Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33
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- Mireille Sauvé
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1 Sommaire Chapitre. Notios de base A. Démostratio par récurrece B. Esembles C. Applicatios D. Calcul de sommes Méthodes Exercices Solutios des exercices Chapitre 2. Nombres complexes Polyômes A. Propriétés fodametales de C B. Esemble K [X] Méthodes Exercices Solutios des exercices Chapitre 3. Espaces vectoriels et applicatios liéaires A. Espaces vectoriels Sous-espaces vectoriels B. Familles de vecteurs C. Somme de sous-espaces vectoriels D. Applicatios liéaires Méthodes Exercices Solutios des exercices Chapitre 4. Espaces vectoriels de dimesio fiie A. Espaces vectoriels de dimesio fiie B. Sous-espaces vectoriels e dimesio fiie C. Rags Méthodes Exercices Solutios des exercices Chapitre 5. Calcul matriciel A. Espace vectoriel m, p (K) B. Produit matriciel C. Esemble des matrices carrées d ordre
2 D. Traspositio E. Rag d ue matrice Méthodes Exercices Solutios des exercices Chapitre 6. Systèmes d équatios liéaires Exercices Solutios des exercices Chapitre 7. Réductio des edomorphismes et des matrices carrées A. Chagemet de bases B. Réductio des edomorphismes C. Diagoalisatio des matrices carrées Méthodes Exercices Solutios des exercices Chapitre 8. Algorithmique A. Programmatio B. Méthodes umériques Exercices Solutios des exercices
3 CHAPITRE Notios de base A. Démostratio par récurrece B. Esembles Apparteace Iclusio Opératios sur les esembles C. Applicatios Défiitios Compositio des applicatios Restrictio - Prologemet Ijectio - Surjectio - Bijectio Foctio idicatrice d ue partie de E D. Calcul de sommes Formule du biôme Sommes doubles Méthodes : L essetiel Exercices iveau Exercices iveau Solutios des exercices
4 Chapitre : Notios de base A. Démostratio par récurrece But :Démotrer qu ue propriété qui déped d u etier aturel est vérifiée pour tout > 0 :. 0 2 N, le plus souvet 0 ¼ 0 ou : Méthode Soit R() ue propriété dépedat de l etier aturel : ) O motre que R( 0 ) est vraie.. 2) Pour u etier quelcoque tel que > 0, o suppose que R() est vraie et o motre qu alors R( þ ) est vraie. O peut e coclure que pour tout > 0, R() est vraie.. Ici 0 ¼ : Exemple Motros que pour tout 2 N, Soit R() la propriété :«2 þþ ( þ ) ¼ () R() est vraie car : 2 þ 2 3 þþ ( þ ) ¼ 2 ¼ 2 et þ ¼ 2. þ».. þ. (2) Soit > : Supposos R() vraie et motros que R( þ ) est vraie. 2 þþ ( þ ) þ ( þ )( þ 2) ¼ þ þ car R() est vraie: ( þ )( þ 2) þ þ ( þ 2) þ ¼ ( þ )( þ 2) ( þ )( þ 2) ¼ ( þ ) 2 ( þ )( þ 2) ¼ þ þ 2 Doc R( þ ) est vraie. Coclusio : pour tout 2 N, R() est vraie. Remarque La méthode est utilisable que si la démostratio de «R( þ ) est vraie» utilise que le fait que R() est vraie et pas R( ) vraie... Sio, il faut utiliser la méthode suivate N, p 2 N Le plus souvet : 0 ¼ 0, ou et p ¼ 0 ou. Méthode 2 Soit R() ue propriété dépedat de l etier aturel : ) O motre que R ð 0 Þ,..., R ð 0 þ pþ sot vraies. 2) Pour > 0 þ p, o suppose que R ð 0 Þ,..., R ð 0 þ pþ,..., R() sot vraies. et o motre qu alors R( þ ) est vraie. O peut e coclure que pour tout > 0, R() est vraie. Exemple 2 Soit ða Þ > 0 la suite défiie par a 0 ¼, a ¼ et a þ2 þ a þ a ¼ 0 pour tout 2 N: Motros que a est u etier relatif pour tout 2 N: Soit R() la propriété :«a 2 Z». () R(0) et R() sot vraies par hypothèse. (2) Soit >: Supposos R(0), R(),..., R() vraies et motros que R( þ ) est vraie. a þ ¼ a þ a, a 2 Z et a 2 Z car R() et R( ) sot vraies, doc a þ 2 Z et R( þ ) est vraie. Coclusio : R() est vraie pour tout 2 N: 8
5 Esembles Remarque Si par défiitio, o avait eu a ¼ et si o avait oublié de cosidérer R() (qui est fausse 2 das ce cas!), o aurait obteu ue coclusio fausse. B. Esembles. Apparteace & U esemble E est défii lorsque pour tout objet x, o peut dire si x est élémet de E ou si x est pas élémet de E. Si x est élémet de E, o dit que x appartiet à E et o ote x 2 E. Si x appartiet pas à E, o ote x 62 E. & Deux esembles sot égaux s ils sot costitués des mêmes élémets. & O peut défiir u esemble E e éumérat ses élémets ou e défiissat ue propriété qui caractérise ses élémets, c est-à-dire vérifiée par les élémets de E, et seulemet par les élémets de E. Par exemple : E ¼ {0,2,4,6,8}¼{x 2 N=x pair et x < 0 }: & Par défiitio, l esemble vide e cotiet aucu élémet, il est oté [.. x 2 Q, x ¼ p q p 2 Z avec q 2 N Notatios usuelles pour les esembles de ombres & N : esemble des etiers aturels, & [, ] : esemble des etiers aturels compris etre et, & Z : esemble des etiers relatifs, & Q : esemble des ombres ratioels,. & R : esemble des ombres réels, & C : esemble des ombres complexes. 2. Iclusio Soit E et F deux esembles. F est iclus das E lorsque tout élémet de F est élémet de E. O ote alors F E et o dit que F est ue partie de E ou u sous-esemble de E. L esemble des parties de E est oté p(e). Par covetio, [ 2 p(e) pour tout esemble E. Pour motrer que o peut motrer que E F E 6 F E ¼ F ;x 2 E, x 2 F 9x 2 E, x 62 F E F et F E 9
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