BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SESSION FÉVRIER 2016 SERIE S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 (9 pour la spécialité)

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1 BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SESSION FÉVRIER 2016 M AT H É M AT I Q U E S SERIE S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 (9 pour la spécialité) Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 L utilisation d une calculatrice est autorisée selon les termes de la circulaire nº du 16 novembre 1999 Le candidat doit traiter les quatre exercices Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 1 / 6

2 Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats Soit v n la suite définie par v 1 =ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, v n 1 =ln 2 e v n. On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul. On définit ensuite la suite S n pour tout entier naturel n non nul par : n S n = v k = v 1 v 2 v n k=1 Le but de cet exercice est de déterminer la limite de S n. Partie A Conjecture à l aide d un algorithme 1. Recopier et compléter l algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de S n pour une valeur de n choisie par l utilisateur : 2. À l aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de S n. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous : n S n 2,4 4,6 6,9 9,2 11,5 13,8 En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite S n Partie B Étude d une suite auxiliaire Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite u n par u n =e v n. 1. Vérifier que u 1 =2 et que, pour tout entier naturel n non nul, u n 1 =2 1 u n. 2. Calculer u 2, u 3 et u 4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. 3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, u n = n 1 n. Partie C Étude de S n 1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer v n en fonction de u n, puis v n en fonction de n. 2. Vérifier que S 3 = ln(4). 3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer S n en fonction de n. En déduire la limite de la suite S n. 2 / 6

3 Exercice 2 (3 points) Commun à tous les candidats Pour chaque réel a, on considère la fonction f a définie sur l ensemble des nombres réels R par : f a x =e x a 2 x e a 1. Montrer que pour tour réel a, la fonction f a possède un minimum. 2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle ce minimum est le plus petit possible? Exercice 3 (2 points) Commun à tous les candidats 1. Restitution Organisée des Connaissances Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants alors les événements A et B sont indépendants. A désignant l'événement contraire de A. 2. On considère l arbre de probabilités ci-contre : a. Quelle est la probabilité de l événement B? b. Les événements B et A sont-ils indépendants? 3 / 6

4 Exercice 4 (5 points) Commun à tous les candidats Partie A Soit u la fonction définie sur ]0 ; + [ par u(x)=ln(x)+x Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l intervalle ]0 ; + [. 2. Démontrer que l équation u(x)=0 admet une unique solution α comprise entre 2 et En déduire le signe de u(x) en fonction de x. Partie B Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ;+ [ par f x = 1 1 x [ln x 2] 2. On appelle C 1 la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. 1. Déterminer la limite de la fonction f en a. Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle ]0 ; + [, f x = u x x 2 où u est la fonction définie dans la partie A. b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. Partie C Soit C 2 la courbe d équation y = ln(x). 2 ln x 1. Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle ]0 ; + [, f x ln x = x 2. En déduire que les courbes C 1 et C 2 ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. 3. Déterminer lim f x ln x x. Que peut-on en déduire graphiquement? 4 / 6

5 Exercice 5 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Dans l espace, on considère : Une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l espace tel que (O ; OA ; OB ; OD ) soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0 ; 0 ; 3) dans ce repère. Partie A 1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie). 2. Soit V le point d intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie). 3. Soit K le point de coordonnées 5 6 ; 1 6 ;0. Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE. Partie B Dans cette partie, on admet que l aire du quadrilatère AUVE est On admet que le point U a pour coordonnées 0 ; 2 3 ;1. Déterminer une représentation paramétrique du plan (EAU) 2. Démontrer que la droite (d) de représentation paramétrique { x=3 3 t y= 3 3t z=8 5 t t R est orthogonale au plan (EAU) et passe par le point S. 3. Déterminer les coordonnées de H, point d intersection de la droite (d) et du plan (EAU). 4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume? 5 / 6

6 Exercice 4 Annexe 1 ( A rendre avec la copie) 6 / 6

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