Correction du baccalauréat S Asie 18 juin 2013

Transcription

1 Correction du baccalauréat S Asie 18 juin 01 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points 1 Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non On a donc un arbre : 0,1 S 0,8 0, A B 0,9 0, 0,8 a En suivant la quatrième branche : p B S = pb p B S = 0, 0,8= 0,16 b On calcule de même : p A S = pa p A S = 0,8 0,9= 0,7 A ; B} étant une partition de l univers, on a donc : p S = p A S + p B S = 0,7+0,16= 0,88 Il faut donc calculer : ps B p S B= ps On a vu que p S Donc p S B= 0, 0, 0,1 = 0,88, donc ps=1 p S = 0,1 S S S = 1 = 1 0, au centième près 1 On a vu que la probabilité de tirer une boîte de façon aléatoire dans le stock du grossiste sans trouver de pesticides est égale à 0, 88 C est une épreuve de Bernoulli Répéter de façon indépendante 10 fois cette expérience est donc une épreuve de Bernoulli de paramètres n= 10 et p = 0,88 La variable X suit donc une loi binomiale B10 ; 0, 88 Il faut trouver px = 10= 10 0, , = 0, ,8 au centième près Il faut trouver : px 8= px = 8+pX = 9+pX = 10= , , , , , , ,0+ 0, , , , 89 au centième près Partie C 1 On vérifie tout d abord que : n= 50 et 50 0 ; np = 50 0,88= et 5 ; n1 p=50 0,1= 6 et 6 5

2 On sait qu alors l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est égale à : [ I f = 0,88 1,96 0,88 1 0,88 ; 0,88+ 1,96 0,88 1 0,88 ], d où au cen tième près : I f = [0,79 ; 0,98] L inspecteur de la brigade de répression constate une proportion de lots sans pesticides de ,76 50 Or 0,76 I f, donc il doit constater au risque de 5 % que la publicité est mensongère EXERCICE Commun à tous les candidats 6 points Voir la figure 1 a Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A est égal à f a Or f x=e x, donc f a=e a b De même le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B est égal à g b Or g x= e x, donc g b=e b c Si les deux tangentes sont égales le coefficient directeur de leurs équations réduites sont égaux, soit : f a = g b e a = e b et par croissance de la fonction logarithme népérien : a= b b= a Une équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A est égale à : y e a = e a x a y = xe a + e a 1 a Une équation réduite de la tangente à la courbe C g au point B est égale à : y 1 e b = e b x b y = xe b + 1 e b be b Ou en remplaçant b par a : y = xe a + 1 e a + ae a y = xe a + 1+e a a 1 Si les deux tangentes sont égales, leurs équations réduites sont les mêmes On a déjà vu l égalité des coefficients directeurs Les ordonnées à l origine sont aussi les mêmes soit : e a 1 a=1+e a a 1 e a a=1 a 1e a + 1=0 Donc a est solution de l équation dans R : x 1e x + 1=0 Partie C 1 a SurR, ϕx=xe x e x + 1 On sait que lim x ex = 0 et lim x xex = 0, d où par somme de limite : ϕx= 1 lim x La droite d équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe représentative de ϕ On a + lim xto+ x 1=+ et lim x + ex =+, d où par somme de limites : lim ϕx= x + Asie 18 juin 01

3 b Somme de fonctions dérivable surr, ϕ est dérivable surret : c ϕ x=e x + x 1e x = xe x Comme, quel que soit x R ; e x > 0, le signe de ϕ x est celui de x Donc sur ] ; 0[, ϕ x<0:la fonction est décroissante sur cet intervalle et sur ]0 ; + [, ϕ x>0:la fonction ϕ est croissante sur cet intervalle D où le tableau de variations : x 0 + f x 0 + f x 1 + a Sur ] ; 0] la fonction ϕ est continue et décroissante à valeurs dans [ 1 ; 1] Comme 0 [ 1 ; 1] il existe un réel unique α de ] ; 0] tel que f α=0 Le même raisonnement sur l intervalle [0 ; + [ montre qu il existe un réel unique de cet intervalle β tel que f β=0 Donc l équation ϕx=0 admet exactement deux solutions dansr b La calculatrice donne successivement : 1 ϕ 0,18 et ϕ 1 0,7, donc <α< 1 ; ϕ 1,7 0,01 et ϕ 1,6 0,05, donc 1,7<α< 1,6 ; ϕ 1,68 0,001 et ϕ 1,67 0,005, donc 1,68< α< 1,67 ; ϕ 1,679 0,0001 et ϕ 1,678 0,000, donc 1,679< α< 1,678 Conclusion au centième près α 1, 68 De la même façon on obtient β 0,77 Partie D 1 Le coefficient directeur de la tangente en E à C f est e α Le coefficient directeur de la droite EF est : 1 eα e α = 1 eα α α α Or α est solution de l équation : x 1e x + 1=0, autrement dit α 1e α + 1=0 αe α = e α 1, d où en revenant au coefficient directeur de la droite EF : 1 eα α = αeα α = eα Conclusion : la droite EF est bien la tangente à la courbe C f au point d abscisse α et la tangente à la courbe C g au point d abscisse α Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point d abscisse α est e α = e α On a vu dans la question précédente que la droite EF a pour coefficient directeur e α et contient le point F Conclusion la droite EF est la tangente à la courbe C g au point d abscisse α EXERCICE Commun à tous les candidats points 1 Affirmation 1 : VRAIE On a AB ; 1 et AC 1 ; D où AC = AB Les vecteurs sont colinéaires donc les points A, B et C sont alignés Asie 18 juin 01

4 Affirmation : FAUSSE On calcule successivement : EB = 8 ; EC = 8 et ED = Les points B, C et D ne sont pas équidistants de E Affirmation : VRAIE Une équation du plan IJK est x+y + z = 1 Un point commun à ce plan et à la droite D a ses coordonnées telles que : t+ 6 t + t = 1 5=t t = 5 Ce point commun existe donc et a pour coordonnées Affirmation : VRAIE 1 ; 1 ; 1 EFGH est un carré donc le milieu T de [HF] est le milieu de [EG] On a donc ET = 1 EG En prenant par exemple le repère A, AB ; AD ; AE calculons le produit scalaire : 1 AT EC = AE + ET EG + GC = AE + EG EG + GC = AE EG + AE GC + 1 EG EG + 1 EG GC Or ABCDEFGH est un cube, donc AE EG = 0 et EG GC = 0 De plus AE = GC et EG= c, c étant la mesure du côté du cube Finalement : AT EC = c + 1 = c c + c = 0 Les vecteurs sont orthogonaux donc les droites AT et EC sont orthogonales EXERCICE Candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité 5 points 1 Initialisation : la relation est vraie au rang 0 ; Hérédité : supposons que pour tout naturel p tel que u p > 1 1+u p = +u p +u p +up + up = = 1+ u p 1 +u p +u p +u p +u p Par hypothèse de récurrence on a : u p 1 et comme u p > 1, +u p > >0 donc son inverse 1 +u p > 0 et finalement u p 1 +u p > 0, c est-à-dire que u p+1 = 1+u p +u p > 1 Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire à partir de tout rang, donc d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u n > 1 a Quel que soit le naturel n, u n+1 u n = 1+u n u n = 1+u n u n un = +u n +u n 1 un = 1 u n1+u n +u n +u n b On sait que quel que soit le naturel n, u n > 1 un > 1 1 un < 0 et comme +u n > 0 et finalement u n+1 u n < 0 ce qui signifie que la suite u n est décroissante La suite u n est décroissante et minorée par 1 : elle converge vers une limite supérieure ou égale à 1 Asie 18 juin 01

5 1 i 1 u 0,800 1,077 0,976 Il semble que la suite converge vers 1 par valeurs alternativement supérieures et inférieures a V n+1 = u 1+0,5u n n+1 1 u n = 0,5+u n 1 1+0,5u n 0,5+u n + 1 = 0,5 0,5u n = 0,5u n 1 1,5+1,5u n 1,5u n + 1 = 1 v n La suite v n est donc géométrique de raison 1 b On a v 0 = 1 + = 1 On sait qu alors pour tout naturel n, v n = 1 1 n a Quel que soit le naturel n, 1 n 1, donc v n 1 et par conséquent v n 1 b v n = u n 1 u n + 1 v n u n + 1=u n 1 v n u n + v n = u n 1 v n u n u n += 1 v n u n v n 1= 1 v n et comme v n 1, u n = 1 v n v n 1 = 1+ v n 1 v n c Comme 1 < 1 < 1, on sait que lim 1 n = 0, soit lim n + v n = 0, donc n + d après le résultat précédent lim u n = 1 n + 1 = 1 EXERCICE Candidats ayant choisi l enseignement de spécialité 5 points 1 a On a : xe = 5 + y E = + 5 xe = y E = xf = y F = xf = 5 y F = 11 xg = 5 + y G = + 5 xg = y G = b OE = + = 8, donc OE= OE = + =, donc OE = Donc OE = OE OG = + = 9+9=18, donc OG= ; OG = + 5 On a A= 5 = 18, donc OG = Donc OG = 1 OG 1 Il suffit d écrire avant le FIN POUR : afficher x, afficher y Il semble que les cordonnées sont de plus en plus grandes tout en se rapprochant les points images sont de plus en plus proches de la droite y = x Partie C Asie 5 18 juin 01

6 1 Initialisation : pour n= 1, on a bien A 1 = 5 5 et : α 1 = et β 1 = 0 1 Hérédité : supposons qu il existe un naturel p tel que : A p αp β p = et La relation A p+1 = A A p entraîne que : α p+1 = 5 α p + β p et α p = p p+1 et β p = p 1 1 p+1 β p+1 = α p + 5 β p, soit en utilisant la relation de récurrence : α p+1 = 5 p p+1 + p 1 1 p+1 = 8 p p+1 = p + 1 p+ De même : β p+1 = p p p 1 1 p+1 = 8 p 1 1 p+1 = p 1 p+ Donc les relations sont vraies au rang p+ 1 On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel n 1, on a : β p α p a L égalité α n = n n+1 et β n = n 1 1 n+1 xn y n = A n se traduit par : xn = α n + β n y n = β n + α n On a quel que soit le naturel n, x n = y n b OE n = x n + y n = x n ; Avec x n = α n + β n = α n + β n et αn + β n = n, on obtient OE n = n = n+ Or lim n + n+ =+, donc lim OE n =+ n + Asie 6 18 juin 01

7 Annexe à rendre avec la copie Exercice C f 1 C g 5 1 O 1 1 Asie 7 18 juin 01