Les propriétés du rectangle (côtés parallèles, diagonales)

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1 1 Fiche d accompagnement pédagogique Le rectangle Les propriétés du rectangle (côtés parallèles, diagonales) æ PLACE DE L ÉPISODE DANS LA SÉRIE Épisode 3 d une série de 4 épisodes. Épisode précédent : Caractérisations du rectangle : côtés, angles, longueur, largeur, axes de symétrie Épisode suivant : Tracer un rectangle æ PLACE DE L APPRENTISSAGE DANS LES PROGRAMMES On se situe en cycle 3. L objectif reste le même qu aux épisodes précédents : passer d une «reconnaissance perceptive des objets» à une reconnaissance instrumentée. Les propriétés sont vérifiées à l aide des instruments de géométrie : compas, équerre, règle (éventuellement graduée). Les propriétés vues précédemment portaient sur les côtés du rectangle directement appréhendables. Les perceptions du parallélisme et des diagonales sont plus complexes. Les propriétés associées ouvrent sur de nouvelles techniques de vérification et de construction du rectangle. Elles donneront les outils pour construire des droites parallèles. On se situe au niveau CM1. æ OBJECTIFS VISÉS PAR LE FILM D ANIMATION Après avoir repris les éléments de l épisode précédent, l animation poursuit l exploration des propriétés avec le pliage. Elle montre que les diagonales sont de même milieu et de même longueur. Le parallélisme des côtés opposés est montré avec la conservation des écarts, et matérialisé par l usage du compas. L ensemble de ces propriétés est alors résumé dans un tracé terminal sur une même figure. æ MOTS-CLÉS Rectangle, côtés opposés, parallèle, diagonale, axe de symétrie, longueur, angles droits. æ ÉLÉMENTS STRUCTURANTS Un rectangle a deux axes de symétrie. Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Ses diagonales sont de même longueur et de même milieu. æ POINTS DE BLOCAGE Le parallélisme est défini comme la conservation des écarts entre les côtés. La technique de vérification est complexe : l écart doit être pris perpendiculairement au côté et nécessite des tracés intermédiaires. La symétrie des diagonales leur confère des propriétés fortes (même longueur, même milieu) qui conduisent les élèves à les considérer comme des axes de symétrie du rectangle. FE215

2 PHASE DE DÉCOUVERTE 2 Pas d utilisation pour l instant. Ce temps sert à évaluer le niveau des élèves sur les termes géométriques de «diagonales» et d «axes de symétrie» dans le rectangle. Les tracés de cette phase de découverte n ont pas à être justes. Ils doivent être soigneux mais leur vérification fera l objet de l étape suivante. Au travers des productions, on peut observer les différents niveaux d acquisition des axes de symétrie et des diagonales. La difficulté est d associer un vocabulaire à une représentation. C est pourquoi, si l on souhaite conserver l aspect «évaluation formative» de cette phase, les explications devront s appuyer le moins possible sur les figures proposées. En cas de difficulté, il sera pertinent d utiliser un rectangle découpé et placé dans diverses positions pour montrer cette association. Proposer des quadrilatères différents : rectangles, carrés, trapèzes, parallélogrammes quelconques, et surtout pas tous agencés de façon prototypique. Consignes de travail : Tracer en rouge les axes de symétrie. Tracer en bleu les diagonales (segment joignant deux sommets opposés). L observation des productions des élèves pourra servir à préparer l organisation des groupes de la phase suivante.

3 PHASE DE MANIPULATION 3 On va se servir de cette phase pour permettre aux élèves de s approprier les concepts d axes et de diagonales en associant les représentations au vocabulaire. À partir des différents tracés des élèves, on montre que les axes et les diagonales du rectangle ne dépendent pas de sa position mais de ses sommets et de ses côtés. Ce sont les invariants qui vont permettre de définir les axes de symétrie et les diagonales : les milieux des côtés opposés pour les axes ; les sommets opposés pour les diagonales. Si la majorité des élèves a un tracé juste, alors on peut passer la phase de travail en groupes et aller directement à la correction. Travail en groupe Répartir les élèves en groupes de façon à ce qu il y ait dans chacun des propositions de tracés différentes favorables aux échanges. Chaque groupe doit se mettre d accord sur une correction commune et être capable d expliciter son choix. Ce moment peut être court si les éléments caractéristiques des axes et des diagonales apparaissent rapidement (voir colonne cicontre). L enseignant sera à l écoute des échanges : on attend que soient évoqués les milieux des côtés opposés pour les médiatrices, et les sommets opposés pour les diagonales. Lorsque ces propriétés auront émergé dans la quasi-totalité des groupes, on passe au temps suivant. Correction collective Les différents quadrilatères sont vidéoprojetés au tableau. La correction peut partir du tracé sur les figures qui ne posent pas de problème. Les quelques difficultés rencontrées devraient permettre d expliciter les caractéristiques des diagonales et des axes. Petit à petit, on montrera que le tracé des diagonales suit le même principe : identifier les sommets opposés et les relier. De la même façon, pour tracer les axes, on cherche les milieux des côtés opposés et on les rejoint. Synthèse L explicitation obtenue lors de l élaboration de la correction servira pour la synthèse et la trace écrite : La diagonale d un rectangle est un segment joignant les sommets opposés du rectangle. Les axes de symétrie du rectangle sont les droites qui passent par les milieux des côtés opposés du rectangle.

4 PHASE DE STRUCTURATION 4 Cette phase s appuie sur l animation. Elle montre comment on peut déduire les propriétés du rectangle à partir des axes de symétrie : médiatrices des côtés, diagonales de même longueur, parallélisme des côtés opposés. L animation reprend des éléments de l épisode précédent (de 00:29 à 01:06). Dans ce passage, la définition du rectangle (quadrilatère qui 4 angles droits) est présentée comme une propriété. Cette confusion, sans être explicitée aux élèves, doit inciter à la prudence dans la classe car elle peut engendrer des difficultés pour le collège. Du point de vue de l enseignant, il est important de saisir la nuance : une propriété n est pas nécessairement spécifique au rectangle. Par exemple, «les côtés opposés de même longueur» est une propriété du rectangle mais aussi du parallélogramme. En primaire, la définition doit permettre de nommer ou de distinguer le rectangle des autres quadrilatères. On peut compléter l animation par une activité de pliage qui montre la conservation des grandeurs (les angles et les longueurs) : c est une isométrie. De même, il sera souhaitable de revenir sur la présentation des diagonales afin d en faire percevoir la richesse aux élèves. Dans la colonne précédente, nous avons présenté les problèmes mathématiques de l animation ; mais elle présente toutefois l avantage de montrer la technique du pliage, qui permet de prouver les propriétés. Après avoir fait la synthèse, présenter aux élèves le nouvel objectif attendu : «Nous avons observé deux types de droites du rectangle : les axes de symétrie et les diagonales. Nous allons maintenant chercher leurs propriétés. Une propriété, c est quelque chose qui est particulier à un objet.» Comme un élève a un nom et un prénom (qui définissent de façon unique son lien de parenté), mais a aussi des propriétés particulières (blond, grand, garçon ). De la même façon, un rectangle, de la famille des quadrilatères, a 4 angles droits. Cela le caractérise de façon unique. Il a aussi d autres propriétés comme la longueur de ses côtés. Proposer alors de passer l animation, qui présente d autres propriétés. Les élèves doivent retenir comment le pinceau les a expliquées. S ils sont réceptifs, laisser dérouler toute l animation. Sinon l arrêter à 01:06, c est-àdire à la fin des rappels. Faire alors le point sur ce qu est une propriété en s appuyant sur l exemple des côtés opposés de même longueur. Puis poursuivre le visionnage. À l issue, demander collectivement aux élèves de donner les propriétés dans l animation et à l aide de quels outils elles ont été montrées. Relever au tableau les différents points qui ont été présentés : les angles droits / avec l équerre, les longueurs des côtés opposés / par pliage, les axes de symétrie / par pliage, les diagonales de même longueur / par pliage, les côtés opposés parallèles / avec le compas.

5 PHASE DE STRUCTURATION 5 Le temps suivant va se faire sous la direction de l enseignant. Distribuer à chaque élève des rectangles de formes différentes et leur faire tracer au stylo les axes de symétrie et les diagonales. Leur demander de coder au crayon de papier les longueurs qui sont égales et les angles droits. Faire la correction collectivement en vous appuyant sur un rectangle de grande dimension sur lequel vous aurez fait les tracés. Commencer par les propriétés des axes de symétrie : ils passent par le milieu des côtés opposés ; ils sont perpendiculaires aux côtés. Pour le prouver, faire les pliages et coder sur le rectangle les segments et les angles qui se superposent. On constate alors que le segment est partagé en deux parties de même longueur : l intersection avec l axe est donc le milieu. Les angles formés par le côté et l axe se superposent et partagent un angle plat en 2 angles égaux : ce sont des angles droits. On vient donc de montrer ce qui avait été constaté à la phase précédente. Reprendre le raisonnement avec les diagonales : elles sont de même longueur, elles ont le même milieu. Le pliage sur les axes de symétrie et les diagonales codés permet d obtenir ces résultats rapidement. PHASE DE RÉINVESTISSEMENT/PROLONGEMENT Situation 1 On propose 8 triangles rectangles de mêmes mesures. La consigne est d utiliser les triangles rectangles pour construire le plus de rectangles différents. Situation 2 Découper les bandes de papier de même longueur et en distribuer deux à chaque élève. Chaque bande sera perforée en son extrémité. Les élèves doivent les disposer de façon à ce que les trous soient situés à l emplacement des sommets d un rectangle construit avec les triangles rectangles de la situation 1.