a. Une suite numérique est une liste de nombres (les termes) repérés par un numéro d ordre (l indice), cette liste peut être infinie.
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- Éloïse Bourgeois
- il y a 7 ans
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1 Stg Les sites I. Notios sr les sites a. Ue site mériqe est e liste de ombres (les termes) repérés par méro d ordre (l idice), cette liste pet être ifiie. Exemple. La site des ombres impairs :,,... Exemple. La site des pissaces de :,, 4, 8... Si la site se omme, le terme d'idice se ote o (). Das l exemple, si =, alors =... Das l exemple, si v 0 =, alors v =... (das ce cas l'idice est pas égal a rag). Si la site se omme, + est le terme sivat, - est celi qi précède. Attetio à e pas cofodre + et +. b. Costrctio d'e site. O pet défiir les sites de plsiers faços, o e retiedra dex : à partir d'e foctio f défiie sr R +, e remplaçat x par N. Exemple. Soit f (x) = x +. O pet défiir e site e posat = f () = +. Das ce cas les propriétés de f permettet de coaître celles de (variatios, limites). par récrrece : le terme est calclé à partir d o des termes qi le précèdet. Exemple 4. Soit f (x) = x + et défiie par 0 = 4 et + = f ( ) = +. O a alors =, = 7, Das ce cas les propriétés de f et de e sot pls liées de faço assi simple. (ici f est croissate mais e l'est pas). c. Représetatio graphiqe d'e site. Elle est formée des poits de coordoées (, ), ces poits sot isolés. Exercice. Représeter la site 6 por 0. TI80 : Y=..., TblSet TBLMIN=0 TBL= ; TABLE et lire les valers Exercice. Représeter la site por 0. C est e site est arithmétiqe, sa représetatio est formée de poits aligés. d. Ses de variatio d'e site. Il s agit de détermier si les termes sot e ordre croissat o décroissat. ( ) est strictemet croissate si por tot, o a + > o + > 0. ( ) est strictemet décroissate si por tot, o a + < o + < 0. La représetatio graphiqe pet doer e idée des variatios. Exercice. a. O cosidère la site de terme gééral = +. Calcler + et coclre sr le ses de variatio de. O pet assi tiliser la foctio f (x) = x +. b. O cosidère la site v de terme gééral v =. Calcler v + v et coclre sr le ses de variatio de v.
2 II. Sites arithmétiqes Ce sot les sites où l o passe d' terme a sivat e ajotat tojors le même ombre (ce ombre est la raiso, il pet être positif o égatif), c est à dire qe + = + r (r : raiso). L exemple doe le cas d'e site arithmétiqe de raiso. Exercice 4. a. Écrire les premiers termes de la site = ( 0). Calcler + et coclre sr la atre de cette site. b. O cosidère la site défiie par v + = v + 9 et v 0 =. Est-elle arithmétiqe? Jstifier. Formlaire. = [premier terme] + [raiso] [ombre de termes avat ]. Ce qi doe par exemple : = 0 + r si le premier terme est 0. O bie = + ( ) r si le premier terme est. Exercice. Sachat qe = 0, et 0 = 4, calcler la raiso de la site. Pis calcler 0. [premier terme] [derier terme] Somme de termes coséctifs : S [ombre de termes de S]. Cas particlier : = Exercice 6. Calcler Ses de variatio. Lorsqe r > 0, les sites arithmétiqes de raiso r sot strictemet croissates. Lorsqe r < 0, les sites arithmétiqes de raiso r sot strictemet décroissates. La représetatio graphiqe d e site arithmétiqe est formée de poits aligés. Gass arait tilisé cette formle, à l école primaire, por faire e pitio, qi cosistait à calcler
3 III. Les sites géométriqes Ce sot les sites où l o passe d' terme a sivat e mltipliat tojors par le même ombre (la raiso), c est à dire qe + = q (q : raiso, le programme impose q > 0). L exemple doe le cas d'e site géométriqe de raiso. Exercice 7. Écrire les premiers termes de la site = ( 0). Calcler et coclre sr la atre de la site. Formlaire. = [premier terme] [raiso] [ombre de termes avat ]. Ce qi doe par exemple : = 0 q si le premier terme est 0. O bie = q si le premier terme est. Exercice 8. Sachat qe q > 0, = 80 et = 0, calcler la raiso q de la site. Pis calcler 0. Somme de termes coséctifs : S [premier terme] Cas particlier : si q q q q =... [raiso] [ombre de termes de S] [raiso] por [raiso]. Exercice 9. Calcler Exercice 0. La site (k ) est e site géométriqe de raiso k. Faire les tableax de valers por k = ; k =,0 ; k = 0,999 ; k = 0, et = 0,,,, 0, 00, 000,... Ses de variatio por e site à termes positifs. Si k > alors la site (k ) est strictemet croissate et ses termes devieet ifiimet grads, ce qi s écrit lim k. Si k < alors la site (k ) est strictemet décroissate et ses termes devieet assi près de 0 qe l o vet, ce qi s écrit lim k 0. Si k = alors o a k = por tot N*.
4 Stg Les sites Correctio des exercices Notios sr les sites. 6 Exercice. Représetos la site por 0. E sivat les istrctios doées avec la calclatrice, o obtiet (e arrodissat a cetième) : ,6 0, 0, 0,6 0, Remarqe. Lorsqe deviet grad, alors se rapproche de Exercice. Représetos la site por 0. E sivat les istrctios doées avec la calclatrice, o obtiet : , 4,,, Remarqe. Les poits obtes sot aligés car ( ) est e site arithmétiqe (voir pls loi ) Exercice. a. O cosidère la site ( ) de terme gééral = +. Calclos + = ( + ) + ( + ) = + + =. Doc + < 0 por tot etier, ce qi prove qe ( ) est strictemet décroissate. Remarqe : Comme la foctio f (x) = x + est (affie) strictemet décroissate, alors ( ) l est assi. b. O cosidère la site (v ) de terme gééral v =. Calclos v + v = + = = ( ) =. Doc v + v > 0 por tot etier, ce qi prove qe (v ) est strictemet croissate.
5 Sites arithmétiqes. Exercice 4. a. Écrivos les premiers termes de la site = ( 0). 0 = 0 =, = =, = =, = =, 4 = 4 =. Calclos + = ( + ) + =. Doc + = soit + = +. Ceci prove qe la site ( ) est arithmétiqe de raiso r =. b. O cosidère la site défiie par v + = v + 9 et v 0 =. O calcle v = v = ( ) + 9 =, v = v + 9 = + 9 = 9. La site (v ) est pas arithmétiqe car v v 0 = ( ) = 7 et v v = 9 = 4. Exercice. Sachat qe = 0, et 0 = 4 et qe ( ) est e site arithmétiqe, calclos la raiso de la site ( ). D après le théorème, o a : = p + ( p) r soit avec = 0 et p = : 0 = + (0 ) r. D où 4 = 0, + 7 r et 7 r =, pis r = 0,. Explicitos le terme gééral de cette site à l aide de la formle = 0 + 0,. Trovos d abord 0, avec la relatio 0 = r = 0, 0, =. Doc = 0,. Et calclos 0 = 0, 0 = 9. Exercice 6. Calclos Notos cette site. Cette site est visiblemet arithmétiqe de raiso r = et de premier terme 0 = (si o choisit d appeler 0 le premier terme) pis = 6, = 9 etc. Le problème, das premier temps, est de savoir à qel idice correspod le terme = 0. Comme est arithmétiqe, o a = 0 + r soit 0 = + doc = 0 = 99 et = 99/ =. O sait maiteat qe = 0, ce qi va os permettre de calcler la somme S = [premier terme] [derier terme] 0 S [ombre de termes de S] = 4 = 78. Sites géométriqes. Exercice 7. Écrivos les premiers termes de la site = ( 0) = = ; = = ; = = 9 ; = = 7 4 ; 4 = 8 Calclos = = =. 6 =. 4 Comme = alors + = ce qi prove qe ( ) est e site géométriqe de raiso q =. Exercice 8. Sachat qe q > 0, = 80 et = 0 et qe ( ) est e site géométriqe, calclos la raiso q de la site ( ). O tilise la relatio d théorème : = p q p avec = 0 et p =, soit = q doc 0 = 80 q et q = 4 pis q = (car q > 0). Doos le terme gééral de cette site, avec la formle d théorème4 : = 0 q. O calcle alors 0 = q = 80 = 80 8 = 640, pis = 640. Calclos 0 = = 0 = =. 04 8
6 Exercice 9. Calclos Les termes de cette sot les termes d e site géométriqe de raiso q = et de premier terme 0 = 9. Il fat d abord coaître le ombre de termes N + de cette somme, por cela o résot : N = 0 q N soit 9049 = 9 N pis 9049 = N +. Doc, par essais sccessifs avec la calclatrice, o trove N = 8 (ce qi sigifie qe 8 = 9049). Cette somme comporte aisi 9 termes (e pas oblier 0 ). Doc : S [premier terme] [raiso] [ombre de termes de S] [raiso] = 9 9 = Exercice 0. La site (k ) est e site géométriqe de raiso k. Faisos les tableax de valers por k = ; k =,0 ; k = 0,999 ; k = 0, et = 0,,,, 0, 00, 000,... k = , 0 0, 0 0 Cojectre : La site ( ) est croissate et lim. k =, ,0,0,00, 0, 0, Cojectre : La site (,0 ) est croissate et lim, ,999 0,999 0, 998 0, 997 0, 990 0, 90 0, 68 Cojectre : La site (0,999 ) est décroissate et lim 0, k = 0, , 0, 0, 0,, ,9 0 9, 0 0 Cojectre : La site (0, ) est décroissate et lim 0, 0.
7 Stg Les sites Exercices Notios sr les sites. Exercice. Por chace des sites «logiqes» de ombre, trover les trois ombres sivats : a. 7 ; ; ; b. ; ; ; c., ;, ;, ; 4 d. 4,0 ;, ; 0,4 ; 0, e. 6 ; 8 ; 4 ; Exercice. Exprimer chaqe site e foctio de : a. La site des etiers impairs b. La site des mltiples de c. La site des mltiples de, spériers à 9 d. La site des pissaces de 0, spérieres o égales à. Exercice. Ue site, de terme iitial, est défiie par le procédé sivat : «U terme est égal à l iverse d terme précédet, agmeté de.» Exprimer cette site par e formle de récrrece et calcler les ciq termes après le terme iitial. Exercice 4. Calcler les valers exactes des ciq premiers termes des sites sivates : a. Por tot 6 N, =. b. Por tot N, + = et 0 =. Exercice *. E tilisat la calclatrice, doer les valers approchées à 0 près des 7 premiers termes des sites sivates : a. Por tot N, + = et 0 =. b. Por tot N, + = et 0 =. Exercice 6. Étdier le ses de variatio de chace des sites sivates (o porra étdier le sige de l expressio + ). a. = + 8 b. = 0,6 0 c. = d. = +. Exercice 7. Das chac des cas sivat, doer le ses de variatio de la site ( ). a. + = 9 b. + = + c. + = + +. Sites arithmétiqes. Exercice 8. Parmi ces sites, dire lesqelles sot arithmétiqes (das ce cas, doer la raiso). 9 7 a. 6 ; ; 0 ; 7 b. 8, ; 7, ; 6,9 ;,8 c. 7 ; ; ;. Exercice 9. ( ) est e site arithmétiqe de premier terme 0 = et de raiso. Doer la formle d terme gééral, calcler le 0ème terme de cette site et la somme des 0 premiers termes. Exercice 0. ( ) est e site arithmétiqe, calcler 0 sachat qe = et = 0.
8 Exercice. Combie y a-t-il de termes das la site arithmétiqe : 9 ; 98 ; 0 ;... ; 6? Calcler la somme de ces termes. Exercice *. Le premier terme d e site arithmétiqe est, la somme des 40 premiers termes est 40. Calcler la raiso de cette site. Sites géométriqes. Exercice. Parmi les sites de ombres ci-dessos, dire lesqelles sot des sites géométriqes et das ce cas e doer la raiso : a. ; ; 0 ; 0 ; 40. b. ; 0 ; 8 ; 6 ; 4 c. 0, ; 0, ; 0, ; 0,06. d. ; 9 ; 7 ; 8 ; 6 e. ; 4 ; 8 ; 6 ; ; 64. Exercice 4. ( ) est e site géométriqe défiie par = 0, por 0. Calcler les ciq premiers termes. Qelle est la raiso de cette site? Exercice. ( ) est e site géométriqe de premier terme 0 = 0,0 et de raiso. Calcler,, 0. Calcler le dozième terme. Détermier avec e calclatrice, le premier ombre etier tel qe > 0 9. Exercice 6. Calcler la raiso q et le premier terme 0 d e site géométriqe sachat qe q > 0, = et 4 = 0,. Exercice 7*. Calcler la raiso q et le premier terme 0 d e site géométriqe sachat qe q > 0, =, et 7 = 6,. Exercice 8. Combie y a-t-il de termes das la site géométriqe : ; 6; 8 ;... ; 0,06? Calcler la somme de ces termes. Problèmes. Exercice 9. U capital C 0 de 000 est placé a tax ael de 6%.. Calcler l'itérêt obte a bot d' a.. Calcler C, la valer acqise (c'est à dire la somme totale possédée) a bot d a. A la fi de l'aée l épargat pet retirer ses itérêts o prologer so placemet sr le modèle des itérêts composés, das ce cas, à chaqe fi d aée, l itérêt est capitalisé, c est à dire icorporé a capital por deveir prodcter d itérêt.. Calcler C et C, les valers acqises a bot de dex as, de trois as. 4. Motrer qe la site des valers acqises (C ) est e site géométriqe dot o doera la raiso.. Ecrire la formle doat C, la valer acqise a bot de aées e foctio de. 6. E dédire C 0 la valer acqise a bot de 0 as. 7. À l'aide d tablea de valers de la calclatrice, doer la pls petite valer de por laqelle le placemet a permis de dobler le capital iitial.
9 Exercice 0. Écrire la formle doat C, la valer acqise a bot de aées das placemet à 4% e foctio de et de C 0 le capital de départ. E dédire le motat (arrodi a cetime le pls proche) d capital C 0 placé à 4% qi doe e valer acqise de 000 a bot de 8 as. Exercice. Forage d pit. Le premier mètre cresé coûte 400 eros et chaqe mètre spplémetaire cresé coûte 0 eros de pls qe le précédet. O ote C le coût d ième mètre cresé. a. Calcler C, C, C. b. Qelle est la atre de la site C? c. E dédire l expressio de C e foctio de. d. Combie coûte forage sr 40 m? Exercice *. Sophie verse chaqe mois e somme d arget sr compte. Elle verse eros le premier mois. Mais elle dimie so versemet chaqe mois de eros. O ote V le ième versemet effecté. a. Calcler V, V, V. b. Qelle est la atre de la site (V )? c. E dédire l expressio de V e foctio de. d. Combie de versemets va t-elle effecter? e. Calcler la somme fiale dot dispose Sophie. Exercice *. Détermier des ombres a, b, c tels qe la site ; a ; b ; c ; 64 soit e site géométriqe. Existe-t-il plsiers possibilités? Exercice 4*. Sachat qe ( ) est e site géométriqe et qe =, calcler. Exercice *. Soit la site défiie par : 0. Calcler,.. La site est-elle arithmétiqe? Géométriqe?. O pose v = +. a. Calcler v 0, v et v. b. Détermier v + e foctio de +, pis e foctio de et efi exprimer v + e foctio de v. c. E dédire la atre de la site v. d. E dédire v e foctio de. 4. a. Ecrire e foctio de v, pis e foctio de. b. Détermier 8. Exercice 6. O racote qe l iveter de l échiqier demada, comme hmble récompese, grai de blé sr la ière case, dex grais de blé sr la ième case, 4 grais de blé sr la ième case, 8 sr la 4 ième case et aisi de site e doblat à chaqe case le ombre de grais jsq à la 64 ième case de l échiqier.. a. Qel est le ombre de grais de blé correspodat à la 64 ième case? b. Calcler le ombre total de grais de blé à doer à l iveter.. U grai de blé pèse eviro 0,0 g. La prodctio modiale de blé e 99 était de 600 millios de toes. Cette prodctio sffirait-elle à payer l iveter?.
10 Exercice 7. Madame Dmot décide de verser, tos les décembre, 00 sr compte réméré à % à itérêts composés. Elle a effecté le premier versemet le décembre 000. O ote, por tot etier atrel, C le capital, exprimé e eros, dot Mme Dmot dispose sr so compte le javier de l aée a. Préciser la valer de C 0. b. Calcler C. c. Ecrire C + e foctio de C.. O pose, por tot etier, = C a. Motrer qe ( ) est e site géométriqe de raiso,0 dot o détermiera le premier terme. b. E dédire e foctio de, pis C e foctio de. c. De qel capital disposera Mme Drad sr so compte le javier 00?
11 Stg Les sites Correctio des exercices Notios sr les sites. Exercice. Por chace des sites «logiqes» de ombre, trovos les trois ombres sivats : a. 7 ; ; ; ; 7 ; ; 9 o ajote 6 à chaqe terme por obteir le sivat. b. ; ; ; ; ; 7 ; 4 o ajote à chaqe terme por obteir le sivat. c., ;, ;, ; 4 ; 4,9 ;,8 ; 6,7 o ajote à chaqe terme por obteir le sivat. 0, d. 4,0 ;, ; 0,4 ; 0, ; 0,0 ; 0 0, 0 ; 9 o divise chaqe terme par trois por obteir le sivat. e. 6 ; 8 ; 4 ; ; ; ; 4 o mltiplie chaqe terme par por obteir le sivat. Exercice. Exprimos chaqe site e foctio de : a. La site des etiers impairs : = + avec etier atrel. b. La site des mltiples de : = avec etier atrel. c. La site des mltiples de, spériers à 9 : = + 9 avec etier atrel o l. d. La site des pissaces de 0, spérieres o égales à : = 0 avec etier atrel. Exercice. Ue site, de terme iitial, est défiie par le procédé sivat : «U terme est égal à l iverse d terme précédet, agmeté de.» La formle de récrrece est : + = +. Calclos les ciq termes après le terme iitial : 0 = ; = + = ; = + = ; = + = ; 4 = + = 8 ; = 8 + = 8. Exercice 4. Calclos les valers exactes des ciq premiers termes des sites sivates : a. Por tot 6 N, =. 0 = 6, =, = 4, = 0, 4 =,. b. Por tot N, + = et 0 =. 0 =, =, = 7, =, 4 =. Exercice *. E tilisat la calclatrice, doos les valers approchées à 0 près des 7 premiers termes des sites sivates : a. Por tot N, + = et 0 =. 0 = = 0, 0,49 0,47 4 0,4 0,44 6 0,44. b. Por tot N, + = et 0 =. 0 =,74,98,9 4,79,76 6,67.
12 Exercice 6. Etdios le ses de variatio de chace des sites sivates, à partir d sige de l expressio + ). a. = + 8. O a + = ( + ) + 8 ( + 8) = = < 0. Comme + < 0 por tot etier positif, alors la site ( ) est strictemet décroissate. b. = 0,6 0. O a + = 0,6 ( + ) 0 (0,6 0) = 0,6 + 0,6 0 0,6 + 0 = 0,6 > 0. Comme + > 0 por tot etier positif, alors la site ( ) est strictemet croissate. c. =. O a + = ( + ) ( ) = ( + + ) + = 4 +. Comme 4 + > 0 por tot etier positif, alors la site ( ) est strictemet croissate. d. = +. O a + = + D où + = = =. Comme est etier positif, alors ( + ) est positif et doc + < 0, ce qi prove fialemet qe ( ) est e site strictemet décroissate. Exercice 7. Das chac des cas sivat, doos le ses de variatio de la site ( ). La techiqe géérale cosiste à détermier, lorsqe c est possible, le sige de +. Si + 0 dès qe 0, alors la site ( ) est croissate à partir de 0. Si + 0 dès qe 0, alors la site ( ) est croissate à partir de 0. a. Por + = 9, alors + = 9 por tot N, doc la site ( ) est décroissate. b. Por + = +, alors + = > 0 por tot N*, doc la site ( ) est croissate. c. Por + = + +, alors + = + + = ( + ) 0 por tot N, doc la site ( ) est croissate. = Sites arithmétiqes. Exercice 8. Parmi ces sites os allos dire lesqelles sot arithmétiqes (et das ce cas, la raiso). a. 6 ; ; 0 ; 7 est e site arithmétiqe de raiso r =. E effet por passer d terme a sivat, o ajote (o o sostrait ). b. 8, ; 7, ; 6,9 ;,8 est pas e site arithmétiqe, effet 8,, = 7, tadis qe 7, 0, = 6,9, doc o ajote pas (o o e sostrait pas) tojors le même ombre por passer d terme a sivat. 9 7 c. 7 ; ; ; est e site arithmétiqe, e effet, o pet la réécrire 9 7 ; ; ;. Il apparaît alors qe la raiso de cette site est, car o ajote à terme por obteir le sivat. Exercice 9. ( ) est e site arithmétiqe de premier terme 0 = et de raiso. O appliqe la formle qi doe le terme gééral d e site arithmétiqe, à savoir = 0 + r. O remplace 0 par et r par das cette formle, ce qi doe = +. Remarqos esite, qe si 0 est le premier terme, alors 9 est le vigtième terme (attetio ce est pas 0!) Aisi le vigtième est 9 = + 9 = + 7 =. Por calcler la somme des 0 premiers termes, o appliqe la formle : er terme derier te rme S ombre de termes de S, ce qi doe por cette site : S = 0 = 0 = 47 0 = 470.
13 Exercice 0. ( ) est e site arithmétiqe avec = et = 0. Calclos d abord la raiso r de la site. Por obteir à partir de, il fat ajoter 8 fois la raiso (car = 8), doc 8 r = 0 = 4. O e 4 dédit qe r = = =,. O calcle esite 0 = r =, = 7, =,. 8 Por calcler 0, o tilise la formle = 0 + r, soit 0 =, + 0, =, + 7 = 7,. Atre soltio, après avoir trové r =, o ajote 7 fois la raiso à partir de por obteir 0, ce qi doe 0 = + 7, = + 67, = 7,. Exercice. Calclos le ombre de termes das la site arithmétiqe : 9 ; 98 ; 0 ;... ; 6. La raiso de cette site est r = (o ajote por passer d terme a sivat). Notos, par exemple, 0 = 9. O a doc d après la formle por les sites arithmétiqes = 0 + r. Cela doe alors l éqatio 6 = 9 +, d où 6 9 =, et 66 =, doc =. O a doc = 6, ce qi prove qe la site 9 ; 98 ; 0 ;... ; 6 a termes (e pas oblier 0!) Calclos la somme de ces termes, e tilisat la formle : er terme derier te rme S ombre de termes de S, o a alors : 9 6 S = 6 = = 8 = 944. Exercice *. Le premier terme d e site arithmétiqe est, la somme des 40 premiers termes est 40. O a doc 0 = et er terme derier te rme S ombre de termes de S, soit 40 = , doc : 40 = ( + 9 ) 0 et 40 = + 9 d où 7 = + 9 doc 9 =. Calclos la raiso de cette 0 site, sachat qe = 0 + r, soit = + 9 r, et = 9 r, doc r = =. 9 Sites géométriqes. Exercice. Parmi ces sites, os allos dire lesqelles sot géométriqes (et doer das ce cas la raiso). a. ; ; 0 ; 0 ; 40 est pas e site géométriqe, car = 0 mais = 0, o e mltiplie doc pas tojors par le même ombre por obteir le terme sivat. b. ; 0 ; 8 ; 6 ; 4 est pas e site géométriqe,car = 0 mais 0 = 0 8, o e mltiplie pas tojors par le même ombre (par cotre c est e site arithmétiqe de raiso r = 8). c. 0, ; 0, ; 0, ; 0,06 est e site géométriqe de raiso q = = 0,. d. ; 9 ; 7 ; 8 ; 6 est pas e site géométriqe, car = 9 mais 8 = 4 6. e. ; 4 ; 8 ; 6 ; ; 64 est e site géométriqe de raiso q =. Exercice 4. ( ) est e site géométriqe défiie par = 0, por 0. Calclos les ciq premiers termes. 0 = 0, 0 = 0, = 0, = 0, =, = 0, = 0, 9 = 4, = 0, = 0, 7 =, 4 = 0, 4 = 0, 8 = 40,. La raiso de cette site est visiblemet q =. Nos allos le démotrer : + = 0, + = 0, = =. Ceci prove qe est e site géométriqe de raiso q =.
14 Exercice. ( ) est e site géométriqe de premier terme 0 = 0,0 et de raiso. Calclos = 0 q = 0,0 = 0,0 =, = 0 q = 0,0 = 0,0 =, 0 = 0,0 0 = 0, = 97 66,. Calclos le dozième terme, = 0,0 = 0, = 488 8,. Détermios par tâtoemet et avec la calclatrice, le premier ombre etier tel qe > 0 9. Pisqe = 488 8, < 0 9, alors >. O calcle = , < 0 9 doc >. Comme 6 = , > 0 9, alors = 6. Exercice 6. Calclos la raiso q et le premier terme 0 d e site géométriqe sachat qe q > 0, = et 4 = 0,. Remarqos qe 4 = q = q q = q, doc 0, = q, soit q = 0, = 0,04. A priori, il y a dex soltios por q qi sot q = 0, 04 = 0, o q = 0, 04 = 0, mais comme q est spposée positive alors q = 0,. O calcle esite 0 = q = 0, =. Exercice 7*. Calclos la raiso q et le premier terme 0 d e site géométriqe sachat qe q > 0, =, et 7 = 6,. Le même raisoemet q à l exercice précédet s appliqe et o a q 4 = 7 doc, q 4 = 6, et q 4 6, =, O calcle esite 0 = q = 6 doc q = 4 6 = (car q est positive et o pet vérifier qe 4 = 6)., =, = = 0,0. Exercice 8. Nos allos calcler le ombre de termes das la site géométriqe : ; 6; 8 ;... ; 0,06. Remarqos qe la raiso de cette site géométriqe est q = = 0,. Notos 0 = et trovos tel qe = 0 0, soit à résodre l éqatio 0,06 = 0,. O essaie sccessivemet avec la calclatrice =, =, = 0, = 9 et o voit qe 0,06 = 0, 9. Aisi 9 = 0,06 et la site précédete a doc 0 termes (attetio de e pas oblier 0!) Calclos la somme de ces termes, e tilisat la formle Ce qi doe S = 0, 0 0, = 0, , S [premier terme] [raiso] =, = 6,97. [ombre de termes [raiso] des]. Problèmes. Exercice 9. U capital C 0 de 000 est placé a tax ael de 6%.. Calclos l'itérêt obte a bot d' a ,06 = 60. O obtiet 60 d itérêt a bot d a.. Calclos C, la valer acqise (c'est à dire la somme totale possédée) a bot d a = 060. La somme totale possédée a bot d a est Calclos C et C, les valers acqises a bot de dex as, de trois as. O calcle les itérêts sr la somme de 060, soit 060 0,06 = 6,6. La somme totale a bot de dex as est doc C = ,6 =,6. O calcle les itérêts sr la somme de,6, soit,6 0,06 = 67,4. La somme totale a bot de trois as est doc C =,6 + 67,4 = 9,0. 4. Motros qe la site des valers acqises (C ) est e site géométriqe et doos sa raiso.
15 Nos observos qe C = 000 C =,06 pis C, 6 = 060 C =,06 etc. Ceci os sggère qe C est e site géométriqe de raiso q =,06. Ceci pet se démotrer de dex faços : a. Por obteir C + à partir de C, o fait C + = C + 0,06 C (pisq o ajote le capital et les itérêts de 6 % q il prodit por obteir le ovea capital). O factorisat, o obtiet C + = C + 0,06 C = C ( + 0,06) =,06 C. Ceci prove qe la site C est géométriqe car o obtiet le terme sivat e mltipliat par q =,06. b. Atre méthode, o se soviet q agmeter e valer de 6 % reviet à mltiplier cette valer par 6 + =,06 et o sait alors qe C est e site géométriqe de raiso q =, O écrit la formle doat C, la valer acqise a bot de aées e foctio de. O tilise por cela la formle doat le terme d e site géométriqe, soit = 0 q qi s écrit alors C = C 0 q et doc C = 000, O e dédit C 0 la valer acqise a bot de 0 as (arrodie a cetime). C 0 = 000,06 0 = 790,8. 7. Faisos le tablea de valers avec la calclatrice : C ,6 9,0 6,48 8, 48, 0,6 9,8 9 0 C 689,48 790,8 898,0 0,0 La pls petite valer de por laqelle le placemet a permis de dobler le capital iitial est doc =. Exercice 0. Écrivos la formle doat C, la valer acqise a bot de aées das placemet à 4% e foctio de et de C 0 le capital de départ. Sachat qe les valers C formet e site géométriqe de raiso q =,04, o a : C = C 0,04. O e dédit le motat (arrodi a cetime le pls proche) d capital C 0 placé à 4% qi doe e valer acqise de 000 a bot de 8 as. La formle précédete os forit l éqatio 000 = C 0, La soltio est alors C 0 = 8,04 46,8.
16 Exercice. Le premier mètre cresé coûte 400 eros et chaqe mètre spplémetaire cresé coûte 0 eros de pls qe le précédet. O ote C le coût d ième mètre cresé. a. Le premier mètre cresé coûte C = 400. Le dexième mètre cresé coûte C = 40. Le troisième mètre cresé coûte C = 00. b. Pisqe chaqe mètre spplémetaire coûte 0 de pls qe le précédet, la site C est arithmétiqe de raiso r = 0. c. O e dédit l expressio de C e foctio de, C = C + 0 ( ) soit C = ( ) soit ecore C = d. Calclos le coût d forage de 40 m. C Cela correspod à la somme S = C C C40 soit S = C Calclos le coût d qaratième mètre C 40 = = = Reveos a calcl de la somme S = U forage de 40 m coûtera doc 000.
capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
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