I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4

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1 Chapitre 6 Logarithme TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 6 Logarithme Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4 II Cours II-1 1 Définition de la fonction ln et conséquences immédiates II-1 2 Variations de la fonction ln II-2 Représentation graphique de la fonction ln II-2 4 fondamentale et conséquences II-2 4a fondamentale II-2 4b Conséquences de la propriété fondamentale II-2 5 Résolution d équations et d inéquations II- 6 Dérivée de ln et de ln(u) II-4 Logarithme décimal II-4

2 Chapitre 6 Logarithme I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Le logarithme népérien d un nombre réel x est le nombre y tel que e y = x, autrement dit : ln(x) = y e y = x 2 1. Faisons un premier essai à la calculatrice. On stocke ln(5) dans A : ln(5) A. L affichage indique que ln(5) 1, 609 Calculer maintenant e A. On doit obtenir 5. On a donc bien : ln(5) = A e A = 5 2. Compléter ce tableau de valeur à l aide de la calculatrice s il y a un message d erreur, tracer une croix ; arrondir au dixième si nécessaire. x , 0,6 1 2 e ln(x). Expliquer les trois message d erreurs obtenus. 4. Quel est l ensemble de définition de la fonction ln? 5. Justifier la valeur de ln(e). 6. Quel est apparemment le sens de variation de la fonction ln? La fonction f est définie sur ]0 ; + [ par f(x) = ln x. 1. Faire afficher à la calculatrice la représentation graphique de la fonction ln. 2. Dresser le tableau de variation de la fonction ln sur ]0 ; + [. L objectif de cet exercice est de constater la propriété fondamentale des logarithmes. 1. À l aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous. Arrondir à 10 près. 2. Quelle propriété constate-t-on? a , 0,1 0,2 b ,5 ab ln a + ln b ln(ab) 4 Le but de cet exercice est de démontrer la propriété fondamentale des logarithmes pour ln(2) + ln() On pose : ln(2) = y 1 et ln() = y 2 1. Démontrer que 6 = e y 1+y 2 2. En déduire que ln(6) = ln(2) + ln()

3 Chapitre 6 Logarithme I EXERCICES page I Écrire les expressions suivantes sous la forme d un seul logarithme. 6 (a) ln 5 + ln (b) ln 60 + ln 800 (c) ln 0, 02 + ln 10 (d) ln + ln 1 2. D après le résultat du (d), que contate-t-on pour ln et ln 1?. Sachant que = 1 ( ), en déduire ln en fonction de ln et ln 1. Écrire ln 2, ln, ln 4 en fonction de ln 2. Écrire ln ( 2 ) de deux manières différentes, et en déduire ln en fonction de ln L objectif de cet exercice est de déterminer la dérivée de la fonction logarithme népérien. La fonction f et la fonction u sont définies sur ]0 ; + [ par f(x) = e ln(x), et u(x) = ln(x) Simplifier l écriture de f(x). 2. Calculer la dérivée de f de deux manières différentes.. En déduire u (x). Calculer chaque fois la dérivée de f (1) f : x ln x + 2 (2) f : x 6 ln x x + 2 x () f : x (4 x) ln x + 6 (4) f : x 0, 5x 2 2x + ln(x + ) + 1, 5 9 Épreuve du bac, juin 2009, Polynésie Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = 2x(1 ln x) Le plan est rapporté à un repère orthogonal. On appelle C la courbe représentative de la fonction f Déterminer f (x) pour x ]0 ; + [ (où f est la fonction dérivée de f). 2. Étudier le signe de f (x) pour x ]0 ; + [ puis dresser le tableau de variations de la fonction fsur l intervalle ]0 ; + [.. Résoudre sur ]0 ; + [ l équation f(x) = 0. En déduire que la courbe C admet un unique point d intersection A avec l axe des abscisses et donner les coordonnées du point A. 4. Sans détailler, calculer f(5), arrondir au dixième près. 5. Tracer la courbe C sur l intervalle ]0 ; 5]. Soit f la fonction, définie sur l intervalle [0 ; + [ par f(x) = x 2, 5 + ln(x + 1) On admet que la fonction f est continue et dérivable sur ]0 ; + [, et on appelle f sa dérivée. 1. Pour tout nombre x de [0 ; + [, calculer f (x). 2. Étudier le signe de f et justifier que f est strictement positive sur [0 ; + [.. Calculer f(0) et f(4) (pour f(4), valeur exacte et arrondi au dixième près). 4. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 4]. 5. Justifier que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [1 ; 2]. 6. À l aide de la calculatrice déterminer un encadrement de α d amplitude 10 2.

4 Chapitre 6 Logarithme I EXERCICES page I- 11 Épreuve du bac, juin 2009, Amérique du Nord Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats de la partie A dans la partie B, même s il ne les a pas établis. Partie A Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g(x) = 6 ln x 2x On désigne par g la fonction dérivée de g. 1. Calculer g (x). 2. On admet que le signe de g (x) est donné par le tableau ci-dessous. Dresser le tableau de variations de la fonction g sur l intervalle ]0 ; + [. x Signe de g (x) + 0. En déduire que g(x) < 0 pour tout x ]0 ; + [. Partie B Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = x + ln x 2x 2 On désigne par C f la représentation graphique de la fonction f. 1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. (a) Montrer que, pour tout x ]0 ; + [, f (x) = g(x) 2x. (b) En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. 2. Calculer sans détailler f(1) et f(2)

5 Chapitre 6 Logarithme I EXERCICES page I-4 12 Manuel Hyperbole 2006, exercice 1 page (1 + ln x) La fonction f est définie sur ]0 ; + [ par f(x) =. x On rappelle que le nombre e vérifie ln e = 1 et que e 2, 18. ( ) 1 1. (a) Calculer f. e (b) Pour tout x > 0, calculer f (x). (c) Étudier le signe de f (x) selon les valeurs de x et dresser le tableau de variations de f sur ]0 ; + [. 2. On considère maintenant que x est le nombre d objets fabriqués par une entreprise en milliers, et que f(x) est le bénéfice mensuel en milliers d euros. Répondre aux questions suivantes en utilisant certains résultats du 1. (a) Quel nombre minimal d objets l entreprise doit-elle vendre mensuellement pour que le bénéfice soit positif? (b) Combien faut-il vendre d objets pour réaliser le bénéfice maximal? (c) Quel est le montant de ce bénéfice maximal?

6 Chapitre 6 Logarithme I EXERCICES page I-5 Exercice dicté n o 1 Déterminer chaque fois le plus petit entier n tel que : (1) 1, 0 n > 5 (2) 0, 94 n < 0, 2 Exercice dicté n o 2 Un capital de eest placé à 4,5 % l an à intérêts composés. À partir de combien d années ce capital dépasse-t-il e? Exercice dicté n o Résoudre les équations : (1) ln(x) = 5 (2) e x = () ln(x) = 6 (4) e x = 2 (5) e x = 0 (6) ln(4 2x) = 0 () e 5x+2 = 4 (8) ln(x + 2) = (9) e x2 = 1

7 Chapitre 6 Logarithme II COURS page II-1 II Cours 1 Définition de la fonction ln et conséquences immédiates Définition Le logarithme népérien d un nombre réel x, que l on écrit ln(x), est le nombre y tel que e y = x, autrement dit : ln(x) = y e y = x Conséquences immédiates de la définition On sait que pour un réel x, ln(x) = y e y = x, or on sait aussi que e y > 0, par conséquent x > 0, d où la propriété ci-dessous. L ensemble de définition de la fonction ln est ]0 ; + [. Étudions maintenant les expressions ln(e x ) et e ln(x) Pour tout réel x, ln(e x ) = y e x = e y x = y donc, pour tout réel x, ln(e x ) = x Pour tout réel x > 0, e ln(x) = y ln(x) = ln(y) x = y donc, pour tout réel x > 0, e ln(x) = x On retiendra la propriété ci-dessous. : Pour tout réel x, ln(e x ) = x et pour tout réel x > 0, e ln(x) = x. Déterminons à présent les valeurs de ln(1) et de ln(e) : ln(1) = y e y = 1, or 1 = e 0, donc : ln(1) = y e y = e 0 y = 0, par conséquent ln(1) = 0. ln(e) = y e y = e, or e = e 1, donc : ln(1) = y e y = e 1 y = 1, par conséquent ln(e) = 1. On retiendra la propriété ci-dessous. : ln(1) = 0 et ln(e) = 1 Une autre conséquence de la définition est la résolution des équations ln(x) = a et e x = a. Pour tout réel a : ln(x) = a x = e a. En revanche l équation e x = a n a pas de solution si a < 0, et pour tout réel a > 0 : e x = a x = ln(a) s Pour tout réel a, l équation ln(x) = a admet une unique solution qui est x = e a. Pour tout réel a < 0, l équation e x = a n admet pas de solution. Pour tout réel a > 0, l équation e x = a admet une unique solution qui est x = ln(a).

8 Chapitre 6 Logarithme II COURS page II-2 2 Variations de la fonction ln s La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. Pour tous nombres a et b strictement positifs, a < b équivaut à ln a < ln b et ln a = ln b équivaut à a = b Tableau de variations x ln x 0 Puisque la fonction ln est strictement croissante, on en déduit que si x < 1, alors ln x < ln 0, et que si x > 1 alors ln x > ln 0, or ln 0 = 1, donc : Si x est strictement compris entre 0 et 1 alors ln x est strictement négatif. Si x est strictement supérieur à 1 alors ln x est strictement positif. Représentation graphique de la fonction ln fondamentale et conséquences 4a fondamentale Pour tous réels a et b strictement positifs, ln ab = ln a + ln b Exemple 1 : ln 6 = ln(2 ) = ln 2 + ln 4b Conséquences de la propriété fondamentale ( Exemple 2 : calculons de deux façons ln 1 ) ( D une part : ln 1 ) ( ( 1 = ln + ln D autre part : ln ) 1 ) = ln 1 = 0 ( ( 1 1 Donc : ln + ln = 0 Donc : ln = ln ) ) ( Exemple : calculons ln ) ( ( ln = ln ) 1 ) = ln + ln 1 = ln ln

9 Chapitre 6 Logarithme II COURS page II- Les calculs des exemples 2 et effectués avec les nombres et auraient pu être effectués pour des nombres a et b strictements positifs quelconques. On admet donc la propriété ci-dessous. Pour tous réels a et b strictement positifs, ln 1 b = ln b et ln a b = ln a ln b Exemple 4 : calculons ln 5 ln 5 = ln(5 5 5) = ln 5 + ln 5 + ln 5 = ln 5 Exemple 5 : calculons ln ( 2 ) de deux façons D une part : ln ( 2 ) = ln D autre part : ln ( 2 ) = ln ( ) = ln +ln = 2 ln Donc ln = 2 ln Donc ln = 1 2 ln Les calculs des exemples 2 et effectués avec les nombres, 5 et auraient pu être effectués pour un nombre a strictement positif et un entier naturel n quelconques. On admet la propriété ci-dessous. Pour tout réel a strictement positif et pour tout réel x, ln(a x ) = x ln a et ln a = 1 2 ln a 5 Résolution d équations et d inéquations Exemple Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : a) (1, 05) n 2 b) (0, 95) n 0, 2 (1, 05) n 2 ln(1, 05 n ) ln 2 n ln 1, 05 ln 2 n ln 2 ln 1, 05 n 14, 2 n 15 Remarques : (1) (0, 95) n 0, 2 ln(0, 95 n ) ln 0, 2 n ln 0, 95 ln 0, 2 ln 0, 2 n ln 0, 95 n 1, n 2 (1) On a divisé par ln 1, 05 qui est positif parce que 1, 05 > 1, donc l inégalité ne change pas de sens. (2) On a divisé par ln 0, 95 qui est négatif parce que 0, 95 < 1, donc l inégalité change de sens. (2)

10 Chapitre 6 Logarithme II COURS page II-4 6 Dérivée de ln et de ln(u) On admet que la fonction ln est dérivable, déterminons sa dérivée. On définit la fonction f et la fonction u sur ]0 ; + [ par f(x) = e ln(x), et u(x) = ln(x). Simplifions l écriture de f(x) : on sait que pour tout réel x > 0, e ln(x) = x, soit f(x) = x Calculons la dérivée de f de deux manières différentes. 1 re manière : f(x) = x donc f (x) = 1 2 e manière : f(x) = e ln(x) et u(x) = ln(x) or (e u ) = u e u donc f (x) = u (x) e ln(x) = u (x) x De ces deux calculs, on déduit que pour tout réel x > 0, u (x) x = 1, et par conséquent u (x) = 1 x. On obtient ainsi la propriété suivante. La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et sa dérivée est la fonction inverse. Autrement dit, pour tout réel x > 0, ln (x) = 1 x. On admettra la propriété suivante. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que pour tout nombre x de l intervalle I u(x) > 0, alors la fonction ln u est dérivable et : (ln u) = u u Logarithme décimal Définition : pour tout nombre x strictement positif, log x = ln x ln 10 Conséquence : log 1 = 0 log 10 = 1