CORRECTION Exercice 1 Partie 1 Soit g la fonction définie sur R par g(x) = e 2x 2x e 2x + 1.

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1 CORRECTION Exercice Partie Soit g la fonction définie sur R par g(x) = e 2x 2x e 2x +.. 2x donc par composition e e! & donc par somme '() +*. 2x * donc par composition Xe 2xe! # La droite d équation y = est asymptote à la courbe de g en.,. gx e! 2x / 2x / donc par composition e / e! / & et 2x # par somme '() +*. * donc par produit e! 2x et 3. g est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R et g (x) = 2e 2x (2e 2x + 4x e 2x ) = 4x e 2x. 4. x R, e 2x > donc g (x) a le même signe que 4x sur R tableau de variations de g : x + g (x) + 2 g(x) g() = + = 2. Sur l intervalle ] ; ] g est continue et strictement croissante et n appartient pas à l intervalle image ] ; 2] donc l équation g(x) = n a pas de solution sur cet intervalle. Sur l intervalle [ ; + [ g est continue et strictement décroissante et appartient pas à l intervalle image ] ; 2] donc d après le TVI, l équation g(x) = a une solution unique α sur cet intervalle donc aussi sur R. A la calculatrice, on obtient :.63 < α <.64 donc α a pour valeur approchée.6 à près. 6. D après le tableau de variation et la question précédente, on en déduit le signe de g(x) : x α + g(x) +. g(α) = e 2α 2α e 2α + = e 2α ( 2α) = e 2α =!6!6 Partie 2 Soit A la fonction définie et dérivable sur [ ; + [ telle que A(x) = 8!8. A(x) = 9 :; < A > :;? 9 :; = e On sait que / donc X 8 8 e!8 / donc 8 > :; 8 9 :;. e!8 2D / et par passage à lf inverse 8 donc!8 H / 4 e!8i donc 8 e par produit '() K L* M 2D e!8 & donc # / e! A est dérivable sur [ ; + [ et A (x) = N9:; O8@!9 :; N9:;!89 :; O R8 9 :; ² 9 :Q ² 9 :; ² x R, (e 2x + )² > et 8 > donc A (x) a le même signe que g(x) sur [ ; + [. 3. Donc d après le 6 du A, on a : x α + A (x) + A(α ) A(x)

2 Partie 3 On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par f(x) = 9 :;.. L aire du rectangle OPMQ est égale à OP OQ = x f(x) = x 9 :; = 8D e 2D / = A(x). 2. D après le 3 de la partie 2, le maximum de A(x) est obtenu pour x = α donc l aire du rectangle OPMQ est maximale pour x = α. 3. Si le point M a pour abscisse α alors la tangente (T) en M à la courbe (C) a pour coefficient directeur f (α). = < =?² V=W T9 :; T9:U f (x) = 9 :; donc f (α)= T@ ² 9 :U ² < :U?²!6 A6² La droite (PQ) a pour coefficient directeur : X Y X Z [6 8 e 2α / Y Z 6 6 6e 2α / 6< = /? 6< :U? :U² (T) et (PQ) ont des coefficients directeurs égaux donc (T) // (PQ)!6!6² A!6 6² A!6 6² Exercice 2 u a k 9 et pour tout entier naturel n _ ` 9 Partie A. a. b. La suite d e semble décroissante et converger vers 2.

3 2. a. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n : «u n f 2». Initialisation D une part : u a et d autre part > 2 donc u > 2 et l inégalité est vrai au rang n =. Hérédité Démontrons que si l inégalité est vraie au rang n alors elle l est aussi au rang n +. hypothèse de récurrence : u n f 2 ce qu il faut démontrer : u n + f 2 On sait que 9 et par hypothèse de récurrence: d e f 2 l d e / f 3 l n 3 par passage à l F 9 inverse l f 9 3 l 9 f 3 l 9 f 3 l f 2 donc op f 2 qrsto f 2. Conclusion L inégalité est vraie au rang n = et si elle est vraie au rang n alors elle est aussi vraie au rang n + donc d après le principe de récurrence on en déduit que: n N, u n f 2. v. n N,x y x y u! c! 4 4 ² / 4 / 4 x y /,² x y / z c. n N, u n f 2 donc u n + 2 > donc (u n + 2)² > et u n + > 2 > donc {!² { } la suite ~ est décroissante. a. La suite d e est décroissante d après le c et minorée par 2 d après le a donc elle est convergente. 3. a. n prend la valeur u prend la valeur Tant que u / 2 ƒ u prend la valeur {} n prend la valeur n + b. Pour E =. l algorithme affiche en sortie n = 3.. On considère la suite v c dé inie pour tout entier naturel n par _ v c / 2.. N, v c v c / 2 / 2 9 / 2 / n donc n donc / / 2 3 / 6 / 2 3 / / / 6 / 2 3 / 6 / 2 3 / 2 3 Donc y Š Œ xyš x(œš (ŒŽ)éŒ( xš Š ( y et de premier terme M u a / 2 / 2 v. N, y v a / nr / y N, y / 2 / 2 v c v c / n 6 / 4n 3 / n x z y y / y. H c / ni / donc 3 v c / donc c Partie B u a k et pour tout entier naturel n _ `. N, v c / 4 v c / 4 / 4 c / 4 / 2 3 n 2 u 3 / n c 2 3 / n 2 2 donc v H 2I 2 donc '() c c v x y, c y / 2 Donc (v n ) est une suite géométrique de raison q = z et de premier terme v = { { A } }A z / / v c

4 ,. N, y y y H z I y ; n c n šs œ H c I donc par produit '() y M y N, v c / 4 v c / 4 v c / 4v c v c 4v c v c 4v c x y y y v c donc 4v c et v c donc par quotient '() x y M c c c y Exercice 3 On considère les points A( ; ; 4), B( ; ; 2) et C(6 ; ; ),. a. Les points A, B et C définissent un plan s ils ne sont pas alignés c est-à-dire si les vecteurs AB ŸŸŸŸŸ et AC ŸŸŸŸŸ ne sont pas 6 colinéaires ; AB ŸŸŸŸŸ a pour coordonnées et AC ŸŸŸŸŸ a pour coordonnées res coordonnées ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ŸŸŸŸŸ AB et AC ŸŸŸŸŸ ne sont pas colinéaires 6 donc 'Š (yœ L, ŠŒ é (y( ŠyŒ xy ' y. b. Le plan (ABC) et l ensemble des points M tels que AM ŸŸŸŸŸŸ tab ŸŸŸŸŸ / tª AC ŸŸŸŸŸ où t et t décrivent R. x x «/ tx «ŸŸŸŸŸŸ / t F x «ŸŸŸŸŸ Donc une représentation paramétrique du plan (ABC) est : `y y «/ ty «ŸŸŸŸŸŸ / t F y «ŸŸŸŸŸ 2. AB = ³x «ŸŸŸŸŸŸ ² / y «ŸŸŸŸŸŸ ² / z «ŸŸŸŸŸŸ ²! /! / 2² / 4 z z z «/ tz «ŸŸŸŸŸŸ / t F z «ŸŸŸŸŸ * / zœ F Œ / ±Œ F ²,Œ Œ F Œ R ŠŒ Œª R AC = ³x «ŸŸŸŸŸ ² / y «ŸŸŸŸŸ ² / z «ŸŸŸŸŸ ²! / 6! / 3² 2 / 36 / 9 M 6 BC ŸŸŸŸŸ donc BC = ³x ŸŸŸŸŸ ² / y ŸŸŸŸŸ ² / z ŸŸŸŸŸ ²! /! / ² 2 / 49 / z 2 Dans le triangle ABC, AB² + AC² = + = = BC² donc d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A. 3. Le point D (4 ; ; 3) appartient au plan (ABC) s il existe deux paramètres t et t tels que : 4 / tª 3 tª t F 3 t / 6tª 2 t / 6tª.6 t 2 / 6t 3 4 2t 3tª 2t 3tª F 2 / 2t 3t F 3 Le système n a pas de solution donc le point D n appartient pas au plan (ABC). 4. E (ABC) x R, t R et t R tels que : x 2 x / tª x / tª x / tª t / 6tª t 6tª t 6tª t 4 2t 3tª 6tª / 3tª 3 tª 3 t F 3 donc,;; L a. F ( ; 2 ; 6 ) et G(2 ; 3 ; ). FG ŸŸŸŸ 3 2 / 6 On sait que les vecteurs AB ŸŸŸŸŸ et AC ŸŸŸŸŸ ne sont pas colinéaires donc FG ŸŸŸŸ,AB ŸŸŸŸŸ et AC ŸŸŸŸŸ sont coplanaires si et seulement si il 2 b b.4 existe deux réels a et b tels que donc FG ŸŸŸŸ aab ŸŸŸŸŸ / bac ŸŸŸŸŸ a / 6b a / a 3b 2a 3b Le système n a pas de solution donc les vecteurs ¼½ ŸŸŸŸŸ,L ŸŸŸŸŸ et ŸŸŸŸŸ L ne sont pas coplanaires. b. Les vecteurs FG ŸŸŸŸ,AB ŸŸŸŸŸ et AC ŸŸŸŸŸ ne sont pas coplanaires donc la droite (FG) est sécante au plan (ABC). c. Une représentation paramétrique de la droite (FG) est : k R la droite (FG) est sécante au plan (ABC) donc le système suivant a une solution unique : x / t F 2k / t F 2 2t 3t F / t F 2 4t 6t F / t F y t / 6t F 2 / k t / 6t F 2 / 2t 3t F t / 6t F t / 9t F ¾z 4 2t 3t F ¾6 / k 4 2t 3t F ¾ k 2t 3t F ¾ k 2t 3t F

5 x 6 y 4t t F 9 2t F z 3 2 t F H(6 ; ; 3 ) 4t / 36t F 44 t / 9t F t 9 2 ¾ k 2t 3tª ¾k 2t 3tª ¾k BD ŸŸŸŸŸ et FG ŸŸŸŸ ne sont pas colinéaires car Á donc les droites (FG) et (BD) ne sont pas parallèles.! 3 2 x / 3kª (BD) a pour représentation paramétrique : y kª kª R z 2 / kª Cherchons si elles sont sécantes, c est à dire s il existe k et k réels tels que : x / 3kª y kª ¾ z 2 / kª k F k k F 2 ¾ k F 2k / 3kª 2 / k kª ¾6 / k 2 / kª 2k F 2 / 3kª k k F 2 ¾6 k F 2 2 / kª 2k F 4 / 3kª k k F 2 ¾ 2k F les égalités 4 et 6 sont incompatibles donc le système n a pas de solution donc les droites (BD) et (FG) ne sont pas sécantes. (BD) et (FG) ne sont ni parallèles ni sécantes donc elles ne sont pas coplanaires. Exercice 4 Question Â Ã Ä ÂÅ Æ Ä ÂÅ 4 ÂÅ ÂÅ šs œ ÂNÅO ÂÄ ÂÅ Æ Ä / ÂNÅ Æ ÄO.3.2 / ÂNÅ Æ ÄO ÂNÅ Æ ÄO.3.2. Â Ã Ä ÇÃÆÈ Çà a.. donc ÉÊËÌ a.! k F k k F 2 ¾ k F Question 2 La variable aléatoire X qui compte le nombre de fois où l événement A se réalise suit la loi binomiale de paramètres n = et p =.3. Donc p(x ) = p(x = ) =. donc ÉÊËÌ Question 3 ÅIJ Í È Í Ã ² Î 2 3 / 3 2 p 3 2 pî ² Î 3 / pî ² H 3 I² / ² 9 / 9 Åϲ Í Ð Í Ã ² Î 2 / 3 4 p 3 2 pî² Î3 4 / 4 pî ² H 3 4 I² / H 4 I² 9 6 / Äϲ Í Ð Í È ² Î 9 / / / 3 4 p pî ² Î pî ² H 4 2 I² / H 3 69 I² 4 44 / šs œ ÅIJ / Åϲ Äϲ šs œ ÅÄÏ ÑoÒ tñœòq ÓrÑ Ñ Å. ÔÕÊÖ Question 4 Soit z x / iy la forme algébrique de z avec x et y réels : Í 3 Í / 2p D / pù 3 D 3 / pùúd Ù / 2pÛ DD 3 / ÙÙ / 2 / pndù D 3Ù / 2O D / pù / 2p ÚD / pù / 2ÛÚD pù / 2Û D! / Ù / 2! D² 3D / Ù² / 2Ù / pdù DÙ 2D / 3Ù / 6 D² 3D / Ù² / 2Ù / p2d / 3Ù / 6 D² / Ù / 2² D² / Ù / 2² Í 3 Í 2p D; Ù ; 2 ÑoÒ téñr Í / 2p ÜÝ H Í 3 D;Ù Í / 2p I `2D / 3Ù / 6 ; 2 D² / Ù / 2² Þ 2D / 3Ù / 6 D; Ù ; 2 ` Ù 2 3 D 2 L ensemble des points M d affixe z tels que ßÁ ß!à soit réel est la droite d équation Ù! D 2 privée du point ( ; 2) VRAI Á Question Soit z x / iy la forme algébrique de z avec x et y réels : Í / p Í 2 D / pù / D 2 / pù D! / Ù /! D 2! / Ù! D² 2D / / Ù² / 2Ù / D² 4D / 4 / Ù² 2D / 2Ù / 2 4D / 4 2Ù 2D / 2 Ù D / ¼Láâ