La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1

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1 LGL Cours de Mathématques 26 Exemples de sutes das le domae des faces 1) Itérêts composés O place 1. à térêts composés au taux de 4,5 % par a. Détermer le captal dspoble à la f de chaque aée et ce pedat 5 as. Au bout de combe d'aées le captal doublera-t-l? Quelques gééraltés: O dt qu'u captal est placé à térêts composés s, à la f de chaque pérode, l'térêt produt par le captal est ajouté au captal et produt lu-même des térêts pedat les pérodes suvates. Ue pérode peut être le mos, le trmestre, le semestre ou, plus courammet l'aée. A la f de la premère aée, le captal C, placé à térêts composés au taux de % par a, produt u térêt C et le captal dspoble est C 1 avec C1 = C+ C = C (1+. La valeur acquse par u captal au bout d'ue aée est doc obteue e multplat ce captal par (1 +. Par sute, le captal C1 = C (1+ aura comme valeur acquse à la f de la deuxème aée: De même: 3 2 C = C (1+ = C ( C = C (1+ = C ( Plus gééralemet, à la f de la -ème aée: Le captal C aura comme valeur acquse: C = C (1+ La sute ( C ) est ue sute géométrque de premer terme C et de raso q = (1+. Résoluto de l'exercce: C = 1. et = 4,5% =, 45 D'après la formule précédete: C = 1. (1, 45) U tableur, comme EXCEL, ous permet de remplr alors le tableau (valeur arrodes): Le tabléau précédet ous motre qu'après plus de 5 as le captal est multplé par 1,25. Pour doubler le captal, o cherche doc tel que: 1. (1, 45) 2 1. (1, 45) 2 E poussat otre tableau EXCEL plus lo, o obtet: , 45 1,935 et 1, 45 2, 22 Il faut doc attedre 16 as pour vor le captal doubler. Bera - SutesFaces Sutes umérques et faces - 1 -

2 LGL Cours de Mathématques 26 Remarques: Le résultat est dépedat du captal veste! E utlsat la touche log d'ue calculatrce (programme de 1ère), o obtet: log 2 = 15,75 log1, 45 2) Placemet facer Résoluto: O verse au tout début de chaque aée, ue somme costate de 3.2 à térêts composés au taux de 3 %. (Exemple: peso complémetare pour les persoes dépassat les 55 as). Quel sera, au cet près, le captal à la f de la 1 me aée? Le 1 er versemet va produre des térêts pedat 1 as, l aura par coséquet ue valeur acquse de 3.2 ( 1, 3 ) 1. Le 2 ème versemet e produra des térêts que pedat 9 as, l aura doc ue valeur acquse de 3.2 ( 1, 3 ) 9. O fat u rasoemet aalogue pour les autres versemets. Le derer versemet e produra des térêts que pedat 1 a, l aura ue valeur acquse de 3.2 ( 1,3 ). Le captal dspoble à la f de la dxème aée sera égal à: S = 3.2 1, , , , ,3 1 S 1 est la somme des 1 premers termes d'ue sute géométrque de premer terme 3.2 et de raso q= ( 1,3). O a doc: S = 3.2 ( 1, 3) 1+ ( 1, 3) + ( 1, 3 ) ( 1, 3) ,3 1,3 1 S1 = 3.2 1, 3 = 3.2 1, 3 1 1,3,3 Le captal costtué sera doc: S ,95 Plus gééralemet: S o verse, e début de chaque aée, ue somme costate a (appelée auté), à térêts composés fxes au taux, le captal S costtué au bout de aées est doée par: 1+ 1 S = a (1+ Bera - SutesFaces Sutes umérques et faces - 2 -

3 LGL Cours de Mathématques 26 3) Composto de captal par meualtés costates Résoluto: O désre costtuer u captal de 25. pour acheter ue voture. Pour ce fare, o verse des mesualtés costats à térêts composés au taux (fxe) de,2 % par mos pedat ue durée de 36 mos. Détermer le motat de la mesualté. O peut utlser la formule précédete e remplaçat les autés par des mesualtés et e preat =,2% qu est le taux mesuel. Par trasformato de la formule, o tre: S a = (1 + (1 + 1 D'où: 25., 2 a = 669,1. La mesualté est d'evro (1, 2) (1, 2) 1 4) La peso complémetare: Les mathématques das la ve courate Das l'teret, rechercher auprès des baques ou assuraces luxembourgeoses les melleures codtos possbles pour dédure ue peso complémetare des mpôts. E supposat que vous optez pour la méthode la plus sûre, c.-à-d. éparge à térêts composés à taux fxe, calculer la base de peso complémetare qu'ue persoe peut obter à la premère date possble, s so âge actuel est de: o 26 as o 37 as o 45 as o 52 as. Résoluto: A l'adresse.lu o obtet les resegemets suvats: Le mmum de cotrbuto est de 1 as. Âge actuel de la persoe : Motat auel à verser < < < Base de peso complémetare pour la persoe de 26 as: Base de peso complémetare pour la persoe de 37 as: Base de peso complémetare pour la persoe de 45 as: Base de peso complémetare pour la persoe de 52 as: Bera - SutesFaces Sutes umérques et faces - 3 -

4 LGL Cours de Mathématques 26 5) Remboursemet d'u prêt Lorsqu'o rembourse u prêt, au cotrare de l'exemple de la costtuto d'u captal, les térêts et le motat à payer (mesualtés) sot de sges cotrares. La formule de remboursemet dffère doc de celle c-dessus. Pour rembourser u prêt d'u motat C, à u taux mesuel de % pedat ue durée de mos, o procède de la maère suvate, tout e fasat atteto que la mesualté est dédute du motat de la dette: 1 ( 1 ) C = C + C m= C + m C1 = C( 1+ m ( 1+ ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) C = C ( 1+ m ( + 1) + ( 1+ C2 = C1 + m= C + m + m C3 = C2( 1+ m= C( 1+ m ( + 1) + ( 1+ ( 1+ m C3 = C( 1+ m ( 1+ + ( 1+ + ( 1+ C = C + m= C + m ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) C = C ( 1+ 4 m ( + 1) 3 + ( ( ( D'où la formule géérale: 4 ( 1 ) ( ) ( 1 C )... ( 1 ) ( 1 = C + m Comme l'expresso etre crochets est ue sute géométrque de raso ( 1 la formule de la somme des premers termes d'ue sute géométrque: D'où la formule: ( 1 ) ( 1) ( 1 )... ( 1 ) ( 1 ) ( ( ( C = C + m ( 1+ = C( 1+ m = C( 1+ m = C ( 1+ m Valeur de la dette après mos de remboursemet: ( 1+ 1 C = C ( 1 + m (1) + m +, ous pouvos utlser Bera - SutesFaces Sutes umérques et faces - 4 -

5 LGL Cours de Mathématques 26 Calcul de la mesualté à rembourser Pour calculer les mesualtés à rembourser, lorsqu'o a empruté u motat de C, l faut réalser qu'à la f du remboursemet, la dette C sera ulle. Par coséquet, o trasforme la formule (1) de la maère suvate: C = = C 1+ m ( ( 1+ ) ( 1+ 1 ( m = C ( C m = ( C 1+ Mesualté à rembourser: m = 1+ 1 (2) Remarques: 1. Il covet de remarquer que les mesualtés demadées par la baque peuvet légèremet dfférer du résultat obteu à cause des fras de tratemet de dosser, de clôture trmestrelle..., qu etret égalemet das les calculs effectués par la baque. 2. Das u tableur (Excel p.ex.), l est asé de suvre l'évoluto de la dette au fl des mos de remboursemet, comme le motre l'extrat d'u tel fcher: Bera - SutesFaces Sutes umérques et faces - 5 -

6 LGL Cours de Mathématques 26 Méthode alteratve (plus complquée, mas coteat égalemet des réflexos mathématquemet très téressates... pour le professeur) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) C = C + C m= C + m C = C + m 1 1 C2 = C1 + m= C + m + m C2 = C + m + C = C + m= C + m + + m C = C + m ( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 1 ) ( 3 3 ) 3 4 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 3 3) ( 1 ) ( 1 ) ( ) C4 = C3 + m= C + m m C4 = C + m E essayat de gééralser, l est facle de vor la structure de la premère parte de la formule. Par cotre le deuxème terme e s'éclarct que lorsqu'o utlse les coeffcets des pussaces de à l'ade d'u tragle de Pascal: = 1 1 = = = = = C5 = C5 = C5 = C5 = C5 E utlsat le calcul combatore, o peut alors "ramasser" ces formules e ue formule plus géérale: Valeur de la dette après mos de remboursemet: Par detfcato des deux formules (1) et (3), o a doc démotré que: 1 k ( k+ 1) ( 1+ 1 ( C ) =. k = 1 k ( k+ 1) ( ) k = C = C 1 + m C (3) Cette formule se démotre de maère drecte e utlsat la démostrato de récurrece. Exercce à fare e groupes de pluseurs élèves: Etablr ue formule permettat de calculer le captal C accumulé au bout de aées, sachat que l'arget est placé à u taux fxe mesuel de % et que l'o verse chaque mos le même motat C sur le compte. 4 Cotrôlez votre formule e posat : C = 5 = % = 35as 12 Remarque: Il est peut-être utle d'utlser u tableur (p. ex. Excel) pour vor commet s'y predre et se fxer les dées avat le passage vers la formalsato. Bera - SutesFaces Sutes umérques et faces - 6 -

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