4.1 Rappel : Bobines et Condensateurs en régime sinusoïdal.

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1 i nous consultons un dictionnaire, la résonance est définie de la façon suivante : «Augmentation de l amplitude d une oscillation, sous l influence d impulsions périodiques de fréquence voisine» Le phénomène est décrit dans le domaine de l acoustique, de l électricité, de la mécanique, de l optique et même de la chimie ; on parle également de résonance en imagerie médicale (MN, pour ésonance Magnétique Nucléaire). n fait, c est un phénomène très général en hysique. Nous nous limiterons ici à l approche des phénomènes de résonance liés à l lectricité. La résonance peut apparaître dans les circuits électriques où cohabitent bobines et condensateurs, ou des éléments modélisables par des inductances ou des capacités. lle se traduit, en régime sinusoïdal, par des amplitudes de courants et de tensions passant par des valeurs élevées, au voisinage de certaines conditions de fonctionnement. 4.1 appel : Bobines et Condensateurs en régime sinusoïdal. Ces dipôles sont également qualifiés de réactifs, c est à dire qui réagissent à la variation d une grandeur électrique Bobines. lles sont constituées d un enroulement de N spires de fil de cuivre, autour d un noyau ferromagnétique formant un circuit magnétique. Traversé par un courant i(t), l enroulement embrasse un flux Φ(t), proportionnel à l intensité i(t) : Φ(t) Li(t) (L en henry). i i(t) (et donc Φ(t)) varie, le circuit réagit en s opposant à la cause qui donne naissance à la variation (loi de Lenz). Le résultat est une fém induite e(t) dφ L di. D autre part, le passage du courant s accompagne de pertes : - Dans l enroulement (pertes Joule ou pertes cuivre) ; ce sont des pertes liées à la résistance ohmique du fil conducteur. - Dans le noyau ferromagnétique (pertes fer) ; ce sont les pertes par courants de Foucault et par hystérésis. Les pertes fer augmentent avec la fréquence de travail : n 1 ère approximation, les pertes par courants de Foucault sont proportionnelles au carré de la fréquence, alors que les pertes par hystérésis sont proportionnelles à la fréquence (et à la surface du cycle d hystérésis du matériau constitutif du noyau. n toute rigueur, l inductance propre L d une bobine dépend de l amplitude du courant i(t) qui y circule. Notamment, si la saturation magnétique du noyau est atteinte, la valeur de l inductance s effondre! La conséquence est la modélisation d une bobine par un dipôle L : regroupe l ensemble des pertes énergétiques, et L traduit les effets de la variation temporelle du courant. i(t) L n régime quelconque, u (t) i(t) + L di ce qui devient, pour le régime sinusoïdal établi : Z I ( + jl) I u(t)

2 Le déphasage ϕ de u(t) par rapport i(t) est défini par tan ϕ arg Z ne bobine parfaite n a pas de pertes ; elle se modélise par une inductance pure ( ) ; il vient alors ϕ + 9 et tanϕ +. Ça n est bien sur plus le cas pour une bobine réelle : donc ϕ < 9 ; on appelle facteur de qualité d une bobine, la quantité q L soit q tanϕ. ne bobine est de «bonne qualité» si l effet inductif (L) l emporte largement sur l effet résistif () ; on admet généralement une valeur minimale de 1 pour q afin de pouvoir parler de bonne qualité d une bobine. (our q 1, on obtient ϕ 84 ) A priori, nous serions tentés de dire que le facteur de qualité q augmente avec la fréquence ; c est sans compter avec l évolution de la résistance (les pertes) avec la fréquence. ne bonne approximation consiste à prendre une loi du type O + a + b ; la fonction q L passe alors par un maximum, ce o + a + b qui conditionne la gamme de fréquences de travail du composant. xemple : oit une bobine pour laquelle L,15H et Le facteur de qualité de cette bobine évolue avec la fréquence comme le montre la figure ci-dessous. L I ϕ On peut constater que le facteur de qualité passe par un maximum de 1,7 pour une pulsation voisine de rad/s. Considérations énergétiques : Traversée par un courant i(t), une bobine, fléchée en convention récepteur (cf. ci-contre) reçoit, pendant une durée infinitésimale l énergie dw u(t) i(t). Compte tenu de u (t) i(t) + L di, dw peut s écrire : dw i (t) + Li(t) di i(t) u(t) L - dw 1 i (t) correspond à une dissipation d énergie de type Joule : Ce sont les pertes d énergie. - dw Li(t) di correspond à une variation d énergie stockée (due à la magnétisation du circuit magnétique) dw peut encore s écrire d ( 1 Li ) La quantité W ½ Li (t) représente l énergie stockée par un bobinage traversé par un courant dont l intensité passe de à i(t) ; cette énergie sera libérée quand l intensité passera de i(t) à. Conséquences importantes : L énergie ne pouvant pas subir de discontinuité, le courant dans une bobine ne peut pas être discontinu. De même, en régime périodique, il ne peut y avoir d accumulation d aimantation. La bobine se démagnétise autant qu elle ne se magnétise au cours du temps ; la croissance du flux est analogue à sa décroissance ; dϕ n régime périodique, la variation moyenne du flux dans un bobinage est nulle. moyen On en conclut que la tension moyenne aux bornes de l inductance L est nulle : ( u L ) moy ( L di ) moy

3 4.1. Condensateurs. n condensateur est formé de électrodes conductrices de surface, séparées par un isolant (ou diélectrique) d épaisseur e. ous l action d une tension u(t), le condensateur stocke une charge q(t), liée à u(t) par q(t) Cu(t). (C, capacité en farad) i(t) our un condensateur plan (modèle de condensateur à armatures planes), la capacité C s exprime par C ε, avec e ε : Constante diélectrique de l isolant (our le vide, ou l air, ε ε 8, F/m) e : paisseur de l isolant : urface d armatures en regard. u(t) i la tension u(t) appliquée varie, le dipôle réagit par l existence d un courant i(t), correspondant à la variation dq de charge stockée : i (t) C du (avec un fléchage en convention récepteur) ertes énergétiques : Dans un condensateur, on ne parle pas exactement de pertes, mais plutôt de fuites ; le diélectrique ne peut être un isolant parfait ; la conséquence est qu un condensateur chargé s auto-décharge partiellement au travers de «l isolant». On modélise ainsi souvent un condensateur par l association d une capacité C et d une résistance F placée en parallèle. (ésistance de fuites) i(t) our un condensateur parfait, il ne subsiste que la capacité ( F ) Dans ces conditions et en régime sinusoïdal, u(t) et i(t) sont en quadrature pour un condensateur sans fuites. our un condensateur réel, en régime sinusoïdal : Y + jc 1 u(t) F I et tanϕ - F C (ϕ est le déphasage courant-tension conventionnel) ϕ est légèrement inférieur à 9 ; on appelle angle de pertes l angle δ ϕ complémentaire de ϕ (cf. ci-contre) tan δ 1 1 tan ϕ FC δ Habituellement, δ est donné à 5Hz et est de l ordre de 1-3 rad environ, pour la plupart des condensateurs non polarisés. (our les condensateurs polarisés,,1rad δ 1rad!!) nergie stockée : u(t) D après le modèle du condensateur réel, i(t) C + du F D où l énergie mise en jeu pendant la durée infinitésimale : dw u(t)i(t) Cu(t) du u + F - dw u 1 correspond à une énergie de type joule ; ce sont les pertes dans le diélectrique. F - dw Cu(t)du correspond à une variation d énergie stockée : dw d( 1 Cu ). L énergie W 1 Cu représente l énergie stockée par un condensateur pour lequel la tension aux bornes est passée de à u(t). Cette énergie sera libérée lors de la décharge du condensateur. Conséquences : L énergie ne pouvant subir de discontinuités, la tension aux bornes d un condensateur doit être continue. De même, en régime périodique, un condensateur retrouve la même charge au bout d une période : La dq variation moyenne de charge est nulle, soit moy dq On en conclut que l intensité moyenne dans un condensateur est nulle : ( ) i C moy moy F

4 4. Modélisation des Dipôles éactifs. La plupart des dipôles linéaires sont partiellement réactifs, soit à tendance inductive (dipôle L), soit à tendance capacitive (dipôle C) Modèle érie et Modèle arallèle d un Dipôle éactif. oit un dipôle linéaire D, fonctionnant en régime sinusoïdal établi. oient : i(t) I sint u(t) sin(t + ϕ) L impédance complexe Z de D peut s écrire : Z [ Z ; ϕ ] Zcosϕ + jzsinϕ + jx i D u D peut être ainsi décrit par l association série d une résistance et d une réactance X i X Cependant, l admittance complexe Y de D peut s écrire : Y [ Y ; -ϕ ] Ycosϕ - jysinϕ 1 / + 1 / jx Dans ces conditions, D peut être également décrit par l association en parallèle d une résistance et d une réactance X. Les deux descriptions {, X série} et {, X parallèle} doivent être équivalentes ; il va de soi qu à priori, et X X Facteur de Qualité d un Dipôle éactif. i u X u On attend avant tout d un dipôle réactif que son influence réactive soit largement prépondérante devant sa tendance résistive. Ce rapport de forces est mesuré par le facteur de qualité d un tel dipôle. i ACT et Q AC désignent respectivement les puissances actives et réactives mises en jeu dans un dipôle, nous définissons le facteur de qualité du dipôle par le nombre q, sans dimension comme suit : q QAC ACT (La valeur absolue est imposée par Q AC qui est négative pour un dipôle capacitif) A partir du modèle série : (Cf. schéma ci-dessus) ACT I et Q AC X I d où xemples: L q L q X C q C 1 A partir du modèle parallèle : (Cf. schéma ci-dessus) ACT et QAC d' où q X xemples : X L q C L q C (On remarque, pour le dipôle { ; C }, que le facteur de qualité s identifie à l inverse de l angle de pertes δ)

5 4..3 Transformation érie arallèle. Nous cherchons maintenant à passer de la description série à la description parallèle, et vice-versa ; le facteur de qualité q va nous y aider. L impédance complexe Z d un dipôle doit rester la même, que son schéma soit de type série ou parallèle : jx Z Z + jx Z + jx Le facteur de qualité est le même, que la description soit série ou parallèle : X q X Développons, puis identifions les expressions de l impédance complexe : jx ( jx) X X Z + jx + j + X + X + X n introduisant X q ou 1, il vient : X q Z + jx + j X q q 1 L identification des parties réelles et imaginaires amène enfin à : ( 1 + q ) et X X q our un dipôle inductif, L L (1 + 1/q ) ; pour un dipôle capacitif, C C q Cas de dipôles de «grande qualité» : i q > 1, alors q > 1 ; ainsi 1 + q q et 1 + 1/q 1. i q > 1 q et X X Attention : Dans les formules de transformations ci-dessus, ne pas oublier que le facteur de qualité q dépend généralement de la fréquence. n conséquence, les applications numériques ne seront définies que pour une fréquence donnée!! xemple pratique :Les dipôles ci-dessous ont la même impédance complexe à 1kHz : Z [1kΩ ; - 8 ] 1 C 1 C Nous en concluons qu ils ont même facteur de qualité à 1kHz : q 1 sin( 8) 1 cos( 8) 5, 67, et qu ils sont équivalents série parallèle à cette fréquence. i on se place maintenant à une fréquence de khz, il n en est plus du tout de même : our le dipôle de gauche, le facteur de qualité s écrit q 1 1 C 1 ; q 1 vaudra 5,67 11,34 à khz. our le dipôle de droite, C 1 A khz, il n y a plus du tout équivalence série parallèle entre ces dipôles!!

6 4.3 Circuits résonnants modèles. Ces circuits associent une bobine et un condensateur ; ces éléments échangent de l énergie et peuvent entrer en résonance sous certaines conditions. (L échange d énergie passe alors par un maximum) A la base, on peut se ramener à modèles fondamentaux : Le circuit LC série, commandé par un générateur de tension u (t) sint avec constante. Ce circuit est le siège d une résonance de courant (ou encore résonance série) u u L u L u C i C Le circuit LC parallèle, commandé par un générateur de courant i (t) I sint avec I constante. Ce circuit est le siège d une résonance de tension (ou encore résonance parallèle) i i i L i C L C u La résonance série. Nous travaillons avec le modèle LC série dont le schéma figure ci-dessus. L impédance complexe de ce dipôle LC s écrit : + j( L ) n module, il vient : ( ) Z C 1 ; Z + L C 1 ; cette impédance tend vers l infini si la fréquence de travail devient infiniment faible ou infiniment grande ; elle passe par un minimum Z à la pulsation définie par L 1 o, soit 1. C o LC est dite pulsation de résonance ; la fréquence de résonance correspondante est f 1 π LC L intensité efficace du courant passe alors par un maximum I à la résonance : I A tension efficace d attaque fixée, le maximum de courant I est d autant plus intense que est faible. (On parle ainsi de résonance aigue ou de résonance floue) On dit également que amortit le phénomène.!!"#

7 Le déphasage courant-tension de u par rapport à i L est défini par tan ϕ C1 Avant la résonance (f < f ), ϕ <, le circuit est capacitif. A la résonance, ϕ, le circuit est résistif. nfin, après la résonance, ϕ >, le circuit est inductif. $ % Le déphasage ϕ évolue d autant plus rapidement autour de f que la valeur de est faible. Tension aux bornes des éléments réactifs : Nous avons : L I L et. Z C I C 1 L C Z A la résonance, L.. C 1 Lo Co o ; mais ces tensions sont en opposition, leur somme est o donc nulle à la résonance ; cependant, on peut avoir L et C plus grandes que, si la valeur de est suffisamment faible pour que L o > 1 ; c est un phénomène de surtension. Il y aura surtension à la résonance si L o > 1, c est à dire si < C L. (On approfondira ce phénomène lors de l étude des réponses en fréquences des circuits du second ordre) 4.3. La résonance parallèle. ' résonance Nous travaillons maintenant avec le modèle LC parallèle dont le schéma figure à la page précédente. L admittance complexe de ce circuit s écrit ( ) 1 ( ) Y j C soit Y C Cette admittance tend vers l infini pour les très faibles et les très grandes fréquences ; elle passe par un minimum Y pour la pulsation de résonance qui correspond à L 1 o, soit 1. C o LC emarque : L ensemble { L ; C} parallèle a une impédance qui devient infinie à la résonance ; ce dipôle est parfois nommé circuit bouchon pour cette raison. La tension efficace aux bornes de ce circuit passe par un maximum I à la résonance. A courant efficace d attaque I fixé, la résonance est d autant plus aiguë que la valeur de est forte. (C est ici 1 qui régit l amortissement du phénomène) ( )!!"#

8 Le déphasage courant-tension ϕ est défini par tan( ϕ). ( C ) our les fréquences inférieures à la fréquence de résonance f, ϕ > ; le circuit est à tendance inductive. Il devient résistif (Y ) à la résonance, puis capacitif (ϕ < ) au delà. $ % La rotation de phase autour de f est d autant plus rapide que est de valeur élevée. Intensité du courant dans les branches réactives :!!"# Nous pouvons écrire : I I et I.C I.C L L C Y.L Y A la résonance, I Lo ICo I. I. C o ; cependant, ces courants sont en opposition de phase : o leur somme est donc nulle à tout instant, à la résonance. On peut parfois observer I L ou I Co de valeur supérieure à I : Il s agit d un phénomène de surintensité ; il y a surintensité à la résonance si L < 1, soit si > C L. 4.4 Circuits à résonances multiples Quand un dipôle comporte plusieurs inductances ou (et) plusieurs capacités associées, il est possible de rencontrer le phénomène de résonance pour plusieurs fréquences. Au delà de résonances, les schémas (et les calculs!) deviennent fort complexes. On donne ci-dessous les possibilités de structure de dipôles à fréquences de résonance. L C 1 L C C C 1 a b C L L C c d our le régime sinusoïdal permanent, le calcul de l impédance complexe de chacun de ces dipôles aboutit à 1 une expression de la forme : Z jx., dans laquelle et sont les pulsations de résonance 1 du circuit ; pour, Z est nulle, alors que Z tend vers l infini si. correspond ainsi à une résonance série et à une résonance parallèle.

9 Le dipôle à résonances multiples le plus connu est le quartz ; il est composé d une lame de silice cristallisée, enserrée par électrodes métalliques. Ce dispositif est le siège d effet piézoélectrique : Lorsqu une tension variable est appliquée entre les armatures (AB), la lame de céramique entre en vibration et résonne pour certaines fréquences ; n modèle électrique approché en est représenté ci-contre : La capacité C équivaut à la capacité formée par les armatures ; la branche 1,, C 1 modélise la lame de céramique. A 1 A B C 1 C B On donne plus loin la courbe d évolution de l impédance électrique d un quartz avec la fréquence, pour les valeurs numériques suivantes : 1 1Ω, 1,18H, C 1,pF et C 1pF. 1M Z (Ω) 1.M 1K 1 95KHz 3KHz 31KHz 3KHz 33KHz 34KHz 35KHz V(out) / I() Frequency f (Hz) Les fréquences de résonances s établissent à 37,7 khz (Z MINI 6Ω) et 33 ;8 khz (Z MAXI 9MΩ) ; il faut noter l importante variation d impédance entre ces fréquences relativement proches. Cette particularité est mise à profit afin de stabiliser la fréquence d oscillateurs.

10 4.5 électivité et bande passante d un circuit résonant. n électronique, la structure la plus fréquente est la structure parallèle, commandée en courant. La résonance y est exploitée pour réaliser des filtres sélectifs. Travaillons avec le schéma de principe ci-contre : i C i i i L La tension efficace () peut s écrire I I ZI Y 1 + C 1 L L C u La résonance est définie par la pulsation 1, LC posons Qo L o Co ; Q s apparente à un facteur de qualité, défini à la pulsation de résonance. Faisons apparaître Q dans l expression de : 1 + I ( C ) La bande passante B de la réponse en tension du circuit est définie comme l intervalle de fréquences f H f B dans lequel la tension efficace est supérieure ou égale à /. Les limites f B et f H de la bande passante sont les fréquences de coupure ; elles sont solutions de la relation /. echerchons les pulsations B et H associées à f B et f H. 1 + Q ( ) Nous avons bien MAX à la pulsation ( * (!!"# o Lorsque /, Q o. 1, soit encore Q. o o ± 1 o o Ceci amène à résoudre une double équation du ème degré : Q o ± o - Q o o, avec Le discriminant est.(1 + 4Q ) ; il est strictement positif ; en conséquence, notre double trinôme admet 4 solutions réelles, dont seulement sont positives et ont donc un sens physique. Il vient ainsi H + soit H ( Q ) Q Q Q B + soit B ( Q ) Q Q Q La bande passante recherchée est B f H f B ( H - B )/π Finalement B f Q Le facteur Q mesure la sélectivité du circuit, c est à dire le rapport entre B, bande passante à 3dB et la fréquence de résonance f.

11 xtension de la notion de sélectivité. La relation f B se transpose à toute réponse de type passe-bande. i Q Q >>1, alors B << f ; on parlera dans ce cas d un circuit très sélectif, ou à bande étroite. Dans le cas contraire, le circuit sera qualifié de peu sélectif, ou à large bande. xemple : + * f B 4Hz f 8Hz f H 16kHz + * f B 1.kHz f 1.5kHz f H 1.8kHz Courbe du haut, B 16kHz et f 8Hz ; Q,5 ; réponse large bande Courbe du bas, B 6Hz et f 15Hz ; Q,5 ; réponse un peu sélective. Nous conviendrons de qualifier de sélectif un circuit pour lequel Q > 5 ; avec des bobines et des condensateurs (circuits résonants) on dépasse rarement des sélectivités de 5 environ ; par contre, avec les filtres céramiques, il est possible d atteindre des sélectivités de plusieurs milliers!! Facteur de mérite. our une réponse passe bande (dont les réponses de type résonance), on définit le facteur de mérite M par le produit du maximum de la réponse par la bande passante à 3dB. xemple, circuit LC parallèle, caractérisé par : - une tension efficace à ses bornes à la résonance, - une fréquence de résonance f - une bande passante B Le facteur de mérite s écrit M B Nous verrons plus loin l importance du facteur de mérite.