L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression

Transcription

1 L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 4 : Smulato - Régresso Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer

2 I- Smulato de varables aléatores. Itroducto Das certaes expéreces «réelles», où le hasard tervet, l peut être téressat de réalser des expéreces umérques où o smule des varables aléatores qu terveet plutôt que de réalser physquemet les expéreces. Exemple : Physque ucléare déstégratos des atomes fssbles décrts par de v. a. (lo expoetelle, lo de Posso, etc.) avat de costrure u réacteur! Joh Vo Neuma (Mathématce, ) : «Qucoque cosdère des méthodes arthmétques pour produre des ombres aléatores est, be sûr, e tra de commettre u péché». Il est, e gééral, exclu de réalser matérellemet des dspostfs fourssat des ombres aléatores. Mas l exste des tables dtes tables de ombres aléatores et qu sot telles, que la sute des ombres qu y fguret est assmlable à la réalsato de trages avec remse das ue ure de dx catégores de boules fgurat à proportos égales. Il exste auss des algorthmes qu smulet (état e fat détermstes) les ombres aléatores.. Algorthmes géérat des ombres pseudo-aléatores a) Méthode de Vo Neuma Méthode mddle-square (carré méda). Très smple, elle cosste à predre u ombre, à l'élever au carré et à predre les chffres au mleu comme sorte. Celle-c est utlsée comme grae pour l'térato suvate. b) Méthode de Fboacc Cette méthode est basée sur la sute de Fboacc, modulo la valeur maxmale désrée : x = (x - + x - ) mod(m) avec x 0 et x e etrée. c) Méthode de Lehmer O déft ue sute d eters x 0, x,, x as : - x 0 eter postf arbtrare, - x + = k x mod(m), avec m ombre premer. Exemple : m = 3 - (ombre premer de Mersee : p - avec p ombre premer). Il s agt de la méthode utlsée par la focto «rad» (lo uforme) de Sclab et de Matlab (usqu à la verso 4, mas ecore dspoble avec l opto seed ). d) Méthode de Mersee Twster Il s agt de la méthode utlsée par la focto «rad» (lo uforme) de Matlab (depus la verso 7.4) et des lagages C/C++.

3 3. Les tables de ombres aléatores Ces tables (cf. Fgure ) permettet d extrare des eters «aléatores» das l tervalle de 0 à 0k. O pred k coloes, les chffres das chaque lge formet u ombre de k chffres. Après o pred les k coloes suvates, etc. Pour passer aux ombres qu e sot pas eters, o peut dvser les ombres choss par 0k : o obtet les ombres das l tervalle [0, ]. C est ue smulato de ombres aléatores de lo uforme. Fgure : exemple de table de ombres aléatores. 4. Smulato d ue varable aléatore dscrète O cherche à défr ue varable aléatore dscrète de lo : p = P( = d), p = P( = d),, p = P( = d), Sot ue varable aléatore de lo uforme sur [0, ]. O peut predre ue partto de [0, ] e tervalles de logueurs p, p, p, Par exemple, [0, p [, [p, p + p [, [p + p, p + p + p 3 [,.... 3

4 O peut défr ue varable aléatore as : ' = d 0,p, ' = d ' = d 3 [ [ [ p,p + p[, [ p + p,p + p + p [ 3,... La lo de est égale à la lo de, doc des réalsatos de sot des réalsatos de. Exemple : S la lo de est p = ½, p = 3/8 et p 3 = /8, alors la partto doe : [ [, [ /,7/8 [, [ 7 / 8,[ 0,/. 5. Smulato d ue varable aléatore réelle O cherche à défr ue varable aléatore réelle de desté f (y). Sot ue varable aléatore réelle de desté f (x). O peut obter l équato : f (y) dy = f (x) dx. S est de lo uforme sur [0, ], cette équato devet : f (y) dy = dx. S o cherche y comme ue focto crossate de x, y = y(x), o peut écrre : y(x) x F ( y(x) ) = f (y) dy = dx = x, 0 x avec F la focto de répartto. S F - est la focto verse de F alors y(x) = F - (x). 0 Cela peut être utlsé pour calculer les ombres pseudo-aléatores de lo o-uforme à partr des ombres de la lo uforme. Exemple : Sot ue varable aléatore de lo expoetelle : f F ( y) = 0 s y < 0, F = so. y λy λy y λy ( y) λe dy = [ e ] = e 0 0 (y) λy = λe. Il sufft alors de résoudre l équato : e λy = x et o obtet : y = l( x). λ II- Régresso léare - Approxmato d ue varable aléatore Explcato d ue varable aléatore. Défto du problème Cosdéros u vecteur de varables aléatores (,,,, ) supposées cetrées : E() = E( ) = E( ) = = E( ) = 0. Obectf : approxmato de par ue combaso léare de,,,. Nous cherchos à écrre sous la forme : = = a + ' où est ue erreur (dévato) o corrélée à,,,. 4

5 Les coeffcets du vecteur A = (a, a,, a ) sot appelés coeffcets de régresso léare. Rappel : Covarace de varables aléatores U et V : cov(u,v) = E(UV) E(U).E(V). Remarquos que cov(u,u) = E(U ) E(U) = var(u). Supposos que var(), cov(, ) et cov(, ) exstet pour tous,. Notos : B = (E(, ), E(, ),, E(, )), B t est le vecteur trasposé de B, ( ) ( ) ( ) cov, cov,... cov, cov(, ) Γ = cov( ) ( ) ( ), cov,... cov, var( ) La matrce t B B Γ est appelée matrce de varace-covarace de (,,,, ). Remarque : cette matrce est symétrque. Pour chaque, la codto de corrélato ulle (covarace ulle) de coséquece l équato suvate : cov(', ) = cov(, ) a cov(, ) B = a cov(, ) = = car : cov(', ) = 0 (codto), cov(, ) = E( ) car E() = E( ) = 0 (v. a. cetrées). ' = a et a pour Pour détermer le vecteur A = (a, a,, a ), ous devos résoudre le système suvat : = B B B = = = = = = a cov(, a cov(, a cov(,... ) ). ) Sous forme matrcelle, ce système s écrt as : B = AΓ. S la matrce Γ est régulère (versble), uque. - A = BΓ. O a alors ue soluto et cette soluto est Remarque : ous e cosdèreros que des cas de matrces régulères. 5

6 . Cas de varables cetrées Das le cas de varables cetrées et, la représetato que ous cherchos est : = a. + '. var() cov(, ) La matrce de varace-covarace est de talle x :. cov(, ) var() Le système à résoudre s écrt smplemet : cov(, ) = a.var(). Alors a = cov(, ) var() doc cov(, ) = + var() '. Teat compte du fat que la varace est égale à var() = σ() et que le coeffcet de corrélato cov(, ) σ() est égal à corr(, ) =, o obtet : a = corr(, ). σ().σ() σ() 3. Cas de varables o cetrées Das le cas de varables o cetrées et, la représetato de pred e compte les valeurs moyees (espéraces) de m = E() et de m = E(). Alors : cov(, ) = ( - m ) + m + '. var() La drote d équato : cov(, ) y = (x - m ) + m s appelle la lge de régresso de sur. var() Cette drote a pour proprété que la varace var( ) est mmale par rapport à toutes les décompostos de e parte léare (par rapport à ). 6

7 Uté de cours Probabltés et statstques - Exercces Chaptre 4 Smulato et régresso Exercce (Smulato) Predre les 4 premères coloes de la table des ombres aléatores (fgure ). Cosdérer les 4 chffres comme les 4 décmales d u ombre [0,]. - Fare u hstogramme correspodat aux 0 premères lges avec ue partto de [0,] e 4 tervalles de logueur 0,5. - E dédure les probabltés expérmetales correspodates. Exercce (Smulato v. a. dscrète) Predre les 0 premères lges et les coloes 5 à 8 de la table des ombres aléatores. Cosdérer les 4 chffres de chaque lge comme les 4 décmales d u ombre [0,]. - Smuler ue varable aléatore {0,, } de lo : P( = 0) =, P( = ) = et P( = ) = Comparer les probabltés pratques obteues aux probabltés théorques attedues. Exercce 3 (Smulato v. a. réelle) Sot ue varable aléatore réelle de lo uforme sur [0,]. Sot ue v. a. réelle de desté : a) f(y) = y pour 0 y 0 so, Trouver, pour chacu des 3 cas, ue focto y = h(x) telle que = h(). Exercce 4 (Smulato et régresso) Predre réalsatos ( et ) d'échatllos de lo uforme de talle 0 (les coloes 3 et 5 des 0 premères lges de la table des ombres au hasard). - Estmer la lo emprque coote et les los margales de et. - Fare les hstogrammes des los margales et e preat comme tervalles : [-0,5 ; 0,5], [0,5 ;,5], etc. 3- Trouver l'équato de la lge de régresso de par rapport à. Exercce 5 (Régresso) b) f(y) = y pour 0 y -y pour y 0 so, c) f(y) = (k+) y k pour 0 y, 0 so. Soet et, deux varables aléatores dépedates de lo uforme qu preet comme valeurs, et 3. O pose Z = + et U =. Repredre les résultats de l exercce 3 (cf. chaptre ) af de trouver l équato de régresso léare de U sur Z. 7

8 Exercce 6 (Régresso) Sot la lo coote du couple (, ) doée par : \ /8 0 /8 0-0 /8 / /4 0 0 /4 0 Calculer l équato de la lge de régresso de par rapport à. Exercce 7 (Régresso et corrélato) Sot (, ) u couple de varables aléatores de lo uforme das le tragle ABC avec les coordoées suvates : A (0,0) B (,) C (,0). - Estmer la desté ote et les destés margales. - Calculer les espéraces, les varaces et le coeffcet de corrélato. 3- Trouver l équato de régresso de sur. 8