Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme»

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1 Chapitre n 4 : «Angles, caractérisation du parallélisme» I. Reproduire un angle ; rappels 1/ Mesurer un angle (Voir fiche d'exercices) 2/ Construire un angle de mesure donnée Construire les angles suivants : ACB=57 et EFJ =123 Méthode On trace une demi-droite ; son origine est le sommet de l'angle. On place le centre du rapporteur sur l'origine de la demi-droite et le zéro d'une graduation au niveau de cette même demi-droite. On trace une deuxième demi-droite passant par la graduation correspondant à la mesure de l'angle. 3/ Reproduire un angle

2 II. s sur les paires d'angles 1/ Angles opposés par le sommet Activité Les angles suivants ne sont pas opposés par le sommet. L'angle suivant est opposé par le sommet. Définitions Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et sont symétriques par rapport à ce sommet. Représentation Il suffit de tracer deux droites sécantes. Elles définissent deux paires d'angles opposés par le sommet. Des angles opposés par le sommet sont de la même mesure.

3 2/ Angles adjacents Activité Ces deux angles ne sont pas adjacents car ils n'ont pas le même sommet. Ces deux angles sont adjacents : ils ont le même sommet et un côté en commun. Ces deux angles ne sont pas adjacents car l'un contient l'autre. Définition Deux angles sont adjacents si : ils ont le même sommet ; ils ont un côté en commun ; ils sont situés de part et d'autre du côté en commun. LOM et MON sont adjacents car : O est le sommet commun ; [OM est le côté commun ; les deux angles sont «distincts» (pas l'un dans l'autre). 3/ Angles complémentaires Définition Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90. Les angles ci-contre IEJ et KHL sont complémentaires car 34 56=90.

4 Autres exemples ABD=36 et EFR=54 sont complémentaires car 36 54=90. FRT =46 et GHJ =45 ne sont pas complémentaires car Les angles A ' BA et C ' DC sont complémentaires car la somme de leurs mesures est 41 49=90. Cas particulier : angles adjacents formant un angle droit Deux angles adjacents qui forment un angle droit sont complémentaires. Dans la figure ci-contre : EOF et GOF sont adjacents car O est le sommet en commun, [OF est le côté en commun et ils sont de part et d'autre de ce côté [OF ; l'ensemble des deux angles EOF et GOF forment l'angle droit EOG. On a donc EOF GOF =90. Application Dans la figure ci-contre, on peut calculer BIC : BIC=90 55=45 car BIC et BIA sont complémentaires. Les angles AIB et BIC sont adjacents car : I est le sommet commun ; [ IB est le côté commun ; les angles sont de part et autre de [ IB. AIB et BIC forment l'angle droit AIC ; ils sont donc complémentaires. On a donc : BIC=90 55=25.

5 4/ Angles supplémentaires Définition Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180. ABC et DEF sont supplémentaires car =180 Deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires. Si BCD et DCA sont adjacents et forment un angle plat et si BCD=53 alors DCA=180 53=127. 5/ Angles alternes-internes Activité A l'oral...

6 Description de la configuration Les deux droites d 1 et d 2 définissent une zone interne et une zone externe. Lorsqu'on trace la sécante, elle coupe d 1 et d 2 ; on va «alterner» par rapport à cette troisième droite. Alterner par rapport à la droite rouge c'est «être d'un côté puis de l'autre». Définition (à comprendre sans apprendre) Deux angles alternes-internes sont deux angles de part et d'autre de la sécante qui sont situés dans la zone interne mais qui ne sont pas adjacents. Les droites JK et IH coupées par la sécante KH forment des angles alternesinternes : JKH et KHL. Deux droites parallèles et une sécante définissent des angles alternes-internes de même mesure.

7 6/ Angles correspondants Définition (à comprendre sans apprendre) On considère deux droites d 1, d 2 et une sécante. Des angles correspondants vérifient les critères suivants : l'un est dans la zone interne, l'autre dans la zone externe ; ils sont du même côté de la sécante ; ils ne sont pas adjacents. Deux droites parallèles et une sécante définissent des angles correspondants de même mesure. III. Réciproques s réciproques s réciproques Si deux droites d 1 et d 2 et une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure alors d 1 est parallèle à d 2. Si deux droites d 1 et d 2 et une sécante forment des angles correspondants de même mesure alors d 1 est parallèle à d 2

8 IV. de cours Angles opposés par le sommet : ACE et DCF ; ACD et ECF. Angles adjacents : ADC et CDF. Angles adjacents complémentaires (ou qui forment un angle droit) : GAC et CAD. Angles adjacents supplémentaires (ou qui forment un angle plat) : ACE et ECF