CX - INTEGRALE DE RIEMANN

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CX - INTEGRALE DE RIEMANN"

Transcription

1 CX - INTEGRALE DE RIEMANN On introduit dns ce texte l construction de l intégrle d une fonction à vleurs réelles due à Riemnn qui permet de donner un sens précis à l notion d ire d un domine D du pln euclidien limité pr l courbe représenttive d une fonction f définie sur un intervlle [, b]. L idée de bse est que l on sit clculer l ire d un rectngle, et que l on v pprocher le domine D pr des rectngles. On comprend que lorsque l fonction f est ssez régulière, plus le nombre de rectngles est grnd, plus on s pprocher de l ire cherchée. On commence donc pr étudier les fonctions dont l courbe représenttive donne des rectngles. On définir ensuite les fonctions intégrbles u sens de Riemnn et on donner quelques ensembles de fonctions vérifint cette propriété. On retrouver u pssge des résultts déjà connus pour les fonctions continues. On terminer pr l intégrle des fonctions à vleurs complexes. 1. Les fonctions en esclier Quelques définitions On ppelle subdivision de l intervlle [, b], un ensemble fini de points X = {x 0,x 1,...,x n } tels que = x 0 < x 1 < < x n = b. Le ps de l subdivision, ser le plus grnd des nombres x k x k 1, lorsque k est compris entre 1 et n. Une subdivision X est dite plus fine que X, si l ensemble X contient X (plus fine = plus de points). L ps de l subdivision X est donc plus petit que celui de X. Obtenir une subdivision plus fine que X = {x 0,x 1,...,x n } revient à subdiviser les intervlles [x i, x i+1 ]. Exemple : = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = b = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = b On ppelle fonction en esclier une ppliction définie sur un segment [, b] à vleurs réelles, pour lquelle il existe une subdivision {x 0,x 1,...,x n } et un ensemble de nombres {λ 1,...,λ n } tels que, pour k vrint de 1 à n, l fonction soit constnte sur l intervlle ]x k 1, x k [ et y prenne l vleur λ k.

2 CX 2 (Aux points x k l fonction peut prendre d utres vleurs éventuellement). On dir que l subdivision X = {x 0,x 1,...,x n } est dptée à l fonction en esclier f si f est constnte sur chcun des intervlles ]x k 1, x k [. Toute subdivision plus fine que X est encore dptée à f. On noter E ([, b]) l ensemble des fonctions en esclier définies sur [, b]. Quelques propriétés des fonctions en esclier Une fonction en esclier est bornée, puisqu elle ne prend qu un nombre fini de vleurs. Si f est une fonction en esclier sur [, b], et si g est une fonction définie sur un ensemble contennt f([, b]), lors g f est une fonction en esclier sur [, b], et une subdivision dptée à f est ussi dptée à g f. En effet, si f est constnte sur ]x k 1, x k [, il en est de même de g f. En prticulier, l fonction f est en esclier, l fonction 1/f est en esclier si f ne s nnule ps, et, quel que soit λ réel, l fonction λf est en esclier. Si f et g sont des fonctions en esclier sur [, b], il en est de même de f +g, de f.g, de mx(f,g), de min(f, g), de f/g si g ne s nnule ps, et, plus générlement, de toute opértion ϕ(f, g) effectuée sur f et g. En effet, si X et X sont des subdivisions dptées à f et g respectivement, l subdivision X X = {x 0,,x n } est dptée à l fois à f et à g, et sur chcun des intervlles ]x k 1, x k [, les fonctions f et g sont constntes, donc ϕ(f,g) églement et X X est une subdivision dptée à ϕ(f,g). En prticulier E ([, b]) est un espce vectoriel sur R.

3 CX 3 - Si A est un sous-ensemble de [, b] l fonction crctéristique de A, notée 1l A, est l fonction qui vut 1 sur A, et 0 en dehors de A. Si A est un intervlle, l fonction crctéristique de A est bien sûr une fonction en esclier. Réciproquement, toute fonction en esclier est combinison linéire de fonctions crctéristiques d intervlles. En effet, si l on f(x) = λ k sur l intervlle ]x k 1, x k [ pour k compris entre 1 et n, on vérifie fcilement que f = Intégrle d une fonction en esclier n λ k 1l ] xk 1, x k [ + n f(x k )1l {xk }. k=0 Soit f une fonction en esclier définie sur [, b]. Si X = {x 0,x 1,...,x n } est une subdivision de [, b] dptée à f, et si, pour k compris entre 1 et n, on ppelle λ k l vleur prise pr l fonction f sur l intervlle ]x k 1, x k [, on peut considérer l somme σ = n λ k (x k x k 1 ). Remrquons que le nombre λ k (x k x k 1 ) est l ire géométrique du rectngle de huteur λ k et de bse x k x k 1. Le nombre σ représente donc l ire lgébrique du domine délimité pr l courbe représenttive de f qui est formé d une réunion finie de rectngles. Les ires des rectngles situés en dessous de l xe des x sont comptées négtivement. Cette somme ne dépend ps de l subdivision dptée à f choisie. Prendre une subdivision plus fine revient à décomposer les rectngles précédents en rectngles plus petits, et l somme reste inchngée. Cette somme ne dépend que de f, et ser notée on l ppelle l intégrle de f sur [, b]. I(f) = f(x)dx, Remrque : l lettre x figurnt dns l intégrle ci-dessus est ce que l on ppelle une vrible muette. Elle peut être remplcée pr une utre lettre, non encore utilisée. Pr exemple I(f) = f(t)dt ou I(f) = Mis on ne pourr ps remplcer x pr ou b pr exemple. f(u)du. Dns l suite du texte nous utiliserons l nottion I lorsque l intégrle est prise sur [, b]. Nous reviendrons à l nottion intégrle lorsqu il y ur plusieurs intervlles.

4 CX 4 λ 4 λ 1 λ 2 λ 5 λ x 1 x 2 x 3 x 4 b Quelques remrques : 1) Modifier l vleur de f en un nombre fini de points ne modifie ps l vleur de l somme. En prticulier si f(x) = 0 suf pour un nombre fini de vleurs de x, lors I(f) = 0. 2) Si f est l fonction crctéristique d un intervlle de bornes c et d (c < d), 3) Si f est constnte sur [, b] et vut λ, lors I(f) = d c. I(f) = λ(b ). 4) Si f est positive, lors I(f) est positive, cr tous les termes de l somme sont positifs. 5) Si c b, en introduisnt le point c dns l subdivision, on l reltion de Chsles (Avec l convention f(x)dx = 0). f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx.

5 CX 5 Linérité de I Si f et g sont deux fonctions en esclier définies sur [, b], et si µ est un nombre réel, lors on I(f + g) = I(f) + I(g) L ppliction I est donc linéire sur E ([, b]). et I(µf) = µi(f). On vu que f + g est une fonction en esclier, et que l on peut prendre une subdivision X = {x 0, x 1,...,x n } dptée à l fois à f et à g qui ser lors une subdivision dptée à f + g. Si, sur l intervlle ] x k 1, x k [, on f(x) = λ k et g(x) = µ k, lors, (f + g)(x) = λ k + µ k et pr définition n I(f + g) = (λ k + µ k )(x k x k 1 ). On obtient lors c est-à-dire I(f + g) = n λ k (x k x k 1 ) + n µ k (x k x k 1 ), I(f + g) = I(f) + I(g). De même µf est une fonction en esclier, et vut µ λ k sur ] x k 1, x k [, d où n n I(µf) = (µ λ k )(x k x k 1 ) = µ λ k (x k x k 1 ) = µi(f). Conséquence : si f g, lors I(f) I(g), cr I(g) I(f) = I(g f) Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Toutes les fonctions envisgées désormis sont des fonctions à vleurs réelles définies sur un segment [, b] et bornées sur cet intervlle.

6 CX 6 Pour une fonction bornée, il existe donc un nombre M, tel que, pour tout x de [, b], on it Notons M f(x) M. I + (f) = {I(G) G E ([, b]), G f}. Cet ensemble n est ps vide cr il contient I(M) = M(b ). D utre prt, si G est une fonction en esclier telle que G f, on ussi G M, et donc I(G) M(b ). L ensemble I + (f) est donc minoré. Il possède une borne inférieure. On note I + (f) cette borne inférieure, qui est ppelée intégrle supérieure de f. De même, si l on pose I (f) = {I(g) g E ([, b]), g f}, le même risonnement montre que cet ensemble n est ps vide et est mjoré (pr M(b )). S borne supérieure existe. On note I (f) cette borne supérieure, qui est ppelée intégrle inférieure de f. Donc I + (f) = inf G E( [, b ] ) G f I(G) et I (f) = sup I(g). g E([, b ] ) g f Remrquons en prticulier que, si g f G, et si g et G sont en esclier, lors I(g) I(G), donc I(G) mjore I (f), et il en résulte que Mis cel signifie que I (f) minore I + (f), donc I (f) I(G). I (f) I + (f). Enfin, si f est une fonction en esclier, le nombre I(f) pprtient à I (f) et est un mjornt de cet ensemble, il pprtient ussi à I + (f) et est un minornt de cet ensemble, donc I(f) = I + (f) = I (f). On dir qu une fonction f est intégrble u sens de Riemnn ou Riemnn-intégrble, si l on I + (f) = I (f). On noter lors l vleur commune. I(f) = f(x)dx, En prticulier, d près ce qui précède, une fonction en esclier est Riemnn-intégrble.

7 CX 7 Critères d intégrbilité En revennt à l définition de l borne inférieure et de l borne supérieure, on peut donner divers critères équivlents pour montrer l intégrbilité. Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, pour tout ε > 0, on peut trouver, des fonctions en esclier f ε et F ε, telles que f ε f F ε et (F ε (x) f ε (x))dx ε. F ε f f ε b Sur le dessin précédent l intégrle I(F ε f ε ) est l ire des rectngles limités pr les courbes représenttives des fonctions en esclier F ε et f ε. Cette ire est inférieure à ε. Donnons nous ε > 0. Pr définition de l borne inférieure, il existe F ε en esclier mjornt f telle que I + (f) I(F ε ) I + (f) + ε 2.

8 CX 8 Pr définition de l borne supérieure, il existe f ε en esclier minornt f telle que I (f) ε 2 I(f ε) I (f). On en déduit 0 I(F ε ) I(f ε ) I + (f) + ε ( 2 I (f) ε ). 2 Donc, si f est Riemnn-intégrble, I(F ε f ε ) = I(F ε ) I(f ε ) ε. Réciproquement, si l on peut trouver, pour tout ε > 0 des fonctions en esclier f ε et F ε, telles que f ε f F ε et on en prticulier, quel que soit ε (F ε (x) f ε (x))dx ε, I(f ε ) I (f) I + (f) I(F ε ), donc 0 I + (f) I (f) I(F ε f ε ) ε. On en déduit que I + (f) I (f) = 0, donc que f est Riemnn-intégrble. On peut donner une version de ce critère en terme de suites, dont nous nous servirons essentiellement pour les démonstrtions dns l suite de cet exposé. Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, on peut trouver, deux suites (f n ) n 0 et (F n ) n 0 de fonctions en esclier, telles que, pour tout entier n on it f n f F n et vérifint Dns ce cs lim n + (F n (x) f n (x))dx = 0. I(f) = lim F n (x)dx = lim f n (x)dx. n + n + Si f est Riemnn-intégrble, prenons ε = 1/n. Donc, on peut trouver, des fonctions en esclier f n et F n, telles que f n f F n et 0 (F n (x) f n (x))dx 1 n.

9 CX 9 Le théorème d encdrement permet de conclure que lim n + (F n (x) f n (x))dx = 0. Réciproquement, si l on obtenu deux telles suites, et si l on se donne ε > 0, en prennt n 1/ε, on obtient deux fonctions stisfisnt les hypothèses du critère précédent. Enfin 0 I(f) I(f n ) I(F n ) I(f n ) et 0 I(F n ) I(f) I(F n ) I(f n ). On déduit du théorème d encdrement que I(f) = lim n + F n (x)dx = lim n + f n (x)dx. Remrque : on peut méliorer le résultt précédent en prennt des suites monotones de fonctions en esclier, possédnt les mêmes mjornt et minornt que f. Supposons que f 0 = m f F 0 = M. Il suffit de remplcer f n pr ϕ n = mx f k et F n pr k n Φ n = min F k. En effet, l suite (ϕ n ) est croissnte et l suite (Φ n ) est décroissnte. Pour tout k n x [, b ] il existe k tel que ϕ n (x) = f k (x), donc ϕ n (x) f(x), et de même f(x) Φ n (x). Enfin, puisque f n ϕ n et F n Φ n, on 0 I(Φ n ) I(ϕ n ) I(F n ) I(f n ). Donc l suite (I(Φ n ϕ n )) n 0 converge encore vers 0, et de plus m ϕ n f Φ n M. Les sommes de Drboux On peut définir d une utre mnière les intégrles supérieures et inférieures en prennt des fonctions en esclier prticulières. Si X = {x 0,x 1,...,x n } est une subdivision de l intervlle [, b], posons M k = sup f(x) et m k = inf f(x). x ] x k 1, x k [ x ] x k 1, x k [ et considérons les fonctions F X et f X, ppelées fonctions de Drboux, qui vlent respectivement M k et m k sur ]x k 1, x k [, et f(x k ) en x k. Ce sont donc des fonctions en esclier prticulières qui vérifient f X f F X.

10 CX 10 On ppelle somme de Drboux, les intégrles n n Σ X (f) = I(F X ) = M k (x k x k 1 ) et σ X (f) = I(f X ) = m k (x k x k 1 ). Remrquons que si X X, c est-à-dire si X est plus fine que X, on f X f X et F X F X, et donc σ X (f) σ X (f) et Σ X (f) Σ X (f). L intégrle supérieure de f est l borne inférieure des sommes de Drboux Σ X (f), et l intégrle inférieure est l borne supérieure des sommes de Drboux σ X (f) lorsque l on prend toutes les subdivisions X possibles de [, b]. Comme f X et F X, sont des fonctions en esclier prticulières, minornt et mjornt f respectivement, on donc et l on en déduit σ X (f) I (f) et I + (f) Σ X (f), sup σ X (f) I (f) et I + (f) inf Σ X (f). X X Inversement, si f et F sont deux fonctions en esclier telles que f f F, on f f X f F X F, où f X est l fonction de Drboux correspondnt à une subdivision X ssociée à f, et F X l fonction de Drboux correspondnt à une subdivision X ssociée à F. Donc est Alors et finlement On en déduit les églités I(f ) I(f X ) I(F X ) I(F ). I(f ) sup σ X (f) et X inf Σ X (f) I(F ), X I (f) sup σ X (f) et inf σ X (f) I + (f). X X I (f) = sup σ X (f) et inf σ X (f) = I + (f). X X

11 CX 11 F X f X x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 On lors l nouvelle crctéristion suivnte : Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, pour tout ε > 0, on peut trouver une subdivision X de [, b] telle que Σ X (f) σ X (f) ε. Si l on une telle inéglité, lors I(F X f X ) ε, et les fonctions en esclier, F X et f X vérifient ussi f X f F X, donc stisfont les conditions du premier critère d intégrbilité. Alors f est Riemnn-intégrble.

12 CX 12 Inversement, si f est Riemnn-intégrble, donnons nous ε > 0. Pr définition de l borne inférieure, il existe X tel que I + (f) Σ X (f) I + (f) + ε 2, Pr définition de l borne supérieure, il existe X tel que I (f) ε 2 σ X (f) I (f). Alors, si X = X X, on X X et X X, donc On en déduit Σ X (f) Σ X (f) et σ X (f) σ X (f). Σ X (f) σ X (f) Σ X (f) σ X (f) I + (f) + ε ( 2 I (f) ε ), 2 et l on obtient Σ X (f) σ X (f) ε. Les sommes de Riemnn Les sommes de Riemnn vont permettre de crctériser de nouveu les fonctions Riemnn-intégrbles. b

13 CX 13 Si X = {x 0,...,x n } est une subdivision de [, b], soit, un ensemble de nombres Λ = {λ 1,,λ n }, tels que, pour k compris entre 1 et n le nombre λ k soit dns l intervlle [m k, M k ]. On ppelle somme de Riemnn, l somme n S X,Λ (f) = λ k (x k x k 1 ). Sur le dessin précédent, l somme de Riemnn est l ire des rectngles. Si l fonction bornée f est Riemnn-intégrble, quel que soit ε > 0, on peut trouver un nombre α > 0, pour lequel on l propriété suivnte : pour toute subdivision X de [, b] de ps inférieur à α, et tout ensemble Λ, on I(f) S X,Λ (f) < ε. D une mnière plus concise, mis incorrecte, on dit que les sommes de Riemnn tendent vers I(f), lorsque le ps de l subdivision tend vers 0. Pour commencer, démontrons le lemme suivnt : Lemme Soit f une fonction bornée, M un mjornt de f et δ > 0. Si X est une subdivision de [, b] de ps δ, et X une subdivision contennt n points, on σ X X (f) σ X (f) 2nδM et Σ X (f) Σ X X (f) 2nδM. Soit N l ensemble des entiers k tels que [ x k 1, x k [ contienne u moins un des éléments de X. Pour un tel élément k de N, notons x k (1),... x k (r k) les éléments de X inclus dns ] x k 1, x k [, et x k (0) = x k 1, x k (r k + 1) = x k. Lorsque l on effectue l différence il reste Donc k N = σ X X (f) σ X (f), = r k +1 (x k (j) x k (j 1))m k(j) (x k x k 1 )m k. k N j=1 k N r k +1 (x k(j) x k(j 1)) m k (j) + (x k x k 1 ) m k, j=1 k N et puisque les nombres m k et m k (j) sont mjorés pr M, on trouve k N r k +1 (x k (j) x k (j 1))M + (x k x k 1 )M. j=1 k N

14 CX 14 Mis donc r k +1 (x k(j) x k(j 1)) = x r k +1 x k(0) = x k x k 1, j=1 2M (x k x k 1 ) 2Mδ crd(n ) 2Mδn, k N ce qui donne l première inéglité. L seconde se démontre de mnière nlogue. Démontrons mintennt l proposition. Soit f Riemnn-intégrble, et soit ε > 0. Il existe une subdivision X telle que Σ X (f) σ X (f) ε 2, et donc I(f) σ X (f) ε 2. Soit n le nombre de points de X, et soit X une subdivision de ps δ. Alors, d près le lemme σ X X (f) σ X (f) 2nδM, où M est un mjornt de f. Comme X X est plus fine que X, on σ X X (f) σ X (f), et donc Alors σ X (f) σ X (f) 2nδM. I(f) σ X (f) = (I(f) σ X (f)) + (σ X (f) σ X (f)) ε 2 + 2nδM. Choisissons Alors, si δ α 1, on α 1 = ε 4nM. I(f) σ X (f) ε. Une méthode nlogue, montre qu il existe α 2, tel que, si δ α 2, on it Σ X (f) I(f) ε. Prenons α = min(α 1, α 2 ), et δ α. L somme de Riemnn S X,Λ (f) vérifie σ X (f) S X,Λ (f) Σ X (f), et donc, S X,Λ (f) I(f) mx(σ X (f) I(f), I(f) σ X (f)) ε.

15 CX 15 Pour l réciproque, on peut se contenter des sommes de Riemnn pour lesquelles ł ensemble Λ est constitué de λ k = f(ξ k ) où ξ k pprtient à l intervlle [x k 1, x k ]. On lors l proposition suivnte : Si les sommes de Riemnn tendent vers une limite I lorsque le ps de l subdivision tend vers 0, lors, f est Riemnn-intégrble et I(f) = I. Supposons que l on it l convergence des sommes de Riemnn du type précédent. Si l on se donne ε > 0, il existe une subdivision X telle que, quel que soit Λ, I S X,Λ (f) ε 4. D près l propriété de l borne supérieure, il existe λ k dns [ m k, M k ] tel que ε M k 4(b ) λ k M k. Multiplions pr x k x k 1 et sommons les différentes inéglités. On obtient n n ε n n M k (x k x k 1 ) 4(b ) (x k x k 1 ) λ k (x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ), ce qui donne Si l on prend Λ = {λ 1..., λ n }, on ussi Σ X (f) ε 4 S X,Λ(f) Σ X (f). I S X,Λ (f) ε 4. Alors I Σ X (f) I S X,Λ (f) + S X,Λ (f) Σ X (f) ε 4 + ε 4 = ε 2. Le même clcul vec l borne inférieure v donner églement Alors I σ X (f) ε 2. Σ X (f) σ X (f) ε, ce qui, d près le critère des sommes de Drboux, montre que f est Riemnn-intégrble. De plus puisque σ X (f) I(f) Σ X (f). On obtient d où, pour tout ε > 0, et l on en déduit que I = I(f). σ X (f) I I(f) I Σ X (f) I, I(f) I mx( Σ X (f) I, σ X (f) I ) ε 2,

16 CX 16 Linérité de l intégrle de Riemnn L ensemble des fonctions numériques définies sur [, b] et intégrbles u sens de Riemnn est un espce vectoriel et l ppliction qui à une fonction ssocie son intégrle est linéire. Soit f et g intégrbles u sens de Riemnn. Il existe lors qutre suites de fonctions en escliers (f n ), (F n ), (g n ), (G n ) telles que, pour tout entier n vec Alors f n f F n et g n g G n, lim I(F n f n ) = lim I(G n g n ) = 0. n + n + f n + g n f + g F n + G n. Les fonctions f n + g n et F n + G n sont en esclier, et lim I((F n + G n ) (f n + g n )) = lim I(F n f n ) + lim I(G n g n ) = 0. n + n + n + Il en résulte que f + g est Riemnn-intégrble, et que I(f + g) = lim n + I(f n + g n ) = lim n + I(f n) + lim n + I(g n) = I(f) + I(g). Si λ est un nombre réel positif, on et donc λf est Riemnn-intégrble et Si λ est un nombre réel négtif, on λf n λf λf n, lim I((λF n) (λf n )) = lim (λi(f n f n )) = 0, n + n + lim I(λf n) = λ lim I(f n) = λi(f). n + n + λf n λf λf n, et l conclusion subsiste encore.

17 CX 17 Positivité et croissnce de l intégrle de Riemnn Si f est Riemnn-intégrble et positive, lors I(f) 0. En effet I(0) = 0 pprtient dns ce cs à I (f), donc I (f) = I(f) est positif. Remrque : une fonction qui est nulle suf en un nombre fini de points est telle que son intégrle soit nulle. On en déduit l croissnce de I. Soit f et g deux fonctions Riemnn-intégrbles sur [, b], lors si f g, on I(f) I(g). On en effet g f 0, donc I(g f) 0, mis I(g f) = I(g) I(f), donc I(f) I(g). Intégrbilité de f Soit f une fonction à vleurs réelles. On pose et f + (x) = mx(f(x),0) = f (x) = ( f) + (x) = mx( f(x),0) = { f(x) si f(x) 0 0 si f(x) 0 On obtient deux fonctions positives, et l on vérifie fcilement que f = f + f et f = f + + f. { f(x) si f(x) 0 0 si f(x) 0

18 CX 18 D utre prt, si f g, on f + g + et f g. f f + b b f f b b f b Si f est Riemnn-intégrble, les fonctions f + et f sont Riemnn-intégrbles.

19 CX 19 Si l on où f n et F n sont en esclier et lors, on ussi f n f F n, lim I(F n f n ) = 0, n + (f n ) + f + (F n ) +, et les fonctions (f n ) + et (F n ) + sont en esclier. De plus, puisque (F n ) + (f n ) + est positif, on On églement donc Mis en écrivnt on en déduit Finlement et il résulte du théorème d encdrement que I((F n ) + (f n ) + ) 0. (F n ) (f n ), (F n ) (f n ) 0. (F n ) + (f n ) + = F n f n + (F n ) (f n ), (F n ) + (f n ) + F n f n. 0 I((F n ) + (f n ) + ) I(F n f n ), lim I((F n) + (f n ) + ) = 0. n + Donc f + est Riemnn-intégrble. Alors f = f + f est ussi Riemnn-intégrble. Conséquences Si f est Riemnn-intégrble, il en est de même de f, et I(f) I( f ). En effet f = f + + f est Riemnn-intégrble, et puisque f f f, on en déduit I( f ) = I( f ) I(f) I( f ), ou encore, puisque I( f ) est positif, I(f) I( f ).

20 CX 20 Inéglité de l moyenne : si f est Riemnn-intégrble I(f) (b ) sup f(x). x b Si M désigne un mjornt de f, on f M, donc I(f) I( f ) I(M) = M(b ). Restriction d une fonction Riemnn-intégrble. Soit f définie sur [, b] et Riemnn-intégrble. Soit [c, d] un intervlle inclus dns [, b]. Alors l restriction de f à [c, d] est Riemnn-intégrble. Si de plus f est positive, lors d c f(x)dx f(x)dx. Si l on f n f F n où f n et F n sont en esclier et où l suite (I(F n f n )) converge vers zéro, lors, (f n ) / [ c, d ] f /[ c, d ] (F n ) / [ c, d], et les restrictions à [ c, d] de f n et F n sont en esclier sur [ c, d]. D utre prt, l fonction F n f n étnt en esclier et positive, on 0 d c (F n f n )(x)dx (F n f n )(x)dx. (En prennt une subdivision de [, b ] contennt c et d, l somme définissnt l intégrle de droite, contient celle définissnt l intégrle de guche, plus des termes positifs). Il résulte du théorème d encdrement que lim n + d c (F n f n )(x)dx = 0.

21 CX 21 donc l restriction de f à [ c, d] est Riemnn-intégrble. Si f est positive, on peut choisir f n positive, lors d 0 f n (x)dx f n (x)dx, c et pr pssge à l limite d 0 f(x)dx f(x)dx. c Reltion de Chsles Soit f une fonction numérique définie sur [, b], et c b. L fonction f est Riemnnintégrble si et seulement si ses restrictions f /[, c ] et f /[c, b ], sont Riemnn-intégrbles, et lors c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. (Avec l convention f(x)dx = 0). c Si f est Riemnn-intégrble il résulte du prgrphe précédent que ses restrictions à [, c ] et [ c, b ] le sont ussi. Montrons l réciproque. On choisit qutre suites de fonctions en escliers (f n ), (F n ), (g n ), (G n ) telles que, pour tout entier n et pour tout x de [, c ], f n (x) f(x) F n (x), et pour tout x de [ c, b ], g n (x) f(x) G n (x), vérifint de plus lim c n + (F n f n )(x)dx = lim n + c (G n g n )(x)dx = 0.

22 CX 22 Alors on définit deux suites de fonctions en esclier (Φ n ) et (ϕ n ) en posnt { Fn (x) si x c Φ n (x) = G n (x) si c < x b { fn (x) si x c et ϕ n (x) = g n (x) si c < x b. On, sur [, b ] ϕ n f Φ n, et, en ppliqunt l reltion de Chsles à l fonction en esclier Φ n ϕ n, (Φ n ϕ n )(x)dx = c (F n f n )(x)dx + c (G n g n )(x)dx. Il résulte du théorème sur les limites d une somme que cette expression converge vers 0. On en déduit que f est Riemnn-intégrble. De plus, en utilisnt l reltion de Chsles pour les fonctions en esclier c Φ n (x)dx = F n (x)dx + G n (x)dx, et pr pssge à l limite f(x)dx = c c f(x)dx + c f(x)dx. 3. Exemples de fonctions intégrbles u sens de Riemnn On peut crctériser exctement toutes les fonctions intégrbles u sens de Riemnn. Dns ce qui suit on se contente de donner deux fmilles de fonctions importntes pour lesquelles cette propriété lieu. Les fonctions monotones Toute fonction numérique définie et monotone sur [, b] est intégrble u sens de Riemnn sur [, b]. Il suffit de démontrer le théorème lorsque f est croissnte. En effet, si le théorème est vri dns ce cs, et si f est décroissnte, lors f ser croissnte donc Riemnn-intégrble, et f ser églement Riemnn-intégrble.

23 CX 23 Supposons donc f croissnte. C est une fonction bornée, puisque, si x est dns [, b ], f() f(x) f(b). Soit n un entier strictement positif. Si 0 k n, posons x k = + k b n. On obtient insi une subdivision {x 0, x 1,..., x n } de l intervlle [, b ] telle que x k x k 1 = b n. On définit deux fonctions en esclier f n et F n en posnt, si x pprtient à [ x k 1, x k [, insi que On lors Pr illeurs I(F n f n ) = F n (x) = f(x k ) et f n (x) = f(x k 1 ), F n (b) = f n (b) = f(b). f n f F n. n (f(x k ) f(x k 1 )) b = (f(b) f())b n n. Cette suite converge donc vers zéro, et il en résulte que f est Riemnn-intégrble. x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

24 CX 24 Les fonctions continues Toute fonction numérique définie et continue sur [, b] est intégrble u sens de Riemnn sur [, b]. L fonction f étnt continue sur le segment [, b ] elle est bornée et uniformément continue sur cet intervlle. Soit n un entier strictement positif. il existe α > 0 tel que x y < α, implique f(x) f(y) < 1 n. Choisissons p entier tel que p > (b )/α, et posons, si 0 k p, x k = + k b p On obtient insi une subdivision {x 0, x 1,..., x p } de [, b ] telle que x k x k 1 = b p Pr illeurs, sur [ x k 1, x k ], l fonction continue f tteint s borne supérieure en un point ξ k et s borne inférieure en un point ζ k. On définit deux fonctions en esclier f n et F n en posnt, si x pprtient à [ x k 1, x k [, F n (x) = f(ξ k ) et f n (x) = f(ζ k ),.. insi que On lors F n (b) = f n (b) = f(b). f n f F n. Comme ξ k et ζ k pprtiennent à l intervlle [ x k 1, x k ], on ξ k ζ k b p < α, et donc Alors 0 I(F n f n ) = 0 f(ξ k ) f(ζ k ) 1 n. p (f(ξ k ) f(ζ k )) b p p 1 b = b n p n. Cette suite converge donc vers zéro, et il en résulte que f est Riemnn-intégrble.

25 CX 25 Autres exemples de fonctions Riemnn-intégrbles Soit f une fonction bornée sur [, b] et Riemnn-intégrble sur tout intervlle [ c, b] inclus dns ], b]. Alors f est Riemnn-intégrble sur[, b] et f(x)dx = lim f(x)dx. c + c Remrque : on peut écrire un résultt nlogue en inversnt les rôles des bornes et b. Soit M un mjornt de f sur [, b ] et soit ε > 0. L fonction f est intégrble sur [ + ε/(2m + 1), b ], donc il existe deux fonctions en esclier f ε et F ε, telles que, pour tout x de [ + ε/(2m + 1), b ] f ε (x) f F ε (x), et Posons +ε/(2m+1) (F ε f ε )(x)dx ε 2M + 1. Φ ε (x) = { Fε (x) si x [ + ε/(2m + 1), b ] M si x [, + ε/(2m + 1)[ et ϕ ε (x) = { fε (x) si x [ + ε/(2m + 1), b ] M si x [, + ε/(2m + 1)[. Pour tout x de [, b ], on et, d près l reltion de Chsles, ϕ(x) f(x) Φ(x), D où I(Φ ε ϕ ε ) = +ε/(2m+1) = 2M ε 2M (Φ ε ϕ ε )(x)dx + +ε/(2m+1) +ε/(2m+1) (F ε f ε )(x)dx. I(Φ ε ϕ ε ) 2M ε 2M ε 2M + 1 = ε. Il en résulte que f est Riemnn-intégrble sur [, b ]. (Φ ε ϕ ε )(x)dx

26 CX 26 Alors, si < c < + ε/(2m + 1), f(x)dx c f(x)dx = c f(x)dx c f(x) dx, donc Il en résulte que f(x)dx c f(x)dx M(c ) M ε 2M + 1 < ε. f(x)dx = lim f(x)dx. c + c Pr exemple, une fonction f telle que, sur ]0, 1], f(x) = sin 1 x, est Riemnn-intégrble sur [ 0, 1], puisqu elle est continue, donc Riemnn-intégrble sur [ c, 1] pour tout c > 0, et qu elle est bornée. Un exemple de fonction qui n est ps Riemnn-intégrble Soit l fonction f définie sur [, b], qui vut 1 si x est rtionnel, et 1 sinon. Si G est une fonction en esclier qui mjore f, et si {x 0,x 1,...,x n } est une subdivision dptée à G, on G(x) = λ k sur l intervlle ]x k 1, x k [, et f(x) λ k. Mis il existe u moins un point x rtionnel dns l intervlle ]x k 1, x k [ et donc 1 λ k. Alors G 1. Donc I(G) b, et I + (f) b. Comme dns tout intervlle ouvert, il existe ussi un nombre irrtionnel, le même risonnement pour l fonction g, montre que l on nécessirement g 1. Donc I(g) b, et I (f) b. Alors, I + (f) ne peut ps être égl à I (f). L fonction f n est ps Riemnn-intégrble. Remrque : pr contre f est une fonction constnte donc Riemnn-intégrble. Il en résulte qu une fonction f telle que f soit Riemnn-intégrble n est ps nécessirement Riemnn-intégrble, lors que si f est Riemnn-intégrble l fonction f l est nécessirement.

27 CX Intégrle indéfinie Une nottion universelle Si f est une fonction numérique définie et intégrble sur [, b], et si c et d sont dns [, b], on pose, si c > d, d c c f(x)dx = d f(x)dx. Avec cette convention, on voit fcilement que l on, quels que soient u, v, w dns [, b] l reltion de Chsles : w u f(x)dx = v u f(x)dx + w v f(x)dx, ou encore w u v f(x)dx u f(x)dx = w v f(x)dx. On peut églement générliser l inéglité de l moyenne de l mnière suivnte : si M est un mjornt de f, et si c et d sont inclus dns [, b] En effet, si c > d, on d c d c f(t)dt = c d f(t)dt M d c. f(t)dt M(c d) = M d c, et si c < d, d c f(t)dt M(d c) = M d c.

28 CX 28 Soit f une fonction numérique définie et Riemnn-intégrble sur [, b]. Si c pprtient à [, b], on définit une fonction F sur [, b] en posnt F(x) = x c f(t)dt. Cette intégrle est ppelée intégrle indéfinie de f. L fonction F insi définie est continue sur [, b]. Soit x et y dns [, b ]. L fonction f étnt bornée sur [, b ], soit M un mjornt de f. On donc, d près l reltion de Chsles, F(x) F(y) = Alors, d près l inéglité de l moyenne, x c F(x) F(y) = y f(t)dt x y c f(t)dt. F(x) F(y) M x y, f(t)dt, et cette inéglité ssure l continuité uniforme de f sur [, b ]. Intégrle indéfinie d une fonction continue Lorsque l fonction f est elle-même continue, on lors le théorème fondmentl du clcul intégrl : Soit f est une fonction numérique définie et Riemnn-intégrble sur [, b]. Si f est continue u point x 0, lors l fonction F définie sur [, b] en posnt F(x) = x c f(t)dt, est dérivble u point x 0 et F (x 0 ) = f(x 0 ).

29 CX 29 Soit x 0 dns [, b ]. On v montrer que l différence δ(x) = F(x) F(x 0) x x 0 f(x 0 ), tend vers 0, lorsque x tend vers x 0, ce qui signifier que F est dérivble en x 0 et que Pour cel évluons Tout d bord, pr l reltion de Chsles, mis ussi, donc F (x 0 ) = f(x 0 ). (x x 0 )δ(x) = F(x) F(x 0 ) (x x 0 )f(x 0 ). F(x) F(x 0 ) = (x x 0 )f(x 0 ) = x x 0 f(t)dt, x F(x) F(x 0 ) (x x 0 )f(x 0 ) = x 0 f(x 0 )dt, x x 0 (f(x) f(x 0 ))dt. Si f est continue en x 0, quel que soit ε > 0, il existe α > 0, tel que, si x x 0 < α, et si x pprtient à [, b ] on it f(x) f(x 0 ) < ε. Alors si t est compris entre x et x 0, on t x 0 < α et f(t) f(x 0 ) < ε. Il résulte de l inéglité de l moyenne que x (f(t) f(x 0 ))dt ε x x 0. x 0 Donc, en divisnt pr x x 0, δ(x) < ε. En résumé, quel que soit ε > 0, il existe α > 0, tel que, si x x 0 < α, et si x pprtient à [, b ] on it δ(x) < ε. Cel signifie que δ(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x 0 d où le résultt voulu. Conséquences

30 CX 30 1) Toute fonction f numérique continue sur [, b], possède une primitive dns cet intervlle. 2) Formule de Newton-Leibniz : pour toute primitive G de f dns [, b], on f(t)dt = G(b) G(). 3) Si f est de clsse C 1, il résulte de ce qui précède que f (t)dt = f(b) f(). L fonction F construite précédemment est bien une primitive de f. Si G est une utre primitive, l fonction G F est constnte sur [, b ]. Donc, il existe une constnte k telle que G = F + k et G(b) G() = F(b) F() = f(x)dx. On noter de mnière générle G(b) G() = [ ] b G(x). Inéglités de Schwrz et de Minkowski Montrons pour commencer le résultt suivnt : Si f et g sont Riemnn-intégrbles sur [, b], leur produit est Riemnn-intégrble. Montrons tout d bord le résultt pour des fonctions f et g Riemnn-intégrbles positives. Les fonctions f et g sont bornées et positives : il existe donc deux constntes M et P telles que 0 f M et 0 g P. Il existe lors qutre suites de fonctions en escliers (f n ), (F n ), (g n ), (G n ) telles que, pour tout entier n 0 f n f F n M et 0 g n g G n P,

31 CX 31 vec Donc et les fonctions f n g n et F n G n sont en esclier. On lors lim I(F n f n ) = lim I(G n g n ) = 0. n + n + f n g n fg F n G n, 0 F n G n f n g n = F n (G n g n ) + g n (F n f n ) M(G n g n ) + P(F n f n ), et en utilisnt l croissnce et l linérité de I, on en déduit 0 I(F n G n f n g n ) MI(G n g n ) + PI(F n f n ). Le théorème d encdrement montre que l suite I(F n G n f n g n ) converge vers 0, donc que fg est Riemnn-intégrble. Si mintennt f et g sont Riemnn-intégrbles de signes quelconques, les fonctions f +, f, g +, g sont Riemnn-intégrbles et positives, donc leurs produits ussi. Mis f = f + f et g = g + g, donc fg = f + g + f + g f g + + f g, est Riemnn-intégrble comme somme de fonctions Riemnn-intégrbles. On peut lors donner l inéglité de Cuchy-Schwrz : Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] et Riemnn-intégrbles. Alors les fonctions fg, f 2 et g 2 sont Riemnn-intégrbles et f(x)g(x)dx f(x) 2 dx 1/2 g(x) 2 dx De plus l églité lieu lorsque les fonctions f et g sont colinéires. 1/2. Les fonctions fg, f 2 et g 2 sont des produits de fonctions Riemnn-intégrbles donc sont Riemnnintégrble d près ce qui précède. Pour tout nombre réel λ, considérons l expression P(λ) = I((λf + g) 2 ).

32 CX 32 C est l intégrle d une fonction positive, donc P(λ) 0. En développnt, et en utilisnt l linérité de I, P(λ) = λ 2 I(f 2 ) + 2λI(fg) + I(g 2 ). Si I(f 2 ) 0, le polynôme P(λ) est un trinôme du second degré toujours positif, donc son discriminnt est négtif, et I(fg) 2 I(f 2 )I(g 2 ) 0, on en déduit que ce qui donne l inéglité voulue. Si I(f 2 ) = 0, lors, quel que soit λ, I(fg) I(f 2 ) 1/2 I(g 2 ) 1/2, 2λI(fg) + I(g 2 ) 0, ce qui implique I(fg) = 0 : dns ce cs on églité. Si les fonctions f et g sont colinéires, et si f n est ps l fonction nulle, il existe λ tel que λf + g = 0. Dns c cs I((λf + g) 2 ) = 0. L trinôme et toujours positif mis s nnule, ce qui signifie que son discriminnt est nul. On lors églité dns l inéglité de Schwrz. De cette inéglité on déduit l inéglité de Minkowski : Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] et Riemnn-intégrbles. Alors les fonctions f 2, g 2 et (f + g) 2 sont Riemnn-intégrbles et (f(x) + g(x)) 2 dx 1/2 f(x) 2 dx 1/2 + g(x) 2 dx 1/2. Les fonctions f 2, g 2 et (f + g) 2 sont des crrés de fonctions Riemnn-intégrbles, donc le sont ussi. En prennt λ = 1 dns l démonstrtion précédente, Mis d près l inéglité de Schwrz I((f + g) 2 ) = I(f 2 ) + 2I(fg) + I(g 2 ). I(fg) I(f 2 ) 1/2 I(g 2 ) 1/2, donc I((f + g) 2 ) I(f 2 ) + 2I(f 2 ) 1/2 I(g 2 ) 1/2 + I(g 2 ) = (I(f 2 ) 1/2 + I(g 2 ) 1/2 ) 2. ce qui donne l inéglité voulue.

33 CX 33 De nouveux critères d intégrbilité Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, pour tout ε > 0, on peut trouver, des fonctions Riemnn-intégrbles f ε et F ε, telles que f ε f F ε et (F ε (x) f ε (x))dx ε. Si f est Riemnn-intégrble, on sit que pour tout ε > 0, on peut trouver, des fonctions en esclier, donc Riemnn-intégrbles f ε et F ε, telles que f ε f F ε et Il reste à montrer l réciproque. I(F ε f ε ) ε. Soit ε > 0, il existe donc des fonctions Riemnn-intégrbles f ε et F ε, telles que f ε f F ε et I(F ε f ε ) ε 3. Comme f ε est Riemnn-intégrble, il existe Φ ε et ϕ ε en esclier, telles que ϕ ε f ε Φ ε, et I(Φ ε ϕ ε ) ε 3. Comme F ε est Riemnn-intégrble, il existe Ψ ε et ψ ε en esclier, telles que ψ ε F ε Ψ ε, et I(Ψ ε ψ ε ) ε 3. Alors Pr illeurs Mis et ϕ ε f ε f F ε Ψ ε. I(Ψ ε ϕ ε ) = I(Ψ ε F ε ) + I(F ε f ε ) + I(f ε ϕ ε ). I(Ψ ε F ε ) I(Ψ ε ψ ε ) < ε 3, I(f ε ϕ ε ) I(Φ ε ϕ ε ) < ε 3. Il en résulte que I(Ψ ε ϕ ε ) ε. Le critère usuel vec les fonctions en esclier est donc vérifié et f est Riemnn-intégrble.

34 CX 34 On peut bien sûr trduire ce critère vec des suites : Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, on peut trouver, deux suites (f n ) n 0 et (F n ) n 0 de fonctions Riemnn-intégrbles, telles que, pour tout entier n on it f n f F n et vérifint lim n + (F n (x) f n (x))dx = 0. Dns ce cs I(f) = lim F n (x)dx = lim f n (x)dx. n + n + Chngement de vrible pour les intégrles de Riemnn Soit f une fonction numérique définie sur [, b] et Riemnn-intégrble. Soit ϕ, une ppliction bijective de [α, β ] sur [, b] de clsse C 1. Alors l ppliction f ϕϕ est Riemnn-intégrble sur [α, β ], et ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = β α f ϕ(t)ϕ (t)dt. Remrque : nous verrons dns l suite que, pour les fonctions continues, l hypothèse ϕ bijective n est plus nécessire. On montre tout d bord l propriété pour l fonction crctéristique f d un intervlle [ c, d]. L ppliction ϕ est strictement monotone et continue. Son ppliction réciproque ϕ 1 est églement strictement monotone continue, donc ϕ 1 ([c, d]) = [ γ, δ ].

35 CX 35 Si t pprtient à [ γ, δ ], lors ϕ(t) pprtient à [ c, d], donc f(ϕ(t)) = 1, et si t n pprtient ps à [ γ, δ ], lors ϕ(t) n pprtient ps à [ c, d], donc f(ϕ(t)) = 0. Alors β D utre prt, si ϕ est croissnte, donc On bien α f ϕ(t)ϕ (t)dt = δ γ ϕ (t)dt = ϕ(δ) ϕ(γ). ϕ(α) =, ϕ(β) = b, ϕ(γ) = c, ϕ(δ) = d, ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = ϕ(β) ϕ(α) Si ϕ est décroissnte, on cette fois donc et de nouveu f(x)dx = f(x)dx = β α d c dx = d c. f ϕ(t)ϕ (t)dt. ϕ(α) = b, ϕ(β) =, ϕ(γ) = d, ϕ(δ) = c, ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = d f(x)dx = β α c f ϕ(t)ϕ (t)dt. dx = c d, Pr linérité cette reltion v voir lieu pour toute combinison linéire de fonctions crctéristiques d intervlles, donc pour toute fonction en esclier, et si f est en esclier f ϕ est en esclier (si X est une subdivision dptée à f, lors ϕ 1 (X ) est une subdivision dptée à f ϕ). Il reste à étudier le cs générl. Comme f est intégrble sur [, b ] il existe deux suites (f n ) et (F n ) de fonctions en esclier telles que f n f F n et que l suite (I(F n f n )) converge vers 0. On lors ϕ(β) β f n (x)dx = f n ϕ(t)ϕ (t)dt, et ϕ(α) ϕ(β) ϕ(α) F n (x)dx = Si ϕ est croissnte, lors ϕ est positive, et α β α F n ϕ(t)ϕ (t)dt. f n ϕϕ f ϕϕ F n ϕϕ.

36 CX 36 Pr illeurs, puisque F n f n est en esclier β α L suite (F n ϕ(t)ϕ (t) f n ϕ(t)ϕ (t))dt = β α β α (F n f n ) ϕ(t)ϕ (t)dt = (F n f n )(x)dx. (F n ϕ(t)ϕ (t) f n ϕ(t)ϕ (t))dt converge vers zéro. Il résulte du critère d intégrbilité écrit dns le prgrphe précédent que l fonction f ϕϕ est Riemnn-intégrble sur [ α, β ]. De plus ϕ(β) f(x)dx = lim ϕ(β) n + ϕ(α) ϕ(α) f n (x)dx = lim n + α β β Si ϕ est décroissnte, lors ϕ est négtive, et F n ϕϕ f ϕϕ f n ϕϕ, et cette fois β β f n ϕ(t)ϕ (t)dt = f ϕ(t)ϕ (t)dt. α (F n ϕ(t)ϕ (t) f n ϕ(t)ϕ (t))dt = (F n f n ) ϕ(t)ϕ (t)dt = (F n f n )(x)dx. α α On peut lors conclure comme dns le cs précédent. Applictions Soit f une fonction numérique définie et Riemnn-intégrble sur [, ]. Si f est impire Si f est pire f(x)dx = 0. f(x)dx = 2 0 f(x)dx. 0 Clculons f(x)dx en effectunt le chngement de vrible ϕ(t) = t qui est une bijection de clsse C 1 de [ 0, ] sur [, 0 ]. On ϕ (t) = 1, donc 0 f(t)dt = 0 f( x)( 1)dx = 0 f( x)dx.

37 CX 37 Si f est impire f( x) = f(x), donc Alors 0 Si f est pire f( x) = f(x), donc f(t)dt = f(x)dx. f(x)dx = f(t)dt + f(x)dx = 0. 0 f(t)dt = 0 f(x)dx. Alors f(x)dx = 0 f(t)dt + f(x)dx = 2 f(x)dx. 0 0 Soit f une fonction numérique périodique de période T, définie sur R et Riemnn-intégrble sur tout segment. Alors l fonction F définie sur R pr F(α) = α+t α f(x)dx, est constnte. De plus, pour tout entier n, nt 0 f(x)dx = n T 0 f(x)dx. On pr l reltion de Chsles Clculons α+t T F(α) = α+t α f(x)dx = 0 α T f(x)dx + 0 f(x)dx + α+t T f(x)dx. f(x)dx en effectunt le chngement de vrible ϕ(t) = t + T qui est une bijection

38 CX 38 de clsse C 1 de [ 0, α ] sur [ T, α + T ]. On ϕ (t) = 1, donc α+t T f(t)dt = Comme f est T périodique, f(x + T) = f(x), donc lors F(α) = 0 et l fonction F est constnte. α α+t T T f(x)dx + 0 α 0 f(t)dt = f(x)dx + f(x + T)dx. α 0 α 0 f(x)dx, f(x)dx = T 0 f(x)dx = F(0), Remrque : lorsque l fonction f est continue, on peut ussi utiliser l démonstrtion suivnte. On écrit on obtient en dérivnt F(α) = α+t 0 f(x)dx α 0 f(x)dx, F (α) = f(α + T) f(α) = 0. Donc F est une fonction constnte. Revenons u cs générl. Si n > 0, nt 0 f(x)dx = n 1 k=0 (k+1)t kt f(x)dx. Mis donc (k+1)t kt nt 0 f(x)dx = f(x)dx = n T 0 T 0 f(x)dx, f(x)dx. Si n < 0, posons n = n nt 0 f(x)dx = 0 n T f(x)dx = n 1 k( T) k=0 (k+1)( T) f(x)dx.

39 CX 39 Mis k( T) (k+1)( T) f(x)dx = (k+1)( T)+T (k+1)( T) f(x)dx = T 0 f(x), et ce qui redonne l formule voulue. nt T f(x)dx = n f(x), Intégrle des fonctions continues Dns ce prgrphe, on complète l étude de l intégrle de Riemnn dns le cs des fonctions continues. Intégrle d une fonction positive On sit que l intégrle d une fonction positive est positive. Mis l intégrle d une fonction positive peut être nulle sns que l fonction soit nulle, pr exemple si l fonction est nulle suf en un nombre fini de points. Pour une fonction continue ceci ne peut voir lieu comme le montre le résultt suivnt. Soit f une fonction positive définie et continue sur [, b]. Si lors f est l fonction constnte nulle. f(x)dx = 0, Considérons l fonctions F définie pr F(x) = x f(t)dt. C est une fonction dérivble, et F = f 0. Donc F est croissnte. Mis F() = F(b) = 0. Donc l fonction F est constnte. Alors F = f = 0.

40 CX 40 Conséquence : pour les fonctions continues, on églité dns l inéglité de Schwrz si et seulement si f et g sont colinéires. En effet, si l on reprend l démonstrtion de l inéglité de Schwrz, on remrque que, si I(f 2 ) n est ps nulle, l églité signifie que le trinôme f(x)g(x)dx = f(x) 2 dx P(λ) = I((λf + g) 2 ) 1/2 possède un discriminnt nul, donc une rcine double λ 0. Alors I((λ 0 f + g) 2 ) = 0, g(x) 2 dx et comme l fonction (λ 0 f + g) 2 est continue, on en déduit qu elle est nulle donc que g = λ 0 f, ce qui montre que f et g sont colinéires. Si I(f 2 ) = 0, lors f 2 est nulle donc f ussi : là encore f et g sont colinéires. 1/2 Chngement de vrible pour les fonctions continues Soit ϕ une fonction de [α, β ] dns R de clsse C 1. Soit f une fonction numérique définie et continue sur [, b] = ϕ([α, β ]). Alors ϕ(β) β f(x)dx = f ϕ(t)ϕ (t)dt. ϕ(α) α Toutes les pplictions sont continues donc Riemnn-intégrbles, et ϕ([ α, β ] ) est un segment, puisque ϕ est continue sur un segment. Soit F définie sur [, b ] pr F(x) = x f(t)dt. On donc F = f. Pr illeurs, comme f ϕϕ = F ϕϕ est l dérivée de F ϕ, on lors Mis On donc églité. β α f ϕ(t)ϕ (t)dt = F ϕ(β) F ϕ(α). ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = F(ϕ(β)) F(ϕ(α)).

41 CX 41 Exemple : pour toute f fonction continue sur [ 0, 1], π 0 f(sint)cos t dt = 0. En effet, en ppliqunt l formule, vec ϕ(t) = sint, on obtient π sinπ f(sin t)cos t dt = f(x)dx = 0. 0 sin0 Intégrtion pr prties Soit u et v deux fonctions numériques de clsse C 1 définies sur [, b]. Alors u (x)v(x)dx = [ ] b u(x)v(x) u(x)v (x)dx. En prtnt de l reltion on obtient en intégrnt (uv) (x) = u (x)v(x) + v (x)u(x), (uv) (x)dx = u (x)v(x)dx + v (x)u(x)dx, mis le premier membre vut d où le résultt. u(b)v(b) u()v() = [ ] b u(x)v(x), 6. Les formules de l moyenne Première formule de l moyenne

42 CX 42 Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] telles que f soit continue g soit Riemnn-intégrble et positive. Alors l fonction fg est Riemnn-intégrble et il existe c dns [, b] tel que f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx. Tout d bord f est Riemnn intégrble puisqu elle est continue, et l fonction f g est Riemnnintégrble comme produit de deux fonctions Riemnn-intégrbles. Comme f est continue, on f([, b ] ) = [ m, M ], vec m = inf f(x) et M x b = sup f(x). x b On donc, pour tout x de [, b ] m f(x) M. Notons églement I = f(x)g(x)dx et J = g(x)dx. Comme g(x) est positif, on en déduit, pour tout x de [, b ], mg(x) f(x)g(x) Mg(x), et en intégrnt mj I MJ. Si J = 0, lors I = 0 et on l églité désirée vec n importe quelle vleur de c. Si J 0, lors le nombre I/J pprtient à l intervlle [ m, M ], et il existe c dns cet intervlle, tel que f(c) = I/J, ce qui donne le résultt voulu. Deuxième formule de l moyenne

43 CX 43 Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] telles que f soit Riemnn-intégrble, g soit positive et décroissnte. Alors l fonction fg est Riemnn-intégrble et il existe c dns [, b] tel que f(x)g(x)dx = g( + ) où g( + ) désigne l limite à droite de g en. c f(x)dx. Tout d bord g est Riemnn intégrble puisqu elle est monotone, et l fonction f g est Riemnnintégrble comme produit de deux fonctions Riemnn-intégrbles. Comme g est monotone, l limite à droite de g en existe toujours. Posons F(x) = x f(t)dt et I = f(x)g(x)dx. L fonction F est continue sur [, b ]. Notons [ m, M ] son imge pr F. Si l on montre que (1) mg( + ) I Mg( + ), on pourr conclure comme dns l démonstrtion précédente. On démontre tout d bord l reltion (1) lorsque g est positive, décroissnte et en esclier. Soit {x 0, x 1,..., x n } une subdivision de [, b ] dptée à g. On donc, g(x) = λ k sur ] x k 1, x k [, vec g( + ) = λ 1 λ 2 λ n 0. Alors ce que l on peut écrire I = I = n x k x k 1 f(x)g(x)dx = n λ k (F(x k ) F(x k 1 )) = n λ k x k n λ k F(x k ) x k 1 f(x)dx, n λ k F(x k 1 ). On encore, en chngent l indice de sommtion dns l deuxième somme, I = n n 1 λ k F(x k ) λ k+1 F(x k ), k=0 et finlement n 1 I = λ n F(x n ) λ 1 F(x 0 ) + (λ k λ k+1 )F(x k ).

44 CX 44 Mis F(x 0 ) = F() = 0, donc n 1 I = λ n F(x n ) + (λ k λ k+1 )F(x k ). Puisque g est décroissnte et positive, les nombres λ k λ k+1 et λ n sont positifs. Alors et Donc en dditionnnt ces inéglités m(λ k λ k+1 ) (λ k λ k+1 )F(x k ) M(λ k λ k+1 ), mλ n F(x n )λ n Mλ n. n 1 mλ 1 = mλ n + m (λ k λ k+1 ) I Mλ n + M n 1 (λ k λ k+1 ) = Mλ 1. On trouve finlement ce qui donne les inéglités (1). mλ 1 I Mλ 1, Reste à montrer ces inéglités pour une fonction g décroissnte positive quelconque. Soit n un entier strictement positif. Si 0 k n, posons x k = + k b n. On obtient insi une subdivision {x 0, x 1,..., x n } de l intervlle [, b ], telle que x k x k 1 = b n. On définit une fonction en esclier G n en posnt, si x pprtient à [ x 0, x 1 [, si x pprtient à [ x k 1, x k [ vec 2 k n et G n (x) = g( + ), G n (x) = g(x k 1 ), G n (b) = g(b). On obtient insi une fonction en esclier décroissnte positive telle que G n ( + ) = g( + ). De plus, si x >, on G n (x) g(x), donc I(G n g) 0. Comme l fonction f est Riemnn-intégrble, elle est bornée. Notons K un mjornt de f. On obtient f(x)g n (x)dx f(x)g(x)dx f(x)(g n (x) g(x)) dx K (G n (x) g(x))dx.

45 CX 45 Comme g est décroissnte, on, si x pprtient à [ x k 1, x k [ et donc et 0 0 G n (x) g(x) = g(x k 1 ) g(x) g(x k 1 ) g(x k ) si 2 k n, 0 G n (x) g(x) = g( + ) g(x) g(x 0 ) g(x 1 ) si k = 1, (G n (x) g(x))dx n (g(x k 1 ) g(x k )) b = (g() g(b))b n n, f(x)g n (x)dx Il résulte du théorème d encdrement que lim n + Alors, en ppliqunt les inéglités (1) à G n, mg( + ) et pr pssge à l limite dns les inéglités mg( + ) f(x)g(x)dx f(x)g n (x)dx = K(g() g(b))b n. f(x)g(x)dx. f(x)g n (x)dx Mg( + ), f(x)g(x)dx Mg( + ), d où le résultt. 7. Intégrtion des fonctions à vleurs complexes Extension d une propriété des fonctions à vleurs réelles u cs complexe On considère une fonction f définie sur [, b] et à vleurs complexes. On peut donc écrire f = Re f + iim f, où Ref et Im f sont respectivement les prties réelles et imginires de f. Si (P) désigne une propriété vérifiée pr les fonctions à vleurs réelles, il est fcile d étendre l propriété ux fonctions à vleurs complexes, en disnt que f vérifie l propriété (P) si et seulement si Ref et Im f vérifient (P).

46 CX 46 Pr exemple : 1) L fonction f possède une limite finie en un point c si et seulement si Ref et Im f possèdent une limite en c, et l on pose lim f(x) = lim Ref(x) + i lim Im f(x). x c x c x c On vérifie fcilement que les propriétés des limites de somme de produit et de quotients sont encore vries. (Il est d illeurs possible de définir directement les limites vec des epsilons comme dns le cs des fonctions à vleurs réelles en remplçnt l vleur bsolue pr le module). 2) L fonction f est continue en un point c si et seulement si Re f et Imf sont continues en c. 3) L fonction f est dérivble en un point c si et seulement si Re f et Im f sont dérivbles en c, et l on pose f (c) = (Re f) (c) + i(im f) (c). (On peut d illeurs définir f (c) comme limite en c du tux de vrition f(x) f(c) x c ). Les formules de dérivtion de somme de produit et de quotients sont encore vries. 4) L fonction f est bornée sur [, b], si les fonctions Ref et Im f sont bornées. En rison de l églité f = (Re f) 2 + (Im f) 2, l fonction f est lors bornée, et du fit des inéglités Re f f et Im f f, si f est bornée, les fonctions Ref et Im f le sont ussi. On peut donc dire que f est bornée si et seulement si f est bornée. On peut définir de mnière nlogue les fonctions Riemnn-intégrbles à vleurs complexes : Si f est une fonction définie sur [, b] à vleurs complexes et bornée, on dir que f est Riemnnintégrble, si Ref et Im f le sont, et on poser I(f) = f(x)dx = Ref(x)dx + i Im f(x)dx. On v psser en revue les propriétés obtenues pour les fonctions à vleurs réelles et voir celles qui sont encore vries dns le cs des fonctions à vleurs complexes.

47 CX 47 Propriétés de l intégrle des fonctions à vleurs complexes 1) On voit fcilement que si f et g sont Riemnn-intégrbles et si λ est un nombre complexe, lors f + g et λf sont Riemnn-intégrbles, et (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x) dx ; (λf)(x)dx = λ f(x)dx. En effet Re(f + g) = Re f + Re g ; Im(f + g) = Im f + Im g, et ces deux fonctions sont réelles et Riemnn-intégrbles, donc f + g est Riemnn-intégrble et I(f + g) = I(Re(f + g)) + ii(im(f + g)) = I(Re f + Re g) + ii(im f + Im g) = I(Re f) + I(Re g) + i (I(Im f) + I(Im g)) = I(Re f) + i I(Im f) + I(Re g) + i I(Im g) = I(f) + I(g). De même si λ = α + iβ, vec α et β réels, Re(λf) = α Ref β Im f et Im(λf) = β Re f + α Im f. Ces deux fonctions sont combinisons linéires de fonctions réelles Riemnn-intégrbles donc le sont ussi, et I(λf) = I(α Re f β Im f) + i I(β Re f + α Im f) = α I(Re f) β I(Im f) + iβ I(Re f) + iα I(Im f) = (α + iβ) (I(Re f) + i I(Im f)) = λi(f). De mnière générle, toutes les propriétés fisnt ppel à l linérité de l intégrle restent vries. Il suffit d ppliquer les propriétés pour les fonctions réelles ux prties réelles et imginires : L reltion de Chsles L formule de chngement de vrible L formule d intégrtion pr prties Les limites des sommes de Riemnn L continuité de l intégrle indéfinie Si f est continue, l formule de Newton-Leibniz et l existence de primitives de f.

48 CX 48 2) On l mjortion du module d une intégrle pr l intégrle du module de l fonction : Si f est Riemnn-intégrble, lors f est Riemnn-intégrble et f(x)dx f(x) dx. Ecrivons f = u+iv vec u et v réels. Supposons tout d bord u et v positifs. Ce sont des fonctions Riemnn-intégrbles. On peut trouver qutre suites (u n ), (U n ), (v n ), (V n ) de fonctions en esclier positives telles que u n u U n et v n v V n vec On lors, puisque les fonctions sont positives, donc et finlement, en posnt lim I(U n u n ) = lim I(V n v n ) = 0. n + n + u 2 n u2 U 2 n et v 2 n v2 V 2 n, u 2 n + v2 n u2 + v 2 U 2 n + V 2 n, f n = u n + iv n et F n = U n + iv n, f n f F n. Les fonctions f n et F n sont en esclier. L inéglité tringulire donne et ussi F n f n F n f n = U n + iv n (u n + iv n ), U n + iv n (u n + iv n ) U n u n + V n v n = (U n u n ) + (V n v n ), et puisque ces fonctions sont en esclier, on obtient en intégrnt 0 I( F n f n ) I(U n u n ) + I(V n v n ). Mis l suite du membre de droite converge vers zéro, donc celle de guche églement. Cel montre que f est Riemnn-intégrble. Si mintennt u et v ont un signe quelconque, on écrit u = u + u et v = v + v et donc f = (u + + iv + ) (u + iv ). Alors u + + iv + et u + iv sont Riemnn-intégrbles, donc f églement. Montrons mintennt l inéglité. Supposons tout d bord que I(f) soit un réel positif. Alors I(f) = I(u) + i I(v).

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Construction de l'intégrale de Lebesgue

Construction de l'intégrale de Lebesgue Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états. ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*) Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Chapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse

Chapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

rf( 1 f(x)x dx = O. ) U concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse

rf( 1 f(x)x dx = O. ) U concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse page 8 AGREGATIN de MATHEMATIQUES: 1991 1/5 externeanalyse concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse NTATINS ET DGFINITINS Dans tout le problème, R+ désigne l intervalle

Plus en détail