mettre en place un «modèle» de comportement des structures étudiées quel que soit le domaine par eemple, ouvrages d art en génie civil, machines, mécanismes, transports en génie mécanique. algré les grandes différences technologiques sur tous ces sstèmes, les règles de la «mécanique» au sens des sciences phsiques restent les mêmes. COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement

2 Première partie : odélisation des liaisons. Degrés de liberté d un solide Un solide libre dans l espace possède 6 degrés de liberté (ou mobilités) : - 3 translations - 3 rotations Ces 6 degrés de liberté permettent au solide d occuper n importe quelle position dans l espace. i ce solide est une pièce d un sstème mécanique (e : aiguille d une montre, roue d une voiture, contact mobile d un disjoncteur ) le nombre de ses degrés de liberté sera limité par les liaisons qu il entretient avec les autres pièces du sstème. ature de la liaison et position par rapport au repère ncastrement Glissière d'ae (, Pivot d'ae (, ) ) Pivot glissant d'ae (, ) Hélicoïdale d'ae (, ) otule de centre inéaire annulaire de centre et d'ae (, ) ppui plan de normale (, ) inéaire rectiligne de normale (, ) et de droite de contact (, ) Ponctuelle de normale (, ) chématisation spatiale chématisation plane ouvements possibles dans le repère donné T T combinés T T T T T T T T COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement

3 . odélisation d un sstème mécanique ou structure Pour un mécanisme ou une structure, une fois que l on connait les mouvements et les efforts relatifs à deu solides, il convient de réaliser cette liaison respectant le cahier des charges. rticulation ut de la modélisation : la modélisation consiste à représenter un mécanisme de façon simplifiée afin d étudier son comportement mécanique. emples de modélisation : n structures métalliques : les différentes liaisons entre les éléments de structure seront modélisées en fonction de leur méthode de réalisation. iaison encastrement rticulation (liaison pivot) COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 3

4 éthode générale de modélisation des mécanismes : tapes Conseils emple du serre-joint ) epérer quels sont les différents groupes cinématiques (ou sousensembles cinématiquement liés ou encore classes d équivalence). epérer les liaisons encastrement puis colorier d une même couleur toutes le pièces liées entre elles. ister les pièces composant chacun des groupes : = {, 3, } = {,5, } ) Identifier la nature des liaisons eistant entre les groupes pour réaliser le graphe des liaisons. Pour reconnaître une liaison entre groupes : - observer les mobilités possibles entre ces groupes sans tenir compte des mobilités supprimées par des liaisons avec d autres groupes. - identifier la nature de la surface de contact entre les groupes glissière D rotule C hélicoïdale 3 ) tablir le schéma cinématique du mécanisme en utilisant la représentation normalisée des liaisons. Il est inutile de respecter les dimensions. Par contre il faut absolument respecter la position relative et l orientation des liaisons. D C 4 ) ésoudre un problème technique en appliquant les lois de la mécanique. ça c est pour plus tard : connaissant l effort de serrage eercé par le patin «D» sur la pièce à serrer, on désire connaître l effort eercé par le coulisseau sur le mors fie. COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 4

5 odélisation des actions mécaniques. Définition d une ction écanique (..) Une.. est un phénomène phsique capable de : créer un déplacement maintenir un corps en équilibre déformer un corps On distingue : - es.. de contact ou surfaciques, eercées par un solide sur un autre solide par l intermédiaire de leur surface de contact. - es.. à distance ou volumique, qui s eercent sur tous les éléments de volume du solide sans qu il ait besoin de contact (e : action de la pesanteur, forces magnétiques). emarque importante : i un sstème eerce sur un sstème une.., alors le sstème eerce sur le sstème une.. eactement opposée. C est ce que l on appelle le principe de réciprocité ou des actions mutuelles. : une balle de tennis eerce sur la raquette une.. eactement opposée à celle qu eerce la raquette sur la balle de tennis.. Une.. particulière : la Force.. Définition Une force est l action qu eerce un solide sur un autre solide lorsqu ils sont en liaison ponctuelle. olide olide Plan tangent au contact entre les solides.. Caractéristiques a force est définie par : un point d application : le point de contact entre les solides (ici le point ) une direction : normale (=perpendiculaire) au plan tangent au contact. un sens : du solide vers le solide s il s agit de l.. de sur. une intensité eprimée en ewton () COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 5

6 ..3 odèle mathématique e modèle mathématique de la force est le vecteur lié ou pointeur, c est à dire un vecteur auquel on associe un point origine. Pour la force eercée en par le solide sur le solide, on utilisera la notation suivante : dont les propriétés algébrique sont les suivantes : n D n 3D Coordonnées du point d application (en mm ou en m) Composantes algébriques du vecteur (en ) orme du vecteur = intensité de la force (en ) / / notation simplifiée : /.3 ctions écaniques (..) assimilables à des forces.3. e poids d un solide a pesanteur ou attraction terrestre agit sur chaque petit élément constituant un solide (.. à distance ou volumique). a somme de ces petites actions mécaniques élémentaires est équivalente à une force dont les caractéristiques sont les suivantes : point d application : direction : sens : intensité : G, centre de gravité du solide Verticale Vers le bas P m g en ewton () m : masse du solide en Kg g : accélération de la pesanteur en m.s - g 9,8m. s mais on prendra g m. s (% d erreur) Cette force notée P s appelle le poids du solide : COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 6

7 .3. es forces de pression Un fluide sous pression (air, huile, ) en contact avec un solide eerce sur chaque élément de surface du solide une action mécanique élémentaire (.. de contact ou surfacique). a somme de toutes ces.. élémentaires est équivalente à une force dont voici les propriétés : point d application : direction : sens : intensité : C, centre géométrique de la surface en contact avec le fluide normale (perpendiculaire) à la surface du fluide vers la surface F p en ewton () p : pression du fluide en Pa (Pascal) ; Pa = /m : surface de contact en m.3.3 Force eercée par un ressort hélicoïdal Un ressort hélicoïdal se comprime ou s'étire proportionnellement à l'effort qui lui est appliqué. essort au repos essort soumis à un effort F a force appliquée sur le ressort a les propriétés suivantes : point d application : direction : sens : intensité : etrêmité du ressort le long de l'ae du ressort dépend du sens de déformation du ressort (compression ou etension) F k en ewton () k : raideur du ressort en /mm : flèche (déformation du ressort) en mm emarque : la raideur d'un ressort dépend du matériau qui le compose (généralement de l'acier spécial dit "acier à ressort"). d es autres caractéristiques d'un ressort hélicoïdal qui font varier sa raideur sont : D : diamètre d enroulement du ressort (k diminue si D augmente) d : diamètre du fil du ressort (k augmente si d augmente) D n : nombre de spires du ressort (k diminue si n augmente) COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 7 n

8 .4 oment d une force par rapport à un point.4. ignification phsique du moment d une force e moment d une force par rapport à un point est un outil qui permet de mesurer la capacité de cette force à créer un mouvement rotation autour de ce point. : le moment de la force de l utilisateur par rapport au point est sa capacité à faire tourner la porte autour du point : utilisateur porte.4. odèle mathématique du moment d une force On considère une force appliquée en un point et un point quelconque. e moment de par rapport au point est un vecteur noté dont les caractéristiques sont les suivantes : direction : perpendiculaire au plan contenant le point : et la force sens : on applique la règle du «tire-bouchon» en considérant que autour de. : fait tourner le tire-bouchon COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 8

9 intensité : elle s eprime en ewton mètre (.m) et on a 3 façons équivalentes de la déterminer : '. '.. sin H H..5 odélisation d une force par un torseur ous avons vu qu une force était complètement définie par : - un point d application (e : ) - un vecteur (e : ) lle peut être aussi complètement définie par : ) - un vecteur (e : - son moment par rapport à un point quelconque (e : On peut alors modéliser la force à l aide d un torseur : ) COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 9

10 COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement.6 odélisation d une.. quelconque par un torseur Toute action mécanique (force ou autre) eercée sur un sstème par une entité etérieure à peut être modélisée par un torseur : est la résultante de l.. de sur est le moment résultant au point de l.. de sur emarques : Un même torseur peut s écrire en n importe quel point : son epression varie mais il modélise toujours la même.. a résultante d un torseur est invariante (ne change pas) quel que soit le point auquel on eprime le torseur. cste e Principe des actions réciproques stipule que l.. d un sstème sur un sstème est eactement opposée à l.. de sur :

11 .7.. transmissibles par les liaisons usuelles.8 Cas des liaisons parfaites On dit que des liaisons sont «parfaites» si on considère qu il n pas de frottement, c est à dire que les déplacements autorisés par la liaison se font sans aucune résistance. orsque pièces (ou groupes cinématiques) sont liées par une liaison usuelle parfaite, la forme de l.. qu elles peuvent eercer l une sur l autre dépend de la nature de la liaison (voir tableau). i la liaison permet un mouvement de translation suivant une direction, aucune résultante ne peut alors être transmise suivant cette direction. i la liaison permet un mouvement de rotation autour d un ae, aucun moment ne peut alors être transmis selon cet ae. ature de la liaison et position par rapport au repère ncastrement quelconque Glissière d'ae (, Pivot d'ae (, ) Pivot glissant d'ae ) chématisation spatiale (, ) otule de centre inéaire annulaire de centre et d'ae (, ) ppui plan de normale (, ) inéaire rectiligne de normale (, ) et de droite de contact (, ) Ponctuelle de normale (, ) chématisation plane ouvements possibles T T T T T T T T T Torseur transmissible au point COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement

12 .9 Cas des contacts avec frottements Jusqu à présent nous avons considéré les liaisons comme parfaites, c est à dire sans efforts dus au frottement. Dans la réalité, les frottements vont créer des efforts supplémentaires qui s opposent au déplacements. e : contact ponctuel ans frottement vec frottement C est normale à la surface de contact. C est comprise dans un cône de demi-angle au e coefficient de frottement C f tan sommet par rapport à la normale au contact. dépend essentiellement du couple de matériau en contact. Tant que est à l intérieur du cône de frottement d angle, il n a pas glissement possible entre les solides et (on dit qu il a adhérence). orsqu il a glissement entre et, avec la normale au contact : C se trouve en limite du cône d adhérence et fait donc un angle C COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement

13 . Principe fondamental de la statique i un sstème matériel est en équilibre dans un repère galiléen, alors le torseur des.. etérieures est égal au torseur nul : T et Ce qui se traduit par théorèmes : Théorème de la résultante statique : i le sstème est en équilibre alors la somme des résultantes des.. etérieures est nulle. Théorème du moment statique : i le sstème est en équilibre alors la somme des moments des.. etérieures par rapport à un même point est nulle. emarques : application du P.F.. fournit 6 équations : théorème de la résultante statique : théorème du moment statique : ttention! i le torseur des.. etérieures à un sstème est nul, le sstème n est pas forcément en équilibre. : une paire de ciseau i l utilisateur eerce forces opposées sur les ciseau, le torseur des.. etérieures au ciseau est nul, mais le sstème n est pas en équilibre (les ciseau vont se fermer) F F COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 3

14 . Cas d un sstème soumis à ou 3 forces.. stème soumis à forces oit un sstème en équilibre sous l action de forces application du P.F.. se traduit par : et et et appliquées en et en. et e théorème de la résultante statique : et d où et et Conclusion : es forces sont opposées (même norme, même direction, sens contraire) e théorème du moment statique : a somme des moments de chacune de ces forces par rapport à un point quelconque est nulle. On doit avoir : e : et et or et force donc et et or comme et car est le point d application de la H et alors H Conclusion : n résumé : es forces ont même droite d action. i un sstème est en équilibre sous l action de forces alors ces forces sont opposées et ont même droite d action... stème soumis à 3 forces oit un sstème en équilibre sous l action de 3 forces quelconques points, et C. e P.F.. se traduit alors par : et, et et Cet appliquées au e théorème de la résultante statique : C et et et Ceci se traduit graphiquement par le fait que le triangle formé par les 3 vecteurs mis bout à bout est fermé et donc que les 3 vecteurs sont contenus dans un même plan. et C et et Conclusion : a somme vectorielle des 3 vecteurs force est nulle et ces 3 vecteurs sont donc coplanaires. e théorème du moment statique : a somme des moments de chacune des 3 forces par rapport à un point quelconque est nulle. COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 4

15 e : Conclusion : ttention, cas particulier : oit I le point d intersection des droites d action de et On doit avoir : I et I et I Cet or I et et I et droites d action de et et donc I C et C C comme et es droites d action des 3 forces sont concourantes. IH C et donc I et et alors IH et et car I est sur les i des 3 forces sont parallèles alors elles ne peuvent pas être concourantes. Dans ce cas, la 3 ème force est forcément parallèle au autres pour que leur somme vectorielle puisse être nulle. De plus pour que le théorème du moment statique soit respecté, les 3 forces doivent se trouver dans un même plan. n résumé : i un sstème est en équilibre sous l action de 3 forces non parallèles, alors ces 3 forces sont concourantes, coplanaires et de somme vectorielle nulle. i un sstème est en équilibre sous l action de 3 forces dont sont parallèles, alors ces 3 forces sont parallèles, coplanaires et de somme vectorielle nulle. COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 5

16 . implification plane i la géométrie des liaisons d un sstème matériel présente un plan de smétrie et que les.. etérieures eercées sur ce sstème sont smétriques par rapport à ce plan, alors on peut admettre que le mécanisme est «plan», c est à dire que : - les résultantes des.. etérieures sont contenues dans le plan de smétrie - les moments des.. etérieures sont perpendiculaires au plan de smétrie. e plan (O,,) est plan de smétrie de la géométrie et des.. etérieurs donc toutes les.. s écrivent sous la forme suivante : quelconque application du PF ne nécessite donc que la résolution de 3 équations : Pour comprendre le comportement de sstèmes soumis à des actions mécaniques nous aurons essentiellement pour objectif de modéliser ces actions mécaniques et de les soumettre à un «solveur» nous permettant de résoudre le P.F. pour une résolution complee ou de résoudre par la manière graphique le sstème de forces (3 forces concourantes). FI COU écanique atériau et tructures : Dimensionnement 6