CX - INTEGRALE DE RIEMANN

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1 CX - INTEGRALE DE RIEMANN On introduit dns ce texte l construction de l intégrle d une fonction à vleurs réelles due à Riemnn qui permet de donner un sens précis à l notion d ire d un domine D du pln euclidien limité pr l courbe représenttive d une fonction f définie sur un intervlle [, b]. L idée de bse est que l on sit clculer l ire d un rectngle, et que l on v pprocher le domine D pr des rectngles. On comprend que lorsque l fonction f est ssez régulière, plus le nombre de rectngles est grnd, plus on s pprocher de l ire cherchée. On commence donc pr étudier les fonctions dont l courbe représenttive donne des rectngles. On définir ensuite les fonctions intégrbles u sens de Riemnn et on donner quelques ensembles de fonctions vérifint cette propriété. On retrouver u pssge des résultts déjà connus pour les fonctions continues. On terminer pr l intégrle des fonctions à vleurs complexes. 1. Les fonctions en esclier Quelques définitions On ppelle subdivision de l intervlle [, b], un ensemble fini de points X = {x 0,x 1,...,x n } tels que = x 0 < x 1 < < x n = b. Le ps de l subdivision, ser le plus grnd des nombres x k x k 1, lorsque k est compris entre 1 et n. Une subdivision X est dite plus fine que X, si l ensemble X contient X (plus fine = plus de points). L ps de l subdivision X est donc plus petit que celui de X. Obtenir une subdivision plus fine que X = {x 0,x 1,...,x n } revient à subdiviser les intervlles [x i, x i+1 ]. Exemple : = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = b = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = b On ppelle fonction en esclier une ppliction définie sur un segment [, b] à vleurs réelles, pour lquelle il existe une subdivision {x 0,x 1,...,x n } et un ensemble de nombres {λ 1,...,λ n } tels que, pour k vrint de 1 à n, l fonction soit constnte sur l intervlle ]x k 1, x k [ et y prenne l vleur λ k.

2 CX 2 (Aux points x k l fonction peut prendre d utres vleurs éventuellement). On dir que l subdivision X = {x 0,x 1,...,x n } est dptée à l fonction en esclier f si f est constnte sur chcun des intervlles ]x k 1, x k [. Toute subdivision plus fine que X est encore dptée à f. On noter E ([, b]) l ensemble des fonctions en esclier définies sur [, b]. Quelques propriétés des fonctions en esclier Une fonction en esclier est bornée, puisqu elle ne prend qu un nombre fini de vleurs. Si f est une fonction en esclier sur [, b], et si g est une fonction définie sur un ensemble contennt f([, b]), lors g f est une fonction en esclier sur [, b], et une subdivision dptée à f est ussi dptée à g f. En effet, si f est constnte sur ]x k 1, x k [, il en est de même de g f. En prticulier, l fonction f est en esclier, l fonction 1/f est en esclier si f ne s nnule ps, et, quel que soit λ réel, l fonction λf est en esclier. Si f et g sont des fonctions en esclier sur [, b], il en est de même de f +g, de f.g, de mx(f,g), de min(f, g), de f/g si g ne s nnule ps, et, plus générlement, de toute opértion ϕ(f, g) effectuée sur f et g. En effet, si X et X sont des subdivisions dptées à f et g respectivement, l subdivision X X = {x 0,,x n } est dptée à l fois à f et à g, et sur chcun des intervlles ]x k 1, x k [, les fonctions f et g sont constntes, donc ϕ(f,g) églement et X X est une subdivision dptée à ϕ(f,g). En prticulier E ([, b]) est un espce vectoriel sur R.

3 CX 3 - Si A est un sous-ensemble de [, b] l fonction crctéristique de A, notée 1l A, est l fonction qui vut 1 sur A, et 0 en dehors de A. Si A est un intervlle, l fonction crctéristique de A est bien sûr une fonction en esclier. Réciproquement, toute fonction en esclier est combinison linéire de fonctions crctéristiques d intervlles. En effet, si l on f(x) = λ k sur l intervlle ]x k 1, x k [ pour k compris entre 1 et n, on vérifie fcilement que f = Intégrle d une fonction en esclier n λ k 1l ] xk 1, x k [ + n f(x k )1l {xk }. k=0 Soit f une fonction en esclier définie sur [, b]. Si X = {x 0,x 1,...,x n } est une subdivision de [, b] dptée à f, et si, pour k compris entre 1 et n, on ppelle λ k l vleur prise pr l fonction f sur l intervlle ]x k 1, x k [, on peut considérer l somme σ = n λ k (x k x k 1 ). Remrquons que le nombre λ k (x k x k 1 ) est l ire géométrique du rectngle de huteur λ k et de bse x k x k 1. Le nombre σ représente donc l ire lgébrique du domine délimité pr l courbe représenttive de f qui est formé d une réunion finie de rectngles. Les ires des rectngles situés en dessous de l xe des x sont comptées négtivement. Cette somme ne dépend ps de l subdivision dptée à f choisie. Prendre une subdivision plus fine revient à décomposer les rectngles précédents en rectngles plus petits, et l somme reste inchngée. Cette somme ne dépend que de f, et ser notée on l ppelle l intégrle de f sur [, b]. I(f) = f(x)dx, Remrque : l lettre x figurnt dns l intégrle ci-dessus est ce que l on ppelle une vrible muette. Elle peut être remplcée pr une utre lettre, non encore utilisée. Pr exemple I(f) = f(t)dt ou I(f) = Mis on ne pourr ps remplcer x pr ou b pr exemple. f(u)du. Dns l suite du texte nous utiliserons l nottion I lorsque l intégrle est prise sur [, b]. Nous reviendrons à l nottion intégrle lorsqu il y ur plusieurs intervlles.

4 CX 4 λ 4 λ 1 λ 2 λ 5 λ x 1 x 2 x 3 x 4 b Quelques remrques : 1) Modifier l vleur de f en un nombre fini de points ne modifie ps l vleur de l somme. En prticulier si f(x) = 0 suf pour un nombre fini de vleurs de x, lors I(f) = 0. 2) Si f est l fonction crctéristique d un intervlle de bornes c et d (c < d), 3) Si f est constnte sur [, b] et vut λ, lors I(f) = d c. I(f) = λ(b ). 4) Si f est positive, lors I(f) est positive, cr tous les termes de l somme sont positifs. 5) Si c b, en introduisnt le point c dns l subdivision, on l reltion de Chsles (Avec l convention f(x)dx = 0). f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx.

5 CX 5 Linérité de I Si f et g sont deux fonctions en esclier définies sur [, b], et si µ est un nombre réel, lors on I(f + g) = I(f) + I(g) L ppliction I est donc linéire sur E ([, b]). et I(µf) = µi(f). On vu que f + g est une fonction en esclier, et que l on peut prendre une subdivision X = {x 0, x 1,...,x n } dptée à l fois à f et à g qui ser lors une subdivision dptée à f + g. Si, sur l intervlle ] x k 1, x k [, on f(x) = λ k et g(x) = µ k, lors, (f + g)(x) = λ k + µ k et pr définition n I(f + g) = (λ k + µ k )(x k x k 1 ). On obtient lors c est-à-dire I(f + g) = n λ k (x k x k 1 ) + n µ k (x k x k 1 ), I(f + g) = I(f) + I(g). De même µf est une fonction en esclier, et vut µ λ k sur ] x k 1, x k [, d où n n I(µf) = (µ λ k )(x k x k 1 ) = µ λ k (x k x k 1 ) = µi(f). Conséquence : si f g, lors I(f) I(g), cr I(g) I(f) = I(g f) Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Toutes les fonctions envisgées désormis sont des fonctions à vleurs réelles définies sur un segment [, b] et bornées sur cet intervlle.

6 CX 6 Pour une fonction bornée, il existe donc un nombre M, tel que, pour tout x de [, b], on it Notons M f(x) M. I + (f) = {I(G) G E ([, b]), G f}. Cet ensemble n est ps vide cr il contient I(M) = M(b ). D utre prt, si G est une fonction en esclier telle que G f, on ussi G M, et donc I(G) M(b ). L ensemble I + (f) est donc minoré. Il possède une borne inférieure. On note I + (f) cette borne inférieure, qui est ppelée intégrle supérieure de f. De même, si l on pose I (f) = {I(g) g E ([, b]), g f}, le même risonnement montre que cet ensemble n est ps vide et est mjoré (pr M(b )). S borne supérieure existe. On note I (f) cette borne supérieure, qui est ppelée intégrle inférieure de f. Donc I + (f) = inf G E( [, b ] ) G f I(G) et I (f) = sup I(g). g E([, b ] ) g f Remrquons en prticulier que, si g f G, et si g et G sont en esclier, lors I(g) I(G), donc I(G) mjore I (f), et il en résulte que Mis cel signifie que I (f) minore I + (f), donc I (f) I(G). I (f) I + (f). Enfin, si f est une fonction en esclier, le nombre I(f) pprtient à I (f) et est un mjornt de cet ensemble, il pprtient ussi à I + (f) et est un minornt de cet ensemble, donc I(f) = I + (f) = I (f). On dir qu une fonction f est intégrble u sens de Riemnn ou Riemnn-intégrble, si l on I + (f) = I (f). On noter lors l vleur commune. I(f) = f(x)dx, En prticulier, d près ce qui précède, une fonction en esclier est Riemnn-intégrble.

7 CX 7 Critères d intégrbilité En revennt à l définition de l borne inférieure et de l borne supérieure, on peut donner divers critères équivlents pour montrer l intégrbilité. Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, pour tout ε > 0, on peut trouver, des fonctions en esclier f ε et F ε, telles que f ε f F ε et (F ε (x) f ε (x))dx ε. F ε f f ε b Sur le dessin précédent l intégrle I(F ε f ε ) est l ire des rectngles limités pr les courbes représenttives des fonctions en esclier F ε et f ε. Cette ire est inférieure à ε. Donnons nous ε > 0. Pr définition de l borne inférieure, il existe F ε en esclier mjornt f telle que I + (f) I(F ε ) I + (f) + ε 2.

8 CX 8 Pr définition de l borne supérieure, il existe f ε en esclier minornt f telle que I (f) ε 2 I(f ε) I (f). On en déduit 0 I(F ε ) I(f ε ) I + (f) + ε ( 2 I (f) ε ). 2 Donc, si f est Riemnn-intégrble, I(F ε f ε ) = I(F ε ) I(f ε ) ε. Réciproquement, si l on peut trouver, pour tout ε > 0 des fonctions en esclier f ε et F ε, telles que f ε f F ε et on en prticulier, quel que soit ε (F ε (x) f ε (x))dx ε, I(f ε ) I (f) I + (f) I(F ε ), donc 0 I + (f) I (f) I(F ε f ε ) ε. On en déduit que I + (f) I (f) = 0, donc que f est Riemnn-intégrble. On peut donner une version de ce critère en terme de suites, dont nous nous servirons essentiellement pour les démonstrtions dns l suite de cet exposé. Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, on peut trouver, deux suites (f n ) n 0 et (F n ) n 0 de fonctions en esclier, telles que, pour tout entier n on it f n f F n et vérifint Dns ce cs lim n + (F n (x) f n (x))dx = 0. I(f) = lim F n (x)dx = lim f n (x)dx. n + n + Si f est Riemnn-intégrble, prenons ε = 1/n. Donc, on peut trouver, des fonctions en esclier f n et F n, telles que f n f F n et 0 (F n (x) f n (x))dx 1 n.

9 CX 9 Le théorème d encdrement permet de conclure que lim n + (F n (x) f n (x))dx = 0. Réciproquement, si l on obtenu deux telles suites, et si l on se donne ε > 0, en prennt n 1/ε, on obtient deux fonctions stisfisnt les hypothèses du critère précédent. Enfin 0 I(f) I(f n ) I(F n ) I(f n ) et 0 I(F n ) I(f) I(F n ) I(f n ). On déduit du théorème d encdrement que I(f) = lim n + F n (x)dx = lim n + f n (x)dx. Remrque : on peut méliorer le résultt précédent en prennt des suites monotones de fonctions en esclier, possédnt les mêmes mjornt et minornt que f. Supposons que f 0 = m f F 0 = M. Il suffit de remplcer f n pr ϕ n = mx f k et F n pr k n Φ n = min F k. En effet, l suite (ϕ n ) est croissnte et l suite (Φ n ) est décroissnte. Pour tout k n x [, b ] il existe k tel que ϕ n (x) = f k (x), donc ϕ n (x) f(x), et de même f(x) Φ n (x). Enfin, puisque f n ϕ n et F n Φ n, on 0 I(Φ n ) I(ϕ n ) I(F n ) I(f n ). Donc l suite (I(Φ n ϕ n )) n 0 converge encore vers 0, et de plus m ϕ n f Φ n M. Les sommes de Drboux On peut définir d une utre mnière les intégrles supérieures et inférieures en prennt des fonctions en esclier prticulières. Si X = {x 0,x 1,...,x n } est une subdivision de l intervlle [, b], posons M k = sup f(x) et m k = inf f(x). x ] x k 1, x k [ x ] x k 1, x k [ et considérons les fonctions F X et f X, ppelées fonctions de Drboux, qui vlent respectivement M k et m k sur ]x k 1, x k [, et f(x k ) en x k. Ce sont donc des fonctions en esclier prticulières qui vérifient f X f F X.

10 CX 10 On ppelle somme de Drboux, les intégrles n n Σ X (f) = I(F X ) = M k (x k x k 1 ) et σ X (f) = I(f X ) = m k (x k x k 1 ). Remrquons que si X X, c est-à-dire si X est plus fine que X, on f X f X et F X F X, et donc σ X (f) σ X (f) et Σ X (f) Σ X (f). L intégrle supérieure de f est l borne inférieure des sommes de Drboux Σ X (f), et l intégrle inférieure est l borne supérieure des sommes de Drboux σ X (f) lorsque l on prend toutes les subdivisions X possibles de [, b]. Comme f X et F X, sont des fonctions en esclier prticulières, minornt et mjornt f respectivement, on donc et l on en déduit σ X (f) I (f) et I + (f) Σ X (f), sup σ X (f) I (f) et I + (f) inf Σ X (f). X X Inversement, si f et F sont deux fonctions en esclier telles que f f F, on f f X f F X F, où f X est l fonction de Drboux correspondnt à une subdivision X ssociée à f, et F X l fonction de Drboux correspondnt à une subdivision X ssociée à F. Donc est Alors et finlement On en déduit les églités I(f ) I(f X ) I(F X ) I(F ). I(f ) sup σ X (f) et X inf Σ X (f) I(F ), X I (f) sup σ X (f) et inf σ X (f) I + (f). X X I (f) = sup σ X (f) et inf σ X (f) = I + (f). X X

11 CX 11 F X f X x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 On lors l nouvelle crctéristion suivnte : Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, pour tout ε > 0, on peut trouver une subdivision X de [, b] telle que Σ X (f) σ X (f) ε. Si l on une telle inéglité, lors I(F X f X ) ε, et les fonctions en esclier, F X et f X vérifient ussi f X f F X, donc stisfont les conditions du premier critère d intégrbilité. Alors f est Riemnn-intégrble.

12 CX 12 Inversement, si f est Riemnn-intégrble, donnons nous ε > 0. Pr définition de l borne inférieure, il existe X tel que I + (f) Σ X (f) I + (f) + ε 2, Pr définition de l borne supérieure, il existe X tel que I (f) ε 2 σ X (f) I (f). Alors, si X = X X, on X X et X X, donc On en déduit Σ X (f) Σ X (f) et σ X (f) σ X (f). Σ X (f) σ X (f) Σ X (f) σ X (f) I + (f) + ε ( 2 I (f) ε ), 2 et l on obtient Σ X (f) σ X (f) ε. Les sommes de Riemnn Les sommes de Riemnn vont permettre de crctériser de nouveu les fonctions Riemnn-intégrbles. b

13 CX 13 Si X = {x 0,...,x n } est une subdivision de [, b], soit, un ensemble de nombres Λ = {λ 1,,λ n }, tels que, pour k compris entre 1 et n le nombre λ k soit dns l intervlle [m k, M k ]. On ppelle somme de Riemnn, l somme n S X,Λ (f) = λ k (x k x k 1 ). Sur le dessin précédent, l somme de Riemnn est l ire des rectngles. Si l fonction bornée f est Riemnn-intégrble, quel que soit ε > 0, on peut trouver un nombre α > 0, pour lequel on l propriété suivnte : pour toute subdivision X de [, b] de ps inférieur à α, et tout ensemble Λ, on I(f) S X,Λ (f) < ε. D une mnière plus concise, mis incorrecte, on dit que les sommes de Riemnn tendent vers I(f), lorsque le ps de l subdivision tend vers 0. Pour commencer, démontrons le lemme suivnt : Lemme Soit f une fonction bornée, M un mjornt de f et δ > 0. Si X est une subdivision de [, b] de ps δ, et X une subdivision contennt n points, on σ X X (f) σ X (f) 2nδM et Σ X (f) Σ X X (f) 2nδM. Soit N l ensemble des entiers k tels que [ x k 1, x k [ contienne u moins un des éléments de X. Pour un tel élément k de N, notons x k (1),... x k (r k) les éléments de X inclus dns ] x k 1, x k [, et x k (0) = x k 1, x k (r k + 1) = x k. Lorsque l on effectue l différence il reste Donc k N = σ X X (f) σ X (f), = r k +1 (x k (j) x k (j 1))m k(j) (x k x k 1 )m k. k N j=1 k N r k +1 (x k(j) x k(j 1)) m k (j) + (x k x k 1 ) m k, j=1 k N et puisque les nombres m k et m k (j) sont mjorés pr M, on trouve k N r k +1 (x k (j) x k (j 1))M + (x k x k 1 )M. j=1 k N

14 CX 14 Mis donc r k +1 (x k(j) x k(j 1)) = x r k +1 x k(0) = x k x k 1, j=1 2M (x k x k 1 ) 2Mδ crd(n ) 2Mδn, k N ce qui donne l première inéglité. L seconde se démontre de mnière nlogue. Démontrons mintennt l proposition. Soit f Riemnn-intégrble, et soit ε > 0. Il existe une subdivision X telle que Σ X (f) σ X (f) ε 2, et donc I(f) σ X (f) ε 2. Soit n le nombre de points de X, et soit X une subdivision de ps δ. Alors, d près le lemme σ X X (f) σ X (f) 2nδM, où M est un mjornt de f. Comme X X est plus fine que X, on σ X X (f) σ X (f), et donc Alors σ X (f) σ X (f) 2nδM. I(f) σ X (f) = (I(f) σ X (f)) + (σ X (f) σ X (f)) ε 2 + 2nδM. Choisissons Alors, si δ α 1, on α 1 = ε 4nM. I(f) σ X (f) ε. Une méthode nlogue, montre qu il existe α 2, tel que, si δ α 2, on it Σ X (f) I(f) ε. Prenons α = min(α 1, α 2 ), et δ α. L somme de Riemnn S X,Λ (f) vérifie σ X (f) S X,Λ (f) Σ X (f), et donc, S X,Λ (f) I(f) mx(σ X (f) I(f), I(f) σ X (f)) ε.

15 CX 15 Pour l réciproque, on peut se contenter des sommes de Riemnn pour lesquelles ł ensemble Λ est constitué de λ k = f(ξ k ) où ξ k pprtient à l intervlle [x k 1, x k ]. On lors l proposition suivnte : Si les sommes de Riemnn tendent vers une limite I lorsque le ps de l subdivision tend vers 0, lors, f est Riemnn-intégrble et I(f) = I. Supposons que l on it l convergence des sommes de Riemnn du type précédent. Si l on se donne ε > 0, il existe une subdivision X telle que, quel que soit Λ, I S X,Λ (f) ε 4. D près l propriété de l borne supérieure, il existe λ k dns [ m k, M k ] tel que ε M k 4(b ) λ k M k. Multiplions pr x k x k 1 et sommons les différentes inéglités. On obtient n n ε n n M k (x k x k 1 ) 4(b ) (x k x k 1 ) λ k (x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ), ce qui donne Si l on prend Λ = {λ 1..., λ n }, on ussi Σ X (f) ε 4 S X,Λ(f) Σ X (f). I S X,Λ (f) ε 4. Alors I Σ X (f) I S X,Λ (f) + S X,Λ (f) Σ X (f) ε 4 + ε 4 = ε 2. Le même clcul vec l borne inférieure v donner églement Alors I σ X (f) ε 2. Σ X (f) σ X (f) ε, ce qui, d près le critère des sommes de Drboux, montre que f est Riemnn-intégrble. De plus puisque σ X (f) I(f) Σ X (f). On obtient d où, pour tout ε > 0, et l on en déduit que I = I(f). σ X (f) I I(f) I Σ X (f) I, I(f) I mx( Σ X (f) I, σ X (f) I ) ε 2,

16 CX 16 Linérité de l intégrle de Riemnn L ensemble des fonctions numériques définies sur [, b] et intégrbles u sens de Riemnn est un espce vectoriel et l ppliction qui à une fonction ssocie son intégrle est linéire. Soit f et g intégrbles u sens de Riemnn. Il existe lors qutre suites de fonctions en escliers (f n ), (F n ), (g n ), (G n ) telles que, pour tout entier n vec Alors f n f F n et g n g G n, lim I(F n f n ) = lim I(G n g n ) = 0. n + n + f n + g n f + g F n + G n. Les fonctions f n + g n et F n + G n sont en esclier, et lim I((F n + G n ) (f n + g n )) = lim I(F n f n ) + lim I(G n g n ) = 0. n + n + n + Il en résulte que f + g est Riemnn-intégrble, et que I(f + g) = lim n + I(f n + g n ) = lim n + I(f n) + lim n + I(g n) = I(f) + I(g). Si λ est un nombre réel positif, on et donc λf est Riemnn-intégrble et Si λ est un nombre réel négtif, on λf n λf λf n, lim I((λF n) (λf n )) = lim (λi(f n f n )) = 0, n + n + lim I(λf n) = λ lim I(f n) = λi(f). n + n + λf n λf λf n, et l conclusion subsiste encore.

17 CX 17 Positivité et croissnce de l intégrle de Riemnn Si f est Riemnn-intégrble et positive, lors I(f) 0. En effet I(0) = 0 pprtient dns ce cs à I (f), donc I (f) = I(f) est positif. Remrque : une fonction qui est nulle suf en un nombre fini de points est telle que son intégrle soit nulle. On en déduit l croissnce de I. Soit f et g deux fonctions Riemnn-intégrbles sur [, b], lors si f g, on I(f) I(g). On en effet g f 0, donc I(g f) 0, mis I(g f) = I(g) I(f), donc I(f) I(g). Intégrbilité de f Soit f une fonction à vleurs réelles. On pose et f + (x) = mx(f(x),0) = f (x) = ( f) + (x) = mx( f(x),0) = { f(x) si f(x) 0 0 si f(x) 0 On obtient deux fonctions positives, et l on vérifie fcilement que f = f + f et f = f + + f. { f(x) si f(x) 0 0 si f(x) 0

18 CX 18 D utre prt, si f g, on f + g + et f g. f f + b b f f b b f b Si f est Riemnn-intégrble, les fonctions f + et f sont Riemnn-intégrbles.

19 CX 19 Si l on où f n et F n sont en esclier et lors, on ussi f n f F n, lim I(F n f n ) = 0, n + (f n ) + f + (F n ) +, et les fonctions (f n ) + et (F n ) + sont en esclier. De plus, puisque (F n ) + (f n ) + est positif, on On églement donc Mis en écrivnt on en déduit Finlement et il résulte du théorème d encdrement que I((F n ) + (f n ) + ) 0. (F n ) (f n ), (F n ) (f n ) 0. (F n ) + (f n ) + = F n f n + (F n ) (f n ), (F n ) + (f n ) + F n f n. 0 I((F n ) + (f n ) + ) I(F n f n ), lim I((F n) + (f n ) + ) = 0. n + Donc f + est Riemnn-intégrble. Alors f = f + f est ussi Riemnn-intégrble. Conséquences Si f est Riemnn-intégrble, il en est de même de f, et I(f) I( f ). En effet f = f + + f est Riemnn-intégrble, et puisque f f f, on en déduit I( f ) = I( f ) I(f) I( f ), ou encore, puisque I( f ) est positif, I(f) I( f ).

20 CX 20 Inéglité de l moyenne : si f est Riemnn-intégrble I(f) (b ) sup f(x). x b Si M désigne un mjornt de f, on f M, donc I(f) I( f ) I(M) = M(b ). Restriction d une fonction Riemnn-intégrble. Soit f définie sur [, b] et Riemnn-intégrble. Soit [c, d] un intervlle inclus dns [, b]. Alors l restriction de f à [c, d] est Riemnn-intégrble. Si de plus f est positive, lors d c f(x)dx f(x)dx. Si l on f n f F n où f n et F n sont en esclier et où l suite (I(F n f n )) converge vers zéro, lors, (f n ) / [ c, d ] f /[ c, d ] (F n ) / [ c, d], et les restrictions à [ c, d] de f n et F n sont en esclier sur [ c, d]. D utre prt, l fonction F n f n étnt en esclier et positive, on 0 d c (F n f n )(x)dx (F n f n )(x)dx. (En prennt une subdivision de [, b ] contennt c et d, l somme définissnt l intégrle de droite, contient celle définissnt l intégrle de guche, plus des termes positifs). Il résulte du théorème d encdrement que lim n + d c (F n f n )(x)dx = 0.

21 CX 21 donc l restriction de f à [ c, d] est Riemnn-intégrble. Si f est positive, on peut choisir f n positive, lors d 0 f n (x)dx f n (x)dx, c et pr pssge à l limite d 0 f(x)dx f(x)dx. c Reltion de Chsles Soit f une fonction numérique définie sur [, b], et c b. L fonction f est Riemnnintégrble si et seulement si ses restrictions f /[, c ] et f /[c, b ], sont Riemnn-intégrbles, et lors c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. (Avec l convention f(x)dx = 0). c Si f est Riemnn-intégrble il résulte du prgrphe précédent que ses restrictions à [, c ] et [ c, b ] le sont ussi. Montrons l réciproque. On choisit qutre suites de fonctions en escliers (f n ), (F n ), (g n ), (G n ) telles que, pour tout entier n et pour tout x de [, c ], f n (x) f(x) F n (x), et pour tout x de [ c, b ], g n (x) f(x) G n (x), vérifint de plus lim c n + (F n f n )(x)dx = lim n + c (G n g n )(x)dx = 0.

22 CX 22 Alors on définit deux suites de fonctions en esclier (Φ n ) et (ϕ n ) en posnt { Fn (x) si x c Φ n (x) = G n (x) si c < x b { fn (x) si x c et ϕ n (x) = g n (x) si c < x b. On, sur [, b ] ϕ n f Φ n, et, en ppliqunt l reltion de Chsles à l fonction en esclier Φ n ϕ n, (Φ n ϕ n )(x)dx = c (F n f n )(x)dx + c (G n g n )(x)dx. Il résulte du théorème sur les limites d une somme que cette expression converge vers 0. On en déduit que f est Riemnn-intégrble. De plus, en utilisnt l reltion de Chsles pour les fonctions en esclier c Φ n (x)dx = F n (x)dx + G n (x)dx, et pr pssge à l limite f(x)dx = c c f(x)dx + c f(x)dx. 3. Exemples de fonctions intégrbles u sens de Riemnn On peut crctériser exctement toutes les fonctions intégrbles u sens de Riemnn. Dns ce qui suit on se contente de donner deux fmilles de fonctions importntes pour lesquelles cette propriété lieu. Les fonctions monotones Toute fonction numérique définie et monotone sur [, b] est intégrble u sens de Riemnn sur [, b]. Il suffit de démontrer le théorème lorsque f est croissnte. En effet, si le théorème est vri dns ce cs, et si f est décroissnte, lors f ser croissnte donc Riemnn-intégrble, et f ser églement Riemnn-intégrble.

23 CX 23 Supposons donc f croissnte. C est une fonction bornée, puisque, si x est dns [, b ], f() f(x) f(b). Soit n un entier strictement positif. Si 0 k n, posons x k = + k b n. On obtient insi une subdivision {x 0, x 1,..., x n } de l intervlle [, b ] telle que x k x k 1 = b n. On définit deux fonctions en esclier f n et F n en posnt, si x pprtient à [ x k 1, x k [, insi que On lors Pr illeurs I(F n f n ) = F n (x) = f(x k ) et f n (x) = f(x k 1 ), F n (b) = f n (b) = f(b). f n f F n. n (f(x k ) f(x k 1 )) b = (f(b) f())b n n. Cette suite converge donc vers zéro, et il en résulte que f est Riemnn-intégrble. x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

24 CX 24 Les fonctions continues Toute fonction numérique définie et continue sur [, b] est intégrble u sens de Riemnn sur [, b]. L fonction f étnt continue sur le segment [, b ] elle est bornée et uniformément continue sur cet intervlle. Soit n un entier strictement positif. il existe α > 0 tel que x y < α, implique f(x) f(y) < 1 n. Choisissons p entier tel que p > (b )/α, et posons, si 0 k p, x k = + k b p On obtient insi une subdivision {x 0, x 1,..., x p } de [, b ] telle que x k x k 1 = b p Pr illeurs, sur [ x k 1, x k ], l fonction continue f tteint s borne supérieure en un point ξ k et s borne inférieure en un point ζ k. On définit deux fonctions en esclier f n et F n en posnt, si x pprtient à [ x k 1, x k [, F n (x) = f(ξ k ) et f n (x) = f(ζ k ),.. insi que On lors F n (b) = f n (b) = f(b). f n f F n. Comme ξ k et ζ k pprtiennent à l intervlle [ x k 1, x k ], on ξ k ζ k b p < α, et donc Alors 0 I(F n f n ) = 0 f(ξ k ) f(ζ k ) 1 n. p (f(ξ k ) f(ζ k )) b p p 1 b = b n p n. Cette suite converge donc vers zéro, et il en résulte que f est Riemnn-intégrble.

25 CX 25 Autres exemples de fonctions Riemnn-intégrbles Soit f une fonction bornée sur [, b] et Riemnn-intégrble sur tout intervlle [ c, b] inclus dns ], b]. Alors f est Riemnn-intégrble sur[, b] et f(x)dx = lim f(x)dx. c + c Remrque : on peut écrire un résultt nlogue en inversnt les rôles des bornes et b. Soit M un mjornt de f sur [, b ] et soit ε > 0. L fonction f est intégrble sur [ + ε/(2m + 1), b ], donc il existe deux fonctions en esclier f ε et F ε, telles que, pour tout x de [ + ε/(2m + 1), b ] f ε (x) f F ε (x), et Posons +ε/(2m+1) (F ε f ε )(x)dx ε 2M + 1. Φ ε (x) = { Fε (x) si x [ + ε/(2m + 1), b ] M si x [, + ε/(2m + 1)[ et ϕ ε (x) = { fε (x) si x [ + ε/(2m + 1), b ] M si x [, + ε/(2m + 1)[. Pour tout x de [, b ], on et, d près l reltion de Chsles, ϕ(x) f(x) Φ(x), D où I(Φ ε ϕ ε ) = +ε/(2m+1) = 2M ε 2M (Φ ε ϕ ε )(x)dx + +ε/(2m+1) +ε/(2m+1) (F ε f ε )(x)dx. I(Φ ε ϕ ε ) 2M ε 2M ε 2M + 1 = ε. Il en résulte que f est Riemnn-intégrble sur [, b ]. (Φ ε ϕ ε )(x)dx

26 CX 26 Alors, si < c < + ε/(2m + 1), f(x)dx c f(x)dx = c f(x)dx c f(x) dx, donc Il en résulte que f(x)dx c f(x)dx M(c ) M ε 2M + 1 < ε. f(x)dx = lim f(x)dx. c + c Pr exemple, une fonction f telle que, sur ]0, 1], f(x) = sin 1 x, est Riemnn-intégrble sur [ 0, 1], puisqu elle est continue, donc Riemnn-intégrble sur [ c, 1] pour tout c > 0, et qu elle est bornée. Un exemple de fonction qui n est ps Riemnn-intégrble Soit l fonction f définie sur [, b], qui vut 1 si x est rtionnel, et 1 sinon. Si G est une fonction en esclier qui mjore f, et si {x 0,x 1,...,x n } est une subdivision dptée à G, on G(x) = λ k sur l intervlle ]x k 1, x k [, et f(x) λ k. Mis il existe u moins un point x rtionnel dns l intervlle ]x k 1, x k [ et donc 1 λ k. Alors G 1. Donc I(G) b, et I + (f) b. Comme dns tout intervlle ouvert, il existe ussi un nombre irrtionnel, le même risonnement pour l fonction g, montre que l on nécessirement g 1. Donc I(g) b, et I (f) b. Alors, I + (f) ne peut ps être égl à I (f). L fonction f n est ps Riemnn-intégrble. Remrque : pr contre f est une fonction constnte donc Riemnn-intégrble. Il en résulte qu une fonction f telle que f soit Riemnn-intégrble n est ps nécessirement Riemnn-intégrble, lors que si f est Riemnn-intégrble l fonction f l est nécessirement.

27 CX Intégrle indéfinie Une nottion universelle Si f est une fonction numérique définie et intégrble sur [, b], et si c et d sont dns [, b], on pose, si c > d, d c c f(x)dx = d f(x)dx. Avec cette convention, on voit fcilement que l on, quels que soient u, v, w dns [, b] l reltion de Chsles : w u f(x)dx = v u f(x)dx + w v f(x)dx, ou encore w u v f(x)dx u f(x)dx = w v f(x)dx. On peut églement générliser l inéglité de l moyenne de l mnière suivnte : si M est un mjornt de f, et si c et d sont inclus dns [, b] En effet, si c > d, on d c d c f(t)dt = c d f(t)dt M d c. f(t)dt M(c d) = M d c, et si c < d, d c f(t)dt M(d c) = M d c.

28 CX 28 Soit f une fonction numérique définie et Riemnn-intégrble sur [, b]. Si c pprtient à [, b], on définit une fonction F sur [, b] en posnt F(x) = x c f(t)dt. Cette intégrle est ppelée intégrle indéfinie de f. L fonction F insi définie est continue sur [, b]. Soit x et y dns [, b ]. L fonction f étnt bornée sur [, b ], soit M un mjornt de f. On donc, d près l reltion de Chsles, F(x) F(y) = Alors, d près l inéglité de l moyenne, x c F(x) F(y) = y f(t)dt x y c f(t)dt. F(x) F(y) M x y, f(t)dt, et cette inéglité ssure l continuité uniforme de f sur [, b ]. Intégrle indéfinie d une fonction continue Lorsque l fonction f est elle-même continue, on lors le théorème fondmentl du clcul intégrl : Soit f est une fonction numérique définie et Riemnn-intégrble sur [, b]. Si f est continue u point x 0, lors l fonction F définie sur [, b] en posnt F(x) = x c f(t)dt, est dérivble u point x 0 et F (x 0 ) = f(x 0 ).

29 CX 29 Soit x 0 dns [, b ]. On v montrer que l différence δ(x) = F(x) F(x 0) x x 0 f(x 0 ), tend vers 0, lorsque x tend vers x 0, ce qui signifier que F est dérivble en x 0 et que Pour cel évluons Tout d bord, pr l reltion de Chsles, mis ussi, donc F (x 0 ) = f(x 0 ). (x x 0 )δ(x) = F(x) F(x 0 ) (x x 0 )f(x 0 ). F(x) F(x 0 ) = (x x 0 )f(x 0 ) = x x 0 f(t)dt, x F(x) F(x 0 ) (x x 0 )f(x 0 ) = x 0 f(x 0 )dt, x x 0 (f(x) f(x 0 ))dt. Si f est continue en x 0, quel que soit ε > 0, il existe α > 0, tel que, si x x 0 < α, et si x pprtient à [, b ] on it f(x) f(x 0 ) < ε. Alors si t est compris entre x et x 0, on t x 0 < α et f(t) f(x 0 ) < ε. Il résulte de l inéglité de l moyenne que x (f(t) f(x 0 ))dt ε x x 0. x 0 Donc, en divisnt pr x x 0, δ(x) < ε. En résumé, quel que soit ε > 0, il existe α > 0, tel que, si x x 0 < α, et si x pprtient à [, b ] on it δ(x) < ε. Cel signifie que δ(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x 0 d où le résultt voulu. Conséquences

30 CX 30 1) Toute fonction f numérique continue sur [, b], possède une primitive dns cet intervlle. 2) Formule de Newton-Leibniz : pour toute primitive G de f dns [, b], on f(t)dt = G(b) G(). 3) Si f est de clsse C 1, il résulte de ce qui précède que f (t)dt = f(b) f(). L fonction F construite précédemment est bien une primitive de f. Si G est une utre primitive, l fonction G F est constnte sur [, b ]. Donc, il existe une constnte k telle que G = F + k et G(b) G() = F(b) F() = f(x)dx. On noter de mnière générle G(b) G() = [ ] b G(x). Inéglités de Schwrz et de Minkowski Montrons pour commencer le résultt suivnt : Si f et g sont Riemnn-intégrbles sur [, b], leur produit est Riemnn-intégrble. Montrons tout d bord le résultt pour des fonctions f et g Riemnn-intégrbles positives. Les fonctions f et g sont bornées et positives : il existe donc deux constntes M et P telles que 0 f M et 0 g P. Il existe lors qutre suites de fonctions en escliers (f n ), (F n ), (g n ), (G n ) telles que, pour tout entier n 0 f n f F n M et 0 g n g G n P,

31 CX 31 vec Donc et les fonctions f n g n et F n G n sont en esclier. On lors lim I(F n f n ) = lim I(G n g n ) = 0. n + n + f n g n fg F n G n, 0 F n G n f n g n = F n (G n g n ) + g n (F n f n ) M(G n g n ) + P(F n f n ), et en utilisnt l croissnce et l linérité de I, on en déduit 0 I(F n G n f n g n ) MI(G n g n ) + PI(F n f n ). Le théorème d encdrement montre que l suite I(F n G n f n g n ) converge vers 0, donc que fg est Riemnn-intégrble. Si mintennt f et g sont Riemnn-intégrbles de signes quelconques, les fonctions f +, f, g +, g sont Riemnn-intégrbles et positives, donc leurs produits ussi. Mis f = f + f et g = g + g, donc fg = f + g + f + g f g + + f g, est Riemnn-intégrble comme somme de fonctions Riemnn-intégrbles. On peut lors donner l inéglité de Cuchy-Schwrz : Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] et Riemnn-intégrbles. Alors les fonctions fg, f 2 et g 2 sont Riemnn-intégrbles et f(x)g(x)dx f(x) 2 dx 1/2 g(x) 2 dx De plus l églité lieu lorsque les fonctions f et g sont colinéires. 1/2. Les fonctions fg, f 2 et g 2 sont des produits de fonctions Riemnn-intégrbles donc sont Riemnnintégrble d près ce qui précède. Pour tout nombre réel λ, considérons l expression P(λ) = I((λf + g) 2 ).

32 CX 32 C est l intégrle d une fonction positive, donc P(λ) 0. En développnt, et en utilisnt l linérité de I, P(λ) = λ 2 I(f 2 ) + 2λI(fg) + I(g 2 ). Si I(f 2 ) 0, le polynôme P(λ) est un trinôme du second degré toujours positif, donc son discriminnt est négtif, et I(fg) 2 I(f 2 )I(g 2 ) 0, on en déduit que ce qui donne l inéglité voulue. Si I(f 2 ) = 0, lors, quel que soit λ, I(fg) I(f 2 ) 1/2 I(g 2 ) 1/2, 2λI(fg) + I(g 2 ) 0, ce qui implique I(fg) = 0 : dns ce cs on églité. Si les fonctions f et g sont colinéires, et si f n est ps l fonction nulle, il existe λ tel que λf + g = 0. Dns c cs I((λf + g) 2 ) = 0. L trinôme et toujours positif mis s nnule, ce qui signifie que son discriminnt est nul. On lors églité dns l inéglité de Schwrz. De cette inéglité on déduit l inéglité de Minkowski : Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] et Riemnn-intégrbles. Alors les fonctions f 2, g 2 et (f + g) 2 sont Riemnn-intégrbles et (f(x) + g(x)) 2 dx 1/2 f(x) 2 dx 1/2 + g(x) 2 dx 1/2. Les fonctions f 2, g 2 et (f + g) 2 sont des crrés de fonctions Riemnn-intégrbles, donc le sont ussi. En prennt λ = 1 dns l démonstrtion précédente, Mis d près l inéglité de Schwrz I((f + g) 2 ) = I(f 2 ) + 2I(fg) + I(g 2 ). I(fg) I(f 2 ) 1/2 I(g 2 ) 1/2, donc I((f + g) 2 ) I(f 2 ) + 2I(f 2 ) 1/2 I(g 2 ) 1/2 + I(g 2 ) = (I(f 2 ) 1/2 + I(g 2 ) 1/2 ) 2. ce qui donne l inéglité voulue.

33 CX 33 De nouveux critères d intégrbilité Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, pour tout ε > 0, on peut trouver, des fonctions Riemnn-intégrbles f ε et F ε, telles que f ε f F ε et (F ε (x) f ε (x))dx ε. Si f est Riemnn-intégrble, on sit que pour tout ε > 0, on peut trouver, des fonctions en esclier, donc Riemnn-intégrbles f ε et F ε, telles que f ε f F ε et Il reste à montrer l réciproque. I(F ε f ε ) ε. Soit ε > 0, il existe donc des fonctions Riemnn-intégrbles f ε et F ε, telles que f ε f F ε et I(F ε f ε ) ε 3. Comme f ε est Riemnn-intégrble, il existe Φ ε et ϕ ε en esclier, telles que ϕ ε f ε Φ ε, et I(Φ ε ϕ ε ) ε 3. Comme F ε est Riemnn-intégrble, il existe Ψ ε et ψ ε en esclier, telles que ψ ε F ε Ψ ε, et I(Ψ ε ψ ε ) ε 3. Alors Pr illeurs Mis et ϕ ε f ε f F ε Ψ ε. I(Ψ ε ϕ ε ) = I(Ψ ε F ε ) + I(F ε f ε ) + I(f ε ϕ ε ). I(Ψ ε F ε ) I(Ψ ε ψ ε ) < ε 3, I(f ε ϕ ε ) I(Φ ε ϕ ε ) < ε 3. Il en résulte que I(Ψ ε ϕ ε ) ε. Le critère usuel vec les fonctions en esclier est donc vérifié et f est Riemnn-intégrble.

34 CX 34 On peut bien sûr trduire ce critère vec des suites : Une fonction bornée f est Riemnn-intégrble, si et seulement si, on peut trouver, deux suites (f n ) n 0 et (F n ) n 0 de fonctions Riemnn-intégrbles, telles que, pour tout entier n on it f n f F n et vérifint lim n + (F n (x) f n (x))dx = 0. Dns ce cs I(f) = lim F n (x)dx = lim f n (x)dx. n + n + Chngement de vrible pour les intégrles de Riemnn Soit f une fonction numérique définie sur [, b] et Riemnn-intégrble. Soit ϕ, une ppliction bijective de [α, β ] sur [, b] de clsse C 1. Alors l ppliction f ϕϕ est Riemnn-intégrble sur [α, β ], et ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = β α f ϕ(t)ϕ (t)dt. Remrque : nous verrons dns l suite que, pour les fonctions continues, l hypothèse ϕ bijective n est plus nécessire. On montre tout d bord l propriété pour l fonction crctéristique f d un intervlle [ c, d]. L ppliction ϕ est strictement monotone et continue. Son ppliction réciproque ϕ 1 est églement strictement monotone continue, donc ϕ 1 ([c, d]) = [ γ, δ ].

35 CX 35 Si t pprtient à [ γ, δ ], lors ϕ(t) pprtient à [ c, d], donc f(ϕ(t)) = 1, et si t n pprtient ps à [ γ, δ ], lors ϕ(t) n pprtient ps à [ c, d], donc f(ϕ(t)) = 0. Alors β D utre prt, si ϕ est croissnte, donc On bien α f ϕ(t)ϕ (t)dt = δ γ ϕ (t)dt = ϕ(δ) ϕ(γ). ϕ(α) =, ϕ(β) = b, ϕ(γ) = c, ϕ(δ) = d, ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = ϕ(β) ϕ(α) Si ϕ est décroissnte, on cette fois donc et de nouveu f(x)dx = f(x)dx = β α d c dx = d c. f ϕ(t)ϕ (t)dt. ϕ(α) = b, ϕ(β) =, ϕ(γ) = d, ϕ(δ) = c, ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = d f(x)dx = β α c f ϕ(t)ϕ (t)dt. dx = c d, Pr linérité cette reltion v voir lieu pour toute combinison linéire de fonctions crctéristiques d intervlles, donc pour toute fonction en esclier, et si f est en esclier f ϕ est en esclier (si X est une subdivision dptée à f, lors ϕ 1 (X ) est une subdivision dptée à f ϕ). Il reste à étudier le cs générl. Comme f est intégrble sur [, b ] il existe deux suites (f n ) et (F n ) de fonctions en esclier telles que f n f F n et que l suite (I(F n f n )) converge vers 0. On lors ϕ(β) β f n (x)dx = f n ϕ(t)ϕ (t)dt, et ϕ(α) ϕ(β) ϕ(α) F n (x)dx = Si ϕ est croissnte, lors ϕ est positive, et α β α F n ϕ(t)ϕ (t)dt. f n ϕϕ f ϕϕ F n ϕϕ.

36 CX 36 Pr illeurs, puisque F n f n est en esclier β α L suite (F n ϕ(t)ϕ (t) f n ϕ(t)ϕ (t))dt = β α β α (F n f n ) ϕ(t)ϕ (t)dt = (F n f n )(x)dx. (F n ϕ(t)ϕ (t) f n ϕ(t)ϕ (t))dt converge vers zéro. Il résulte du critère d intégrbilité écrit dns le prgrphe précédent que l fonction f ϕϕ est Riemnn-intégrble sur [ α, β ]. De plus ϕ(β) f(x)dx = lim ϕ(β) n + ϕ(α) ϕ(α) f n (x)dx = lim n + α β β Si ϕ est décroissnte, lors ϕ est négtive, et F n ϕϕ f ϕϕ f n ϕϕ, et cette fois β β f n ϕ(t)ϕ (t)dt = f ϕ(t)ϕ (t)dt. α (F n ϕ(t)ϕ (t) f n ϕ(t)ϕ (t))dt = (F n f n ) ϕ(t)ϕ (t)dt = (F n f n )(x)dx. α α On peut lors conclure comme dns le cs précédent. Applictions Soit f une fonction numérique définie et Riemnn-intégrble sur [, ]. Si f est impire Si f est pire f(x)dx = 0. f(x)dx = 2 0 f(x)dx. 0 Clculons f(x)dx en effectunt le chngement de vrible ϕ(t) = t qui est une bijection de clsse C 1 de [ 0, ] sur [, 0 ]. On ϕ (t) = 1, donc 0 f(t)dt = 0 f( x)( 1)dx = 0 f( x)dx.

37 CX 37 Si f est impire f( x) = f(x), donc Alors 0 Si f est pire f( x) = f(x), donc f(t)dt = f(x)dx. f(x)dx = f(t)dt + f(x)dx = 0. 0 f(t)dt = 0 f(x)dx. Alors f(x)dx = 0 f(t)dt + f(x)dx = 2 f(x)dx. 0 0 Soit f une fonction numérique périodique de période T, définie sur R et Riemnn-intégrble sur tout segment. Alors l fonction F définie sur R pr F(α) = α+t α f(x)dx, est constnte. De plus, pour tout entier n, nt 0 f(x)dx = n T 0 f(x)dx. On pr l reltion de Chsles Clculons α+t T F(α) = α+t α f(x)dx = 0 α T f(x)dx + 0 f(x)dx + α+t T f(x)dx. f(x)dx en effectunt le chngement de vrible ϕ(t) = t + T qui est une bijection

38 CX 38 de clsse C 1 de [ 0, α ] sur [ T, α + T ]. On ϕ (t) = 1, donc α+t T f(t)dt = Comme f est T périodique, f(x + T) = f(x), donc lors F(α) = 0 et l fonction F est constnte. α α+t T T f(x)dx + 0 α 0 f(t)dt = f(x)dx + f(x + T)dx. α 0 α 0 f(x)dx, f(x)dx = T 0 f(x)dx = F(0), Remrque : lorsque l fonction f est continue, on peut ussi utiliser l démonstrtion suivnte. On écrit on obtient en dérivnt F(α) = α+t 0 f(x)dx α 0 f(x)dx, F (α) = f(α + T) f(α) = 0. Donc F est une fonction constnte. Revenons u cs générl. Si n > 0, nt 0 f(x)dx = n 1 k=0 (k+1)t kt f(x)dx. Mis donc (k+1)t kt nt 0 f(x)dx = f(x)dx = n T 0 T 0 f(x)dx, f(x)dx. Si n < 0, posons n = n nt 0 f(x)dx = 0 n T f(x)dx = n 1 k( T) k=0 (k+1)( T) f(x)dx.

39 CX 39 Mis k( T) (k+1)( T) f(x)dx = (k+1)( T)+T (k+1)( T) f(x)dx = T 0 f(x), et ce qui redonne l formule voulue. nt T f(x)dx = n f(x), Intégrle des fonctions continues Dns ce prgrphe, on complète l étude de l intégrle de Riemnn dns le cs des fonctions continues. Intégrle d une fonction positive On sit que l intégrle d une fonction positive est positive. Mis l intégrle d une fonction positive peut être nulle sns que l fonction soit nulle, pr exemple si l fonction est nulle suf en un nombre fini de points. Pour une fonction continue ceci ne peut voir lieu comme le montre le résultt suivnt. Soit f une fonction positive définie et continue sur [, b]. Si lors f est l fonction constnte nulle. f(x)dx = 0, Considérons l fonctions F définie pr F(x) = x f(t)dt. C est une fonction dérivble, et F = f 0. Donc F est croissnte. Mis F() = F(b) = 0. Donc l fonction F est constnte. Alors F = f = 0.

40 CX 40 Conséquence : pour les fonctions continues, on églité dns l inéglité de Schwrz si et seulement si f et g sont colinéires. En effet, si l on reprend l démonstrtion de l inéglité de Schwrz, on remrque que, si I(f 2 ) n est ps nulle, l églité signifie que le trinôme f(x)g(x)dx = f(x) 2 dx P(λ) = I((λf + g) 2 ) 1/2 possède un discriminnt nul, donc une rcine double λ 0. Alors I((λ 0 f + g) 2 ) = 0, g(x) 2 dx et comme l fonction (λ 0 f + g) 2 est continue, on en déduit qu elle est nulle donc que g = λ 0 f, ce qui montre que f et g sont colinéires. Si I(f 2 ) = 0, lors f 2 est nulle donc f ussi : là encore f et g sont colinéires. 1/2 Chngement de vrible pour les fonctions continues Soit ϕ une fonction de [α, β ] dns R de clsse C 1. Soit f une fonction numérique définie et continue sur [, b] = ϕ([α, β ]). Alors ϕ(β) β f(x)dx = f ϕ(t)ϕ (t)dt. ϕ(α) α Toutes les pplictions sont continues donc Riemnn-intégrbles, et ϕ([ α, β ] ) est un segment, puisque ϕ est continue sur un segment. Soit F définie sur [, b ] pr F(x) = x f(t)dt. On donc F = f. Pr illeurs, comme f ϕϕ = F ϕϕ est l dérivée de F ϕ, on lors Mis On donc églité. β α f ϕ(t)ϕ (t)dt = F ϕ(β) F ϕ(α). ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = F(ϕ(β)) F(ϕ(α)).

41 CX 41 Exemple : pour toute f fonction continue sur [ 0, 1], π 0 f(sint)cos t dt = 0. En effet, en ppliqunt l formule, vec ϕ(t) = sint, on obtient π sinπ f(sin t)cos t dt = f(x)dx = 0. 0 sin0 Intégrtion pr prties Soit u et v deux fonctions numériques de clsse C 1 définies sur [, b]. Alors u (x)v(x)dx = [ ] b u(x)v(x) u(x)v (x)dx. En prtnt de l reltion on obtient en intégrnt (uv) (x) = u (x)v(x) + v (x)u(x), (uv) (x)dx = u (x)v(x)dx + v (x)u(x)dx, mis le premier membre vut d où le résultt. u(b)v(b) u()v() = [ ] b u(x)v(x), 6. Les formules de l moyenne Première formule de l moyenne

42 CX 42 Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] telles que f soit continue g soit Riemnn-intégrble et positive. Alors l fonction fg est Riemnn-intégrble et il existe c dns [, b] tel que f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx. Tout d bord f est Riemnn intégrble puisqu elle est continue, et l fonction f g est Riemnnintégrble comme produit de deux fonctions Riemnn-intégrbles. Comme f est continue, on f([, b ] ) = [ m, M ], vec m = inf f(x) et M x b = sup f(x). x b On donc, pour tout x de [, b ] m f(x) M. Notons églement I = f(x)g(x)dx et J = g(x)dx. Comme g(x) est positif, on en déduit, pour tout x de [, b ], mg(x) f(x)g(x) Mg(x), et en intégrnt mj I MJ. Si J = 0, lors I = 0 et on l églité désirée vec n importe quelle vleur de c. Si J 0, lors le nombre I/J pprtient à l intervlle [ m, M ], et il existe c dns cet intervlle, tel que f(c) = I/J, ce qui donne le résultt voulu. Deuxième formule de l moyenne

43 CX 43 Soit f et g deux fonctions numériques définies sur [, b] telles que f soit Riemnn-intégrble, g soit positive et décroissnte. Alors l fonction fg est Riemnn-intégrble et il existe c dns [, b] tel que f(x)g(x)dx = g( + ) où g( + ) désigne l limite à droite de g en. c f(x)dx. Tout d bord g est Riemnn intégrble puisqu elle est monotone, et l fonction f g est Riemnnintégrble comme produit de deux fonctions Riemnn-intégrbles. Comme g est monotone, l limite à droite de g en existe toujours. Posons F(x) = x f(t)dt et I = f(x)g(x)dx. L fonction F est continue sur [, b ]. Notons [ m, M ] son imge pr F. Si l on montre que (1) mg( + ) I Mg( + ), on pourr conclure comme dns l démonstrtion précédente. On démontre tout d bord l reltion (1) lorsque g est positive, décroissnte et en esclier. Soit {x 0, x 1,..., x n } une subdivision de [, b ] dptée à g. On donc, g(x) = λ k sur ] x k 1, x k [, vec g( + ) = λ 1 λ 2 λ n 0. Alors ce que l on peut écrire I = I = n x k x k 1 f(x)g(x)dx = n λ k (F(x k ) F(x k 1 )) = n λ k x k n λ k F(x k ) x k 1 f(x)dx, n λ k F(x k 1 ). On encore, en chngent l indice de sommtion dns l deuxième somme, I = n n 1 λ k F(x k ) λ k+1 F(x k ), k=0 et finlement n 1 I = λ n F(x n ) λ 1 F(x 0 ) + (λ k λ k+1 )F(x k ).

44 CX 44 Mis F(x 0 ) = F() = 0, donc n 1 I = λ n F(x n ) + (λ k λ k+1 )F(x k ). Puisque g est décroissnte et positive, les nombres λ k λ k+1 et λ n sont positifs. Alors et Donc en dditionnnt ces inéglités m(λ k λ k+1 ) (λ k λ k+1 )F(x k ) M(λ k λ k+1 ), mλ n F(x n )λ n Mλ n. n 1 mλ 1 = mλ n + m (λ k λ k+1 ) I Mλ n + M n 1 (λ k λ k+1 ) = Mλ 1. On trouve finlement ce qui donne les inéglités (1). mλ 1 I Mλ 1, Reste à montrer ces inéglités pour une fonction g décroissnte positive quelconque. Soit n un entier strictement positif. Si 0 k n, posons x k = + k b n. On obtient insi une subdivision {x 0, x 1,..., x n } de l intervlle [, b ], telle que x k x k 1 = b n. On définit une fonction en esclier G n en posnt, si x pprtient à [ x 0, x 1 [, si x pprtient à [ x k 1, x k [ vec 2 k n et G n (x) = g( + ), G n (x) = g(x k 1 ), G n (b) = g(b). On obtient insi une fonction en esclier décroissnte positive telle que G n ( + ) = g( + ). De plus, si x >, on G n (x) g(x), donc I(G n g) 0. Comme l fonction f est Riemnn-intégrble, elle est bornée. Notons K un mjornt de f. On obtient f(x)g n (x)dx f(x)g(x)dx f(x)(g n (x) g(x)) dx K (G n (x) g(x))dx.

45 CX 45 Comme g est décroissnte, on, si x pprtient à [ x k 1, x k [ et donc et 0 0 G n (x) g(x) = g(x k 1 ) g(x) g(x k 1 ) g(x k ) si 2 k n, 0 G n (x) g(x) = g( + ) g(x) g(x 0 ) g(x 1 ) si k = 1, (G n (x) g(x))dx n (g(x k 1 ) g(x k )) b = (g() g(b))b n n, f(x)g n (x)dx Il résulte du théorème d encdrement que lim n + Alors, en ppliqunt les inéglités (1) à G n, mg( + ) et pr pssge à l limite dns les inéglités mg( + ) f(x)g(x)dx f(x)g n (x)dx = K(g() g(b))b n. f(x)g(x)dx. f(x)g n (x)dx Mg( + ), f(x)g(x)dx Mg( + ), d où le résultt. 7. Intégrtion des fonctions à vleurs complexes Extension d une propriété des fonctions à vleurs réelles u cs complexe On considère une fonction f définie sur [, b] et à vleurs complexes. On peut donc écrire f = Re f + iim f, où Ref et Im f sont respectivement les prties réelles et imginires de f. Si (P) désigne une propriété vérifiée pr les fonctions à vleurs réelles, il est fcile d étendre l propriété ux fonctions à vleurs complexes, en disnt que f vérifie l propriété (P) si et seulement si Ref et Im f vérifient (P).

46 CX 46 Pr exemple : 1) L fonction f possède une limite finie en un point c si et seulement si Ref et Im f possèdent une limite en c, et l on pose lim f(x) = lim Ref(x) + i lim Im f(x). x c x c x c On vérifie fcilement que les propriétés des limites de somme de produit et de quotients sont encore vries. (Il est d illeurs possible de définir directement les limites vec des epsilons comme dns le cs des fonctions à vleurs réelles en remplçnt l vleur bsolue pr le module). 2) L fonction f est continue en un point c si et seulement si Re f et Imf sont continues en c. 3) L fonction f est dérivble en un point c si et seulement si Re f et Im f sont dérivbles en c, et l on pose f (c) = (Re f) (c) + i(im f) (c). (On peut d illeurs définir f (c) comme limite en c du tux de vrition f(x) f(c) x c ). Les formules de dérivtion de somme de produit et de quotients sont encore vries. 4) L fonction f est bornée sur [, b], si les fonctions Ref et Im f sont bornées. En rison de l églité f = (Re f) 2 + (Im f) 2, l fonction f est lors bornée, et du fit des inéglités Re f f et Im f f, si f est bornée, les fonctions Ref et Im f le sont ussi. On peut donc dire que f est bornée si et seulement si f est bornée. On peut définir de mnière nlogue les fonctions Riemnn-intégrbles à vleurs complexes : Si f est une fonction définie sur [, b] à vleurs complexes et bornée, on dir que f est Riemnnintégrble, si Ref et Im f le sont, et on poser I(f) = f(x)dx = Ref(x)dx + i Im f(x)dx. On v psser en revue les propriétés obtenues pour les fonctions à vleurs réelles et voir celles qui sont encore vries dns le cs des fonctions à vleurs complexes.

47 CX 47 Propriétés de l intégrle des fonctions à vleurs complexes 1) On voit fcilement que si f et g sont Riemnn-intégrbles et si λ est un nombre complexe, lors f + g et λf sont Riemnn-intégrbles, et (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x) dx ; (λf)(x)dx = λ f(x)dx. En effet Re(f + g) = Re f + Re g ; Im(f + g) = Im f + Im g, et ces deux fonctions sont réelles et Riemnn-intégrbles, donc f + g est Riemnn-intégrble et I(f + g) = I(Re(f + g)) + ii(im(f + g)) = I(Re f + Re g) + ii(im f + Im g) = I(Re f) + I(Re g) + i (I(Im f) + I(Im g)) = I(Re f) + i I(Im f) + I(Re g) + i I(Im g) = I(f) + I(g). De même si λ = α + iβ, vec α et β réels, Re(λf) = α Ref β Im f et Im(λf) = β Re f + α Im f. Ces deux fonctions sont combinisons linéires de fonctions réelles Riemnn-intégrbles donc le sont ussi, et I(λf) = I(α Re f β Im f) + i I(β Re f + α Im f) = α I(Re f) β I(Im f) + iβ I(Re f) + iα I(Im f) = (α + iβ) (I(Re f) + i I(Im f)) = λi(f). De mnière générle, toutes les propriétés fisnt ppel à l linérité de l intégrle restent vries. Il suffit d ppliquer les propriétés pour les fonctions réelles ux prties réelles et imginires : L reltion de Chsles L formule de chngement de vrible L formule d intégrtion pr prties Les limites des sommes de Riemnn L continuité de l intégrle indéfinie Si f est continue, l formule de Newton-Leibniz et l existence de primitives de f.

48 CX 48 2) On l mjortion du module d une intégrle pr l intégrle du module de l fonction : Si f est Riemnn-intégrble, lors f est Riemnn-intégrble et f(x)dx f(x) dx. Ecrivons f = u+iv vec u et v réels. Supposons tout d bord u et v positifs. Ce sont des fonctions Riemnn-intégrbles. On peut trouver qutre suites (u n ), (U n ), (v n ), (V n ) de fonctions en esclier positives telles que u n u U n et v n v V n vec On lors, puisque les fonctions sont positives, donc et finlement, en posnt lim I(U n u n ) = lim I(V n v n ) = 0. n + n + u 2 n u2 U 2 n et v 2 n v2 V 2 n, u 2 n + v2 n u2 + v 2 U 2 n + V 2 n, f n = u n + iv n et F n = U n + iv n, f n f F n. Les fonctions f n et F n sont en esclier. L inéglité tringulire donne et ussi F n f n F n f n = U n + iv n (u n + iv n ), U n + iv n (u n + iv n ) U n u n + V n v n = (U n u n ) + (V n v n ), et puisque ces fonctions sont en esclier, on obtient en intégrnt 0 I( F n f n ) I(U n u n ) + I(V n v n ). Mis l suite du membre de droite converge vers zéro, donc celle de guche églement. Cel montre que f est Riemnn-intégrble. Si mintennt u et v ont un signe quelconque, on écrit u = u + u et v = v + v et donc f = (u + + iv + ) (u + iv ). Alors u + + iv + et u + iv sont Riemnn-intégrbles, donc f églement. Montrons mintennt l inéglité. Supposons tout d bord que I(f) soit un réel positif. Alors I(f) = I(u) + i I(v).

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