Au rayon «image et son» d'un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine.

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1 EXERCICE 5 points Commun tous ls candidats Au rayon «imag t son» d'un grand magasin, un télévisur t un lctur d DVD sont n promotion pndant un smain. Un prsonn s présnt : T st l'évènmnt : «la prsonn achèt l télévisur» t la probabilité qu'll achèt l 2 télévisur st donc p T = t p T = L st l'évènmnt : «la prsonn achèt l lctur d DVD» t la probabilité qu'll achèt 7 7 l lctur d DVD si ll achèt l télévisur st donc p T L = t p T L = La probabilité qu'll achèt l lctur d DVD si ll n'achèt pas l télévisur st 0 9 donc p T L = t p T L = 0 0 _ Arbr pondéré. 2_ Probabilité d l'évènmnt «la prsonn achèt ls dux apparils», T L p T L = p T p T L 7 p T L = p T L = 50 Probabilité d l'évènmnt «la prsonn achèt l DVD», L p L = p L T p L T p L = p T pt L p T p T L proposé par Thirry Vdl Pag sur

2 7 2 p L = p L = 50 Probabilité d l'évènmnt «la prsonn n'achèt aucun ds dux apparils», T L p T L = p T p T L 2 9 p T L = p T L = 25 _ Probabilité d l'évènmnt «la prsonn achèt l l télévisur sachant qu'll a achté l lctur d DVD. p T L p L T = p L 2 50 p L T = p L T = p L T = 2 C.Q.F.D. On désign par D la dépns ffctiv d la prsonn. 4_ Valurs priss par D. D prnds quatr valurs qui corrspondnt aux quatr branchs d l'arbr. L clint n'achèt rin : d =0 L clint achèt sulmnt l DVD. Avant la promotion, l lctur d DVD coûtait 200. t pndant ctt smain, l magasin fait un rmis d 5% pour l'achat d'un sul ds dux apparils 5 =70 donc d 2= L clint achèt sulmnt l l télévisur. Avant la promotion, l l télévisur coûtait =425 donc d = L clint achèt ls dux apparils. Pndant ctt smain, l magasin fait un rmis 25% 25 =525 pour l'achat ds dux apparils donc d 4= _ Loi d probabilité d D. Achat Prix Probabilité rin 0 0,6 proposé par Thirry Vdl dvd 70 0,04 télévisur 425 0,8 Pag 2 sur ls dux 525 0,42 Total

3 6_ Espéranc mathématiqu d D. i=4 E D = d i pi =0 0,6 70 0, , ,42=0,8 i= On n dmand pas au candidat d donnr ctt formul mais sulmnt l résultat. L rsponsabl du rayon «imag t son» prévoit qu'il s présntra dans la smain 80 prsonns intérssés par cs dux apparils. L'spéranc mathématiqu st la moynn statistiqu ou ncor, ici, l chiffr d'affairs qu'on put spérr, n moynn, pour chaqu clint intérssé. Donc l rsponsabl put spérr un chiffr d'affairs d ,8=24 04 EXERCICE 2 Commun tous ls candidats 4 points C'st un xrcic d qustions à choix multipls. On prd ds points si la répons st fauss donc la millur tactiqu st d n pas répondr si on a ds douts. Tous cs affirmations puvnt s vérifir avc la calculatric donc on doit pouvoir répondr, normalmnt, sans l strss d l'xamn, à touts ls qustions.. La population d'un commun rural diminu d 2% par an. Sa population aura diminué d moitié dans : A : 5 ans B : 20 ans C : 5 ans D : 50ans Prmièr méthod. Diminur d 2% st multiplir par 0,98 donc j trac la courb d la fonction f défini par f x =0,98 x t la droit d'équation y= 2 Répons C. Duxièm méthod. J calcul 0,985, 0,9820, 0,985 t 0,9850 Nombr d'annés Population 0 5 0, ,67 5 0, ,6 Répons C. proposé par Thirry Vdl Pag sur

4 2. L prix d'un articl augmnt d'un crtain pourcntag puis baiss immédiatmnt du mêm pourcntag. Finalmnt l prix d ct articl : A : a augmnté B : a baissé C : n'a pas varié D : on n put pas savoir On put tstr sur qulqus xmpls. Augmntr d t% c'st multiplir par t% c'st multiplir par Cofficint multiplicatur t t diminur d 00 t 00 Pourcntag Augmntation Diminution Total,0 0,99 0,9999 5,05 0,95 0,9975 0, 0,9 0, ,2 0,8 0,9600 Répons B. Si on trait l cas général, c n'st pas dmandé au candidat, mais ça put éclairr ls choss. t t t2 Pour tout t 0, = Répons B.. La population mondial a doublé ntr 960 t L taux d'accroissmnt moyn annul a été d : A : % B : 2,75 % C : 2,5 % D:,75 % Prmièr méthod. La périod st d 40 ans donc on put calculr l cofficint multiplicatur sur 40 ans c'st à dir,040,,027540,,02540,, Pourcntag Cofficint multiplicatur,26 2,75 2,96 2,5 2,69,75 2 Répons D. On put tracr ls courbs. Répons D. proposé par Thirry Vdl Pag 4 sur

5 4. Pour tout rél x, x 2 x st égal à : 5x 5 x D : x On trac ls différnts courbs ou on rgard dans l tablau d valurs d la calculatric. (voir pag suivant). 2 B : 2x x A : x x C: Justification par l calcul non dmandé au candidat. Ls formuls d calcul pour ls xponntills sont ls mêms qu pour ls puissancs. p a n a p =a n p a n =a np a n= n a x 2 x = 2 x x = 5 x = 5 x = 5x Répons C. 5. L nombr -2 st solution d l'équation : A : x= 2 B : ln x= 2 On rmplac x par -2, sur la calculatric. A : 2 7,9 B : ln 2= 2!!! C : ln x= ln 2 D: ln x= 2 C : ln 2=Errur D: ln 2= 2 Ici, la calculatric pos problèm. En fait, on voit bin qu ln(-2) n'xist pas, n C : ln 2=Errur. D'autr part, on sait qu dans ℝ la fonction xponntill st strictmnt positiv donc répons C : ln 2= 2 Attntion, cci st hors programm, à lir si on vut savoir pourquoi la calculatric répond -2 au B. En fait, l'xponntill st un fonction complx t la calculatric doit calculr dans ℂ. Comm vous l'avz vu sur la prmièr pag du sit i = proposé par Thirry Vdl Pag 5 sur

6 On put vérifir graphiqumnt, si ça march sur la calculatric. Tstz pour voir. Sur GoGbra, j'obtins. Pour C : Pour D: Répons D Attntion. L logarithm st défini pour x > 0 donc ln x= x si t sulmnt si x > L'nsmbl ds solutions d l'inéquation ln(x +) < ln 6 st : A : S= ] ; [ B : S= ] ; [ C : S= ] 0 ; [ D : S= ] ; [ On trac la courb d f défini par f x =ln x t la droit d'équation y=ln 6 proposé par Thirry Vdl Pag 6 sur

7 7. La fonction dérivé d ln x st la fonction f ' défini par : x f ' x = A: B : f ' x = 2 C: f ' x = D : f ' x = 2 x x x x u' u ln x = ln x ln x ' = = x x Modèls : ln x n =n ln x t ln u ' = Répons C. 8. La tangnt au point d'absciss x=2 à la courb d f défini par f x =x 2 a pour équation : A : y=2 x 4 B : y=x C : y= 4 x 4 D : y=4 x 4 On trac la courb t ls droits. (voir pag suivant) Par l calcul, non dmandé au candidat. f ' x =2 x t f ' 2 =4 L nombr dérivé st l cofficint dirctur d la tangnt donc l sul cas possibl st D. Répons D. proposé par Thirry Vdl Pag 7 sur

8 EXERCICE 5 points Candidats n'ayant pas suivi l'nsignmnt d spécialité Sur un parcours donné, la consommation y d'un voitur st donné n fonction d sa vitss moynn x par l tablau suivant : x (n km/hur) y (n litrs/00 km) ,8 00 6, donc la consommation n'st pas proportionnll à la vitss. 2. a. Nuag d points. (A vnir) b. x =00 y =6,62 L point moyn G du nuag a pour coordonnés ( 00 ; 6,62) c. La droit d'ajustmnt affin d y n x par la méthod ds moindrs carrés a pour équation y=0,52 x 8,58 d. La consommation aux 00 km d la voitur pour un vitss d 0 km/h st,2 l au dixièm près. y=0,52 0 8,58,2. On pos : z = ln y t on admt qu la droit d'ajustmnt obtnu pour ls cinq points x ; z du nuag par la méthod ds moindrs carrés, a pour équation z =0,024 x 0,5080. a. Ajustmnt xponntil. z =0,024 x 0,5080 ln y=0,024 x 0,5080 ln y=0,024 x 0,5080 0,5080 0,024 x y= 0,024 x à 0-4 près. y=0,607 b. Courb d'équation y= A B x, voir graphiqu. c. La consommation aux 00 km d la voitur pour un vitss d 0 km/h st 2,6 l au dixièm près. 0,024 0 y=0,607 2,6 4. La courb xponntill st plus proch du nuag d points qu la droit. D'autr part la croissanc d consommation st accéléré comm dans un croissanc xponntill. La consommation augmnt d 0,8 l ntr 80 t 90 km/h, d,5 l ntr 90 t 00 km/h, d,7 l ntr 00 t 0 km/h t d 2 l ntr 0 t 20 km/h. Donc la millur stimation st 2,6 l. proposé par Thirry Vdl Pag 8 sur

9 EXERCICE 4 6 points Commun tous ls candidats On donn ci-dssous l tablau d variation d la fonction f défini sur ] 0 ; [ ] ; [ par f x = t on nomm C sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthogonal O ; i ; j x ln x du plan.. Sign d f '. Calcul d la fonction dérivé. ' u ' ' Modèls : = 2 v w =v ' w v w ' u u v x =x v ' x = w x =l n x w ' x = x ' x l n x =l n x x = l n x x ln x f ' x = 2 x ln x 2 f ' a l mêm sign qu l n x l n x =0 l n x = l n x = x= La fonction ln st strictmnt croissant donc la fonction g défini par g x = l n x ; ] ; [ st strictmnt décroissant donc f ' > 0 sur 0 ; t f ' < 0 ] [ proposé par Thirry Vdl Pag 9 sur ] [

10 par f. f = = = ln ln Imag d Limits aux borns d l'nsmbl d définition. Limit n 0. l i m x l n x =0 donc la limit d f n 0 st infini. On fait un étud d sign. x 0 0 < x < donc ln x < 0, t x > 0 t f x 0 lim f x = x 0 Limit n par valurs infériurs. lim x ln x=ln =0 donc la limit d f n par valurs infériurs st infini. On fait x un étud d sign. 0 < x < donc ln x < 0 t x > 0 t f x 0 lim f x = x x Limit n par valurs supériurs. D mêm, la limit d f n par valurs supériurs st infini. On fait un étud d sign. x > donc ln x > 0 t x > 0 t f x 0 lim f x = x x Limit n plus l'infini. lim ln x= x lim x ln x= t lim f x =0 x lim x = x } x 2. La courb C possèd asymptots. lim f x = donc la droit d'équation x = 0 st un asymptot vrtical. x 0 lim f x = t lim f x = donc la droit d'équation x = st un asymptot x x x x vrtical. Ici, ls dux branchs d la courbs ont un asymptot. Un sul limit suffit pour justifir l'xistnc d l'asymptot. lim f x =0 donc la droit d'équation y = 0 st un asymptot horizontal. x proposé par Thirry Vdl Pag 0 sur

11 . a. Equation d la tangnt à la courb C n son point A d'absciss. D'après l tablau d variations, f '. =0 donc la tangnt st horizontal. = donc la tangnt a pour équation y = -. D'après l tablau d variations, f b. Equation d la tangnt à la courb C n son point B d'absciss. ln 2 f ' = 2 = ln 2 2 f = = ln y= f ' x f 2 y= 2 x 2 y= 2 x 4. Nombr d solutions d l'équation f (x) = k slon ls valurs d k. Attntion, ici on discut slon ls valurs d k ( t non d x ). On trac la courb d f t ds droits d'équation y = k pour différnts valurs d k. Un solution st l'absciss d'un point d'intrsction ds dux courbs. Pour k 0 l'équation n'a pas d solution. Pour k = ou k 0 l'équation a un uniqu solution. Pour k l'équation a dux solutions. proposé par Thirry Vdl Pag sur

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