Corrigé des exercices

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1 Chpitre 4 option informtiue Corrigé des exeries Automtes finis déterministes Exerie. Le lngge des mots ontennt u moins une fois l lettre :, 2. Le lngge des mots ontennt u plus une fois l lettre : 3. Le lngge des mots ontennt un nomre pir de fois l lettre : 4. Le lngge des mots dmettnt pour fteur :, Le lngge des mots dmettnt pour sous-mot :, 2 3 Exerie 2 Posons n = 2p + r ve r {,} ; lors : p mod 5 = n r mod 5 p 3 mod 5 = n + r mod 5 p mod 5 = n 2 + r mod 5 p 4 mod 5 = n 3 + r mod 5 p 2 mod 5 = n 4 + r mod 5 D où l utomte :

2 4.2 option informtiue 3 4 Pour lire les entiers à prtir du it de poids le plus file, il suffit de onsidérer l utomte trnsposé, est-à-dire elui otenu en inversnt l ordre des trnsitions et en éhngent étts initiux et étts finux. En générl, l trnsposée d un utomte déterministe est non déterministe, mis l utomte i-dessus fit exeption. 3 4 Exerie 3 Il y trois types de mots dns e lngge : eux ui ontiennent u moins un et un vnt le dernier rtère (étt 6 ), eux ui ne ontiennent ue des et ui sont de longueur u moins 2 (étt 3 ), eux ui ne ontiennent ue des et ui sont de longueur u moins 2 (étt 5 ). 3 4,, 6 5 Exerie 4. Les mots de L sont les mots ui ommenent pr et ui omportent u moins un dns leur ériture. D où l utomte :

3 Corrigé des exeries 4.3, 2. Les mots de E sont reonnus pr l utomte : 3. Notons L le lngge dénoté pr et L 2 le lngge dénoté pr (). Alors S = EL L 2 don S est reonnu pr l utomte : Exerie 5 On définit deux suites (R i ) et (S i ) de prties de Q en posnt R = { }, S = F et pour tout i N : R i+ = R i { Q il existe une trnsition d un élément de Ri à } S i+ = S i { Q il existe une trnsition de à un élément de Si } Ces deux suites sont roissntes dns Q fini don sont sttionnires. Leurs limites R et S sont tteintes dès lors ue deux termes onséutifs sont égux et dns e s R est l ensemle des étts essiles et S l ensemle des étts o-essiles. Il suffit dès lors de supprimer les étts ui n pprtiennent ps à R S insi ue les trnsitions dns lesuelles es étts interviennent pour otenir l utomte émondé demndé. Commençons pr une fontion ui détermine les étts essiles en suivnt l lgorithme exposé i-dessus : let essile = let re ux = funtion [] > ((i, _), j):: when mem i && not mem j > ux (j::) _:: > ux nd ux2 = let = ux.delt in if = then else ux2 in ux2 [.Strt] ;; On détermine de même les étts o-essiles :

4 4.4 option informtiue let oessile = let re ux = funtion [] > ((i, _), j):: when mem j && not mem i > ux (i::) _:: > ux nd ux2 = let = ux.delt in if = then else ux2 in ux2.aept ;; Il reste à émonder l utomte : let emonde = let e = interset (essile ) (oessile ) in let re ux = funtion [] > [] ((i, _), j):: when not mem i e not mem j e > ux t:: > t::(ux ) in {Strt =.Strt; Aept = interset.aept e; Delt = ux.delt} ;; Automtes non déterministes Exerie 6 L déterministion du premier utomte onduit u résultt : 2 δ { } { } {, } {, } {, } {,, } {, } {, } {,, } {,, } {, } {,, } 3 L déterministion du seond utomte onduit u résultt : 3 δ { } { } { } { } { } {, } { } { } { } {, } {, } {, } {, } {, } {, } 2 4

5 Corrigé des exeries 4.5 Exerie 7 Seules utre onfigurtions sont possiles : les utre verres sont tous dns le même sens (onfigurtion ) ; trois verres sont dns un sens et le utrième dns l utre sens (onfigurtion ) ; deux verres voisins sont dns un sens et les deux utres dns l utre sens (onfigurtion ) ; deux verres opposés sont dns un sens et les deux utres dns l utre sens (onfigurtion 3 ). On désigne pr l lettre : le fit de hnger l orienttion d un des utre verres ; le fit de hnger l orienttion de deux verres voisins ; le fit de hnger l orienttion de deux verres opposés. Le jeu peut lors être représenté pr l utomte non déterministe suivnt :, 3 S déterministion onduit à l utomte suivnt :, 23, , On onstte ue l suession de mouvement onduit néessirement à une position ggnnte pour le rmn. Exerie 8 T (A) et don A = D(T (A)) reonnit l imge miroir du lngge reonnu pr A, don A reonnit le même lngge ue A ; il est éuivlent à A. On otient pour A l utomte :

6 4.6 option informtiue et pour A l utomte :, 2 Exerie 9 L utomte non déterministe :,, se déterminise en : δ { } {, } { } {, } {, } {, } {, } {, } {, 3 } {, 3 } {,, 4 } { } {,, 4 } {,, 4 } {, 4 } {, 4 } {,, 4 } {, 4 } On noter ue l étt 5 peut être supprimé sns hnger le lngge reonnu pr et utomte. L lgorithme KMP onsiste à onsidérer les étts et trnsitions suivnts : δ ε ε ε

7 Corrigé des exeries 4.7 puis à trnsformer l étt eptnt () en puit :, ε Théorème de Kleene Exerie On ommene pr se dérrsser du symole ε : l expression rtionnelle est éuivlente à (+) +(+). On l linérise pour otenir un lngge lol : ( + 2 ) ( ), ve P = {, 2, 3, 6, 7 }, S = { 5, 6, 7 } et F = { 2,2 2, 2, 2, 3, 2 3, 3 4, 4 5,6 2,2 7, 6 7, 7 6 }. On déduit de l utomte lol ui en résulte l utomte de Glushkov de l expression rtionnelle en supprimnt le mruge des trnsitions : On noter ue puisue ε pprtient u lngge est un étt eptnt. S déterministion fournit l utomte suivnt : 3 4 Exerie L utomte suivnt reonnit le lngge L = { m Σ m mod 3 } :

8 4.8 option informtiue On lui ppliue l lgorithme d élimintion des étts en éliminnt suessivement, et : ε i ε f i ε ε f + ε i ε f i ( + ) f L est don dénoté pr ( + ). Exerie 2 L utomte suivnt reonnit le lngge L : 3 On le rend omplet en joutnt un étt puit : 3, 4 En inversnt les étts eptnts on otient un utomte ui reonnit L :

9 Corrigé des exeries , 4 Exerie 3 Si L et L 2 sont deux lngges reonnus pr des utomtes A et A 2 nous svons luler les utomtes reonnissnt l intersetion et le omplémentire don des utomtes reonnissnt L \ L 2 et L 2 \ L. Il reste à utiliser l éuivlene : L = L 2 (L \ L 2 = et L 2 \ L = ) pour onlure. Exerie 4 Considérons un utomte fini déterministe A = (Σ, Q,, F,δ) ui reonnit L, notons A (respetivement Co) l ensemle des étts essiles (respetivement o-essiles) et onsidérons les trois utomtes : A p = (Σ, Q,,Co,δ), A s = (Σ, Q,A, F,δ), A f = (Σ, Q,A,Co,δ) (les deux derniers sont non déterministes). Alors A p reonnit pref(l), A f reonnit suff(l), A f reonnit ft(l) (on peut ussi oserver ue ft(l) = pref(suff(l)). Exerie 5 Soit A = (Σ, Q,, F,δ) un utomte ui reonnit L. Pour tout Q on note I l ensemle des mots ui étiuètent un hemin de à et F l ensemle des mots ui étiuètent un hemin de à l un des étts finux de F. Ces deux lngges sont respetivement reonnus pr (Σ, Q,,{},δ) et (Σ, Q,, F,δ) don rtionnels. L églité L = I F prouve lors ue L est ussi rtionnel. Q Exerie 6 Soit A = (Σ, Q,, F,δ) un utomte ui reonnit le lngge L. On note I l ensemle des étts essiles à prtir de en suivnt un hemin étiueté pr un mot de K. On onsidère lors l utomte (non déterministe) A = (Σ, Q, I, F,δ) ; nous llons montrer ue A reonnit K L. Considérons un mot v K uv L et u K tel ue uv L. Puisue uv L le hemin f mène à un étt u v eptnt f F. Ce dernier se déompose en deux hemins f ve I e ui montre ue v étiuète un hemin mennt d un étt I à un étt f F. v est don reonnu pr A. Réiprouement, si v est reonnu pr A il existe I, f F et un hemin v f étiueté pr v. Pr définition de I il existe u K et un hemin u étiueté pr u e ui prouve ue uv est reonnu pr A, don ue uv L. Lemme de l étoile Exerie 7 Supposons le lemme de l étoile vérifié pr le lngge L et posons u = ε, v = k et w = k+. Le mot uvw pprtient à L don v se ftorise en v = k k 2 k 3 ve k 2 et pour tout n N, uv v2 n+ v 3 w = k+nk 2 k+ L, e ui est surde. Supposons le lemme de l étoile vérifié pour le lngge L 2 et posons u = k, v = k, w = ε. Alors il existe k 2 > tel ue pour tout n N, k k+nk 2 L 2, e ui est surde. Supposons le lemme de l étoile vérifié pour le lngge L 3 et onsidérons un entier premier p tel ue p k. Alors p se ftorise sous l forme k k 2 k 3 ve k 2 et pour tout n N, p+nk 2 L 3. En prtiulier, pour n = p le nomre p + pk 2 doit être premier, e ui est surde. Exerie 8 Si le lngge de Dik étit rtionnel il existerit un utomte reonnissnt les mots de l forme n n ; or nous vons vu ue dns e s il existe k 2 tel ue le mot n n+k 2 soit reonnu, et e dernier mot n est ps un mot de Dik.

10 4. option informtiue Pour tout k N le mot (+(+(+(...))...) (omportnt k prenthèses ouvrntes et fermntes) pprtient u lngge Cml ; en posnt u = (+(+(+(..., v = ))...) et w = ε le seond lemme de l étoile onduit à une surdité. Exerie 9 Supposons L rtionnel ; d près le seond lemme de l étoile il existe un entier k tel ue pour tout plindrome m = uvw tel ue v k se ftorise sous l forme m = uv v 2 v 3 w ve v 2, v v 2 k et n N, uv v2 n v 3w est un plindrome. En onsidérnt le mot m = k k ve u = ε, v = k et w = k on prouve l existene d un entier p > tel ue pour tout n N, k+np k doive être un plindrome, e ui est surde. Exerie 2 Supposons L rtionnel et notons k l entier ui intervient dns l première version du lemme de l étoile. Si l onjeture est vrie il existe p k tel ue 2 p soit un nomre premier et dns e s le mot p pprtient à L. D près le lemme de l étoile e mot se ftorise sous l forme uvw ve v et pour tout n N, uv n w L. En posnt v = j on prouve ue pour tout n N le mot p+nj pprtient à L, utrement dit ue 2 p+nj est premier. Mis en prennt n = p on outit à une surdité r 2 p(j+) est divisile pr 2 j+ 3.