Notions mathématiques utiles pour les sciences

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1 1 Les angles 1.1 Angles adjacents- Angles opposés par le sommet Définition Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l'un de l'autre. Exemple: Notions mathématiques utiles pour les sciences Les deux droites (xy) et (zt) sont sécantes en O. Elles définissent 4 angles : xot, toy, yoz et zox. Les angles zox et toy sont opposés par le sommet,ainsiquelesanglesxotetyoz. Propriété Si deux anglessont opposés par le sommetalors ils ont la même mesure. Exemple: dans l'exemple précédent : zox= toyet xot= yoz.

2 Définition Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et un côté commun et s'ils sont situés departetd'autreducôtécommun. Exemple:xOyet yozsont deux angles adjacents. Attention : les angles xoz et xoy ne sont pas adjacents car ils ne sont pas situés de part et d'autre du côté commun[ox). Remarque : Si xoy et yoz sont deux angles adjacents alors l'angle xoz mesure la somme desmesuredesdeuxautres:xoz=xoy+yoz.

3 1.2 Angles complémentaires - Angles supplémentaires Définition Deux anglessont complémentairessi la somme de leurs mesures est égale à 90 Exemple: Les angles xoy et yoz sont adjacents et complémentairescarxoy+yoz=90. Définition Deux anglessont supplémentairessi la somme de leurs mesures est égale à 180 Exemple: Les angles xoy et yoz sont adjacents et supplémentaires car xoy+ yoz= 180.

4 1.3 Angles alternes-internes, angles correspondants. On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une troisième (la sécante) (d). Définition Les angles situés entre (d1) et (d2), de part et d'autre de (d) et non adjacents, sont alternesinternes. Exemple: Les angles taw et xbz sur la figure ci-contre sont alternesinternes Définition Les angles situés d'un même côté de (d), l'un à côté de (d1) et l'autre du même côté de (d2) sont correspondants. Exemple: Les angles a1 et xbz sur la figure ci-contre sont correspondants.

5 1.4 Angles et parallélisme: propriétés Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternesinternes sont de même mesure. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants sont de même mesure. Exemple: On considère deux droites (d1) et (d2) parallèles coupées par une sécante (d). Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Les angles a1 et b2 sont alternes-internes. Donc a1 = b2. Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Les angles a1 et b1 sont correspondants. Donc a1 = b1.

6 1.5 Angles et parallélisme: propriétés réciproques Si deux droites coupées par une sécanteforment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Exemple: On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une sécante (d). Les angles indiqués sur la figure sont alternes-internes et de même mesure (128 ). Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Les angles indiqués sur la figure sont correspondants et de même mesure (66 ). Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles.

7 2 Les triangles, notions géométriques de base 2.1 Définitions et généralités

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9 2.2 Triangle rectangle et théorème de Pythagore

10 2.3 Théorème de Thalès

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12 2.4 Les triangles semblables Définition Deux triangles sont semblables si les angles de l'un ont la même mesure que les angles de l'autre.

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14 Les critères de similitude Premier cas de similitude Deux triangles sont semblables si deux angles de l'un ont la même mesure que deux angles de l'autre.

15 Deuxième cas de similitude Deux triangles sont semblables si un angle de l'un est égal à un angle de l'autre et que le rapport des deux côtés adjacents à cet angle est égal au rapport des côtés homologues.

16 Troisième cas de similitude

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19 Théorème Si deux triangles sont semblables alors les côtés opposés aux angles égaux ont des longueurs proportionnelles.

20 Conséquence pour les longueurs

21 Conséquence sur les aires

22 3 Trigonométrie du triangle rectangle

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24 Cercle trigonométrique

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28 4 Les vecteurs 4.1 Définition

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30 4.2 Egalité entre deux vecteurs

31 4.3 Addition de deux vecteurs Relation de Chasles (configuration du triangle)

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33 4.3.2 Somme de deux vecteurs de même origine (configuration du parallélogramme)

34 4.4 Propriétés de l addition des vecteurs

35 4.5 Multiplication d un vecteur par un scalaire

36 4.6 Propriétés de la multiplication par un scalaire

37 5 Exponentielles et logarithmes

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40 Certaines représentations graphiques de fonctions présentent la particularité d avoir une très grande étendue de valeurs à placer en abscisse (ou en ordonnée). Pour rendre de tels graphiques lisibles, on utilise des représentations semi-logarithmiques. Ainsi la transmission du rayonnement électromagnétique dans l atmosphère subit-elle des variations très différentes, suivant que l on se trouve dans le domaine des très courtes longueurs d onde(le nanomètre) ou dans le domaine métrique. Pour pouvoir représenter l ensemble du phénomène, on utilise en abscisse une échelle logarithmique pour décrire l ensemble des longueurs d onde.

41 Graduation linéaire La signification des différents points de l'axe donne pour l'origine une valeur initiale, ici f = 0. En graduation linéaire, la distance entre chaque trait représente une addition toujours de même valeur, mais le rapport entre deux séparations diminue à mesure que la grandeur physique augmente. Graduation logarithmique La signification des différentes séparations sur l'axe indique qu'il n'y a pas d'origine, mais une des graduations est choisie comme point de départ et prend la valeur unité 1. En graduation logarithmique, chaque séparation représente le rapport de un à dix et ne varie pas.

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44 6 Dérivation de fonctions

45 Dérivée des fonctions élémentaires

46 7 Intégration de fonctions