L effet de l agrégation sur la structure des modèles ARM A spatiaux unilatéraux

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1 L effet de l agrégation sur la structure des modèles ARM A spatiaux unilatéraux Soulafa ALI LabSAD 1251 Avenue Centrale, B.P. 47, Grenoble Cedex 9, France Résumé Ce papier considère le problème de l agrégation des données spatiales issues d un modèle autorégressif moyenne mobile ARMA spatial unilatéral sur une grille de Z 2. D abord, nous définissons la procédure de l agrégation spatiale. Nous étendons la définition de l agrégation aléatoire dans le cadre spatial mais nous nous limitons à l agrégation déterministe sans recouvrement. Ensuite, nous prouvons que l agrégation préserve la structure ARM A. C est à dire que si le processus initial est un ARMA(p,q) où p = (p 1,p 2 ), q = (q 1,q 2 ) et p i,q i 1 pour i = 1,2, alors le processus agrégé est aussi un ARMA(p,q ). Les ordres p et q sont de plus explicités. Puis, nous donnons les relations entre les pôles du processus initial et ceux du processus agrégé. Quant aux modèles spatiaux unilatéraux moyenne mobile, M A, nous montrons que l agrégation spatiale préserve la structure M A et nous déterminons l ordre du processus agrégé. Enfin, nous prouvons que l agrégation ne préserve pas la structure autorégressive spatiale unilatérale, AR. L agrégation conduit à un modèle de type ARMA dans ce cas et nous donnons les ordres du modèle agrégé ainsi que la relation liant les pôles du modèle initial et ceux du modèle agrégé. Mots clés : Processus spatiaux unilatéraux stationnaires, modèles ARM A unilatéraux et agrégation spatiales. Summary This paper considers the problem of the aggregation of spatial data resulting from an unilateral spatial autoregressive moving average model ARMA on a grid of Z 2. At first, we define the spatial aggregation procedure. We extend the definition of random aggregation in a spatial framework but we will be limited to the deterministic aggregation without covering. Then, we prove that aggregation preserves the ARM A structure. I.e. that if the initial process is an ARMA(p,q) where p = (p 1,p 2 ), q = (q 1,q 2 ) and p i,q i 1 for i = 1,2, then the aggregated one is also ARMA(p,q ). Moreover p and q are determined. Then, we give the relations between the poles of the initial process and those of the aggregated one. For the unilateral spatial moving average models, M A, we show that aggregation preserves the M A structure and we determine the order of the aggregated model. Finally, we prove that aggregation does not preserve the unilateral spatial autoregressive structure, AR. The aggregation in this case leads to an ARMA model and we give the orders of the aggregated model as well as the relation between the poles of the initial model and those of the aggregated one. Key words : Stationary unilateral spatial processes, unilateral ARM A models and spatial aggregation. 1

2 1 Notations et Définitions Le problème essentiel de la modélisation des données spatiales est dû à l absence d une relation d ordre canonique sur le support alors que la flèche du temps joue un rôle fondamentale dans la modélisation temporelle. Aussi définissons nous une notion d ordre dans le plan adaptée à l élaboration d une procédure d agrégation aléatoire spatiale et par analogie à celle définie dans le cadre temporel. 1.1 Notions d ordre dans Z 2 On définit ici deux types d ordre dans Z 2 : Définition 1.1 Soient i = (k,l), j = (m,n), deux points dans Z 2. On note par i j l ordre lexicographique défini par i j (k < m) ou (k = m,l n). (1) Cet ordre est appelé aussi ordre demi-plan ou ordre total. On appelle ordre quart de plan l ordre fort défini par i j (k m) et (l n). (2) Ce qui est considéré comme un cas particulier de l ordre total. Soit X = {X(s), s = (u,v) Z 2 } un processus centré et à valeurs réelles. Définition 1.2 On dit que le processus X = {X(s),s Z 2 } est stationnaire au second ordre si E{X(s + h)x(t + h)} = E{X(s)X(t)}, s,t,h Z 2. (3) L opérateur de retard B k,k = 1,2 est défini par On utilise la notation B = B(z)X(s) = B 1 X(u,v) = X(u 1,v), et B 2 X(u,v) = X(u,v 1) (4) 2 k=1 2 k=1 B k et on définit B(z) = 2 k=1 B z k k, c est à dire B z k k X(s) = X(u z 1,v z 2 ) pour tout z Z 2. Définition 1.3 Soient X = {X(s),s Z 2 } un processus spatial stationnaire au second ordre et à valeurs réelles et ε = {ε(s),s Z 2 } une famille de variables aléatoires centrées, indépendantes et identiquement distribuées et de même variance σ 2. On dit que X suit 2

3 un modèle autorégressif moyenne mobile d ordre (p,q), p = (p 1,p 2 ), q = (q 1,q 2 ) et p k,q k, k = 1,2 sont des entiers positifs, si X vérifie l équation aux différences suivante a(i)x(s i) = b(i)ε(s i). (5) i D[0,p] i D[0,q] où D[0,s] = {u = (u 1,u 2 ) Z 2, 0 u k s k k = 1,2} et a(0,0) = b(0,0) = 1. Le modèle autorégressif spatial unilatéral est donné par l équation a(i)x(s i) = ε(s). (6) i D[0,p] Le modèle moyenne mobile spatial vérifie : X(s) = 2 Agrégation spatiale i D[0,q] b(i)ε(s i). (7) Filtrage et échantillonnage aléatoire On appelle filtre linéaire toute transformation linéaire F qui associe au processus X le processus FX défini par : FX(s) = i D m 1 c(i)x(s i) où les c(k,l) sont des réels tels que = m 1 1 k=0 m 2 1 l=0 c(k,l)x(u k,v l) c(k,l) <. Le choix des lieux d observation est effectué à l aide d un opérateur d échantillonnage, E L, défini à l aide d une marche aléatoire T. D autre part, on définit un opérateur d échantillonnage de la façon suivante : Soit T = {T (s) = (T u,t v ); s = (u,v) Z 2 } une famille de variables aléatoires et qui vérifie les conditions suivantes : 1. T(0,0)=(0,0) 2. Les variables [T (s ) T (s)] sont indépendantes et identiquement distribuées de même loi L i = P [T (s ) T (s) = i] (8) 3

4 où s est un élément de l ensemble V (s) = {(u + 1,v),(u,v + 1)} constitué par les voisins les plus proches de s situés dans le demi plan des sites supérieurs à s (au sens de l ordre défini en (1.1)). L opérateur E L associe au processus X le processus échantillonné défini par : E L X(s) = X(T (s)) (9) Définition 2.1 Nous appelons procédure d agrégation tout opérateur (E L F) qui au processus initial X associe le processus agrégé, noté Y, et qui sera donnée par : Y (T (s)) = (F E L )X(s) = Nous pouvons le réécrire de la manière suivante : i D m 1 a(i)x(t (s) i) (10) Y (T u,t v ) = m 1 1 k=0 m 2 1 l=0 a(k,l)x(t u k,t v l). (11) Définition 2.2 L agrégation est dite déterministe lorsque L est la loi de Dirac en j = (m,n), c est à dire que L i = δ j [(T (s + 1) T (s)] Dans la suite, nous nous limitons à l agrégation déterministe et nous utilisons la définition équivalente à la définition (2.2) suivante : Définition 2.3 Soit X = {X(s) ; s = (u,v) Z 2 } un processus spatial unilatéral autorégressif moyenne mobile ARMA(p,q) où p = (p 1,p 2 ) et q = (q 1,q 2 ), sur une grille de Z 2, stationnaire au second ordre et défini par (5). Soit D m 1 = D m1 1m 2 1 = {(i,j) N 2 ; 0 i m 1 1, et 0 j m 2 1} où m 1,m 2 sont deux entiers naturels finis tels que m 1 > 1 et m 2 > 1. On appelle processus agrégé de X, le processus noté Y et défini par la relation suivante : Y (u,v) = m 1 1 i=0 m 2 1 j=0 c(i,j)x(u i,v j) = c(i,j)x(u i,v j) (12) (i,j) D m 1 où c(i,j) sont des réels tels que c(i,j) 2 < i j Le processus agrégé est donc obtenu en regroupant les lieux d observation dans des blocs de dimension m 1 m 2 et l opérateur d agrégation considéré réalise une moyenne pondérée des valeurs X(u,v) à l intérieur de chaque bloc. Les variables observées sont donc Y (m 1 u,m 2 v) où (u,v) Z 2. 4

5 3 La structure du processus agrégé Une question posée par la procédure d agrégation précédente est celle du respect de la structure de dépendance spatiale induite. 3.1 Agrégation d un processus ARM A spatial L opérateur d agrégation conserve les caractéristiques d un processus de la classe ARM A. On vérifie en effet le théorème suivant : Proposition 3.1 Soit X un processus ARM A(p,q), stationnaire au second ordre et défini par (5). Soit Y le processus agrégé associé à X défini par (12). Alors Y est un processus autorégressif moyenne mobile. De plus, il vérifie la relation suivante : (1 a m1 i B m 1 1 )(1 b m 2 j B m 2 2 )Y (u,v) (i,j) Dp 1 p 2 = ν(u,v) D q 1 q 2 ρ(i,j)ν(u im 1,v jm 2 ) (13) où {ν(u,v) (u,v) Z 2 } est une famille de variables aléatoires centrées et de variance σν 2. Les ρ(i,j) sont des réels tels que les racines du polynôme ρ(i,j)z1 izj 2 soient à (i,j) D q1 q 2 l extérieur de disque unité. σν 2 et les ρ(i,j) sont déterminés en fonction des coefficients a(i,j) de la partie autorégressive du modèle (5). L ordre de la partie moyenne mobile est déterminé par q 1 et q 2 qui sont les plus grands entiers vérifiants l inégalité suivante q i m i < (p i + 1)(m i 1) + 1, i = 1,2. La proposition précédente se particularise au cas des modèles AR unilatéraux et M A unilatéraux respectivement par les deux résultats suivants : Corollaire 3.1 Si le processus initial X est un processus spatial unilatéral autorégressif AR(p), stationnaire au second-ordre. Alors Y, le processus déduit de X par l opérateur d agrégation (12), est un processus autorégressif moyenne mobile, ARMA(p,q ) où p = p et q est tel que q i m i < (p i + 1)(m i 1) + 1. Corollaire 3.2 Si le processus initial X est un processus spatial unilatéral moyenne mobile MA(q), stationnaire au second-ordre, alors Y, le processus agrégé associé à X défini par (12), est un processus moyenne mobile, MA(q ) où q = (q 1,q 2 ) où q i m i < m i + q i, i = 1,2.. Bibliographie 5

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