Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique indépendant du temps

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Auguste Pépin
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1 Moueent d'une patiule hagée dans un hap agnétique indépendant du teps iblio: Pee elat Gaing Magnétise Into expéientale: Dispositif: On obsee une déiation du faseau d'életons losqu'il aie ae une itesse dans le hap. Pa ailleus: - Losqu'on augente la aleu de, la E déiation est plus ipotante - Losqu'on augente la aleu de E, et don elle de la itesse d'éegene, la déiation est elle aussi odifiée. - Il existe une dietion piilégiée pou laquelle la foe est nulle Enfin, pou une aleu suffisaent gande de n l'életon déit des eles à itesse onstante. On en déduit que la foe qui s'exee su est: - popotionnelle à et à - noale à F - enfin une équation au diension nous peet de oi que [. ] Q On en déduit que la foe la plus siple pou déie la foe exeée pa su une hage q aut F q, e qui onstitue d'ailleus la définition du hap agnétique. On oit don que ette foe ne taaille pas, a elle est toujous othogonale à la itesse. Nous allons ii étudie oent se opote un életon plaé dans un hap ) Etude du oueent: 1) Cas lassique On éit le pinipe fondaental de la dynaique pou l'életon: a g + q O on a, pou un életon : g 1 3 N et q 1 N don on peut, êe au faibles itesses, néglige le poids de l'életon deant la foe de Loent. On a don a q

- Il existe une dietion piilégiée pou laquelle la foe est nulle Enfin, pou une aleu suffisaent gande de n l'életon déit des eles à itesse onstante.

2 Si on éit que la patiule, initialeent en O, a pou itesse initiale: sinθ et osθ Si on ultiplie salaieent la elation fondaentale de la dynaique: - pa d, on a soit ste, e qui est noal u que la foe de Loent ne taaille pas - pa d. b, on a soit.. ste, et oe est onstant, il ient que ste d'où un oueent tanslation etiligne unifoe paallèleent à. On en déduit égaleent ste Si ensuite on déopose +, on tie que: d d q d q soit du type d + Ω / Ce i s'intepète de la anièe suiante: dans le epèe tounant à la itesse angulaie q Ω /, le eteu appaaît oe onstant. On en déduit que dans le epèe, il y a péession de autou de à la pulsation ω q, pulsation yloton, e qui oespond à un oueent iulaie plan de ayon donné pa q soit p q q Etant donné le signe du eteu otation, on oit que la oueent se fait dans le sens étogade si q est positif, et dans le sens diet si q est négatif. ) Cas elatiiste: Dans le as de gandes itesses, la elation fondaentale de la dynaique à pou expession, dans le ade de la elatiité esteinte: d( γ. ) 1 q, où on néglige toujous le poids et où γ. 1 /

On en déduit égaleent ste Si ensuite on déopose +, on tie que: d d q d q soit du type d + Ω / Ce i s'intepète de la anièe suiante: dans le epèe tounant à la itesse angulaie q Ω /, le eteu appaaît oe

3 Coe la foe agnétique ne taaille pas, on a toujous ste et don γ ste, e qui nous peet d'éie: d q γ On etoue don les êes ésultats qu'en éanique newtonienne, ais ii la pulsation yloton dépend de la aleu de pa le fateu γ. Le oueent est don une hélie de γ. p ayon expession siilaie à elle obtenue en éanique newtonienne, q q ais où la définition de la quantité de oueent est difféente. C) Appliations: 1) Aéléateus de patiules: Il peut seble au peie abod étonnant que l'on utilise le hap agnétique dans un aéléateu de patiule étant donné que la foe agnétique ne taaille pas et don n'aélèe (au sens de l'augentation du odule de la itesse) en auun as les patiules. En fait 'est un hap életique qui aélèe les patiules, le hap agnétique ne seant "qu'à" déie les patiules pou les aene dans les égions où elles seont aéléées. Plusieus types d'aéléateus existent: a) Le yloton et le synhoyloton: Un yloton est onstitué oe suit: A haque fois qu'une patiule passe pa la one inteédiaie ente les deux D, elle doit ête aéléée. Pa onséquent, à le hap sinusoïdal de féquene ν, doit ~ hange de sens à haque dei éolution, e que l'on taduit pa: ω q ν π πγ. On oit alos qu'en elatiité, la féquene dépend de la itesse pa l'inteédiaie deγ. La synhonisation est don diffiile à obteni. Ainsi pendant longteps on s'est liité à des petits ylotons et à des patiules loudes. Pa exeple dans un yloton de 1 de diaète et de 1,5T de hap on peut atteinde des énegie inétiques pou des potons de l'ode de Me. Cette baièe à été fanhie ae des synhoylotons dans lesquels la féquene du hap életique diinue losque la itesse augente. On a pu alos atteinde des énegies de 7 Me. Cependant, il faut alos que le hap agnétique soit tès intense, e qui est pobléatique a il doit ête en êe teps étendu (il faut qu'il oue les deux D). D'où l'idée du synhoton.

C) Appliations: 1) Aéléateus de patiules: Il peut seble au peie abod étonnant que l'on utilise le hap agnétique dans un aéléateu de patiule étant donné que la foe agnétique ne taaille pas et don

4 b) Le synhoton Il est onstitué d'un eneinte toique le long de laquelle des petits aiants disposés en anneaux assuent le guidage iulaie. Caité aéléatie Aéléateu linéaie Eleto aiant Losque la itesse augente, on augente le hap agnétique pou ainteni le ayon onstant, onfoéent à la elation: γ. γ 1 q q Et on fait en sote que la féquene du hap életique aille ν. π ) Confineent agnétique: On onsidèe une égion de l'espae dans laquelle ègne un hap agnétique non unifoe de syétie ylindique: Pou petit, on a: ( ) (, ) ( ), et que d (, ) au peie ode en. d Initialeent, la patiule est dans le plan ae la itesse: q uθ > Qui sont les onditions obtenues dans le as lassique pou le oueent dans un hap unifoe. On onsidèe alos que le ayon aie peu su un tou. Le PFD s'éit alos: d / q d /

γ 1 q q Et on fait en sote que la féquene du hap életique aille ν.

5 D'où on tie que: q (1) d d () d q (3) d d Ae et, l'équation () ultipliée pa d q pa (équation (1)): d d d d soit d ste et don ( ) ( ) s'éit en y substituant d d, e qui s'éit égaleent ste q Coe d'apès (1),, on a π ste, et don le flux du hap agnétique au taes des tajetoies iulaies suessies est onstant, et oe est à flux onseatif, es eles se situent toujous su un êe tube de hap. L'équation (3) nous donne l'égalité bien onnue ste (4) On a don: et don E ( ) La ondition natuelle Les points + P et E > ène don à ( ) ax P définis pa ax d'aêt où la patiule ebousse hein. Loaleent les paaètes du oueent hélioïdal sont: q ( ) - la pulsation yloton ω π ( ) - la pas de l'hélie p( ) M P q - le ayon du ele ( ) q, soit ax sin θ peuent ête onsidéés oe des points ( ) ( ) ( ) sinθ M P

L'équation (3) nous donne l'égalité bien onnue ste (4) On a don: et don E ( ) La ondition natuelle Les points + P et E > ène don à ( ) ax P définis pa ax d'aêt où la patiule ebousse hein.

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