ALIMENTATION D'UNE LAMPE - SOLUTION

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1 AMENTATON D'NE AMPE - SOTON 1 / 5 = µf =? = 0,1 A =? =? = 50 = 0 (50 Hz) Figure 1: la résistance est à calculer pour avoir 50 au bornes de la lampe, avec un courant de 0,1 A. a figure 1 rappelle le problème posé. ne erreur grossière à ne pas commettre consisterait à raisonner comme suit: puisque la tension au bornes de la lampe est de 50, il reste donc 170 au bornes de l'ensemble "apacité ésistance ". 'est évidemment fau car nous avons ici affaire à un circuit comprenant de la résistance et une réactance capacitive. l en résulte que le courant dans le circuit est déphasé en avance, d'un angle φ compris entre 0 et 90, par rapport à la tension au bornes du circuit. es tensions au bornes de la résistance et de la lampe (dans la mesure où celle-ci peut être considérée comme une résistance pure) sont en phase avec le courant. a tension au bornes de la capacité est déphasée de 90 en arrière par rapport au courant. es différentes tensions dans le circuit doivent donc s'additionner vectoriellement. a figure illustre cette situation; la tension au bornes du circuit est prise comme référence pour les phases. -90 φ omme on peut le voir sur cette figure, les vecteurs et sont alignés sur le vecteur courant puisque ces tensions sont en phase avec le courant dans le circuit. e vecteur fait un angle de -90 avec le vecteur courant; la tension au bornes de la capacité est en effet déphasée de 90 en arrière par rapport au courant. a somme de ces trois vecteurs tension donne le vecteur. On a donc bien, vectoriellement parlant: Figure : ourant et tensions dans le circuit de la figure 1. es barres au-dessus des grandeurs signifient que l'on représente à la fois une grandeur scalaire (valeur efficace) et une direction (phase initiale). = (1) Mais par contre, du point de vue des valeurs efficaces de ces

2 tensions: / 5 () 'observation de la figure montre en effet que l'on a: = (3) 1. A DE A ESSTANE Entre les valeurs efficaces de la tension au bornes du circuit et du courant dans le circuit, on a la relation: Z = (4) Dans la relation (4), Z est le module de l'impédance du circuit. e module se calcule comme suit: Dans cette dernière relation: Z X = (5) = est la résistance totale du circuit, avec - : résistance à calculer. - : résistance de la lampe. -1 πf X = est la réactance de la capacité. Avec les données du problème, nous avons: Z = = 00Ω 500 Ω 0,1 = = X 159 Ω 0,1 = = *π*50* *10-6 De la relation (5), nous tirons : Et finalement: = Z X 00 = = -159 = ( ) 1519 Ω = = = 1019Ω. A DE A PSSANE DSSPEE DANS ESSTANE

3 3 / 5 ette puissance se calcule facilement à partir de la relation bien connue: P = = 1019* 0,1 = ( ) 10,19 W 3. TENSONS AX BONES DE ET DE a valeur efficace du courant (0,1 A) est donnée dans l'énoncé du problème. e déphasage φ du courant par rapport à la tension au bornes du circuit, peut se calculer à partir de la réactance X de la capacité et de la résistance totale du circuit: X -159 tg = = = 1, ϕ Soit ϕ = 46, 34 a valeur efficace du courant et son déphasage peuvent être condensés en une seule epression: = ϕ = 0,1 46,34 A (6) ette dernière epression représente ce que l'on appelle le courant complee ou le phaseur du courant (ou encore le substitut complee du courant). 'est en fait la forme polaire (valeur efficace ou amplitude selon le cas et déphasage) d'un nombre complee qui représente le courant dans le circuit. a forme cartésienne ( = a jb = cosϕ jsinϕ ) n'est pas intéressante ici. ne fois connu, les tensions se calculent facilement. 3.1 Tension au bornes de la résistance En appliquant la loi d'ohm, on obtient: = = ϕ (7) Soit, avec les valeurs numériques calculées plus haut: = = 1019*0,1 46,34 = 101,9 46,34 a tension au bornes de a une valeur efficace de 101,9 et est en phase avec le courant, c'est-à-dire qu'elle est déphasée de 46,34 en avance sur la tension au bornes du circuit. 3. Tension au bornes de la capacité a valeur efficace de la tension au bornes de la capacité vaut: Soit: = (8) X

4 4 / 5 = 159*0,1= 159, omme la tension au bornes de est déphasée de 90 en arrière par rapport au courant, le déphasage par rapport à la tension au bornes du circuit vaut: On donc finalement: φ 90 = 46,34 90 = -43,66 = 159, -43,66 emarque: En utilisant les notations complees, on aurait: a somme vectorielle des trois tensions ( )* ( 01, 46, 34 ) = 159, -43, = jx = 66, et est bien égale à la tension comme le montrait la figure. On peut le vérifier avec les notations complees: ( 46,34 ) j 50 * sin ( 46,34 ) = ( 34,5 j 36,17 ) = 50 46,34 = 50 * cos ( 46,34) j101,9*sin ( 46,34) = ( 70,35 j73,7) = 101,9 46,34 = 101,9*cos a somme donne: = 159, - 43,66 = 159,*cos (- 43,66) j159,*sin (- 43,66) = ( 115, j109,9) soit 0 au erreurs d'arrondi près. ( 0,1 j0,010) = 0,1 0,003 = On a aussi, avec les valeurs efficaces: = ( 50 ) 159, = 0,0 101,9 e graphique de la figure 3 donne la représentation temporelle du courant et des tensions dans le circuit de la figure 1. A titre d'eercice, on pourra vérifier que la tension au bornes de l'ensemble "résistance capacité " a une valeur efficace de 189,0 avec un déphasage de -11,03 par rapport à la tension au bornes du circuit. ette tension est représentée à la figure ; on peut constater comme cela a été dit plus haut, que c'est la somme vectorielle des tensions et qui donne la tension au bornes du circuit et non pas la somme des valeurs efficaces, et.

5 5 / 5 ENT and OTAGES 400 u(t) i(t) 00 u (t) oltage () 0-00 u (t) u (t) ,00 0,5 0,50 0,75 1,00 t / T Figure 3: représentation temporelle du courant et des tensions dans le circuit de la figure 1, en fonction du rapport t/t (T: période). 'échelle du courant n'est pas représentée. Pour mémoire, l'amplitude d'une grandeur sinusoïdale est égale à sa valeur efficace multipliée par. ON5WF@BA.be