Décharge d un condensateur dans une bobine

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1 HAPITRE 8 OSIATIONS IBRES DANS UN IRUIT R Décharge un conensateur ans une bobne. Prncpe et schéma u montage nterrupteur () étant sur la poston (), le conensateur e capacté se charge. a charge est termnée lorsue u c = U o. a valeur e l énerge potentelle électrostatue stockée ans le conensateur est alors : E u = U c = o. nterrupteur () est alors basculé sur la poston (). e conensateur se écharge ans le conucteur ohmue R et la bobne. osclloscope à mémore, branché aux bornes u conensateur, permet étuer le régme transtore u règne lors e cette écharge.. Observatons Suvant la résstance R u crcut, on peut observer eux régmes e écharge. () () P voey A U o=cte u c N Fg. 8- générateur e tenson R u c u c t t T Fg. 8- Fg. 8-3 orsue la résstance est fable (fg. 8-) : la écharge u conensateur n est pas nstantanée, elle onne leu à es oscllatons lbres. a tenson évolue une façon uas péroue autour e la valeur ; son ampltue mnue au cours u temps. Il s agt un régme pseuo-péroue. T représente la pseuo-péroe es oscllatons. orsue la résstance est grane (fg. 8-3) : la tenson u c s annule sans oscllaton. Il s agt un régme apéroue. 36

2 cours savor-fare exercces corrgés Remarue : le régme apéroue pour leuel l annulaton e la tenson est la plus rape est appelé régme apéroue crtue. Il marue la lmte entre le régme pseuo-péroue et le régme apéroue. a résstance u crcut est égale à une valeur crtue R telle ue : R =. 3. Pseuo-péroe a pseuo-péroe T es oscllatons lbres est autant plus grane ue l nuctance est grane et/ou ue la capacté est grane. On ferme un crcut consttué un conensateur e capacté préalablement chargé, une bobne nuctance, e résstance nulle et un conucteur ohmue e fable résstance R, montés en sére. a valeur e R est telle ue la tenson aux bornes u conensateur est pseuo-péroue.. Fare une analyse mensonnelle u prout.. En éure la relaton u ot probablement exster entre la pseuo-péroe u phénomène observé et le prout. corrgé commenté exemple applcaton Incaton : pour réalser l analyse mensonnelle, rappelez les formules éfnssant les graneurs consérées.. a tenson aux bornes une bobne est : u =. 8UB8TB où : 8 B = 8 I (). B D autre part, après l expresson e la tenson aux bornes un conensateur et 8QB 8IB8TB après la éfnton e l ntensté un courant, on a : 8B = = (). 8UB 8UB 8UB8TB 8IB8TB De () et (), on éut : 8. B = = sot : 8. B= 8TB. 8IB 8UB. On a observé ue la pseuo-péroe T es oscllatons lbres est autant plus grane ue l nuctance est grane et/ou ue la capacté est grane. Elle vare onc ans le même sens ue le prout. D après l étue mensonnelle, on peut onc présumer ue la pseuo-péroe est proportonnelle à, sot : T = k... 37

3 HAPITRE 8 OSIATIONS IBRES DANS UN IRUIT R Étue un crcut. Prncpe N + - A u AB B M u AB +U m T o -U m t u MN Fg. 8-4 Fg. 8-5 Sot le crcut consttué une bobne nuctance et e résstance nulle, assocée à un conensateur e capacté ntalement chargé (fg. 8-4). À la fermeture u crcut, on obtent un régme péroue (fg. 8-5). Un tel crcut e résstance nulle consttue un oscllateur électrue e péroe propre T o.. Étue théorue À chaue nstant, après l atvté es tensons, on a : u AB + u MN =. À la ate t, la charge portée par l armature A est (t) et la tenson aux t () bornes u conensateur est : u AB (t) =. () t Aux bornes e la bobne, on a : u MN (t) = r(t) + et comme r =, () t u MN (t) =. t (). Or, par éfnton e l ntensté un courant : (t) = =. éuaton fférentelle régssant la varaton e la charge u conensateur ans le temps est onc : + = t () t ()... ette éuaton peut encore s écrre : + =. a soluton e l éuaton fférentelle est e la forme : () t = Q, avec ω π m cos ( ωt + φ) o = =. T ω o est la pulsaton propre u crcut (en ra.s ), Q m est l ampltue (en coulomb) et φ o est la phase à l orgne es ates (en ra). 38

4 cours savor-fare exercces corrgés Un crcut est un oscllateur électrue harmonue u est le sège oscllatons électrues lbres, non amortes, e péroe propre : T = ω π = π. Un crcut sére est consttué un conensateur e capacté = µf préalablement chargé, une bobne nuctance = 5 mh, e résstance supposée nulle et un nterrupteur ouvert. a tenson aux bornes u conensateur est U o = 6 V. À la fermeture u crcut, on observe la tenson aux bornes u conensateur à l ae un osclloscope à mémore.. Quel type oscllogramme ot-on obtenr?. alculer la péroe propre et la fréuence propre u crcut ans consttué. 3. En fat, la résstance e la bobne est R = 7 Ω. Que peut-on observer sur l écran e l osclloscope? corrgé commenté. Incaton : les fférents régmes ue l on peut observer sont rectement lés à la résstance totale u crcut. a résstance u crcut étant nulle, celu-c consttue un oscllateur électrue harmonue : le régme est péroue. On peut observer un oscllogramme u type e la fgure 8-5, avec U m = 6 V.. Rappel : la fréuence (en hertz) est l nverse e la péroe (en secones). a péroe propre e ce crcut est : T = π. On en éut la fréuence : f =. T AN: T = π 5. - #. -. 6, 3. - s = 63, ms. f 3.. 6,. Hz= 59, khz ,. Dès ue la résstance u crcut n est pas nulle, le régme est sot pseuo-péroue, sot apéroue suvant la valeur e cette résstance et la valeur e la résstance crtue. Pour le montage étué, la résstance crtue est : Rc = exemple applcaton - 3, sot R 5. c = = Ω a résstance u crcut étant nféreure à la résstance crtue, le régme est pseuo-péroue. 39

5 HAPITRE 8 OSIATIONS IBRES DANS UN IRUIT R 3 Tenson, ntensté et énerge. Tenson nstantanée aux bornes u conensateur t _ Qm Qm uab _ t = = cos_ ωt + φ sot, en posant U m = : u _ t = U cos _ ω t+ φ.. Intensté u courant _ t Par éfnton, t _ =. On a onc : t _ =- ω Qm sn _ ωt+ φ, sot t = ω Q cos ω t φ π _ m + + n. Avec I m = ω Q m, on obtent : t = I cos ω t φ π _ m + + n. ntensté u courant est éphasée e π par rapport à la charge (t) et par rapport à la tenson aux bornes u conensateur. Quan la tenson est maxmale, l ntensté est nulle et vce versa. 3. Échanges énergétues ans un crcut énerge potentelle électrue stockée par le conensateur à la ate t est : E =, sot E Qm = cos _ ωt + φ. énerge magnétue emmagasnée par la bobne à la ate t est : E = = ω Qm sn _ ω t φ +. omme ~ =, on a : E Q m = sn _ ω t φ +. À chaue nstant, l expresson e l énerge totale est : E = E + E. Qm Q On calcule : E cos ω t φ sn m = ω t φ 9 _ + + _ +, sot : E = = cte. À chaue nstant l y a transformaton mutuelle e l énerge potentelle électrostatue en énerge magnétue ou l nverse. Remarue : on constate ue l énerge stockée par le conensateur et l énerge emmagasnée par la bobne ont une fréuence ouble e celle e la charge. 4 AB m E E Q m T o Fg. 8-6 t

6 cours savor-fare exercces corrgés Un crcut est consttué une bobne ( = 5 mh ; r = Ω) et un conensateur ( = µf) préalablement chargé et posséant une énerge ntale E (t = ) =,36 mj.. À partr e l expresson e l énerge totale u système à un nstant t et sachant ue cette énerge est constante, retrouver l éuaton fférentelle u régt le régme péroue u système.. Donner l expresson e la tenson nstantanée aux bornes u conensateur et en calculer les caractérstues. corrgé commenté exemple applcaton Incaton : pensez ue s une graneur est constante ans le temps, alors sa érvée par rapport au temps est nulle.. énerge totale e l oscllateur électrue est : E = E + E, sot E = +. ette énerge étant constante, on en éut ue : E t = + =. Or, = = : et = = ::, onc E t : : :: : = + = :: f + p =. :: Quel ue sot l nstant t, on a : + =.. a soluton e cette éuaton fférentelle est : t = Q cos π _ m T t + φn. On en éut l expresson e la tenson aux bornes u conensateur : _ t Qm u t = = cos π _ T t + φn, sot : u t = U cos π _ m T t + φn Q avec U m m =. Or, l énerge ntale u conensateur a pour expresson : E =. U m. E _ t = - 3 #, 36. On calcule : U m =. AN : U 6, V m = = a péroe est : T = π. AN : T = π #. -6 = π - 3 s. À t =, u (t) = U m onc cos φ = et la phase à l orgne est φ = ra. J N a tenson u (t) est alors : u t 6 cos π _ = t = 6cos t - 3 O _. π. P 4

7 HAPITRE 8 OSIATIONS IBRES DANS UN IRUIT R 4 Amortssement et entreten es oscllatons ans un crcut R. Amortssement ans un crcut D après la lo atvté es tensons : () + - u + u R + u =, sot : + R + = ou encore u + R u R =- R (). () Or, à la ate t, l énerge électrue totale u crcut vaut : E = + u. Fg. 8-7 Dérvons cette expresson par rapport au temps : E J N = + = + t O. P D après (), on a : E = _- R =- R. On remarue ue : E < onc l énerge totale mnue. e terme ( R ) représente la pussance évacuée par transfert thermue (effet Joule).. Entreten es oscllatons Pour entretenr les oscllatons, l faut compenser les pertes énerge par effet Joule au moyen un montage électronue aapté fasant foncton un générateur capable e élvrer une tenson u g (t) proportonnelle, à chaue nstant, à l ntensté (t) u courant. u g (t) = R. (t) G u g Fg. 8-8 Remarue : u et sont représentées par es flèches e même sens, le générateur se comporte, à chaue nstant, comme une résstance négatve ( R o ). D après la lo atvté es tensons : u + u R + u u g =, sot : + R + + R _- = t. u G g + () - u () R u R u 4 Fg. 8-9

8 cours savor-fare exercces corrgés Pour R = R, on retrouve l éuaton fférentelle régssant la varaton e la charge u conensateur ans le temps pour un oscllateur électrue harmonue, c est-à-re sans amortssement : :: + $. = À la ate t, la érvée e l énerge électrue totale u crcut vaut : E J N = + = + = t O. P énerge totale est alors constante. e spostf électronue compense ben les pertes énerge par effet Joule. exemple applcaton Un crcut comporte une bobne ( = 5,6 mh ; R), un conensateur ( = 4,7 µf) et un pôle D. a tenson u D aux bornes e celu-c est proportonnelle à l ntensté u courant : u D = R (R > ).. Établr l éuaton fférentelle lant la tenson u aux bornes u conensateur à ses érvées premère u et secone u. : ::. Que se passe-t-l s R = R? Quel est l ntérêt u pôle D? 3. Quelle est ans ce cas l expresson e la péroe? alculer sa valeur. corrgé commenté Incaton : pensez ue la tenson aux bornes un conensateur est lée à sa : : charge par : =.u ; par éfnton e l ntensté, = = = u où : :: :: = = = u.. D après la lo atvté es tensons, on a : u D + u + u =, sot : R R = + _ R - R + = t t, :: : :: R R où : u + _ R - R u + u =. On obtent: u u u + _ - : + = (). ::. S R = R, l éuaton fférentelle () event : u + u = (). ette éuaton fférentelle () est celle u régt le régme péroue un oscllateur électrue harmonue (sans amortssement) e péroe propre T. e pôle D sert à compenser les pertes énerge par effet Joule ues à la résstance u crcut (bobne). 3. expresson e la péroe T a pour expresson : T = π, sot T =,. 3 s. u R u Fg. 8- u D D 43

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