BAC BLANC TS ELEVES NE SUIVANT PAS L ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE MATHS

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1 AC LANC TS ELEVES NE SUIVANT PAS L ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE MATHS La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront pris en compte dans l appréciation des copies Eercice (5 points) Partie A : Question de cours Soit (E) l équation différentielle m e y = my où m est un réel non nul. Prérequis : La fonction f : est solution de cette équation. Démontrer que toute solution de (E) est de la forme m Ce où C est une constante réelle. Partie Dans une préparation biologique, la taille d une population d une bactérie est une fonction p du temps t en heures. Les biologistes ont constaté que la taille de cette population avait une croissance presque eponentielle au début, puis à partir d un certain temps t 0, le nombre de bactéries stagnait autour d une taille maimale que l on notera T ma. p( t) On appelle f la fonction définie par f ( t) = sur [0 ; + [. Tma f est solution de l équation différentielle, notée (E) : y = my( y) où m est un réel fié, non nul, qui dépend de la population de bactéries étudiées. ) On suppose que pour tout réel t positif f ( t) > 0 et on définit la fonction g sur [0 ; + [ par g ( t) =. f ( t) Prouver que f est solution de (E) si et seulement si g est solution de (E) : z = m mz ) Résoudre (E) et en déduire les solutions de (E) 3 ) A l instant t = 0, la taille initiale de la population est de % de la taille maimale observée. Déterminer la fonction f solution de (E) qui vérifie f ( 0) = 0, 0. 4 ) On suppose que m est strictement positif. Etudier la fonction f définie sur [0 ; + [ par f ( t) = mt + 99e 5 ) On suppose que m =. Tracer la courbe représentant f et déterminer, par le calcul, l instant t 0 à partir duquel f ( t) 0, 99. Interpréter ce résultat. Eercice (5 points) Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, u, v ) d'unité graphique 4 cm. π Soit θ un nombre réel tel que 0 < θ <. On note : I le point d'affie A l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle θ. le symétrique du point A par rapport à l'ae ( O, u ), C l'image du point par l'homothétie de centre O et de rapport.

2 )a)placer sur une figure les points I, A, et C. b)donner sous forme eponentielle, les affies des points A, et C en fonction de θ. c)quelle est la nature du triangle OA? ) On pose Z = z z A C z z a)eprimer en fonction de θ le module et un argument de Z. b)en déduire une mesure de l'angle orienté ( C, A). c)pour quel réel θ le triangle AC est-il isocèle en? 3 )a)montrer que l aire du triangle AC est égale à sin θ. b)déterminer θ pour que cette aire soit maimale. 4 )Déterminer en fonction de θ l'affie du centre du cercle circonscrit au triangle AC. Eercice 3 (6 points) Pour tout réel a > 0, on désigne par f a la fonction numérique définie sur ] 0 ; + [ par ln( a) f a ( ) = et par ( Ca ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. ln( ) ) Pour a =, on a donc f ( ) =. a) Etudier les variations de la fonction f sur ] 0 ; + [. b) Déterminer les limites de f en 0 en en + et construire la courbe ( C ) en prenant cm pour unité graphique et en précisant le point d intersection de ( C ) l ae des abscisses. ) Dans cette question a est un réel quelconque strictement positif. a)etudier les variations de la fonction f. a b)déterminer les limites de la fonction f a en 0 et en + et établir son tableau de variation. c)tracer sur la figure précédente la courbe ( C3) obtenue pour a = 3 en précisant le point d intersection de cette courbe l ae des abscisses. 3 ) On appelle Ia le point de ( C a ) d abscisse. a)ecrire l équation de la tangente ( T a ) à ( C a ) au point I a. b)tracer ( T ) et ( T 3 ) et déterminer leur point d intersection. c)démontrer que lorsque a varie dans ] 0 ; + [ les tangentes ( T a ) passent par un point fie dont on déterminera les coordonnées. 4 )Pour tout réel > 0, on note M et N les points de C ) et C ) d abscisse et on désigne par G le barycentre des points (M, ) et (N, ). a)calculer les coordonnées de G en fonction de. b)démontrer que l ensemble des points G lorsque varie dans ]0 ; + [ est contenu dans une courbe C ) que l on déterminera. ( a ( ( 3

3 Cet eercice se présente comme un questionnaire à choi multiples ( QCM). A chaque proposition est affecté un certain nombre de points. Pour chaque proposition, une réponse eacte rapporte le nombre de points affecté; une réponse ineacte enlève la moitié du nombre de points affecté. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces propositions. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Pour chaque question, au moins une des 4 propositions est eacte et aucune justification n est demandée. Le candidat indiquera sa réponse en cochant la case correspondante. Question : Soient les points A(0 ; 0 ; 3 ), ( ; ; ), C( ; ; 4 ) et H(0 ; 3 ; ) (a) A,, C sont alignés (b) C est le barycentre de{ ( A, ), (, ) } (c) H est le barycentre de { A,), (,), (C, 3) (d) A,, C, H sont coplanaires ( } Question : (D) est la droite passant par H(0 ; 3 ; ) et de vecteur directeur + y + 3z + 9 = 0 u i + j k = et (P) le plan d équation (a) (D) a pour représentation paramétrique (b) (D) a pour représentation paramétrique = k = 3 + k = k = = 3k + = k (c) Le point C ( défini à la question ) est situé sur la droite (D) (d) La droite (D) est incluse dans (P) Question 3 : On désigne par (S) l ensemble d équation + y + z + y 4z 0 = 0 (a) (S) est une sphère de centre I( ; ; 4 ) (b) (S) est la sphère de centre Ω( ; ; ) et de rayon R = 4 (c) (S) est la sphère de diamètre [MN] M( ; ; 6) et N( ; (d) Le plan (P) défini à la question et l ensemble (S) sont sécants ; ) Question 4 : Soit (Q) le plan de direction ( i, k ) passant par H(0 ; 3 ; ) (a) (Q) a pour vecteur normal j (b) (Q) a pour équation + y + z + 4 = 0 (c) (Q) est perpendiculaire au plan (P) d équation : + y + 3z + 9 = 0 (d) (Q) coupe (P) suivant une droite de représentation paramétrique = 3k 3 = 3 = k

4 Eercice (5 points) Partie A : Question de cours Soit (E) l équation différentielle y = my où m est un réel non nul. Soit f une solution de cette équation différentielle. Soit alors g la fonction définie sur IR par : g() = f() e m On a alors : g '() = f '() e m m e m f() = e m (f '() m f()) = 0 donc g est une fonction constante donc f() e m = C donc f est de la forme : C e m Partie t [ 0, + [ : g(t) = f(t) et g '(t) = f '(t) (f(t)) Pour tout réel t de [ 0 ; + [ on sait que f(t) dif0 et on a donc : f '(t) = m f(t) ( f(t)) f '(t) (f(t)) = m m g '(t) = m g(t) m g '(t) = m m g(t). f(t) On a bien f solution de y ' = m y ( y) si et seulement si g solution de z ' = m m z. On sait que les fonctions solutions de l'équation différentielle Y'= ay + b sont définies sur IR par : k e a b si a 0. ) a Les solutions de (E ) sont donc de la forme : t C e mt m m c est à dire de la forme t C e mt +. Les solution de (E ) sont donc de la forme t C e mt + Remarque : pour que f soit définie sur [ 0 ; + [ il suffit de prendre C 0. la fonction f est alors positive. 3 f solution de (E ) donc pour tout réel t de [ 0 ; + [ f(t) = f(0) = 0,0 C e mt + C e 0 = 0,0 = 0,0 (C + ) C = 00 C = f est définie sur [ 0 ; + [ par f(t) = 4 f(t) = + 99 e mt 99 m e mt + 99 e mt et f '(t) = ( + 99 e mt ) > 0 (m > 0) f est croissante sur IR+ f(0) = 0,0 et lim f(t) = lim t e = =. y 0 + signe de f + + f 0,0 5 m = et f(t) = + 99 e t 0,5 f(t) 0, e t ( + 99 e t ) e t 980 e t e t 980 t ln 980. t 0 9,. Au bout d'environ 9, s le nombre de bactéries de la préparation stagne autour de la valeur maimale (entre 0,99 T ma et T ma.

5 Eercice (5 points) Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v ) d'unité graphique 4 cm. Soit θ un nombre réel tel que 0 < θ < π On note I le point d'affie A l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle θ le symétrique du point A par rapport à l'ae (O, u), C l'image du point par l'homothétie de centre O et de rapport. )a)placer sur une figure les points I, A, et C. A O I Ω b)donner sous forme eponentielle, les affies des points A, et C en fonction de θ. z A = e iθ z I = e iθ, z = e iθ et z C = z = e iθ c)quelle est la nature du triangle OA? OA = O = donc le triangle OA est isocèle en O. z ) On pose Z = z A C z z a)eprimer en fonction de θ le module et un argument de Z. Z = z A z e iθ e iθ = z C z e iθ e iθ = i sin θ e iθ = i sin θ e iθ. Z = i e iθ sin θ = sin θ > 0 car θ ] 0, π [ arg Z = arg () + arg (i) + arg e iθ = 0 + π + θ b)en déduire une mesure de l'angle orienté ( C, A ). arg Z = ( C, A ) = θ + π c)pour quel réel θ le triangle AC est-il isocèle en? A A = sin θ AC est isocèle en si et seulement si C C = c est à dire sin θ = c est à dire θ = π 4 variante : OC = O donc O = C donc O = C =. AC isocèle en si et seulement si A = C c est à dire A = c est à dire OA équilatéral c est à dire AO = π Comme AO = θ on a : AC isocèle en si et 3 C seulement si θ = π 4

6 3 )a)montrer que l aire du triangle AC est égale à sin ( θ). Aire AC = A C sin AC. On a : A = y A = sin θ A = donc A = C donc A = sin θ et C = son θ C arg Z = ( C, A ) = θ + π donc sin AC = sin θ + π On a donc Aire AC = sin θ cos θ = sin θ = cos θ car θ 0, π b)déterminer θ pour que cette aire soit maimale. θ sin θ est croissante sur 0, π 4 et décroissante sur π 4, 0 L'aire de AC est maimale pour θ = π 4 4 )Déterminer en fonction de θ l'affie du centre du cercle circonscrit au triangle AC. Ω est sur la médiatrice de [A] donc y Ω = 0. Ω (, 0) Ω = ΩC e iθ = e iθ ( cos θ) + sin θ = ( cos θ) + 4 sin θ cos θ + cos θ + sin θ = 4 cos θ + 4 cos θ + 4 sin θ cos θ + = 4 cos θ cos θ = 3 = cos θ. Ω 3 cos θ, 0

7 Eercice 3 f () = ln ln a) f '() = = ln f '() 0 ln 0 ln e. 0 e + signe de f + 0 /e f 0 y 0 b) lim = + et lim 0 + ln = 0 ln donc lim 0 = lim 0 ln = ln lim + = lim ln (a ) a = 0. + a f() = 0 = a) f a '() = a ln (a ) a ln (a ) = f a '() 0 ln (a ) 0 ln (a ) a e f a ln a e a e = a = a e e. a 0 e/a + signe de f + 0 a/e f 0 b) lim ln (a ) = + et lim ln (a ) = donc lim = lim ln (a ) = lim 3 a) f a () = ln a f a '() = ln a ln (a ) = 0. + y = ln a + ( ln a) ( ) y = ln a + ( ln a) + ln a y = ( ln a) + ln a b) T : y = et T 3 : y = ( ln 3) + ln 3 y = y = ln 3 + ln 3 y = = ln 3 + ln 3 y = 0 = ln 3 + ln 3 = y = c) ln a + ( ln a) ( ) = ln a + ln a =. le point I( ; ) appartient à toutes les droites T a 4 G barycentre des points (M, ) et (N, ). M, ln et N, ln 3 G = = et y G = ln ln 3 = ln ln 3 ln = ln ln 3 y G = ln G 3 donc G C a pour a = 3

8 Cet eercice se présente comme un questionnaire à choi multiples ( QCM). A chaque proposition est affecté un certain nombre de points. Pour chaque proposition, une réponse eacte rapporte le nombre de points affecté; une réponse ineacte enlève la moitié du nombre de points affecté. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces propositions. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Pour chaque question, au moins une des 4 propositions est eacte et aucune justification n est demandée. Le candidat indiquera sa réponse en cochant la case correspondante. Question : Soient les points A(0 ; 0 ; 3 ), ( ; ; ), C( ; ; 4 ) et H.(0 ; 3 ; ) (e) A,, C sont alignés (f) C est le barycentre de{ ( A, ), (, ) } (g) H est le barycentre de { ( A,), (,), (C, 3) } (h) A,, C, H sont coplanaires Question : (D) est la droite passant par H(0 ; 3 ; ) et de vecteur directeur + y + 3z + 9 = 0 u= i + j k et (P) le plan d équation (e) (D) a pour représentation paramétrique (f) (D) a pour représentation paramétrique = k = 3 + k = k = = 3k + = k (g) Le point C ( défini à la question ) est situé sur la droite (D) (h) La droite (D) est incluse dans (P) Question 3 : On désigne par (S) l ensemble d équation + y + z + y 4z 0 = 0 (e) (S) est une sphère de centre I( ; ; 4 ) (f) (S) est la sphère de centre Ω( ; ; ) et de rayon R = 4 (g) (S) est la sphère de diamètre [MN] M( ; ; 6) et N( ; ; (h) Le plan (P) défini à la question et l ensemble (S) sont sécants ) Question 4 : Soit (Q) le plan de direction ( i, k ) passant par H(0 ; 3 ; ) (a) (Q) a pour vecteur normal j (b) (Q) a pour équation + y + z + 4 = 0 (c) (Q) est perpendiculaire au plan (P) d équation : + y + 3z + 9 = 0 (d) (Q) coupe (P) suivant une droite de représentation paramétrique = 3k 3 = 3 = k